中考数学压轴题--二次函数
第2节 将军饮马求最值1--对称
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方法点拨
一、两条线段和的最小值。
基本图形解析：
(一)、已知两个定点：
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
(1)点A、B在直线m两侧：
(2)点A、B在直线同侧：
A、A’ 是关于直线m的对称点。
2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
(1)两个点都在直线外侧：
(2)一个点在内侧，一个点在外侧：
(3)两个点都在内侧：
(4)、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.
变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)
基本图形解析：
1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
(1)点A、B在直线m同侧：
解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。
(2)点A、B在直线m异侧：
解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
例题演练
题组1：两定点一动点问题
例1．已知，如图1，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，在抛物线第一象限的图象上存在一点B，x轴上存在一点C，使∠ACB＝90°，AC＝BC，抛物线的顶点为D．
(1)求直线AB的解析式；
(2)如图2，若点E是AB上一动点(点A、B除外)，连接CE，OE，当EC+OE的值最小时，求△BDE的面积；
【解答】解：(1)由题意A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)
设C(m，0)，则B(m，m+1)，把点B坐标代入抛物线的解析式得到：m+1＝m2﹣2m﹣3，
解得m＝4或﹣1(舍弃)，
∴C(4，0)，B(4，5)，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x+1．
(2)如图1中，如图作点C关于直线AB的对称点C′，连接OC′交直线AB于E，连接EC、EO，此时EO+EC的值最小．
∵C(4，0)，CC′关于直线AB对称，
∴C′(﹣1，5)，
∴直线OC′的解析式为y＝﹣5x，
由，解得，
∴E(﹣，)，∵D(1，﹣4)，
∴S△BDE＝9×(4+)﹣×3×9﹣×(1+)(4+)﹣×(4+)(5﹣)＝12.5．
练1.1如图，已知抛物线y＝x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C．
(1)求直线BC的解析式；
(2)点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；
【解答】解：(1)对于抛物线y＝x2+3x﹣8，
令y＝0，得到x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，
∴B(﹣8，0)，A(2，0)，
令x＝0，得到y＝﹣8，
∴A(2，0)，B(﹣8，0)，C(0，﹣8)，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．
(2)如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F(m，m2+3m﹣8)，则N(m，﹣m﹣8)
∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝?FN×8＝4FN＝4[(﹣m﹣8)﹣(m2+3m﹣8)]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2(m+4)2+32，
∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，
此时F(﹣4，﹣12)，
∵抛物线的对称轴x＝﹣3，
点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，
设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有，
解得，
∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4，
∴P(﹣3，﹣10)，
∴点F的坐标和点P的坐标分别是F(﹣4，﹣12)，P(﹣3，﹣10)．
题组2：两动点一定点问题
例2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点A(1，8)和点B(5，4)．
(1)求抛物线和直线AB的解析式．
(2)如图1，直线AB上方的抛物线上有一点P，过点P作PQ垂直于AB所在直线，垂足为Q，在x轴正半轴和y轴正半轴上分别有两个动点M和N，连接PN，NM，MB，BP．当线段PQ的长度最大时，求四边形PNMB周长的最小值．
【解答】解：(1)∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝mx+n相交于点A(1，8)和点B(5，4)．
∴，，
解得，，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+5x+4，直线y解析式为＝﹣x+9．
(2)如图1中，设直线AB与x轴交于点F，与y轴交于点E，则E(0，9)，F(9，0)，连接PE、PF、PO．
当PQ最大时，△PEF的面积最大，设P(m，﹣m2+5m+4)
∵S△PEF＝S△POE+S△POF﹣S△EOF＝×9×m+×9×(﹣m2+5m+4)﹣×9×9＝﹣(m﹣3)2+18，
∵﹣＜0，∴m＝3时，△PEF的面积最大值为18，此时P(3，10)，
作点P关于y轴的对称点P′，B关于x轴的对称点B′，连接P′B，与y轴交于点N，与x轴交于点M，此时四边形PNMB的周长最小．
理由：四边形PNMB周长＝PN+MN+MB+PB＝P′N+MN+MB′+PB＝P′B′+PB，
∵PB是定长，两点之间线段最短，
∴此时四边形PNMB周长最小．
∵P′(﹣3，10)，B′(5，﹣4)，
∴P′B′＝＝2，
∵PB＝＝2，
∴四边形PNMB周长的最小值为2+2．
练2.1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3，分别交x轴于A、B两点，交y轴交于C点，顶点为D．
(1)如图1，连接AD，R是抛物线对称轴上的一点，当AR⊥AD时，求点R的坐标；
(2)在(1)的条件下．在直线AR上方，对称轴左侧的抛物线上找一点P，过P作PQ⊥x轴，交直线AR于点Q，点M是线段PQ的中点，过点M作MN∥AR交抛物线对称轴于点N，当平行四边形MNRQ周长最大时，在抛物线对称轴上找一点E，y轴上找一点F，使得PE+EF+FA最小，并求此时点E、F的坐标．
【解答】解：(1)对于抛物线y＝﹣x2+x+3，令y＝0，得﹣x2+x+3＝0，解得x＝﹣2或6，
∴B(﹣2，0)，A(6，0)，
∵y＝﹣x2+x+3＝﹣(x﹣2)2+4，
∴抛物线顶点D坐标为(2，4)，对称轴x＝2，
设直线AD的解析式为y＝kx+b则有，解得，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x+6，
∵AR⊥AD，
∴直线AR的解析式为y＝x﹣2，
∴点R坐标(2，﹣)．
(2)如图1中，设P(m，﹣m2+m+3)，则Q(m，m﹣2)，M(m，﹣m2+m+)，
由(1)可知tan∠DAB＝＝，
∴∠DAB＝60°，∵∠DAQ＝90°，
∴∠BAQ＝30°，
∴平行四边形MNRQ周长＝2(﹣m2+m+﹣m+2)+2(2﹣m)÷cos30°＝﹣m2﹣m+，
∴m＝﹣时，平行四边形MNRQ周长最大，
此时P(﹣，)，
如图2中，点P关于对称轴的对称点为M，点M关于y轴的对称点为N，连接AN交y轴于F，连接FM交对称轴于E，此时PE+EF+AF最小．
理由：PE+EF+AF＝EM+FE+AF＝FM+AF＝FN+AF＝AN，
根据两点之间线段最短，可知此时PE+EF+AF最小．
∵M(，)，N(﹣，)，
∴直线AN的解析式为y＝﹣x+，
∴点F坐标(0，)，
∴直线FM的解析式为y＝x+，
∴点E坐标(2，)．
题组3：线段之差的最大值问题
例3．如图，二次函数y＝﹣x2+2x+1的图象与一次函数y＝﹣x+1的图象交于A，B两点，点C是二次函数图象的顶点，P是x轴下方线段AB上一点，过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为E，平行线交直线BC于F．
(1)当△PEF面积最大时，在x轴上找一点H，使|BH﹣PH|的值最大，求点H的坐标和|BH﹣PH|的最大值；
【解答】解：(1)设点P(m，﹣m+1)，则点E(m，0)，
联立两个函数表达式得，解得，
即点A、B的坐标分别为(0，1)、(6，﹣5)，
由抛物线的表达式知，点C(2，3)，
由B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣2x+7，
当y＝﹣2x+7＝﹣m+1时，x＝，故点F(，﹣m+1)，
△PEF面积＝×PE?PF＝×(m﹣1)(﹣m)＝﹣(m﹣1)(m﹣6)，
∵﹣＜0，故△PEF面积有最大值，此时m＝(1+6)＝，
故点P(，﹣)，
当P、B、H三点共线时，|BH﹣PH|的值最大，即点H为直线AB与x轴的交点，
故点H(1，0)，
则|BH﹣PH|的最大值＝BH﹣PH＝BP＝＝；
练3.1已知抛物线ω：y＝﹣x2﹣x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D点为抛物线的顶点，E为抛物线上一点，点E的横坐标为﹣5．
(1)如图1，连接AD、OD、AE、OE，求四边形AEOD的面积．
(2)如图2，连接AE，以AB，AE为边作?AEFB，将抛物线w与?AEFB一起先向右平移6个单位长度，再向上平移m个单位长度，得到抛物线w′和?A′E′F′B′，在向上平移的过程中?AEFB与?A′E′F′B′重叠部分的面积为S，当S取得最大值时，E′F′与BF交于点Q，在直线A′B′上有两动点P，H，且PH＝2(P在H的右边)，当|PQ﹣HC|取得最大值时，求点P的坐标．
【解答】解：(1)令﹣x2﹣x+4＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝2，
∴A(﹣4，0)，B(2，0)
当x＝﹣＝﹣1时，y＝，
即D(﹣1，)，
当x＝﹣5时，y＝，即E(﹣5，﹣)
∴S四边形AEOD＝S△AOE+S△AOD＝?AD?(yD﹣yE)＝×4×()＝16；
(2)如图1，延长FE′交x轴于点H，由平移可知：
F(1，)，FH⊥x轴，FE′＝m，FH＝，
∴BH＝1，△FHB∽FE′Q，
∴＝，即＝，
∴E′Q＝，
由平移可知，重叠部分四边形为平行四边形，
S重叠四边形＝E′Q?HE′＝()＝m2+m，
当m＝＝时，平行四边形的面积有最大值，此时yQ＝﹣
当y＝﹣时，即Q是线段FB的中，
∴xQ＝＝，即Q(，)．
如图2，作点Q 关于直线A′B′的对称点Q′，将线段CH向右平移两个单位使点H与点P重合，点C的对应点为C′，
延长Q′C′交直线A′B′于点N，当P在N点时，|PQ﹣HC|取得最大值．
则＝，则Q′(，)，C′(2，4)，
yQ′C′＝﹣，当y＝时，解得x＝，
所以当P(，)时，|PQ﹣HC|取得最大值；
练3.2如图1，二次函数y＝的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的右边)，与y轴交于点C，直线l是它的对称轴．
(1)求直线l与直线AC交点的坐标；
(2)如图2，在直线AC上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为点D，与直线AC交于点E，过点P作直线AC的垂线，垂足为点F，当△PEF的周长最大时，在对称轴l上找点M，使得|BM﹣PM|的值最大，求出|BM﹣PM|的最大值，并求出对应的点M的坐标；
【解答】解：(1)在y＝中，令y＝0，则＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1
∴A(﹣4，0)，B(1，0)
令x＝0，得y＝，∴C(0，)
设直线AC解析式为y＝kx+b，则，解得
∴直线AC解析式为y＝x+，
∵直线l解析式为x＝﹣，将x＝﹣代入y＝x+中，得y＝×(﹣)+＝，
∴直线l与直线AC交点的坐标为(﹣，)；
(2)∵PD⊥OA，PF⊥AC∴∠EDA＝∠PFE＝90°；
∵∠PEF＝∠AED∴∠EAD＝∠EPF
∵OC＝，OA＝4∴tan∠EPF＝tan∠EAD＝；
∴∠EPF＝30°∴sin∠EPF＝，cos∠EPF＝，
∴EG＝PE，PF＝PE，∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PE
∴当PE取得最大值时，△PEF的周长最大；
设点P(t，﹣t2﹣t+)，则点E(t，t+)，
∵点P在点E的上方，
∴PE＝﹣t2﹣t+﹣(t+)＝﹣t2﹣t＝﹣(t+2)2+，
∴当t＝﹣2时，PE取得最大值，此时△PEF的周长取得最大值；
∴P(﹣2，2)，E(﹣2，)；
∵B(1，0)与A(﹣4，0)关于直线l对称，连接AM，AP，
∴AM＝BM
|BM﹣PM|的值最大，即|AM﹣PM|的值最大，当P、M、A三点共线时，|AM﹣PM|＝AP最大，
∵AP＝＝＝4
∴|BM﹣PM|的最大值＝4；
设直线AP解析式为y＝k′x+b′，将A(﹣4，0)，P(﹣2，2)代入得
解得：
∴直线AP解析式为y＝x+4，令x＝﹣，得y＝，
∴M(﹣，)；
练3.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D．
(1)求直线BC的解析式；
(2)点E(m，0)，F(m+2，0)为x轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线于点E′，F′，交BC于点M，N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使|RF′﹣RE′|的值最大，请求出R点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值；
【解答】解：(1)令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，
解方程得：x＝6或x＝﹣2，
∴A(﹣2，0)，B(6，0)，
又y＝﹣x2+x+3＝﹣(x﹣2)2+4，
又顶点C(2，4)，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，代入B、C两点坐标得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+6；
(2)如图1，
∵点E(m，0)，F(m+2，0)，
∴E′(m，﹣m2+m+3)，F′(m+2，﹣m2+4)，
∴E′M＝﹣m2+m+3﹣(﹣m+6)＝﹣m2+2m﹣3，
F′N＝﹣m2+4﹣(﹣m+4)＝﹣m2+m，
∴E′M+F′N＝﹣m2+2m﹣3+(﹣m2+m)＝﹣m2+3m﹣3，
当m＝﹣＝3时，E′M+F′N的值最大，
∴此时，E′(3，)F′(5，)，
∴直线E′F′的解析式为：y＝﹣x+，
∴R(0，)，
根据勾股定理可得：RF′＝10，RE′＝6，
∴|RF′﹣RE′|的值最大值是4；
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