备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练(全国通用版)专题14 反比例函数与几何图形的综合问题 【典型例题】1．(2022·内
蒙古包头·九年级期末)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OC在x轴的正半轴上，边OA在y轴的正半轴上，O
A＝3，AB＝4，反比例函数(k＞0)的图象与矩形两边AB，BC分别交于点D，点E，且BD＝2AD．(1)求点D的坐标和k的值；(
2)连接OD，OE，DE，求△DOE的面积；(3)若点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE＝90°？若存在，求出此时
点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)12(3)存在，点P的坐标为或【解析】【分析】(1)由矩形OABC中，AB
=4，BD=2AD，可得3AD=4，即可求得AD的长，然后求得点D的坐标，即可求得k的值；(2)三角形面积定义矩形面积减去周围三个
三角形面积；(3)首先假设存在要求的点P坐标为(m，0)，OP=m，CP=4-m，由∠APE=90°，易证得△AOP∽△PCE，然
后由相似三角形的对应边成比例，求得m的值，继而求得此时点P的坐标．(1)解：∵，，∴，∴．又∵，∴．∵点D在双曲线上，∴．(2)如
答案图2∵，，∴．∵，∴反比例函数解析式为．∵矩形ABCD中，，，又∵点E在反比例函数的图象上，∴．∴，∴，∴．∵，．∴，∴，∵，
∴．(3)答：存在．假设存在要求的点P坐标为，∴，．∵，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∵．∴，解得：或．∴存在要求的点P，点P的坐标
为或．【点睛】本题考查了待定系数求反比例函数解析式、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质．解题的关键是注意求得点D的坐标与证得△A
OP∽△PCE．【专题训练】选择题1．(2022·河南开封·九年级期末)下列关于反比例函数的结论中正确的是(?)A．图象过点(1，
3)B．图象在一、三象限内C．当时，y随x的增大而增大D．当时【答案】C【解析】【分析】利用反比例函数的性质解答．【详解】∵k=-
3＜0，∴函数图象位于第二、四象限，故B选项错误；∵1×3=3≠-3，∴函数图象不经过点(1，3)，故A选项错误；∵根据反比例函数
的性质在函数图象的每一个象限内，y随x的增大而增大，∴当时，y随x的增大而增大，故C选项正确；当时，但是当时，故D选项错误；故选：
C．【点睛】此题主要考查当k＜0时的反比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键．2．(2021·广东禅城·二模)如图，A、B分别为
反比例函数(x＜0)，y＝(x＞0)图象上的点，且OA⊥OB，则tan∠ABO的值为( )A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析
】如图，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，根据A、B在函数图象上可求出S△AOC＝4，S△BDO＝9，根据相似三角形的判
定得出△BDO∽△OCA，根据相似三角形的性质得出，，求出的值，根据即可求出角的正切值．【详解】解：如图，过A作AC⊥x轴于C，过
B作BD⊥x轴于D则∠BDO＝∠ACO＝90°∵A、B分别为反比例函数(x＜0)，(x＞0)图象上的点∴S△AOC＝4，S△BDO
＝9∵∠AOB＝90°∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°∴∠DBO＝∠AOC∴△BDO∽△OCA∴∴∴故选：A．【点
睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，反比例函数，正切．解题的关键在于对知识的灵活运用．3．(2022·江西萍乡·九年级期末)如图
，反比例函数的图象经过A，B两点，过点A作轴，垂足为C．过点B作轴，垂足为D．连接AO，连接BO交AC于点E．若，四边形BDCE面
积为2，则k的值为(?)A．B．C．－5D．【答案】D【解析】【分析】先设点B坐标为，证出，利用相似的性质求得梯形BDCE的上下底
边长与高，再根据四边形BDCE的面积求得的值，最后计算k的值．【详解】解：设点B坐标为，则，∵∴∴∵轴，轴∴∵∴∴∴∵四边形BDC
E的面积为2∴即：∴将代入反比例函数，得故选：D．【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解决问题的关键是运用数形结合的
思想方法进行求解．4．(2022·山东泰山·九年级期末)函数与()在同一直角坐标系中的大致图象可能是(?)A．B．C．D．【答案】
A【解析】【分析】根据两个函数的图象得到a的符号，即可判断A；根据二次函数得到a的符号，即可判断B、C、D，由此得到答案．【详解】
解：A、由函数图象得a<0，函数的图象得a<0，故该项正确；B、函数的图象开口向上得a>0，与y轴交于负半轴得a<0，故该项不正确
；C、函数的图象开口向下得a<0，与y轴交于正半轴得a>0，故该项不正确；D、函数的图象开口向上得a>0，与y轴交于负半轴得a<0
，故该项不正确；故选：A．【点睛】此题考查了依据反比例函数与二次函数函数的图象所经过的象限确定系数的符号，正确掌握各函数的图象与字
母系数的关系是解题的关键．二、填空题5．(2022·湖北老河口·九年级期末)如图是反比例函数在第二象限内的图象，若图中的矩形 OA
BC的面积为4，则k等于_____．【答案】－4【解析】【分析】根据反比例函数k值的几何意义代入计算即可.【详解】解：因为反比例函
数y＝，且矩形OABC的面积为4，所以|k|＝4，即k＝±4，又反比例函数的图象y＝在第二象限内，k＜0，所以k＝．故答案为：【点
睛】本题考查反比例函数k值的几何意义，关键在于熟记性质，判断符号.6．(2022·陕西雁塔·九年级期末)如图，菱形OABC的边OA
在x轴正半轴上，顶点B、C分别在反比例函数y＝与y＝的图象上，若四边形OABC的面积为4，则k＝_____．【答案】【解析】【分析
】连接，设直线与轴交于点，根据菱形的性质可得的面积为，结合反比例函数的几何意义可得和的面积，利用建立方程，求解即可．【详解】解：如
图，连接，设直线与轴交于点，四边形是菱形，且面积为，， 轴，轴，，分别在反比例函数与的图象上，，，解得，(正值舍去)．故答案为：．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形
的面积是，且保持不变．也考查了三角形的面积．7．(2022·湖北江陵·九年级期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD
的顶点A(0，)和C(2，0)，顶点B在x轴上，顶点D在反比例函数的图象上，向右平移菱形ABCD，对应得到菱形，当这个反比例函数图
象经过的中点E时，点E的坐标是________．【答案】【解析】【分析】连接AC，由题意易得出OA和OC的长，再根据及特殊角的三角
函数值，可确定，即可证明和都是等边三角形，还可求出AC的长，即得出，从而得出D点坐标为(4，)．将D点坐标代入反比例函数解析式，即
可求出k的值．设菱形ABCD向右平移a的单位后，反比例函数图象经过的中点E．由此即可用a表示出和的坐标，再由中点坐标公式即可表示出
E点坐标，将E点坐标代入反比例函数解析式，即可求出a，即得出E点坐标．【详解】如图，连接AC，∵A(2，)、C(2，0)，∴，，∵
， ∴．∴．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，和全等，∴和都是等边三角形，∴，∴D点坐标为(4，)．∵D点在反比例函数的图象上
，∴，解得：，∴反比例函数的解析式为．设菱形ABCD向右平移a的单位后，反比例函数图象经过的中点E，∴此时的坐标为C(2+a，0)
，的坐标为(4+a，)，∴此时E点的坐标为，即E，∴，解得：，∴E点的坐标为，即E．故答案为：．【点睛】本题考查菱形的性质，解直角
三角形，等边三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平移的性质以及中点坐标公式，综合性强，较难．作出辅助线并利用数形结合
的思想是解答本题的关键．8．(2022·江苏崇川·九年级期末)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数(x＞0)的图象交矩形OABC的
边AB于点M(1，2)，交边BC于点N，若点B关于直线MN的对称点B′恰好在x轴上，则OC的长为_____．【答案】##【解析】【
分析】过点M作MQ⊥OC，垂足为Q，连接MB′，NB′，由于四边形OABC是矩形，且点B和点B′关于直线MN对称．且点B′正好落在
边OC上，可得△MB′Q∽△B′NC，然后M、N两点的坐标用含a的代数式表示出来，再由相似三角形对应边成比例求出B′C和QB′的长
，然后利用勾股定理求出MB′的长，进而求出OC的长．【详解】解：过点M作MQ⊥OC，垂足为Q，连接MB′，NB′，如图所示：∵反比
例函数(x＞0)的图象过点M(1，2)，∴k＝1×2＝2，∴y＝，设N( a，)，则B(a，2)，又∵点B和点B′关于直线MN对称
，∴MB＝MB′，∠B＝∠MB′N＝90°，∵∠MQB′＝∠B′CN＝90°，∠MB′Q+∠NB′C＝90°又∵∠NB′C+∠B′
NC＝90°，∴∠MB′Q＝∠B′NC，∴△MB′Q∽△B′NC，∴，即 ＝＝，解得：B′C＝，QB′＝1，，∴，∵OQ＝1，∴a
﹣1＝，∴OC＝a＝．故答案为：．【点睛】本题属于反比例函数与几何综合题，涉及待定系数法求函数表达式，勾股定理，相似三角形的性质与
判定等知识，作出辅助线构造相似是解题关键．三、解答题9．(2022·陕西金台·九年级期末)如图，的顶点是双曲线与直线第二象限的交点
．轴于，且．(1)求这两个函数的解析式；(2)求直线与双曲线的两个交点、的坐标．【答案】(1)，(2)，【解析】【分析】(1)根据
求得的值，根据函数图象在第二、四象限，可得，即可求得这两个函数的解析式；(2)联立两函数解析式成方程组，解一元二次方程求得点的坐标
即可．(1)∵轴于，且，∴，解得：．∵反比例函数图象在第二、四象限，∴，∴，∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为．(2)联立
两函数解析式成方程组，，解得：，，∴点的坐标为，点的坐标为．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数的几何意义
、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：(1)根据反比例函数的几何意义结合反比例函数图象所在象限，求出值；(2
)联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出点、的坐标；10．(2022·重庆一中九年级开学考试)如图，一次函数()的图象与反比例
函数的图象相交于A、B两点，以AB为边，在直线AB的左侧作菱形ABCD，边轴于点E，若点A坐标为，BE＝8，．(1)求反比例函数和
一次函数的解析式；(2)求点D的坐标；【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)先求解的坐标为 再求解反比例函数的解析式为，再求解
的坐标，再列方程组求解一次函数的解析式即可；(2)先利用勾股定理求解的长度，再利用菱形的性质可得 从而可得答案.(1)解： BE＝
8，，边轴， 所以反比例函数为： 解得： 所以一次函数的解析式为：(2)解： 四边形为菱形， 而边轴， 【点睛】本题
主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，解决此类题目的关键是能熟练运用待定系数法求函数解析式及已知函数解析式求出点的坐标．11．(
2022·广东封开·九年级期末)如图，在矩形OABC中，AB＝4，BC＝8，点D是边AB的中点，反比例函数(x＞0)的图象经过点D
，交BC边于点E．(1)求反比例函数(x＞0)的解析式和E点坐标；(2)连结DE，在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时
P的坐标．【答案】(1)反比例函数的解析式为(x＞0)，E(4，4)．(2)点P的坐标为(0，)．【解析】【分析】(1)根据线段中
点的定义和矩形的性质得到D(2，8)，利用待定系数法求函数的解析式；(2)作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接P
D，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为，于是得到结论．(1)∵点D是边AB的中点，AB=4，∴AD=2，∵四边形O
ABC是矩形，BC=8，∴D(2，8)，∵反比例函数(x＞0)的图象经过点D，∴k=2×8=16，∴反比例函数的解析式为(x＞0)
，当x=4时，y=4，∴E(4，4)．(2)如图，作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长
最小，∵点D的坐标为(2，8)，∴点D′的坐标为(-2，8)，设直线D′E的解析式为y=ax+b，∴，解得：，∴直线D′E的解析式
为，令x=0，得y=，∴点P的坐标为(0，)．【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，轴对称
-最短路线问题，正确的理解题意是解题的关键．12．(2021·广东·可园中学二模)如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形O
ABC的顶点A的坐标为(3，4)．(1)求过点B的反比例函数的解析式；(2)连接OB，过点B作BD⊥OB交x轴于点D，求直线BD的
解析式．【答案】(1)(2)y＝﹣2x+20【解析】【分析】(1)由A的坐标求出菱形的边长，利用菱形的性质确定出B的坐标，利用待定
系数法求出反比例函数解析式即可；(2)证明△OBF∽△BDF，利用相似三角形的性质得出点D的坐标，利用待定系数法求出直线BD解析式
即可．(1)(1)过点A作AE⊥x轴，过B作BF⊥x轴，垂足分别为E，F，如图，∵A(3，4)，∴OE＝3，AE＝4，∴AO==5
，∵四边形OABC是菱形，∴AO＝AB＝OC＝5，AB∥x轴，∴EF＝AB＝5，∴OF＝OE+EF＝3+5＝8，∴B(8，4)，∵
过B点的反比例函数解析式为，把B点坐标代入得k＝32，∴反比例函数解析式为；(2)∵OB⊥BD，∴∠OBD＝90°，∴∠OBF+∠
DBF＝90°，∵∠DBF+∠BDF＝90°，∴∠OBF＝∠BDF，又∵∠OFB＝∠BFD＝90°，∴△OBF∽△BDF，∴，∴，
解得DF＝2，∴OD＝OF+DF＝8+2＝10，∴D(10，0)．设BD所在直线解析式为y＝x+b，把B(8，4)，D(10，0)
分别代入得：，解得．∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+20．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的相似，待定系数法求一次函
数、反比例函数的解析式，熟练掌握菱形的性质，灵活运用待定系数法，相似是解题的关键．13．(2021·湖北鹤峰·模拟预测)如图，在平
面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上的一动点，以为边向外作矩形，对角线BD∥x轴，反比例函数图象经过矩形对角线交点．(1)如图1，若
点、坐标分别是，，求的长；(2)如图2，保持点坐标不变，点向右移移动，当点刚好在反比函数图象上时，求点坐标及的值．【答案】(1)；
(2)坐标为，，【解析】【分析】(1)通过证得，得到，根据平行于轴的直线上任意两点纵坐标相同，则，，从而求得；(2)设、坐标分别为
，，则点坐标可表示为，过点作轴于点．同(1)易得，根据相似三角形的性质得到，由点、均在函数图象上，则有：，可得，即可得到，进而求得
，，得到，点坐标为，．(1)过点作轴于点，由点、坐标分别为、可得，，，四边形为矩形，，，，，，，，，又轴，，，；(2)四边形为矩形
，点为中点，由，，，设、坐标分别为，，则点坐标可表示为，过点作轴于点．同理，，，，由点、均在函数图象上，则有：，可得，，由，故，，
，点坐标为，．【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形相似的判断和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理等知识，表
示出点坐标是解题的关键14．(2022·广东·重庆巴蜀中学九年级开学考试)如图是反比例函数y与反比例函数y在第一象限中的图象，点P
是y图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交函数y图象于点C，PB⊥y轴于点B，交函数y图象于点D，点D的横坐标为a．(1)求四边形OD
PC的面积；(2)连接DC并延长交x轴于点E，连接DA、PE，求证：四边形DAEP是平行四边形．【答案】(1)四边形ODPC的面积
为2；(2)证明见解析．【解析】【分析】(1)根据题意，先求出点D的纵坐标得到点P的纵坐标，代入解析式即可得到点P的横坐标；利用矩
形的面积计算公式及反比例函数k值的几何意义，利用，求解即可得；(2)根据题意可得点C的坐标为(2a，)，得出，结合图象可得，利用平
行线的性质及全等三角形的判定可得，根据全等三角形的性质得出，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．(1)解：∵点D的横
坐标为a，且点D在函数图象上，∴点D的纵坐标，又PB⊥y轴，且点P在图象上，∴点P的纵坐标，∴点P的横坐标为，∴P(2a，)；∵，
，∴，∴四边形ODPC的面积为2；(2)证明：∵PA⊥x轴于点A，交函数图象于点C，∴点C的坐标为(2a，)，又∵P(2a，)，∴
，∵轴，∴，∴，，在与中，，∴，∴，∴四边形DAEP是平行四边形．【点睛】此题考查反比例函数的性质、反比例函数图象与几何图形、坐标
与图形、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定定理等知识，熟练掌握反比例函数的性质及计算方法是解题的关键．15．(
2021·广东·二模)如图1，点P是反比例函数y＝(k＞0)在第一象限的点，PA⊥y轴于点A，PB⊥x轴于点B，反比例函数y＝的图
象分别交线段AP、BP于C、D，连接CD，点G是线段CD上一点．(1)若点P(6，3)，求△PCD的面积；(2)在(1)的条件下，
当PG平分∠CPD时，求点G的坐标；(3)如图2，若点G是OP与CD的交点，点M是线段OP上的点，连接MC、MD．当∠CMD＝90
°时，求证：MG＝CD．【答案】(1)4(2)G(，)(3)见解析【解析】【分析】(1)先求出点C，点D坐标，可得PC＝4，PD＝
2，即可求解；(2)过点G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，由角平分线的性质可证GM＝GN，由面积法可求GM＝GN＝，即可求解；(
3)先求出直线OP，直线CD的解析式，可得点G坐标，可证点G是CD的中点，由直角三角形的性质即可证明．(1)解：∵点P(6，3)，
PA⊥y轴于点A，PB⊥x轴于点B，∠AOB＝90°，∴点A(0，3)，点B(6，0)，四边形AOBP是矩形，∴点C纵坐标为3，点
D的横坐标为6，∠APB＝90°，∵点C，点D在反比例函数y＝的图象上，∴点C(2，3)，点D(6，1)，∴CP＝4，PD＝2，∴
△PCD的面积＝×PC×PD＝×4×2＝4．(2)解：如图1，过点G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，∵PG平分∠CPD，GM⊥P
B，GN⊥AP，∴GM＝GN，∵S△PCD＝×CP×GN+PD×GM，∴8＝4GN+2GN，∴GN＝＝GM，∴点G(，)．(3)证
明：设点P(a，)，则点C(，)，点D(a，)，∵点O(0，0)，点P(a，)，∴直线OP解析式为y＝x，∵点C(，)，点D(a，
)，∴直线CD解析式为y＝﹣x+，∵点G是直线OP与直线CD的交点，∴x＝﹣x+，∴x＝，∴点G(，)，∵点C(，)，点D(a，)
，∴线段CD的中点为(，)，∴点G是CD的中点，又∵∠CMD＝90°，∴MG＝CD．【点睛】本题属于反比例函数与几何的综合题，主要
涉及反比例函数的性质、矩形的性质以及运用待定系数法求一次函数解析式等知识点，正确作出辅助线成为解答本题的关键．16．(2021·山
东历下·九年级期中)已知，矩形OCBA在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标
为(4，2)，反比例函数的图象经过AB的中点D，且与BC交于点E，设直线DE的解析式为y＝mx+n，连接OD，OE．(1)求反比例
函数的表达式和点E的坐标；(2)直接写出不等式＞mx+n的解集；(3)点M为y轴正半轴上一点，若△MBO的面积等于△ODE的面积，
求点M的坐标；(4)点P为x轴上一点，点Q为反比例函数图象上一点，是否存在点P、Q使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形
？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，点E的坐标(4，1)(2)0＜x＜2或x＞4(3)M(0，)(
4)存在，点Q的坐标(﹣4，﹣1)或(，3)【解析】【分析】(1)由矩形的性质可得AB＝4，BC＝2，然后得AB的中点的坐标，再代
入反比例函数解析式，可求出k，然后再求E的坐标；(2)由图象可知0＜x＜2和x＞4时，反比例函数 的图象在y＝mx+n上方，由此可
得答案；(3)根据点的坐标的特点得△ODE的面积，设M(0，m)，由△MBO的面积＝|m|×4＝3，可得答案；(4)令x＝4，则y
＝1，得E(4，1)，D(2，2)以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：当PE是平行四边形的边时，当DE是平
行四边形的对角线时，可得问题的答案．(1)(1)∵四边形OABC为矩形，点B(4，2)，∴AB＝4，BC＝2，∵AB的中点D，∴D(2，2)，∵反比例函数y＝的图象经过AB的中点D，∴2＝，∴k＝4，∴反比例函数的解析式为：y＝；当x＝4时，y＝＝1，∴点E的坐标(4，1)；(2)∵y＝与y＝mx+n交于点D、E两点，且0＜x＜2和x＞4时，反比例函数y＝的图象在y＝mx+n上方，即解集为0＜x＜2或x＞4；(3)存在，∵D(2，2)，E(4，1)，∴△ODE的面积为2×4﹣×2×2﹣×2×1﹣×4×1＝3，设M(0，m)，由△MBO的面积＝|m|×4＝3，∴m＝±，∴M(0，)，(0，﹣)(舍去)；(4)存在，令x＝4，则y＝1，∴E(4，1)，∵D(2，2)以P、Q、D、E为顶点的四边形为平行四边形，当PE是平行四边形的边时，则PQ∥DE，且PQ＝DE，∴P的纵坐标为0，∴Q的纵坐标为±1，令y＝1，则1＝，∴x＝4(舍去)，令y＝﹣1，则﹣1＝，∴x＝﹣4，∴Q(﹣4，﹣1)，当DE是平行四边形的对角线时，∵D(2，2)，E(4，1)，∴DE的中点为(3，)，设Q(a， )，P(x，0)，∴÷2＝，∴，∴Q(，3)，∴使得以点P，Q，D，E为顶点的四边形为平行四边形的点Q的坐标(﹣4，﹣1)或(，3)．【点睛】本题主要考查反比例函数与四边形的综合，掌握反比例函数的图形和性质是以及平行四边形的性质是解题的关键，注意数形结合思想． |
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