【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题20函数与等腰三角形的存在性问题【例1】（2022秋?青岛期中）如图，在矩形ABC
D中，BD是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm，点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀
速运动，速度是1cm/s．两点同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请回答下列问题（1）当t为何值时，EF∥AB？（2）设
四边形ABFE的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式；（3）当t为何值时，四边形ABFE的面积S等于矩形ABCD面积的？（
4）当t为 或 时，△EFD是等腰三角形．【分析】（1）由勾股定理求出BD，由平行线分线段成比例定理得出，则可得出答案；（2）过
点F作FG⊥AD于G，求出FG＝，求出三角形EDF的面积，根据S四边形ABFE＝S△ABD﹣S△EFD可求出答案；（3）由面积关系
列出方程可得出答案；（4）由等腰三角形的性质分三种情况可求出答案．【解答】解：（1）如图，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴BD＝＝
＝10（cm），∵EF∥AB，∴，∴，∴t＝；（2）∵AB＝6cm，AD＝BC＝8cm，∴S△ABD＝×6×8＝24，过点F作FG
⊥AD于G，∵FG∥AB，∴，∴，∴FG＝，∴S△EDF＝ED?FG＝＝﹣+6t，∴S四边形ABFE＝S△ABD﹣S△EFD＝24
﹣（﹣+6t）＝﹣6t+24；（3）∵四边形ABFE的面积S等于矩形ABCD面积的，∴×48，∴t2﹣10t+10＝0，解得t＝5
﹣或t＝5+（舍去），∴t＝5﹣；（4）若△EFD是等腰三角形，可分三种情况，①若ED＝DF，∴2t＝10﹣t，∴t＝；②若ED＝
EF，如图，过点E作EH⊥BD于H，则FH＝DH＝（10﹣t），∵∠EHD＝∠A＝90°，∠EDH＝∠ADB，∴△EDH∽△BDA
，∴，∴，∴t＝；③若EF＝DF，过点F作FM⊥AD于M，则，∴，解得t＝＞4，不合题意，舍去．综上所述，t的值为或．故答案为：或
．【例2】（2022?佳木斯模拟）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，以A为原点，AB，AD所在直线为x轴、y轴，建立平面直
角坐标系．正方形ABCD的边长是方程x2﹣8x+16＝0的根．点P从点B出发，沿BC→CD向点D运动，同时点Q从点E出发，沿EB→
BC向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度当点P运动到点D时，P，Q两点同时停止运动设点P运动的时
间为t秒，△APQ的面积为S．（1）求点C的坐标；（2）求S关于t的函数关系式；（3）当△AQP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标
．【分析】（1）解方程求出正方形ABCD的边长，即可得点C的坐标；（2）分两种情况：①0＜t＜2时，S＝S△APQ；②2≤t≤4时
，S＝S△APQ＝S正方形ABCD﹣S△APD﹣S△ABQ﹣S△APQ＝S△CPQ；根据面积公式可得S关于t的函数关系式；（3）分
两种情况：①0＜t≤2时；②2＜t≤4时，利用勾股定理表示出AQ2、PQ2，AP2，根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】解：（1
）∵正方形ABCD的边长是方程x2﹣8x+16＝0的根．解方程x2﹣8x+16＝0得x＝4，∴正方形ABCD的边长为4，∴AB＝B
C＝CD＝AD＝4，BC⊥AB，CD⊥AD，∴点C的坐标为（4，4）；（2）∵E为AB的中点，∴BE＝AE＝AB＝2，∵由题意得：
0≤t≤4，分两种情况：①0＜t＜2时，如图：由题意得：EQ＝t，BP＝2t，∴AQ＝AE+EQ＝2+t，∴S＝S△APQ＝AQ?
BP＝×（2+t）×2t＝t2+2t；②2≤t≤4时，如图：由题意得：EB+BQ＝t，BC+CP＝2t，∴BQ＝t﹣BE＝t﹣2，
CQ＝BC+BE﹣t＝6﹣t，CP＝2t﹣BC＝2t﹣4，PD＝BC+CD﹣2t＝8﹣2t，∴S＝S△APQ＝S正方形ABCD﹣S
△APD﹣S△ABQ﹣S△APQ﹣S△CPQ＝4×4﹣×4（8﹣2t）﹣×4（t﹣2）﹣（6﹣t）（2t﹣4）＝t2﹣6t+16，
∴S关于t的函数关系式为S＝；（3）分两种情况：①0＜t≤2时，如图：由题意得：EQ＝t，BP＝2t，∴AQ＝AE+EQ＝2+t，
BQ＝2﹣t∴AQ2＝（2+t）2＝t2+4t+4，PQ2＝BQ2+BP2＝（2﹣t）2+（2t）2＝5t2﹣4t+4，AP2＝A
B2+BP2＝42+（2t）2＝16+4t2，当AQ＝PQ时，AQ2＝PQ2，∴t2+4t+4＝5t2﹣4t+4，解得t＝0（舍去
）或2，∴BP＝4，∴P（4，4）；当AQ＝AP时，AQ2＝AP2，∴t2+4t+4＝16+4t2，方程无解，∴此种情况不存在；当
AP＝PQ时，AP2＝PQ2，∴16+4t2＝5t2﹣4t+4，解得t＝6（舍去）或﹣2（舍去），∴此种情况不存在；∴当0≤t≤2
，△AQP是等腰三角形时，P（4，4）；②2＜t≤4时，如图：由题意得：EB+BQ＝t，BC+CP＝2t，∴BQ＝t﹣+BE＝t﹣
2，CQ＝BC+BE﹣t＝6﹣t，CP＝2t﹣BC＝2t﹣4，PD＝BC+CD﹣2t＝8﹣2t，∴AQ2＝AB2+BQ2＝42+（
t﹣2）2＝t2﹣4t+20，PQ2＝CQ2+CP2＝（6﹣t）2+（2t﹣4）2＝5t2﹣28t+52，AP2＝AD2+DP2＝
42+（8﹣2t）2＝4t2﹣32t+80，当AQ＝PQ时，AQ2＝PQ2，∴t2﹣4t+20＝5t2﹣28t+52，解得t＝2（
舍去）或4，∴DP＝0，∴P（0，4）；当AQ＝AP时，AQ2＝AP2，∴t2﹣4t+20＝4t2﹣32t+80，解得t＝6（舍去
）或，∴DP＝，∴P（，4）；当AP＝PQ时，AP2＝PQ2，∴4t2﹣32t+80＝5t2﹣28t+52，解得t＝﹣2﹣4（舍去
）或4﹣2，∴DP＝12﹣8，∴P（12﹣8，4）；∴当2＜t≤4，△AQP是等腰三角形时，P（0，4）或（，4）或（12﹣8，4
）；综上所述，当△AQP是等腰三角形时，点P的坐标为（4，4）或（0，4）或（，4）或（12﹣8，4）．【例3】（2022秋?前郭
县期中）如图，对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
其中点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，4）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，若点P为抛物线上第二象限内的一点，且到
y轴的距离是2．点M为线段CO上的一个动点，求△APM周长的最小值；（3）如图②，将原抛物线绕点A旋转180°，得新抛物线y''，在
新抛物线y''的对称轴上是否存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）先根
据对称轴确定h的值，再将B（2，0），C（0，4）代入，求函数的解析式即可；（2）先确定P点坐标，作A点关于y轴的对称点为A''（4
，0），连接PA''与y轴交于点M，则有AM+PM+AP≥AP+A''P，所以△APM周长的最小值为PA''+AP；（3）先求出旋转后C
点旋转后的点C''（﹣12，﹣4），B''（﹣10，0），再用待定系数法求旋转后的抛物线解析式y＝﹣x2﹣x﹣10，设Q（﹣7，t），
分别求出AC＝4，AQ＝，CQ＝，再根据等腰三角形边的性质，分三种情况讨论即可求解．【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝﹣1，∴h
＝﹣1，∴y＝a（x+1）2+k，将B（2，0），C（0，4）代入，∴，解得，∴y＝﹣（x+1）2+；（2）∵P点到y轴的距离是2
，∴P点横坐标为﹣2，∴P（﹣2，4），令y＝0，则﹣（x+1）2+＝0，解得x＝2或x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（2，0），∴
A点关于y轴的对称点为A''（4，0），连接PA''与y轴交于点M，∴AM＝A''M，∴AM+PM+AP＝AP+A''M+PM≥AP+A''
P，∴PA''＝2，AP＝2，∴△APM周长的最小值为2+2；（3）存在点Q，使得△ACQ为等腰三角形，理由如下：∵C（0，4），B
（2，0），∴C点旋转后的点C''（﹣12，﹣4），B''（﹣10，0），设旋转后的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，∴，解得，∴y
＝﹣x2﹣x﹣10，∵y＝﹣x2﹣x﹣10＝﹣（x+7）2﹣，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣7，设Q（﹣7，t），∴AC＝4，AQ＝
，CQ＝，当AC＝AQ时，4＝，解得t＝或t＝，∴Q（﹣7，）或（﹣7，﹣）；当AC＝CQ时，4＝，此时不存在；当AQ＝CQ时，＝
，解得t＝7，∴Q（﹣7，7）；综上所述：Q点坐标为（﹣7，）或（﹣7，﹣）或（﹣7，7）．【例4】（2022秋?法库县期中）如图
1所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点（在x轴正半轴上，直线AC交y轴于点M
．连接BM，AB边交y轴于点H．（1）求MH的长；（2）如图2所示，动点P从点A出发，沿折线．A→B→C方向以每秒1个单位的速度向
终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；（3）在（2）的情况下，当点P在线
段AB上运动时，是否存在以BM为腰的等腰三角形？如存在，直接写出t的值；如不存在，说明理由．【分析】（1）由A点的坐标，利用勾股定
理和菱形的性质易得点C的坐标，由A，C的坐标可得直线AC的解析式；令x＝0，解得y，得OM的长，可求出MH；（2）设点M到BC的距
离为h，由△ABC的面积易得h，利用分类讨论的思想，三角形的面积公式①当P在直线AB上运动；②当P运动到直线BC上时分别得△PBM
的面积；（3）分三种情况讨论：①当MB＝MP时，PH＝BH，解得t；②当BM＝BP时，利用勾股定理可得BM的长，易得t．【解答】解
：（1）∵点A的坐标为（﹣3，4），∴OA＝5，即C点的坐标为（5，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC
的解析式为：y＝，令x＝0得：y＝，即OM＝，∴MH＝4﹣＝；（2）设点M到BC的距离为h，由S△ABC＝S△ABM+S△BCM，
即，∴h＝，①当P在直线AB上运动时△PBM的面积为S与P的运动时间为t秒关系为：S＝（5﹣t）×，即S＝﹣（0≤t＜5）；②当P
运动到直线BC上时△PMB的面积为S与P的运动时间为t秒关系为：S＝[5﹣（10﹣t）×]，即S＝t（5＜t≤10）；∴S与t之间
的函数关系式为S＝；（3）存在①当MB＝MP时，∵点A的坐标为（﹣3，4），AB＝5，MB＝MP，MH⊥AB，∴PH＝BH，即3﹣
t＝2，∴t＝1；②当BM＝BP时，即5﹣t＝，解得：t＝．综上所述，当t＝1或时，△PMB为以BM为腰的等腰三角形．一．解答题1
．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E为对角线AC上的一个动点．（1）如图①，连接BE作EF⊥BE交线段DC于点F，的值；（2
）如图②，连接DE，作EF⊥DE交射线BC于点F．①设CF＝y，AE＝x，当点F在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式；②当△E
FC为等腰三角形时，求AE的长．【分析】（1）过点E作PQ⊥AB，分别交AB、CD于P、Q，则四边形PBCQ是矩形，BP＝CQ，证
明△CEQ∽△CAD，可得，则，再证明△BEP∽△EFQ，利用相似三角形的性质即可求解；（2）①点E作MN⊥BC，分别交AD、BC
于M、N，可证明△AME∽△ADC，可用x表示出MD和ME，进一步可证明△DME∽△ENF，可找到y与x之间的关系式；②分点F在线
段BC上和在线段BC的延长线上，当点F在线段BC上时，可证明△DEF≌△DCF，可得到DF⊥AC，可求得HC，则可求得AE；当点F
在线段BC的延长线上时，可证明AD＝AE，可求得AE的长，则可得出x的值．【解答】解：（1）过点E作PQ⊥AB，分别交AB、CD
于P、Q，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝＝∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，AB∥CD，∴四边形P
BCQ是矩形，EQ∥AD，∴∠BPE＝∠EQF＝90°，BP＝CQ，△CEQ∽△CAD，∴，∴，∵EF⊥BE，∴∠BEP＝∠FEQ
＝90°，∵∠BPE＝∠EQF＝90°，∴∠BEP+∠PBE＝90°，∵∠PBE＝∠QEF，∴△BEP∽△EFQ，∴＝＝；（2）①
如图，过点E作MN⊥BC，分别交AD、BC于M、N，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，且AD＝4，CD＝AB＝3，∴AC
＝5，∴MN∥DC，∴△AME∽△ADC，∴，即，∴AM＝x，ME＝x，∴MD＝4﹣x，NE＝3﹣x，∵∠DEF＝90°，∴∠DE
M+∠FEN＝90°，∵∠DME＝90°，∴∠DEM+∠EDM＝90°，∴∠EFN＝∠EDM，∵∠DME＝∠ENF＝90°，∴△D
ME∽△ENF，∴，即＝，∴NF＝x，∵CF＝BC﹣BN﹣NF，∴y＝4﹣x﹣x＝4﹣x；②当点F在线段BC上时，如图，连接DF，
交AC于点H，∵∠EFC＞90°，∴当△EFC为等腰三角形时，则有FE＝FC，在Rt△DEF和Rt△DCF中，，∴Rt△DEF≌R
t△DCF（HL），∴∠EFD＝∠CFD，∴DF⊥AC，∴S△ACD＝AC?DH＝AD?CD，∴5DH＝4×3∴DH＝，∴AH＝＝
，∴HC＝AC﹣AH＝5﹣＝，∴AE＝5﹣2HC＝5﹣×2＝；当点F在BC的延长线上时，如图，延长DE交BC于H，∵∠ECF＞90
°，∴当△EFC为等腰三角形时，则有CE＝CF，∵∠FEH＝90°，CE＝CF，∴∠F＝∠CEF，∴∠F+∠EHC＝∠HEC+∠C
EF＝90°，∴∠EHC＝∠HEC，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CHE，∠AED＝∠CEH，∴∠ADE＝∠AED，∴AE＝AD＝4
；综上可知当△EFC为等腰三角形时，x的值为或4．2．（2022春?惠山区期中）如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝8．延
长BC到D，使得CD＝BC，以AC、CD为邻边作平行四边形ACDE，连接BE交AC于点O．（1）求证：四边形ABCE为菱形；（2）
如图2，点P是射线BC上一动点（不与点B、C、D重合），设BP＝x，连接PO并延长，延长线交直线AE于点Q．①以P、Q、E、D四点
围成的四边形面积记为S，求S与x的函数关系式；②当△POC为等腰三角形时，求x的值．【分析】（1）证明四边形ABCE为平行四边形，
根据菱形的判定得出即可；（2）①分三种情况：Ⅰ点P在线段BC上时，首先过E作EF⊥BD交BD于F，则∠EFB＝90°，证出△QOE
≌△POB，利用QE＝BP，得出四边形PQED的面积为定值；Ⅱ点P在线段CD上时，同Ⅰ可得四边形PQED的面积为定值；Ⅲ点P在线段
BD的延长线上时，根据梯形的面积公式求解即可；②分三种情况：ⅠOP＝OC时，ⅡOC＝CP时，ⅢOP＝CP时，利用等腰三角形的性质即
可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE＝CD，AE∥CD，∵CD＝BC，∴AE＝BC，AE∥BC，∴四边
形ABCE为平行四边形，∵AB＝BC＝5，∴四边形ABCE是菱形；（2）解：①分三种情况：Ⅰ点P在线段BC上时，过E作EF⊥BD交
BD于F，则∠EFB＝90°，∵四边形ABCE是菱形，∴AE∥BC，OB＝OE，OA＝OC，OC⊥OB，∵AC＝8，∴OC＝4，∵
BC＝5，∴OB＝3，sin∠OBC＝，∴BE＝6，∴EF＝BE?sin∠OBC＝6×＝，∵AE∥BC，∴∠AEO＝∠CBO，四边
形PQED是梯形，在△QOE和△POB中，，∴△QOE≌△POB（ASA），∴QE＝BP，∴S梯形PQED＝（QE+DP）?EF＝
（BP+DP）×EF＝×BD×EF＝×2BC×EF＝BC×EF＝5×＝24；Ⅱ点P在线段CD上时，同Ⅰ可得：四边形PQED的面积为
24；Ⅲ点P在线段BD的延长线上时，以P、Q、E、D四点围成的四边形为梯形PDQE，∵BP＝x，BD＝2BC＝10，∴PD＝x﹣1
0，在△QOE和△POB中，，∴△QOE≌△POB（ASA），∴QE＝BP＝x，∴S梯形PDQE＝（QE+DP）?EF＝（x+x﹣
10）×＝x﹣24；综上，S与x的函数关系式为S＝；②解：△POC为等腰三角形，分三种情况：ⅠOP＝OC时，如图，点P不在射线BC
上，故此种情况不存在；ⅡOC＝CP时，如图，∵OC＝4，BC＝CD＝5，∴PC＝P′C＝4，∴BP＝5﹣4＝1，BP′＝5+4＝9
，∴x的值为1或9；ⅢOP＝CP时，如图，过点P作PH⊥OC于H，∵OB＝3，BC＝5，OC＝4，∴CH＝OH＝2，∴cos∠OC
B＝，∴，∴PC＝，∴BP＝5﹣＝．即x的值为；综上，x的值为1或9或．3．（2020秋?浦东新区校级期末）已知：如图，在△ABC
纸片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按图所示的方法将△ACD沿AD折叠，使点C恰好落在边AB上的点C′处，点P是射线AB上的一个
动点．（1）求折痕AD长．（2）点P在线段AB上运动时，设AP＝x，DP＝y．求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．（3）
当△APD是等腰三角形时，求AP的长．【分析】（1）由翻折可知：CD＝DC′，AC＝AC′＝3，设CD＝DC′＝x，在Rt△BDC
中，根据BD2＝C′D2+C′B2，构建方程即可解决问题．（2）利用勾股定理即可解决问题．（3）分三种情形：①PA＝PD，②AP＝
AD，③当PD＝AD时，分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，由翻折可知：CD＝DC′，AC＝AC′＝3，设CD＝DC′＝x，
在Rt△BDC中，∵BD2＝C′D2+C′B2，∴（4﹣x）2＝x2+22，解得x＝，∴AD＝＝＝．（2）如图2中，当点P在C''D
左侧，AC＝AC''＝3，则PC''＝3﹣x，∵，∴y＝＝（0≤x≤10）．当点P在C''D右侧，同理可得y＝（0≤x≤10）．∴y关于
x的函数解析式为y＝（0≤x≤10）．（3）如图3中，①当PA＝PD时，设PA＝PD＝m，在Rt△PCD中，∵PD2＝DC′2+C
′P2，∴m2＝（）2+（3﹣m）2，解得m＝，∴PA＝．②当AD＝AP′＝时，△ADP′是等腰三角形，③当PD＝AD时，点P在A
B的延长线上．如图4，AP＝2AC''＝6．综上所述，满足条件的PA的值为或或6．4．（2022春?厦门期末）如图，已知△ABC中，
AC＝2，BC＝4，AB＝6，点P是射线CB上一点（不与点B重合），EF为PB的垂直平分线，交PB于点F，交射线AB于点E，联结P
E、AP．（1）求∠B的度数；（2）当点P在线段CB上时，设BE＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）
当△APB为等腰三角形时，请直接写出AE的值．【分析】（1）先根据勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，再由AC＝BC即可得出
答案；（2）作AD⊥BC，垂足为点D．由直角三角形30°角所对边等于斜边一半知AD＝AB＝3，EF＝BE＝x，求出CP和AD的长，
由勾股定理可得出答案；（3）分三种情况画出图形，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案．【解答】解：（1）在△ABC中，∵
AC＝2，BC＝4，AB＝6，∴AC2+AB2＝48，BC2＝48，∴AC2+AB2＝BC2．∴∠BAC＝90°．又∵AC＝2，B
C＝4，∴AC＝BC，∴∠B＝30°．（2）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为点D．在△ADB中，∠ADB＝90°，∠B＝30°，
∴AD＝AB＝3，同理，EF＝BE＝x．在Rt△EFB中，EF2+FB2＝EB2，即（x）2+BF2＝x2，∴BF＝x，又∵BP＝
2BF，∴BP＝x．∴CP＝CB﹣PB＝4﹣x，∵CD＝AC＝，∴DP＝4﹣x﹣＝3﹣x，∴AP＝＝＝（0＜x≤4），∴y关于x的
函数解析式为y＝（0＜x≤4）；（3）如图2，当点P在线段CB上时，AP＝PB，过点P作PM⊥AB于点M，则BM＝＝3，∴PB＝2
，由（2）可知2＝x，∴BE＝2，∴AE＝4；如图3，当点P在线段BC上，且AB＝PB＝6，∴BF＝PB＝3，∴BE＝2，∴AE＝
6﹣2；如图4，当点P在射线CB上时，BA＝BP＝6，同理可求出BE＝2，∴AE＝6+2．综合以上可得，AE的长为4或6﹣2或6+
2．5．（2020秋?郫都区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b与x轴交于点A，与y轴交于点B，已知OA＝OB＝
6，点P是第一象限内在直线AB上一点．（1）直接写出k，b的值；（2）设P（x，y），求△OPA的面积S与x的函数解析式；（3）当
△POA是等腰三角形，求点P的坐标．【分析】（1）将点A，点B坐标代入解析式可求解；（2）过点P作PH⊥OA于H，先求出PH的长，
由三角形的面积公式可求解；（3）分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵OA＝OB＝6，∴点A（6，0），
点B（0，6），∴，∴∴k＝﹣1，b＝6；（2）如图，过点P作PH⊥OA于H，∵点P（x，y）是第一象限内在直线y＝﹣x+6上一点
．∴PH＝﹣x+6（0＜x＜6），∴S＝×OA×PH＝×6×（﹣x+6）＝﹣3x+18（0＜x＜6）；（3）∵OA＝OB，∠AOB
＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，若OP＝PA时，又∵PH⊥OA，∠BAO＝45°，∴OH＝HA＝3，∠HPA＝∠PAH＝4
5°，∴AH＝PH＝3，∴点P（3，3）；若OA＝AP＝6时，∵PH⊥OA，∠BAO＝45°，∴∠HPA＝∠PAH＝45°，∴AH
＝PH＝3，∴OH＝6﹣3，∴点P（6﹣3，3），综上所述：点P坐标为（3，3）或（6﹣3，3）．6．（2021?永嘉县校级模拟）
如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，DB⊥BC于点B，E，F，G分别在AC，BC，AC的延长线上，连接BG
，EF的延长线分别交BG，DB于点K，H．已知CE，CF，CG的长度分别为3t，4t，4t（0＜t＜1）．（1）求证：HB＝EA．
（2）设y＝．①求y关于t的函数表达式．②当△HBK为等腰三角形时，求所有满足条件的y的值．（3）如图2，过点F作FP∥AC交AB
于点P，连接KP交BF于点M．记△KPF，四边形EFPA的面积分别为S1，S2．当tan∠KPB＝时，求的值．【分析】（1）根据相
似三角形的判定和性质以及平行四边形的判定和性质解答即可；（2）①根据勾股定理和相似三角形的性质解答即可；②根据勾股定理和等腰三角形
的性质分三种情况解答即可；（3）根据面积公式解答即可．【解答】证明：（1）∵∠ACB＝90°，DB⊥BC，∴BH∥AC，∵，且∠E
CF＝∠ACB，∴△ACB∽△ECF，∴∠FEC＝∠BAC，∴HE∥BA，∵BH∥AC，HE∥BA，∴四边形AEHB为平行四边形，
∴HB＝EA；（2）①如图1，∵CE＝3t，CF＝4t，∴EF＝，由（1）可知KE∥BA，∴△KGE∽△BGA，∴，∴，∴KF＝，
∴y＝；②△HBK为等腰三角形时，分以下情况，（a）当HB＝HK，∵HB＝AE＝3﹣3t，HK＝HE﹣KE＝5﹣KF﹣FE＝5﹣，
∴3﹣3t＝5﹣，∴t＝2或，y＝或﹣，（b）当HB＝BK，∵HB＝BK，∴∠BHK＝∠BKH，∵∠BKH＝∠GKF，∠BHE＝∠
HEG，∴∠GKF＝∠HEG，∴GK＝GE，∴GB＝GA，∴GB＝＝GA＝4t+3，∴t＝，y＝﹣，（c）当HK＝BK，则GK＝E
K，，∴AB＝BG，∴5＝，∴t＝或﹣（舍去），∴y＝﹣，综上所述，y＝；（3）如图2，tan∠KPB＝，tan∠BPF＝tan∠
BAC＝，∴tan∠KPF＝tan（∠BPF﹣∠KPB）＝，∴，∴S2＝S四边形EFPA＝PF?CF＝（3﹣3t）×4t，∴．7．
（2020秋?伊通县期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝20cm，动点E、F同时从点B出发，分别沿BA、BC的方向
向终点A、终点C运动，点E的速度是1cm/s，点F的速度是2cm/s，当一点到达终点后，两点同时停止运动，设运动时间为t（s），四
边形DAEF的面积为S（cm2）．（1）求S与t的函数关系式；（2）当△DEF为等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）根据矩形和三
角形面积公式解答即可；（2）根据勾股定理和等腰三角形的性质分三种情况解答即可．【解答】解：（1）由题可知：BE＝t，BF＝2t，C
F＝20﹣2t，AE＝10﹣t，∴S＝S矩形ABCD﹣S△BEF﹣S△CDF＝＝﹣t2+10t+100；（2）由勾股定理可得：EF
2＝BE2+BF2＝t2+（2t）2＝5t2，DF2＝CD2+CF2＝102+（20﹣2t）2＝4t2﹣80t+500，DE2＝A
E2+AD2＝（10﹣t）2+202＝t2﹣20t+500，①当DE＝DF时，DE2＝DF2，即t2﹣20t+500＝4t2﹣80
t+500，解得：t1＝0，t2＝20，都不符合题意，舍去，②当DE＝EF时，DE2＝EF2，即t2﹣20t+500＝5t2，解得
：（不符合题意，舍去），，③当EF＝DF时，EF2＝DF2，即5t2＝4t2﹣80t+500，解得：，（不符合题意，舍去），综上所
述，当△DEF为等腰三角形时，或．8．（2020秋?东城区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm，P是上的动点，
设A，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，C，P两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，
y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分
别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm01234y1/cm4.003.69 3.09（答案不唯一） 2.130y2/cm3.
003.914.715.235（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），点（x，y2），
并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为 0.83或2.49（答案不唯一） cm
；②记AB所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为 5.32（答案不唯一） cm．【分析】（1）利用图象法解决
问题即可；（2）描点绘图即可；（3）①分PB＝PB、PC＝BC、PB＝BC三种情况，分别求解即可；②当直线PC恰好经过点O时，PC
的长度取得最大值，观察图象即可求解．【解答】解：（1）由画图可得，x＝2时，y1≈3.09cm（答案不唯一）．故答案为：3.09（
答案不唯一）．（2）描点绘图如下：（3）①由y1与y2的交点的横坐标可知，x≈0.83cm时，PC＝PB，当x≈2.49cm时，y
2＝5cm，即PC＝BC，观察图象可知，PB不可能等于BC，故答案为：0.83或2.49（答案不唯一）．②当直线PC恰好经过点O时
，PC的长度取得最大值，从图象看，PC＝y2≈5.32cm，故答案为5.32（答案不唯一）．9．（2020?西城区一模）如图，在△
ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm．P是上的动点，设A，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，C，P两点间的距离
为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm01234y1/cm4.003.69
3.09（答案不唯一） 2.130y2/cm3.003.914.715.235（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表
中各组数值所对应的点（x，y1），点（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，①当△PBC为等腰三角形时，AP
的长度约为 0.83或2.49（答案不唯一） cm；②记所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为 5.32（答
案不唯一） cm．【分析】（1）利用图象法解决问题即可；（2）描点绘图即可；（3）①分PB＝PB、PC＝BC、PB＝BC三种情况，
分别求解即可；②当直线PC恰好经过点O时，PC的长度取得最大值，观察图象即可求解．【解答】解：（1）由画图可得，x＝2时，y1≈3
.09cm（答案不唯一）．故答案为：3.09（答案不唯一）．（2）描点绘图如下：（3）①由y1与y2的交点的横坐标可知，x≈0.8
3cm时，PC＝PB，当x≈2.49cm时，y2＝5cm，即PC＝BC，观察图象可知，PB不可能等于BC，故答案为：0.83或2.
49（答案不唯一）．②当直线PC恰好经过点O时，PC的长度取得最大值，从图象看，PC＝y2≈5.32cm，故答案为5.32（答案不
唯一）．10．（2020?长春模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）（点A在点B的左边），与
y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，过点D作DE∥y轴，交直线BC于点E，点P在抛物线上，过点P作PQ∥y轴交直线C
E于点Q，连接PB，设点P的横坐标为m，PQ的长为d．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）当0＜m
＜4时，求d关于m的函数关系式；（4）当△PQB是等腰三角形时，直接写出m的值．【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）先求
出点C坐标，利用待定系数法可求解析式；（3）由两点距离公式可求解；（4）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：（1
）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），∴解得：∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；（2）∵抛物
线y＝﹣x2+4x﹣3与y轴交于点C，∴点C（0，﹣3）设直线BC解析式为：y＝kx﹣3，∴0＝3k﹣3∴k＝1，∴直线BC解析式
为：y＝x﹣3；（3）∵设点P的横坐标为m，PQ∥y轴，∴点P（m，﹣m2+4m﹣3），点Q（m，m﹣3），当0＜m＜3时，PQ＝
d＝﹣m2+4m﹣3﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m，当3≤m＜4时，PQ＝d＝（m﹣3）﹣（﹣m2+4m﹣3）＝m2﹣3m；（4）B（
3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PQ∥OC，∴∠PQB＝45°，若BP＝PQ，∴∠P
QB＝∠PBQ＝45°，∴∠BPQ＝90°，即点P与点A重合，∴m＝1，若BP＝QB，∴∠BQP＝∠BPQ＝45°，∴∠QBP＝9
0°，∴BP解析式为：y＝﹣x+3，∴解得：，∴点P（2，1）∴m＝2；若PQ＝QB，∴（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（﹣m2+
3m）2，或（3﹣m）2+（m﹣3﹣0）2＝（m2﹣3m）2，∴m＝±，综上所述：m＝1或2或±．11．如图，Rt△ABC中，∠C
＝90°，∠A＝30°，AB＝4，将一个30°角的顶点P放在AB边上滑动，保持30°角的一边平行于BC，且交边AC于点E，30°角
的另一边交射线BC于点D，联结ED．（1）四边形PEDC有可能为平行四边形吗？若可能，求出PEDC为平行四边形时AP的长，若不可能
，请说明理由；（2）设AP＝x，在移动的过程中，这个角和Rt△ABC重叠部分的图形面积为y，试建立y与x之间的函数关系式，并求出函
数定义域；（3）若△PED是等腰三角形，求AP的长．（请直接写出AP的长）【分析】（1）设CE、DP交于点F，由四边形PEDC是平
行四边形，得出PE＝CD，CF＝EF，求出∠FPA＝90°，由含30°角的直角三角形的性质得出AF＝2PF＝4EF＝4CF，推出A
F＝AC，AE＝AC，则＝＝，即可得出结果；（2）点D与点C重合时，AP＝3，当0＜x≤3时，PE＝x，FE＝，由三角形面积公式即
可得出结果；当3＜x＜4时，PD延长线交AC延长线于点H，PE＝x，由三角函数得出EH＝，求出CH＝（2x﹣6）?，由三角形面积公
式即可得出结果；（3）分两种情况：①PE＝DE时，证出＝＝，即可求出AP的长；②PD＝ED时，证出＝＝，即可得出AP的长；③当D在
线段BC上，PE＝PD时，由含30°角的直角三角形的性质求解即可．【解答】解：（1）有可能；∵PE∥BC，∴当PE＝CD时，四边形
PEDC是平行四边形；设CE、DP交于点F，如图1所示：∵四边形PEDC是平行四边形，∴PE＝CD，CF＝EF，∵PE∥BC，∴∠
APE＝∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵∠DPE＝30°，∴∠FPA＝90°，∴AF＝2PF＝4EF＝4CF，∴AF＝AC，A
E＝AC，∵PE∥BC，∴＝＝，∴AP＝AB＝；（2）∵∠DPA＝90°，∠DPE＝30°，点D与点C重合时，BP＝BC＝AB＝1
，则AP＝3，当0＜x≤3时，PE＝x，FE＝PE?tan30°＝x?＝，y＝PE?FE＝?x?＝；当3＜x＜4时，PD延长线交A
C延长线于点H，如图2所示：PE＝x，EH＝PE?tan30°＝x?＝，BP＝4﹣x，BD＝2BP＝8﹣2x，CD＝2﹣BD＝2x
﹣6，CH＝CD?tan30°＝（2x﹣6）?，y＝?PE?EH﹣CD?CH＝?x?﹣（2x﹣6）（2x﹣6）＝﹣+4x﹣6综上所
述：y＝（0＜x≤3），y＝﹣+4x﹣6（3＜x＜4）；（3）①PE＝DE时，∵△PED是等腰三角形，∴∠EPD＝∠EDP＝30°
，∠PED＝120°时，如图1所示：∠EDF＝∠DEF＝30°，∴EF＝FD，CF＝DF，∴EF＝2CF，PE＝tan60°EF＝
2CF，AE＝tan60°PE＝×2CF＝6CF，∴AC＝9CF，∴＝＝＝，∴AP＝AB＝；②当PD＝ED时，∵△PED是等腰三角
形，∴∠EPD＝∠DEP＝30°，∠PDE＝120°时，如图3所示：∵PE∥BC，∴∠EDC＝∠PED＝30°，∴EC＝DE，过D
作DG⊥PE于G，则PG＝EG，GE＝cos30°DE＝×2EC＝EC，PE＝2GE＝2EC，AE＝tan60°PE＝×2EC＝6
EC，∴AC＝7EC，∴＝＝，∴AP＝AB＝；③当D在线段BC上，PE＝PD时，如图4所示：由（2）得：PE＝AP＝x，∵PE∥B
C，∴∠BDP＝∠DPE＝30°，∵∠B＝90°﹣30°＝60°，∴∠BPD＝90°，∴PD＝BP，∴（4﹣x）＝x，解得：x＝，
即AP＝；综上所述：△PED是等腰三角形时，AP的长为或或．12．（2021秋?道县期末）已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°
，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x
，AE＝y，求y关于x的函数关系式；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及三角形内角
与外角的关系，易证△ABD∽△DCE．（2）由△ABD∽△DCE，对应边成比例及等腰直角三角形的性质可求出y与x的函数关系式；（3
）当△ADE是等腰三角形时，因为三角形的腰和底不明确，所以应分AD＝DE，AE＝DE，AD＝AE三种情况讨论求出满足题意的AE的长
即可．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC∴∠B＝∠C＝∠ADE＝45°∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CD
E∴∠BAD＝∠CDE∴△ABD∽△DCE；（2）由（1）得△ABD∽△DCE，∴＝，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝
，CD＝﹣x，EC＝1﹣y，∴＝，∴y＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+（0＜x＜）；（3）当AD＝DE时，△ABD≌△CDE，∴BD＝
CE，∴x＝1﹣y，即 x﹣x2＝x，∵x≠0，∴等式左右两边同时除以x得：x＝﹣1∴AE＝1﹣x＝2﹣，当AE＝DE时，DE⊥A
C，此时D是BC中点，E也是AC的中点，所以，AE＝；当AD＝AE时，∠DAE＝90°，D与B重合，不合题意；综上，在AC上存在点
E，使△ADE是等腰三角形，AE的长为2﹣或 ．13．（2022秋?肇源县期中）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（6
，0），与y轴交于点B（0，3），与正比例的函数y＝x的图象交于点C．（1）求一次函数的解析式及点C的坐标；（2）请结合图象直接写
出不等式组0＜kx+b≤2的解集；（3）在x轴上是否存在一点P，使△COP是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请
说明理由．【分析】（1）利用选定系数法求解即可；（2）由图象即可求解；（3）分①OC＝PC、②OC＝OP、②CP＝OP三种情况解答
即可．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（6，0），与y轴交于点B（0，3），∴，解得：，∴一次函数的解
析式为y＝﹣x+3，∵与函数y＝x的图象交于点C，∴﹣x+3＝x，∴x＝2，当x＝2时，y＝x＝2，∴点C的坐标（2，2）；（2）
由图象得：0＜kx+b≤2即一次函数y＝kx+b的图象在正比例的函数y＝x的图象的下方，并在x轴的上方，∵一次函数的解析式为y＝﹣
x+3，C点的坐标（2，2），点A（6，0），∴不等式组0＜﹣x+3≤2的解集为2≤x＜6；（3）设P（m，0），∵O（0，0），
C（2，2）．∴OC2＝22+22＝8，PC2＝22+（m﹣2）2＝4+（m﹣2）2，OP2＝m2，要使△COP是等腰三角形，①当
OC＝PC时，∴OC2＝PC2，4+（m﹣2）2＝8，解得m＝0或m＝4，当m＝0时与O点重合（舍去），∴m＝4，∴P（4，0）；
②当OC＝OP时，∴OC2＝OP2，∴m2＝8，∴m＝2或m＝﹣2，∴P（2，0）或（﹣2，0）；③当CP＝OP时，∴PC2＝OP
2，∴4+（m﹣2）2＝m2，解得m＝2，∴P（2，0）．综上所述，存在，P点的坐标为（4，0）或（2，0）或（﹣2，0）或（2，
0）．14．（2022秋?鹿城区校级月考）如图1，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在AB上且，点P，
Q分别从点D，B出发沿线段DB，BC向终点B，C匀速移动，P，Q两点同时出发，同时到达终点．设BQ＝x，AP＝y．（1）求AD的值
．（2）求y关于x的函数表达式．（3）如图2，过点P作PE⊥AC于点E，连结PQ，EQ．①当△PEQ为等腰三角形时，求x的值．②过
D作DF⊥BC于点F，作点F关于EQ的对称点F''，当点F''落在△PQB的内部（不包括边界）时，则x的取值范围为 ．【分析】（1
）求出AB的长，进一步求得结果；（2）先表示出DP的长，进而求得结果；（3）①先表示出PE，PQ和EQ的长，进而根据PE＝PQ，P
E＝EQ，PQ＝EQ列出方程，从而求得结果．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵AD＝AB﹣BD＝5﹣＝；（2）由
题意得，，∴，∴DP＝，∴AP＝AD+DP＝，∴y＝x+；（3）①如图1，作QG⊥AB于G，在Rt△APE中，PE＝AP?sinA
＝AP?＝（+）＝（x+1），AE＝AP?cosA＝AP＝x+1，∴CE＝AC﹣AE＝4﹣（x+1）＝3﹣x，∵CQ＝BC﹣BQ＝
3﹣x，∴EQ＝（3﹣x），在Rt△BQG中，BG＝BQ?cosB＝x，QG＝BQ?sinB＝x，∴PG＝AB﹣AB﹣BG＝5﹣（
x+1）﹣x＝﹣x，∴PQ2＝（）2+（﹣）2，当EQ＝PQ时，[]2＝（）2+（﹣x）2，化简得，11x2﹣10x﹣21，∴x1
＝，x2＝﹣1（舍去），当PE＝PQ时，[（x+1）]2＝（）2+（﹣x）2，化简得，7x2﹣30x+27＝0，∴x3＝，x2＝3
（舍去），当EQ＝PE时，（3﹣x）＝（x+1），∴x＝，综上所述：x＝或或；②∵BF＝BD?cosB＝＝，∴x＜，由（2）得，C
E＝CQ，∵∠C＝90°，∴∠CQE＝∠CEQ＝45°，∴当∠EQP＞∠CQE，且FQ＜PQ时，点F′在△EPQ的内部，此时∠PQ
B＜90°，∴，∴x＞，又，故答案为：．15．（2022秋?临澧县期中）如图，一次函数y＝﹣2x+8的图象经过B（2，a），交y轴
于点A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．（1）求反比例函数表达式；（2）将直线AB向右平移1个单位长度，得到对应直线MN，
求直线MN与反比例函数图象的交点坐标；（3）将线段AB向右平移m个单位长度，得到对应线段CD，连接AC、BD．在线段AB运动过程中
，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求所有满足条件的m的值．【分析】（1）先将点B坐标代入直线AB的解析式中，求出a，
再将点B坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论；（2）先确定平移后的直线MN的解析式，联立直线与反比例函数的解析式，即可得出结论；
（3）先表示出点C，D坐标，再分两种情况：Ⅰ、当BC＝CD时，判断出点B在AC的垂直平分线上，即可得出结论；Ⅱ、当BC＝BD时，先
表示出BC，用BC＝BD建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×
2+8＝a，∴a＝4，∴B（2，4），将B（2，4）代入反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝2×4＝8；∴反比例函数表达
式为：y＝．（2）∵将直线AB向右平移1个单位长度，得到对应直线MN，∴直线MN的解析式为：y＝﹣2（x﹣1）+8＝﹣2x+10，
联立，解得或．∴直线MN与反比例函数图象的交点坐标为：（4，2），（1.8）；（3）如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0
），得到对应线段CD，∴CD＝AB，AC＝BD＝m，∵A（0，8），B（2，4），∴C（m，8），D（m+2，4），若△BCD是以
BC为腰的等腰三角形，需要分以下两种情况：Ⅰ、当BC＝CD时，∴BC＝AB，∴点B在线段AC的垂直平分线上，∴m＝2×2＝4，Ⅱ、
当BC＝BD时，∵B（2，4），C（m，8），∴BC＝，∴＝m，∴m＝5，综上可知，△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m
的值为4或5．16．（2022秋?靖江市校级月考）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°
，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF，GH． （1）填空：∠AHC ＝ ∠ACG；
（填“＞”或“＜”或“＝”）（2）线段AC，AG，AH有什么关系？请说明理由；（3）设AE＝m．①△AGH的面积S有变化吗？如果变
化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值；②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．【分析】（1）由四边形ABCD是边
长为4的正方形得AB＝CB＝AD＝DC＝4，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，所以∠BAC＝∠BCA＝45°，∠DAC＝∠D
CA＝45°，则∠AHC＝∠ACG＝45°﹣∠ACH；（2）先证明∠HAC＝∠CAG，由（1）得∠AHC＝∠ACG，则△AHC∽△
ACG，得，所以AC2＝AG?AH；（3）①因为S△AGH＝AG?AH＝AC2，AC2＝AB2+CB2＝62+62＝72，所以S△
AGH＝36，可知△AGH的面积S为定值，这个定值是36；②分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质以及全等三角形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是边长为6的正方形，∴AB＝CB＝AD＝DC＝6，∠BAD＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，∴∠B
AC＝∠BCA＝45°，∠DAC＝∠DCA＝45°，∴∠AHC＝∠DAC﹣∠ACH＝45°﹣∠ACH，∵∠ECF＝45°，∴∠AC
G＝45°﹣∠ACH，∴∠AHC＝∠ACG，故答案为：＝；（2）AC2＝AG?AH，理由：∵∠HAC＝180°﹣∠DAC＝135°
，∠CAG＝180°﹣∠BAC＝135°，∴∠HAC＝∠CAG，∵∠AHC＝∠ACG，∴△AHC∽△ACG，∴，∴AC2＝AG?A
H；（3）①不变化，∵∠GAH＝∠BAD＝90°，∴S△AGH＝AG?AH＝AC2，∵AC2＝AB2+CB2＝62+62＝72，∴
S△AGH＝×72＝36，∴△AGH的面积S为定值，这个定值是36；②当△CGH是等腰三角形，且CH＝HG时，∴∠HGC＝∠HCG
＝45°，∴∠CHG＝90°，∴∠DCH＝∠AHG＝90°﹣∠DHC，∵∠D＝∠GAH＝90°，∴△DCH≌△AHG（AAS），∴
AH＝DC＝AD＝6，∵AE∥DC，∵△HAE∽△HDC，∴＝＝，∴m＝AE＝DC＝×6＝3；当△CGH是等腰三角形，且CG＝GH
时，∴∠GCH＝∠GHC＝45°，∴∠CGH＝90°，∴∠BCG＝∠AGH＝90°﹣∠BGC，∵∠B＝∠GAH＝90°，∴△BCG
≌△AGH（AAS），∴BC＝AG＝AB＝6，∴AH＝BG＝AG+AB＝6+6＝12，∵AH∥BC，∴△AEH∽△BEC，∴＝＝2
，∴BE＝AE，∴AE+AE＝6，∴m＝AE＝4；当△CGH是等腰三角形，且CG＝CH时，∵∠B＝∠BCD＝90°，BC＝DC，∴
Rt△BCG≌Rt△DCH（HL），∴BG＝DH，∴BG﹣AB＝DH﹣AD，∴AG＝AH，∵AC＝AC，∴△ACG≌△ACH（SS
S），∴∠ACG＝∠ACH＝×45°＝22.5°，∴∠AHC＝∠DAC﹣∠ACH＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠ACH，∴AH
＝AC＝＝＝6，∵△HAE∽△HDC，∴，∴，∴m＝AE＝12﹣6，综上所述，m的值为3或4或12﹣6．17．（2021?铜梁区校
级模拟）抛物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2
）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P是线段BC上的一个动点，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点Q，当点P运动到什么位置时
，四边形CDBQ的面积最大？求出四边形CDBQ的最大面积及此时P点的坐标；（3）如图2，设抛物线的顶点为M，将抛物线沿射线CB方向
以每秒个单位的速度平移t秒，平移后的抛物线的顶点为M′，当△CBM′是等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S＝S△BCD+S△BCQ＝×BD×CO+×PQ×OB，即可求解；（3）抛物线沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移t秒，即
运动了t个单位，由直线BC的表达式知，此时点M向右平移了2t个单位向下平移了t个单位，则点M′（+2t，﹣t），进而求解．【解答】
解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2；（2）对于y＝﹣x2+x+2，令y＝﹣x
2+x+2＝0，解得x＝﹣1或4，故点B的坐标为（4，0），抛物线的对称轴为直线x＝，故点D的坐标为（，0），则BD＝4﹣＝，由点
B、C的坐标得：直线BC的表达式为y＝﹣x+2，设点Q的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点P的坐标为（x，﹣x+2），设四边形CD
BQ的面积为S，则S＝S△BCD+S△BCQ＝×BD×CO+×PQ×OB＝××2+×4×（﹣x2+x+2+x﹣2）＝﹣x2+4x+
，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝2时，四边形CDBQ的面积取得最大值为，此时，点P的坐标为（2，1）；（3）由抛物线的表达式知，
点M的坐标为（，），∵抛物线沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移t秒，即运动了t个单位，由直线BC的表达式知，此时点M向右平移了2
t个单位向下平移了t个单位，则点M′（+2t，﹣t），由点M′、B、C的坐标知，M′B2＝（+2t﹣4）2+（﹣t）2，同理可得，
BC2＝20，CM′2＝（+2t）2+（﹣t﹣2）2，当M′B＝BC时，则（+2t﹣4）2+（﹣t）2＝20，解得t＝（不合题意的
值已舍去）；当M′B＝CM′时，（+2t﹣4）2+（﹣t）2＝（+2t）2+（﹣t﹣2）2，解得t＝0.625；当BC＝CM′时，
20＝（+2t）2+（﹣t﹣2）2，解得t＝（不合题意的值已舍去）；故t＝或0.625或．18．（2022秋?招远市期中）如图，抛
物线y＝﹣x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，4）．（1）
求抛物线的表达式；（2）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的
面积最大？求出此时E点的坐标以及四边形CDBF的最大面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，
直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据抛物线的解析式求得B点的
坐标，然后根据待定系数法求得直线BC的解析式，可设出点E的坐标，则可表示出点F的坐标，进而表示出EF的长度，则可表示出△CBF的面
积，从而可表示出四边形CDBF的面积，利用二次函数的性质，可求得其最大值及此时E点的坐标；（3）可设出P点坐标，从而可表示出PC、
PD、CD的长，由条件可得PC＝CD或PD＝CD或PC＝PD，可得到关于P点坐标的方程，可求得点P的坐标．【解答】解：（1）将点A
（﹣1，0），C（0，4）代入抛物线，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，整理得，
x2﹣6x﹣7＝0，解得x1＝﹣1，x2＝7，∴点B的坐标为（7，0），∵△BCD的面积不变，∴△BCF的面积最大时四边形CDBF
的面积最大，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴y＝﹣x+4，设E（m，﹣m+4），则F（m，﹣m2+m+4），∴EF＝
（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，∴S△BCF＝（﹣m2+4m）×7＝﹣2m2+14m＝﹣2（m﹣）2+，∵﹣2＜0
，∴当m＝时，S△BCF有最大值，此时E（，2），∵S△BCD＝×（7﹣3）×4＝8，∴四边形CDBF的最大面积为，∴点E运动到（
，2）时，四边形CDBF的面积最大，最大面积为；（3）存在点P，使△PCD是等腰三角形，理由如下：由题意可设P点坐标为（3，t），
∵D（3，0），C（0，4），∴CD＝5，PD＝|t|，PC＝，①当PD＝CD时，|t|＝5，解得t＝±5，∴P点坐标为（3，5）
或（3，﹣5）；②当PC＝CD时，则有5＝，解得t＝0（舍）或t＝8，∴P（3，8）；③当PD＝PC时，＝|t|，解得t＝，∴P（
3，）；综上所述：P点坐标为（3，5）或（3，﹣5）或（3，8）或（3，）．19．（2022秋?西湖区校级期中）如图1，我们把一个
半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“蛋圆”，已知A，B，C，D分别为“蛋圆”与坐标轴的交点，y＝x﹣3与“蛋圆”中的抛物线y＝
x2+bx+c交于B，C两点．（1）求“蛋圆”中的抛物线的解析式，并直接写出“蛋圆”被y轴截得的线段BD的长．（2）“蛋圆”上是否
存在点P使△APC是等腰三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，E为直线BC下方“蛋圆”上一
点，连结AE，AB，BE，设AE与BC交于F，△BEF的面积记为S1，△ABF的面积记为S2，求的最小值．【分析】（1）先求出点B
，C坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点A坐标，即可求出半圆的直径，再构造直角三角形求出点D的坐标即可求出BD；（2）
若△APC是等腰三角形，则需要分以下三种情况：①AP＝PC，②AP＝AC，③CA＝CP，结合背景图形求解即可；（3）先判断出要的最
小值，只要CG最大即可，再求出直线EG解析式和抛物线解析式联立成的方程只有一个交点，求出直线EG解析式，即可求出CG，结论得证．【
解答】解：（1）对于直线y＝x﹣3，交 坐标轴BC两点，∴B（0，﹣3），C（4，0），∵抛物线y＝x2+bx+c过B，C两点，∴
，解得：，即y＝x2﹣x﹣3．∴抛物线与x轴交点A（﹣1，0），∴AC＝5，如图2，记半圆的圆心为O''，连接O''D，∴O''A＝O''
D＝O''C＝AC＝，∴OO''＝OC﹣O''C＝4﹣＝，在Rt△O''OD中，OD＝＝＝2，∴D（0，2），∴BD＝2﹣（﹣3）＝5；（
2）存在，理由如下：若△APC是等腰三角形，则需要分以下三种情况：①AP＝PC，此时点P在线段AC的垂直平分线上，∵A（﹣1，0）
，C（4，0），∴点P的横坐标为：，当点P在半圆上时，P（，）；当点P在抛物线上时，y＝×（）2﹣×﹣3＝﹣．∴此时点P的坐标为：
（，）或（（，﹣）；③CA＝CP，此时∠APC＝∠CAP，如图2，∵AC是半圆的直径，∴半圆上除点A，C外任意一点Q，都有∠AQC
＝90°，∴点P只能在抛物线部分上，∵B（0，﹣3），C（4，0），∴BC＝5，∵AC＝5，∴AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC，当
∠APC＝∠CAP时，点P和点B重合，即：P（0，﹣3），③AP＝AC，此时∠ACP＝∠APC＝∠ABC，且点P只能在抛物线上，结
合②，由抛物线的对称性知，另一个点P的坐标为（3，﹣3），综上，符合题意的点P的坐标为：（，）或（（，﹣）或（0，﹣3）或（3，﹣
3）．（3）如图3，∵A（﹣1，0），C（4，0），∴AC＝5，过点E作EG∥BC交x轴于G，∵△ABF的AF边上的高和△BEF的
EF边的高相等，设高为h，∴S△ABF＝AF?h，S△BEF＝EF?h，∴＝，∵的最小值，即最小，∵CF∥GE，∴＝＝，∴当CG最
大时，即最小，的最小值，∴EG和果圆的抛物线部分只有一个交点时，CG最大，∵直线BC的解析式为y＝x﹣3，设直线EG的解析式为y＝
x+m①，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣3②，联立①②化简得，3x2﹣12x﹣12﹣4m＝0，∴Δ＝144+4×3×（12+4m
）＝0，抛物线和直线只有一个交点．解得：m＝﹣6，∴直线EG的解析式为y＝x﹣6，∴直线EG与x轴交点坐标（8，0）．∴CG＝4，
∴＝＝＝；综上，的最小值为．20．（2022秋?和平区校级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4）
，与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．（1）求抛物线的解
析式；（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积最大，若存在，求出点F的坐标和最大值；若不
存在，请说明理由；（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四
边形，求P点的坐标．（4）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P，C，A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件
的P点的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由抛物线y＝ax2+bx+c经过点C（0，4）、A（﹣2，0），且对称轴为x＝1
，列方程组得，解方程组求出a、b、c的值，即得到抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）作FH⊥x轴于点H，交BC于点G，设F（
x，﹣x2+x+4），求得直线BC的解析式为y＝﹣x+4，则G（x，﹣x+4），所以FG＝﹣x2+2x，则S△FBC＝×4（﹣x2
+2x）＝﹣x2+4x，可求得S四边形SABFC＝﹣x2+4x+×6×4＝﹣（x﹣2）2+16，则当x＝2时，S四边形SABFC最
大＝16，此时，F（2，4）；（3）设P（x，﹣x+4），则Q（x，﹣x2+x+4），PQ＝|﹣x2+2x|，由PQ∥DE，且PQ
＝DE，得|﹣x2+2x|＝，解方程求出符合题意的x的值，再求出点P的坐标即可；（4）设P（1，m），则AC2＝20，PA2＝m2
+9，PC2＝m2﹣8m+17，再分三种情况讨论，一是PA＝PC，则m2+9＝m2﹣8m+17；二是PC＝AC，则m2﹣8m+17
＝20；三是PA＝AC，则m2+9＝20，解方程求出相应的m的值，再求出点P的坐标即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx
+c经过点C（0，4）、A（﹣2，0），且对称轴为x＝1，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．（2）存在，如图1，作F
H⊥x轴于点H，交BC于点G，设F（x，﹣x2+x+4），∵点B与点A（﹣2，0）关于直线x＝1对称，∴B（4，0），AB＝4+2
＝6，设直线BC的解析式为y＝kx+4，则4k+4＝0，解得k＝﹣1，∴y＝﹣x+4，∴G（x，﹣x+4），∴FG＝﹣x2+x+4
﹣（﹣x+4）＝﹣x2+2x，∴S△FBC＝OH?FG+BH?FG＝×4（﹣x2+2x）＝﹣x2+4x，∴S四边形SABFC＝S△
FBC+S△ABC＝﹣x2+4x+×6×4＝﹣（x﹣2）2+16，∴当x＝2时，S四边形SABFC最大＝16，F（2，4），∴点F
的坐标是（2，4），四边形ABFC的面积的最大值是16．（3）如图2，设P（x，﹣x+4），则Q（x，﹣x2+x+4），∴PQ＝|
﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）|＝|﹣x2+2x|，抛物线y＝﹣x2+x+4，当x＝1时，y＝，∴D（1，）；直线y＝﹣x+4，当x
＝1时，y＝﹣1+4＝3，∴E（1，3），∴DE＝﹣3＝，∵PQ∥DE，且以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，∴PQ＝DE
，∴|﹣x2+2x|＝，当﹣x2+2x＝时，解得x1＝3，x2＝1（不符合题意，舍去），∴P1（3，1）；当﹣x2+2x＝﹣时，解
得x1＝2+，x2＝2﹣，∴P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+），综上所述，点P的坐标是（3，1）或（2+，2﹣）或（2﹣，2+
）．（4）存在，设P（1，m），∵A（﹣2，0），C（0，4），∴AC2＝22+42＝20，PA2＝m2+（1+2）2＝m2+9，
PC2＝（m﹣4）2+12＝m2﹣8m+17，当PA＝PC时，则m2+9＝m2﹣8m+17，解得m＝1，∴P1（1，1）；当PC＝
AC时，则m2﹣8m+17＝20，解得m1＝4﹣，m2＝4+，∴P2（1，4﹣），P3（1，4+）；当PA＝AC时，则m2+9＝2
0，解得m1＝，m2＝﹣，∴P4（1，），P5（1，﹣），∴综上所述，P点的坐标（1，1）或（1，4﹣）或（1，4+）或（1，）或
（1，﹣）．21．（2022春?沙坪坝区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y
轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）如图1，连接AC，BC，若点M是第二象限内抛物线上一点，过M作MN∥y轴，交A
C于点N，过N作ND∥BC交x轴于点D，求的最大值及此时点M的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，当取最大值时，将抛物线y＝ax
2+bx+2沿射线AC方向平移个单位，得到新抛物线y''，新抛物线与y轴交于点K，P为y轴右侧新抛物线上一点，过P作PQ∥y轴交射线
MK于点Q，连接PK，当△PQK为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．【分析】（1）用待定系数法可得y＝﹣x2﹣x+2，由顶点坐标公
式得顶点坐标为（﹣1，）；（2）延长MN交x轴于R，由y＝﹣x2﹣x+2得C（0，2），OC＝2＝OB，可知∠OBC＝45°，而N
D∥BC，MN∥y轴，故△RDN是等腰直角三角形，NR＝ND，由A（﹣4，0），C（0，2）可得直线AC解析式为y＝x+2，设M（
t，﹣t2﹣t+2），则N（t，t+2），R（t，0），有MN＝﹣t2﹣t，NR＝t+2，可得MN﹣ND＝MN﹣NR＝﹣t2﹣t﹣
2＝﹣（t+3）2+，从而当t＝﹣3时，MN﹣ND取最大值，此时M（﹣3，）；（3）由A（﹣4，0），C（0，2），可得OC：OA
：AC＝1：2：，即知新抛物线y''＝﹣（x﹣5）2+＝﹣x2+x﹣1，K（0，﹣1），直线MK解析式为y＝﹣x﹣1，设P（m，﹣m
2+m﹣1），则Q（m，﹣m﹣1），从而可得PK2＝m2+（﹣m2+m）2，QK2＝m2+（﹣m）2＝m2，PQ2＝（﹣m2+m）
2，分三种情况列方程可解得P的坐标为（17，﹣）或（3，）或（，﹣）或（17﹣，﹣47+6）或（17+，﹣47﹣6）．【解答】解：
（1）把A（﹣4，0）、B（2，0）代入y＝ax2+bx+2得：，解得，∴y＝﹣x2﹣x+2，∵﹣＝﹣1，＝，∴顶点坐标为（﹣1，
）；（2）延长MN交x轴于R，如图：在y＝﹣x2﹣x+2令x＝0得y＝2，∴C（0，2），OC＝2＝OB，∴△BOC是等腰直角三角
形，∴∠OBC＝45°，∵ND∥BC，∴∠RDN＝45°，∵MN∥y轴，∴△RDN是等腰直角三角形，∴NR＝ND，由A（﹣4，0）
，C（0，2）可得直线AC解析式为y＝x+2，设M（t，﹣t2﹣t+2），则N（t，t+2），R（t，0），∴MN＝﹣t2﹣t+2
﹣（t+2）＝﹣t2﹣t，NR＝t+2，∴MN﹣ND＝MN﹣NR＝﹣t2﹣t﹣（t+2）＝﹣t2﹣t﹣2＝﹣（t+3）2+，∵﹣＜
0，∴当t＝﹣3时，MN﹣ND取最大值，此时M（﹣3，）；（3）∵A（﹣4，0），C（0，2），∴AC＝2，∴OC：OA：AC＝1
：2：，将抛物线y＝﹣x2﹣x+2沿射线AC方向平移个单位，相当于把抛物线向右移6个单位，再向上移3个单位，∴新抛物线y''＝﹣（x
﹣5）2+＝﹣x2+x﹣1，∵新抛物线与y轴交于点K，∴K（0，﹣1），∵M（﹣3，），∴直线MK解析式为y＝﹣x﹣1，设P（m，
﹣m2+m﹣1），则Q（m，﹣m﹣1），∴PK2＝m2+（﹣m2+m）2，QK2＝m2+（﹣m）2＝m2，PQ2＝（﹣m2+m）2
，当PK＝QK时，m2+（﹣m2+m）2＝m2，解得m＝0（与K重合，舍去）或m＝17或m＝3，∴P（17，﹣）或（3，）；当PK
＝PQ时，m2+（﹣m2+m）2＝（﹣m2+m）2，解得m＝0（舍去）或m＝，∴P（，﹣），当QK＝PQ时，m2＝（﹣m2+m）2
，解得m＝0（舍去）或m＝17﹣或m＝17+，∴P（17﹣，﹣47+6）或（17+，﹣47﹣6），综上所述，P的坐标为（17，﹣）
或（3，）或（，﹣）或（17﹣，﹣47+6）或（17+，﹣47﹣6）．22．（2022秋?海曙区期中）如图，设抛物线y＝x2﹣2x
﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．点P为该抛物线第四象限上的一点，过P作PH⊥x轴交BC于点Q．（1）求直线BC的解析式；
（2）求线段PQ的最大值；（3）当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（4）当△CPQ为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．【分析】（
1）由题意先求出B（3，0），C（0，﹣3），两点的坐标，代入y＝kx+b中即可求得y＝x﹣3；（2）设P（x，x2﹣2x﹣3），
PQ两点横坐标相同，则两点距离即为纵坐标差值的绝对值，PQ＝yQ﹣yP＝﹣（x﹣）2+，有顶点式即可求出最大值．（3）S△PBC＝
×PQ×OB＝PQ，当x＝，面积最大，此时P（，）．（4）分三种情况进行讨论，CP＝PQ；PC＝CQ；CQ＝PQ三种情况，分别求解
即可．【解答】解：（1）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝3或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；
（2）设P（x，x2﹣2x﹣3），则PQ＝yQ﹣yP＝（x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣）2+，∴PQ的最大值
为；（3）∵S△PBC＝×PQ×OB＝PQ，由（2）知，当x＝时，此时P（，﹣）；（4）∵OB＝OC，且∠BOC＝90°，∴△BO
C是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，∵PH⊥x轴，∴∠HQB＝45°，∴∠CQP＝45°．设P（x，y）．当CP＝PQ时，得∠
QCP＝∠CQP＝45°，∴∠CPQ＝90°，∴CP∥x轴，QP∥y轴，∵点C（0，﹣3），∴令y＝﹣3，则x2﹣2x﹣3＝﹣3，
解得x＝0或2，∴P（2，﹣3）；当PC＝CQ时，∠PCQ＝90°，有PQ＝2x＝﹣x2+3x，解得x＝1或0（舍），∴P（1，﹣
4）；当CQ＝PQ时，CQ＝x＝﹣x2+3x，解得x＝3﹣或0（舍），∴P（3﹣，2﹣4），∴△CPQ为等腰三角形时，点P（2，﹣
3）或（1，﹣4）或（3﹣，2﹣4）．23．（2022秋?龙江县校级月考）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，
抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点M是
抛物线对称轴上一点，当MB+MC的值最小时，点M的坐标是 （﹣1，） ；（3）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，
求三角形ACD面积S的最大值及此时D点的坐标；（4）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角
形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，得﹣＝﹣1，
即b＝2a；由直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，得A（﹣3，0），C（0，4），因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A
（﹣3，0），C（0，4），于是可列方程组，解方程组求出a、b、c的值，即可得到抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；（2）设直线x
＝﹣1交AC于点E，连接AM、BE，则E（﹣1，），可根据直线x＝﹣1垂直平分AB及两点之间线段最短证明当点M与点E重合时，MB+
MC的值最小，则点M的坐标是（﹣1，）；（3）作DG⊥x轴于点G，交AC于点F，则D（m，﹣m2﹣m+4），F（m，m+4），所以
DF＝﹣m2﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，则S＝×3（﹣m2﹣4m）＝﹣2（m+）2+，于是求得三角形ACD面积S的最大值是
，此时D点的坐标是（﹣，5）；（4）先求得B（1，0），则BC2＝12+42＝17，设点P的坐标为（﹣1，r），分五种情况讨论，一
是直线x＝﹣1与x轴交于点P，则PC＝BC，此时△PBC是等腰三角形，P（﹣1，0）；二是延长BC交直线x＝﹣1于点P′，此时CP
′＝CP＝CB，但B、C、P′三点在同一条直线上，所以不存在以B、C、P′三点为顶点的等腰三角形；三是BP1＝BC，且点P1在x轴的上方，由BP12＝BC2，列方程得（1+1）2+r2＝17，可求得P1（﹣1，）；四是BP2＝BC，且点P2在x轴的下方，设直线x＝﹣1交x轴于点H，则P2H＝P1H＝，所以P2（﹣1，﹣）；五是P3B＝P3C，则P3B2＝P3C2，列方程得（1+1）2+r2＝12+（4﹣r）2，可求得P3（﹣1，）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a；直线y＝x+4，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，则x+4＝0，解得x＝﹣3，∴A（﹣3，0），C（0，4），∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4．（2）如图1，设直线x＝﹣1交AC于点E，连接AM、BE，直线y＝x+4，当x＝﹣1时，y＝×（﹣1）+4＝，∴E（﹣1，），∵直线x＝﹣1垂直平分AB，∴MB＝MA，EB＝EA，∴MB+MC＝MA+MC，EB+EC＝EA+EC＝AC，∵MA+MC≥AC，∴当点M与点E重合时，MA+MC＝AC，此时MA+MC的值最小，∴MB+MC＝MA+MC＝EB+EC＝AC，此时MB+MC的值最小，∴当MB+MC的值最小时，点M的坐标是（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．（3）如图2，作DG⊥x轴于点G，交AC于点F，∵点D的横坐标为m，∴D（m，﹣m2﹣m+4），F（m，m+4），∴DF＝﹣m2﹣m+4﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，∵S△ACD＝AG?DF+OG?DF＝OA?DF＝×3（﹣m2﹣4m）＝﹣2m2﹣6m，∴S＝﹣2m2﹣6m＝﹣2（m+）2+，∴当m＝﹣时，S最大＝，此时D（﹣，5），∴三角形ACD面积S的最大值是，此时D点的坐标是（﹣，5）．（4）存在，设点B的坐标为n，则（﹣3+n）＝﹣1，解得n＝1，∴B（1，0），∴BC2＝12+42＝17，设点P的坐标为（﹣1，r），如图3，设直线x＝﹣1与x轴交于点P，∴点P与点B关于y轴对称，∴PC＝BC，此题△PBC是等腰三角形，P（﹣1，0）；延长BC交直线x＝﹣1于点P′，∵∠P′PB＝90°，∴∠CP′P+∠CBP＝90°，∠CPP′+∠CPB＝90°，∵∠CBP＝∠CPB，∴∠CP′P＝∠CPP′，∴CP′＝CP＝CB，∵B、C、P′三点在同一条直线上，∴不存在以B、C、P′三点为顶点的等腰三角形；如图4，BP1＝BC，且点P1在x轴的上方，∵BP12＝BC2，∴（1+1）2+r2＝17，解得r1＝，r2＝﹣；∴P1（﹣1，）；如图4，BP2＝BC，且点P2在x轴的下方，设直线x＝﹣1交x轴于点H，∵BH⊥P1P2，∴P2H＝P1H＝，∴P2（﹣1，﹣）；如图4，P3B＝P3C，∵P3B2＝P3C2，∴（1+1）2+r2＝12+（4﹣r）2，∴解得r＝，∴P3（﹣1，），∴综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，）． 24．（2022秋?克东县校级月考）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B（﹣3，0），C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为A．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y＝mx+n经过B，C两点，则m＝ 1 ；n＝ 3 ；（3）在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，直接写出点E的坐标；（4）设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）把点B（﹣3，0），C（0，3）两点的坐标分别代入抛物线解析式求出b和c的值即可；（2）利用待定系数法可得m和n的值；（3）如图1，由（2）知直线BC的解析式为y＝x+3，再确定抛物线的对称轴方程，设直线BC与直线x＝﹣1相交于点E，根据轴对称的最短路径可知：此时AE+CE的值最小，从而得到此时点E的坐标；（4）存在，分情况讨论：以BC为腰和底边，分别画图，进而即可求得点P的坐标．【解答】解：（1）把点B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝﹣x2﹣2x+3；（2）把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n中得：，解得：；故答案为：1，3；（3）如图1，由（2）知：直线BC的解析式为y＝x+3，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，直线BC与直线x＝﹣1相交于点E，则EB＝EA，此时AE+CE最小，此时点E的坐标为（﹣1，2）；（4）∵B（﹣3，0），C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴BC＝3，分三种情况：①BC＝BP，如图2，此时点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）；②当P与O重合时，△BPC也是等腰三角形，此时P（0，0）；③BC＝CP，如图3，此时点P的坐标为（3，0）；综上所述，点P的坐标为（﹣3﹣3，0）或（3﹣3，0）或（0，0）或（3，0）． |
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