备战2022年中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练(全国通用版)专题16 二次函数的实际问题中最值问题 【典型例题】1．(2022·浙江
东阳·九年级期末)工厂加工某花茶的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场
占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，调查发现：批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．(1)求工厂每天的利润W元与
降价x元之间的函数关系．(2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？(3)若工厂每天的利润要达到9750元，并尽可能让
利于民，则定价应为多少元？【答案】(1)工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为：．(2)当降价4元时，工厂每天的利润最大，最
大为9800元．(3)为了尽可能让利于民，则应该降价5元．【解析】【分析】(1)由题意知，，整理即可；(2)由的图象与性质可知当时
，值最大，计算求解即可；(3)令，则，计算求解满足要求的解即可．(1)解：由题意知∴工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为．
(2)解：由的图象和性质，可知当时，值最大，值为9800∴当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9800元．(3)解：令则解得或
∵时，每天销售650千克，时，每天销售750千克∴为了尽可能让利于民，则应该降价5元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的
最值，解一元二次方程．解题的关键在于依据题意列等式．【专题训练】解答题1．(2021·广东南雄·九年级期中)某商场服装部销售一种名
牌衬衫，平均每天可售出60件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价1元时，平均每天可多卖出2
件．试说明每件衬衫降价多少元时，商场服装部每天盈利最多？最大盈利为多少元？【答案】商场每件衬衫降价5元时，商场服装部每天盈利最多，
最大盈利为2450元．【解析】【分析】假设商场每件衬衫降价x元，利润为w元；根据题意，找出等量关系：商场降价后每天的盈利＝(40-
降低的价格) (60+增加的件数)；利用等量关系把相关数值代入，即可得到二次函数解析式；最后利用二次函数最值求法得出即可．【详解】
解：设商场每件衬衫降价x元，利润为w元，w＝(40﹣x)(60+2x)＝﹣2x2+20x+2400＝﹣2(x﹣5)2+2450，∴
当x＝5时，w取得最大值，此时w＝2450答：商场每件衬衫降价5元时，商场服装部每天盈利最多，最大盈利为2450元．【点睛】本题属
于二次函数的应用中的销售问题，主要考查了二次函数的应用、二次函数的最值求法，找到销售利润的等量关系是解题的关键，难点是得到降价后增
加的销售量．2．(2021·山东·济宁学院附属中学一模)为了迎接六一儿童节的到来，某玩具店拟用8000元进购种玩具，用5000元进
购种玩具．已知一个种玩具进价比一个种玩具进价多5元，又知进购玩具的数量是玩具数量的2倍．(1)，两种玩具的进价各是多少元？(2)玩
具店将种玩具定价为40元，并进行了市场调查，发现若按定价销售，每天能售出30件，每降价2元，每天能多售出10件，要使玩具店销售种玩
具的单日利润最高，玩具应该降价多少元销售？单日最高利润是多少元？【答案】(1)A的进价是20元，B的进价是25元(2)降价7元，最
高利润是845元【解析】【分析】(1)设B的进价为x元，则A的进价是(x?5)元，由题意得列出分式方程，解方程即可解得答案；(2)
设A玩具降价m元，单日利润是w元，可得w关于m的二次函数，据此即可得到答案．(1)解：设B的进价为x元，则A的进价是(x?5)元，
根据题意得：，解得，经检验是原方程的解，25-5=20(元)，故A的进价是20元，B的进价是25元；(2)解：设A玩具降价m元，单
日利润是w元，根据题意得：，故当时，单日利润最高，最高利润为845元，故玩具应该降价7元销售，单日最高利润是845元．【点睛】本题
考查了分式方程及二次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系及用含m的代数式表示w．3．(2022·山东招远·
九年级期末)新年前夕，金百超市在销售中发现：某服装平均每天可售出30套，每件盈利45元．为了迎接新年，商场决定采取适当的降价措施，
扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每套降价1元，那么平均每天就可多售出2套．(1)要想平均每天在销售服装上盈
利1750元，那么每套应降价多少元？(2)商场要想每天获取最大利润，每套应降价多少元？【答案】(1)应降价20元(2)每套应降价1
5元【解析】【分析】(1)设每件衬衫应降价元，利用每件利润×总销量=总利润，列方程求解即可；(2)利用每件利润×总销量=总利润，进
而求出二次函数最值即可．(1)(1)解：设每件衬衫应降价元，根据题意，得，解得，．∵尽快减少库存，∴答：应降价20元．(2)解：设
每件衬衫应降价元，总利润为元，根据题意，得．，当时，利润最大．商场要想每天获取最大利润，每套应降价15元．【点睛】此题主要考查了一
元二次方程以及二次函数的应用，正确利用每件利润×总销量=总利润得出关系式是解题关键．4．(2022·黑龙江龙凤·九年级期末)某景区
超市销售一种纪念品，这种商品的成本价15元/件，已知销售价不低于成本价，市场调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元/
件)之间的函数关系如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求每天的销售利润W(元)与销售单价x(
元/件)之间的函数关系式，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)y＝﹣x+60(15≤x≤24)(2)每件销售价为24
元时，每天的销售利润最大，最大值为324【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解可得y关于x的函数解析式；(2)根据“总利润＝每件
的利润×销售量”可得函数解析式，利用二次函数的性质进一步求解可得．(1)设y与x的函数解析式为y＝kx+b，将(15，45)，(2
4，36)代入，解得：，所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+60(15≤x≤24)；(2)根据题意知，W＝(x﹣15)y＝(x﹣15
)(﹣x+60)＝﹣x2+75x﹣900，∵a＝﹣1＜0，∴当x＜时，W随x的增大而增大，∴当15≤x≤24，时，W随x的增大而增
大，∴当x＝24时，W取得最大值，最大值为324，答：每件销售价为24元时，每天的销售利润最大，最大值为324，．【点睛】本题主要
考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．5．(2022·山
东莱芜·九年级期末)2022年冬奥会即将在北京召开，某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件40元，
每月销售量(件)与销售单价(元)之间的函数关系如图所示，设每月获得的利润为(元)．(1)求出每月的销售量(件)与销售单价(元)之间
的函数关系式；(2)这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)为了扩大冬奥会的影响，物价部门规定
这种文化衫的销售单价不高于60元，该商店销售这种文化衫每月要获得最大利润，销售单价应定为多少元？每月的最大利润为多少元？【答案】(
1)(2)当这种文化衫销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元(3)当销售单价应定为60元，每月的最大利润为
8000元【解析】【分析】(1)根据题意可以利用待定系数法求出关系式．(2)利润=单件利润×销量，我们可以得出总利润，根据二次函数
的性质，即可解题．(3)根据函数的性质，求出时的最大值就可．(1)设，把，和，代入得：，解得，，所以；(2)；即与之间的函数关系式
为：；，开口向下，∴当时，有最大值9000，当这种文化衫销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元．(3)根据
第二问得：当时，随的增大而增大，又因为，所以当时，，所以当销售单价应定为60元，每月的最大利润为8000元．【点睛】本题考查了二次
函数的应用，以及待定系数法求函数解析式，关键是列出函数关系式．6．(2021·山东城阳·一模)高尔夫球场各球洞因地形变化而出现不等
的距离，因此每次击球受地形的变化影响很大．如图，OA表示坡度为1：5山坡，山坡上点A距O点的水平距离OE为40米，在A处安装4米高
的隔离网AB．在一次击球训练时，击出的球运行的路线呈抛物线，小球距离击球点30米时达到最大高度10米，现将击球点置于山坡底部O处，
建立如图所示的平面直角坐标系(O、A、B及球运行的路线在同一平面内)．(1)求本次击球，小球运行路线的函数关系式；(不要求写出自变
量x的取值范围)(2)通过计算说明本次击球小球能否越过隔离网AB？(3)小球运行时与坡面OA之间的最大高度是多少？【答案】(1)(
2)小球不能飞越隔离网AB，理由见解析(3)小球运行时与坡面OA之间的最大高度是4.9米【解析】【分析】(1)设小球运行的函数关系
式为y=a(x-30)2+10，把原点的坐标代入即可；(2)由OE=40可得小球的高度，再利用坡度求出AE，比较即可；(3)设小球
运行时与坡面?OA?之间的高度是w米，求出解析式，再利用顶点式求出最大值即可．(1)设小球运行的函数关系式为y=a(x-30)2+
10，把(0，0)代入解析式得：900a+10=0，解得：a=? ，∴解析式为y=?(x-30)2+10；(2)小球不能飞越隔离网
AB，理由如下：将x=40代入解析式为：y=-×(40-30)2+10= ，∵坡度为i=1：5，OE=40，∴AE=8，AB=4，
∴BE=12，＜12，∴小球不能飞越隔离网AB．(3)设OA的解析式为y=kx，把(30，6)代入得：6=30k，解得k= ，∴O
A的解析式为y=x，设小球运行时与坡面?OA?之间的高度是w米，w=?(x-30)2+10-x=-x2+ x=-(x-21)2+4
.9，∵a＜0，∴当x=21时，w最大是4.9，答：小球运行时与坡面OA之间的最大高度是4.9米．【点睛】本题考查了点的坐标求法，
一次函数、二次函数解析式的确定方法，及点的坐标与函数解析式的关系．7．(2021·山东青岛·一模)如图，一座温室实验室的横截面由抛
物线和矩形组成，矩形的长是16m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=-x2+bx+c表示，CD为一排平行于地面的
加湿管．(1)求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶到地面的距离．(2)若加湿管的长度至少是12m，加湿管与拱顶的距离至少是多少米？(
3)若在加湿管上方还要再安装一排恒温管(两排管道互相平行)，且恒温管与加湿管相距1.25m，恒温管的长度至少是多少米？【答案】(1
)y=-x2+x+4，拱顶到地面的距离为8米(2)至少是2.25米(3)至少是8米【解析】【分析】(1)根据已知条件，用待定系数法
求函数解析式，并用二次函数的性质求最值即可；(2)先求出C点横坐标x=2，再代入(1)中解析式求出y=5.75，据此即可求得；(3
)先求出y=5.75+1.25=7，再代入解析式解方程，求值即可．(1)解：将点(0,4)，(16,4)分别代入y=-x2+bx+
c中，得：，解得：，∴y=-x2+x+4=-(x-8)2+8，∵，∴当x=8时，y有最大值，最大值为8，∴抛物线的函数关系式为y=
-x2+x+4，拱顶到地面的距离为8米；(2)解：由题意得：C点横坐标为16÷2-12÷2=2，将x=2代入y=-x2+x+4中，
解得：y=5.75，8-5.75=2.25(米)，∴加湿管与拱顶的距离至少是2.25米；(3)解：5.75+1.25=7(米)，由
题意得：y≤7，当-x2+x+4=7时，解得：x1=4，x2=12，∴12-4=8，∴恒温管的长度至少是8米．【点睛】本题考查了二
次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据
落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．8．(2021·内蒙古额尔古纳·
模拟预测)为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是元．超市规定每盒售价不得少于元．根据以往销售经验发现；当售
价定为每盒元时，每天可以卖出盒，如果每盒售价每提高元，则每天要少卖出盒．(1)试求出每天的销售量盒与每盒售价元之间的函数关系式；(
2)要使每天销售的利润为元，且让顾客得到最大的实惠．售价应定为多少元？(3)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润元最大？最大利润
是多少？【答案】(1)(2)售价应定为元(3)每盒售价定为元时，每天销售的利润元最大，最大利润是元【解析】【分析】(1)根据“当售
价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量与每盒售价x(元)之间的函数
关系式；(2)根据利润＝1盒商品所获得的利润×销售量列出方程，解方程取较小的值即可；(3)根据利润＝1盒商品所获得的利润×销售量列
出函数解析式，根据函数的性质求最值即可．(1)解：由题意得销售量y＝700﹣20(x﹣45)＝﹣20x+1600，∴每天的销售量y
(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式为y＝﹣20x+1600(45≤x＜80)；(2)解：由题意得：(x﹣40)(﹣20x+1
600)＝6000，整理得：x2﹣120x+3500＝0，解得：x1＝50，x2＝70，∵要让顾客得到最大的实惠，∴x＝50，∴售
价应定为50元；(3)解：P＝(x﹣40)(﹣20x+1600)＝﹣20x2+2400x﹣64000＝﹣20(x﹣60)2+800
0，∵a＝﹣20＜0，45≤x＜80，∴当x＝60时，P有最大值，最大值为8000，∴每盒售价定为60元时，每天销售的利润P(元)
最大，最大利润是8000元．【点睛】本题考查的是二次函数、一次函数与一元二次方程在实际生活中的应用，主要利用了利润＝1盒商品子所获
得的利润×销售量，求得销售量与x之间的函数关系式是解题的关键．9．(2022·江苏扬州·九年级期末)某批发商以40元/千克的价格购
入了某种水果700千克．据市场预测，该种水果的售价y(元/千克)与保存时间x(天)的函数关系为y＝50＋2x．但保存这批水果平均每
天将耗损15千克，且最多能保存8天．另外．批发商保存该批水果每天还需50元的费用．(1)填空：若开发商保存3天后将该批水果一次性卖
出，则卖出时水果的售价为 (元/千克)(2)设批发商将这批水果保存x天后一次性卖出．求批发商所获得的总利润w(元)与保存时间x(天
)之间的函数关系式；(3)填空：在(2)的条件下，批发商经营这批水果所获得的最大利润为 ．【答案】(1)56(2)w=-30x2+
600x+7000；(3)9880元．【解析】【分析】(1)将x=3代入水果的售价y(元/千克)与保存时间x(天)的函数关系为y=
50+2x即可求得该种水果的售价；(2)根据利润=售价×销售量-成本列出函数关系式即可；(3)利用配方法即可求出利润最大值．(1)
解：当x=3时，y=50+2x=50+2×３＝56(元/千克)；故填：56(2)解：由题意得：w=(50+2x)(700-15x)
-50x-700×40化简得：w=-30x2+600x+7000；(3)解：∵w=-30x2+600x+7000∴w=-30(x-
10)2+10000∵0≤x≤8，x为整数，当x≤8时，w随x的增大而增大，∴x=8时，w取最大值，w最大=9880．答：批发商所
获利润w的最大值为9880元．故答案为：9880元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是仔细审题，将实际问题用函数表示出
来，注意掌握配方法求二次函数最值得应用．10．(2021·山东北区·一模)某古代石桥有17个大小相同的桥洞，桥面平直，其中三个桥洞
图案如下左图所示．每个桥洞均可抽象成抛物线形状，其最大高度为4.5m，宽度为6m．将桥墩的宽度、厚度忽略不计，以水平方向为横轴，建
立如下右图所示的平面直角坐标系，OM=6．(1)求OAM这条抛物线的函数关系式；(2)如图所示，若想在桥洞距水平面3米高的内壁处，
安装照明灯，请计算两盏灯P、H之间的水平距离为多少米？(3)若想在每个桥洞距水平面3米高的内壁处都安装照明灯，则这三个桥洞最左端的
灯与最右端灯P、Q之间的水平距离为 米(请直接给出答案，无需提供求解过程)．【答案】(1)y=-0.5 x2+3 x(2)2
米(3)12+2【解析】【分析】(1)设y=a(x-h)2+k，把顶点坐标为(3,4.5)代入可得解析式；(2)将y=3代入解出x
的值可得答案；(3)根据抛物线的平移求出以C为顶点的抛物线的解析式，把y=3代入可得Q的坐标，根据P、Q的横坐标可得答案．(1)解
：设OAM这条抛物线的函数关系式为y=a(x-h)2+k(a≠0)，由题意得OAM这条抛物线的顶点坐标为(3,4.5)，∴y=a(
x-3)2+4.5，又∵函数图像经过点(6,0)，∴0=a(6-3)2+4.5，∴a=-0.5，∴y=-0.5(x-3)2+4.5
=-0.5 x2+3 x；(2)解：当y=3时，3=-0.5(x-3)2+4.5，解得：，；∴；故两盏灯P、H之间的水平距离为2米
；(3)解：∵OAM这条抛物线的顶点坐标为(3,4.5)，∴NCQ这条抛物线的顶点坐标为(15,4.5)，∴以C为顶点的抛物线的解
析式为y=-0.5(x-15)2+4.5，把y=3代入可得，；所以点Q的横坐标为．∴(米)．故答案为：．【点睛】本题考查了把实际问
题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．11．(2022·湖北洪山·模拟预测)某公
司投入研发费用120万元(120万元只计入第一年成本)，成功研发出一种产品，产品正式投产后，生产成本为8元/件．经试销发现年销售量
y(万件)与售价x(元/件)有如表对应关系．x(元/件)135y(万件)393735(1)直接写出y关于x的函数关系式： ．(
2)若物价部门规定每件商品的利润率不得超过150%，当第一年的产品的售价x为多少时，年利润W最大，其最大值是多少？(3)为了提高利
润，第二年该公司将第一年的最大利润再次投入研发(此费用计入第二年成本)，使产品的生产成本降为5元/件，但规定第二年产品的售价涨幅不
能超过第一年售价的20%，在年销售量y(万件)与售价x(元/件)的函数关系不变的情况下，若公司要求第二年的利润不低于166万元，求
该公司第二年售价x(元/件)应满足的条件．【答案】(1)y＝﹣x+40(2)20元(3)18≤x≤24【解析】【分析】(1)设y关
于x的函数关系式为y＝kx+b(k≠0)，用待定系数法求解或直接观察表中数据可得答案；(2)根据年利润W等于每件的利润乘以销售量，
再减去研发费用120万元，可得W关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；(3)根据第二年产品的售价涨幅不能超
过第一年售价的20%，可得x≤24，又第二年的利润不低于166万元，故(x﹣5)(﹣x+40)﹣120≥166，即可解得答案．(1
)设y关于x的函数关系式为y＝kx+b(k≠0)，将(1，39)，(3，37)代入，解得，∴y关于x的函数关系式为y＝﹣x+40，
故答案为：y＝﹣x+40；(2)∵每件商品的利润率不得超过150%，∴x≤8(1+150%)，即x≤20，由题意得：W=(x-8)
(-x+40)-120=-x2+48x-440=-(x-24)2+136，∵-1＜0，x≤20在对称轴直线x=24左侧，W随x的增
大而增大，∴当x=20时，年利润W最大，Wmax=-(20-24)2+136=120，∴售价x为20元时，年利润W最大，其最大值是
120万元；(3)∵第二年产品的售价涨幅不能超过第一年售价的20%，∴第二年产品的售价x≤20×(1+20%)，即x≤24，根据题
意得：(x-5)(-x+40)-120≥166，解得18≤x≤27，∴该公司第二年售价x(元/件)应满足的条件是18≤x≤24．【
点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．12．(2022·福建洛江·九
年级期末)某店销售的芦柑，每箱进价40元．市场调查发现，每箱销售价格：售价不高于50元时，平均每天可售出90箱；售价高于50元时，
每提高1元，平均每天销售量将减少3箱．(1)若每箱售价55元，试计算平均每天的销售利润；(2)已知当地工商部门规定：芦柑的售价每箱
不得高于58元．设售价为x(元)，平均每天的销售利润为w(元)．①写出w与x的函数关系式，以及x的取值范围；②当x为何值时，w取得
最大？最大值是多少．【答案】(1)1125(2)①；②当x=58时，w取得最大，最大值是1188．【解析】【分析】(1)用每项利润
乘销售量即得每天的销售利润；(2)①根据w=每项利润×销售量，解可得答案；②根据二次函数性质即可求解．(1)每箱售价55元，则每箱
利润为55-40=15(元)，∵售价高于50元时，每提高1元，平均每天销售量将减少3箱，∴每箱售价55元，销售量为90-(55-5
0)×3=75(箱)，∴平均每天的销售利润是15×75=1125(元)；(2)①当时当50 x-50)]=-3x2+360x-9600；∴②当时，∵90>0∴当时，随x的增大而增大，∴当时w取得最大，最大值是900当50<
x≤58时∵y=-3x2+360x-9600，a＜0，∴抛物线开口向下，抛物线对称轴直线为，∴50 大，∴当x=58时，w的值最大，最大值为-3×582+360×58-9600=1188(元)．综上所述，当x=58时，w取得最大，
最大值是1188．答：当x=58时，w取得最大，最大值是1188．【点睛】此题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润
的问题常用函数的增减性来解答，要注意应该在自变量的取值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在时取得．13．(2
021·湖北鹤峰·模拟预测)鹤峰县某茶叶加工企业，在助力精准扶贫行动中，推出惠农政策，连续用10天时间对清明前的毛尖鲜茶叶进行了收
购，加工和销售．(当天收购的鲜茶叶，当天全部加工并销售完)经调查，整理出该茶叶经销商第天，且为整数)收购，加工和销售茶叶的相关信息
如表：鲜茶叶收购单价(元/)鲜茶叶收购量鲜茶叶加工后的成品茶重成品茶的销售单价(元/)900(1)若经销商连续两天共收购鲜茶叶，则
这两天分别是第几天？(2)该茶叶经销商在第几天的毛利润最大，最大值是多少？(当天毛利润成品茶销售金额鲜茶叶收购金额)(3)当该公司
在获得日最大毛利润后，将该天的全部毛利润作为第一次返还金返还给签约农户，用于生产发展资金，共返还三次，已知第三次返还给农户的金额为
11664元，若每两次间返还金额的增长率相同，求的值．【答案】(1)这两天分别是第5天和第6天；(2)第2天的毛利润最大，最大值是
8100元；(3)为【解析】【分析】(1)根据鲜茶叶每天收购量为，以及连续两天的收购量为列出方程，求出的值即可；(2)根据当天毛利
润成品茶销售金额鲜茶叶收购金额列出函数解析式，并利用函数的性质求最值即可；(3)根据第一次返回的金额第三次返还的金额列出方程，解方
程即可．(1)解：(1)连续两天用、表示，则有：，解得，x+1=6,这两天分别是第5天和第6天；(2)(2)设该经销商每日毛利润表
示为，，，，，当时，有最大值，最大值为8100，该茶叶经销商在第2天的毛利润最大，最大值是8100元；(3)(3)由题意可得，，∴
，解得：，(舍去)，为．【点睛】本题考查了二次函数和一元一次、一元二次方程的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关
键14．(2022·河南汝阳·九年级期末)为满足市场需求，某超市在新年来临前夕，购进一款商品，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不
得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，如果每盒售价每提高1元，则每天要少卖出20盒．(
1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；(2)要使每天销售的利润为6000元，且让顾客得到最大的实惠．售
价应定为多少元？(3)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？【答案】(1)y＝﹣20x+1600(4
5≤x＜80)(2)售价应定为50元(3)每盒售价定为60元时，每天销售的利润P(元)最大【解析】【分析】(1)根据“当售价定为每
盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量与每盒售价x(元)之间的函数关系式；
(2)根据利润＝1盒商品所获得的利润×销售量列出方程，解方程取较小的值即可；(3)根据利润＝1盒商品所获得的利润×销售量列出函数解
析式，根据函数的性质求最值即可．(1)解：700÷20=35元，45+35=80元，由题意得销售量y＝700﹣20(x﹣45)＝﹣
20x+1600，∴每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式为y＝﹣20x+1600(45≤x＜80)；(2)题意得
：(x﹣40)(﹣20x+1600)＝6000，整理得：x2﹣120x+3500＝0，解得：x1＝50，x2＝70，∵要让顾客得到
最大的实惠，∴x＝50，∴售价应定为50元；(3)P＝(x﹣40)(﹣20x+1600)＝﹣20x2+2400x﹣64000＝﹣2
0(x﹣60)2+8000，∵a＝﹣20＜0，45≤x＜80，∴当x＝60时，P有最大值，∴每盒售价定为60元时，每天销售的利润P
(元)最大．【点睛】本题考查的是二次函数、一次函数与一元二次方程在实际生活中的应用，主要利用了利润＝1盒商品子所获得的利润×销售量
，求得销售量与x之间的函数关系式是解题的关键．15．(2022·江苏溧水·九年级期末)某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若
按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．(1)写出月销售利润y(单位：元)与售价x(
单位：元/千克)之间的函数关系式 (结果化为一般形式)．(2)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到800
0元，销售单价应定为多少？(3)当售价定为多少元时会获得最大利润？并求出最大利润．【答案】(1)y＝－10x2＋1400x－400
00；(2)销售单价应定为80元；(3)当售价定为70元时会获得最大利润，最大利润9000元．【解析】【分析】(1)根据总利润等于
每千克的利润乘以数量即可得；(2)根据题意可得，得出方程两个解，然后计算两个成本进行比较即可得；(3)将函数解析式化为顶点式，然后
根据二次函数的基本性质求解即可得．(1)由题意，得，∴，故答案为：；(2)解：由题意得：，解得：，，当时，销售成本为：，舍去，当时
，销售成本为：，答：销售单价应定为80元；(3)解：，∵，y有最大值． ∴当时，最大为：元． 答：当售价定为70元时会获得最大利润
，最大利润9000元．【点睛】题目主要考查二次函数及一元二次方程的应用，理解题意，列出函数关系式是解题关键．16．(2021·广东
潮南·一模)某商店购进一批清洁剂，每瓶进价为20元，出于营销考虑，要求每瓶清洁剂的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现
该清洁剂每周的销售量(瓶)与每瓶清洁剂的售价(元)之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36瓶；当销售单价为24元时
，销售量为32瓶．(1)求出与的函数关系式，并写出的取值范围；(2)设该商店每周销售这种清洁剂所获得的利润为元，将该清洁剂销售单价
定为多少元时，才能使商店销售该清洁剂所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)销售单价定为28元时，才能使商店销售该清洁剂
所获利润最大，最大利润是192元【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题；(2)构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问
题.(1)解：设．把与代入得：，解得：，与的函数关系式为；(2)解：由题意可得：，此时当时，最大，又由(1)得，当时，随的增大而增
大，即当时，(元，答：该清洁剂销售单价定为28元时，才能使商店销售该清洁剂所获利润最大，最大利润是192元．【点睛】本题考查二次函
数的应用、一元二次方程的应用、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题
型.17．(2022·广西平桂·九年级期末)服装店老板小李根据商场要求试销售一种成本为50元/件的T恤，商场规定试销期间T恤的单价
不低于成本，且获利不高于40%．经试销发现，销售量y(件)与售价x(元/件)符合一次函数，且当时，：当时，．(1)求一次函数的表达
式：(2)若服装店老板小李获得的利润为W元，试写出利润W与售价x(元/件)之间的函数表达式，并求出售价定为多少元/件时，小李获得最
大利润，最大利润是多少．【答案】(1)(2)，当售价定为70元/件时，小李获得最大利润，最大利润是1000元【解析】【分析】(1)
利用待定系数法可求出函数解析式，根据题意可求出x的取值范围；(2)根据题意可求出W与x的函数关系式，再根据二次函数的性质求出最大值
即可．(1)由题意得，解得．∵T恤的单价不低于成本，且获利不高于40%，∴，即．故该一次函数的表达式为；(2)根据题意可列出：，∴
利润W与售价x之间的函数表达式为：．∵，∴抛物线的开口向下，∴当时，W随x的增大而增大．∴当时，W有最大值，为：，答：利润W与售价
x(元/件)之间的函数表达式为，当售价定为70元/件时，小李获得最大利润，最大利润是1000元．【点睛】本题考查利用待定系数法求函
数解析式，一次函数和二次函数的实际应用．解题的关键是要弄清题意，理清关系，体现了数学与实际生活的密切联系．18．(2022·浙江定
海·九年级期末)疫情期间，某核酸检测点要检测1000人，排队前来检测的人数y与时间x(小时)之间符合函数表达式：y＝200x(x≤
5)该检测点实际检测的人数m与时间t(小时)统计如下表所示：t01234……040160360640…(1)猜想该检测点检测的人数
m关于t的函数表达式，并说明理由；(2)几小时后所有人可以完成检测？(3)因准备需要，排队2小时才开始检测，排队等候检测人数最多时
有多少人？【答案】(1)m=40t2(2)5小时(3)150人【解析】【分析】(1)根据表格中的数据规律可得结果；(2)将m=10
00代入m=40t2，求出t值即可；(3)设2小时后排队等待检测的人有w人，时间为x，用x表示出w，再根据二次函数的最值得到结果．
(1)解：当t=1时，m=40=40×12，当t=2时，m=160=40×22，当t=3时，m=360=40×32，当t=4时，m=640=40×42，∴m=40t2；(2)由题意可得：将m=1000代入m=40t2，得：1000=40t2，解得：t=5(负值舍去)，∴5小时后所有人可以完成检测；(3)由题意可得：2小时后检测处有200×2=400人，设2小时后排队等待检测的人有w人，时间为x，则x≤3，w=400+200x-40x2=，当x=＜3时，w最大，最大值为150，∴排队等待检测人数最多时有150人．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是要理解题意，列出函数表达式．19．(2022·湖北硚口·九年级期末)如图，要设计一副宽12cm、长20cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设每条竖彩条的宽度为2xcm，图案中四条彩条所占面积的和为ycm2．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)当x不小于0.5cm，不大于1.5cm时，求y的最大值；(3)童威现在需要制作100张这样图案的卡片，其中彩条部分制作费用为15元/m2，其余部分制作费用为10元/m2，购买材料的总费用为31.2元(不计损耗)，直接写出x的值．【答案】(1)，(2)198(3)1【解析】【分析】(1)根据图案中四条彩条所占面积的和等于四个长方形的面积减去四个大小相同的小长方形的面积(四条彩条重合部分的面积)可得与之间的函数关系式，再根据两条横彩条的宽度的和小于整个图案的宽、两条竖彩条的宽度的和小于整个图案的长建立不等式组，解不等式组可得的取值范围；(2)结合(1)的答案，利用二次函数的性质即可得；(3)先求出图案中其余部分的面积，再根据“总费用为31.2元”建立方程，解方程即可得．(1)解：由题意得：每条横彩条的宽度为，则，即，，，综上，．(2)解：由(1)得：，则当时，随的增大而增大，所以当时，取得最大值，最大值为．(3)解：图案中彩条部分的面积为，图案中其他部分的面积为，由题意得：，整理得：，解得，，不符题意，舍去，答：的值为1．【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识点，正确建立函数和方程是解题关键． |
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