中考数学压轴题--二次函数
第5节 阿氏圆求最小值
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方法点拨
点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；
点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点 A、B，则所有满 足 PA=k·PB(k≠1)的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
如图 1 所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知 r=k·OB，
连接 PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
如图2，在线段 OB 上截取 OC 使 OC=k·r，则可说 明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，其中与 A 与 C 为定点,P 为动点，故当 A、P、C 三点共线时， “PA+PC”值最小。如图3所示：
【破解策略详细步骤解析】
例题演练
例1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+4x的顶点为点A
(1)求点A的坐标；
(2)点B为抛物线上横坐标等于﹣6的点，点M为线段OB的中点，点P为直线OB下方抛物线上的一动点．当△POM的面积最大时，过点P作PC⊥y轴于点C，若在坐标平面内有一动点Q满足PQ＝，求OQ+QC的最小值；
【解答】解：(1)∵y＝x2+4x＝(x+2)2﹣4，
∴A(﹣2，﹣4)；
(2)如图1，过P作PH⊥x轴交OB于H，作PG⊥BC于G，过M作MD⊥y轴交y轴于D，
∵点B为抛物线上横坐标等于﹣6的点，∴B(﹣6，12)，
∴直线AB解析式为y＝﹣2x
设P(m，m2+4m)，则H(m，﹣2m)，PH＝﹣2m﹣(m2+4m)＝﹣m2﹣6m
∵点M为线段OB的中点，∴M(﹣3，6)，∴MD＝3
∵PH∥y轴∴∠PHG＝∠MOD
∵PG⊥BC MD⊥y轴
∴∠PGH＝∠MDO∴△PGH∽△MDO
∴＝，即 PG?MO＝PH?MD＝3(﹣m2﹣6m)＝﹣3m2﹣18m，
∴S△POM＝PG?MO＝﹣9m＝﹣(m+3)2+
∵﹣＜0，∴当m＝﹣3时，S△POM的值最大，此时P(﹣3，﹣3)，
在PC上取点T，使得PT＝，连接QT，OT，
∵PC＝3，PQ＝∴＝＝
∵∠QPT＝∠CPQ∴△QPT∽△CPQ∴＝＝，即TQ＝QC，
∴OQ+QC＝OQ+TQ≥OT
∵OT＝＝＝
∴OQ+QC的最小值为；
练1.1如图1，抛物线y＝ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m，0)(0＜m＜4)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
(1)求a的值和直线AB的函数表达式；
(2)设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；
(3)如图2，在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．
【解答】解：(1)令y＝0，则ax2+(a+3)x+3＝0，
∴(x+1)(ax+3)＝0，
∴x＝﹣1或﹣，
∵抛物线y＝ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，
∴﹣＝4，
∴a＝﹣．
∵A(4，0)，B(0，3)，
设直线AB解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．
(2)如图1中，
∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∴＝，
∵NE∥OB，
∴＝，
∴AN＝(4﹣m)，
∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，
∴PN＝﹣m2+m+3﹣(﹣m+3)＝﹣m2+3m，
∴＝，
解得m＝2或4，
经检验x＝4是分式方程的增根，
∴m＝2．
(3)如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．
∵OE′＝2，OM′?OB＝×3＝4，
∴OE′2＝OM′?OB，
∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴＝＝，
∴M′E′＝BE′，
∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小(两点间线段最短，A、M′、E′共线时)，
最小值＝AM′＝＝．
练1.2如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6(a≠0)与x轴交于点A(8，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m，0)(0＜m＜8)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
(1)分别求出直线AB和抛物线的函数表达式．
(2)设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2＝36：25，求m的值．
(3)如图2，在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接E′A、E′B．①在x轴上找一点Q，使△OQE′∽△OE′A，并求出Q点的坐标．
②求BE′+AE′的最小值．
【解答】解：(1)把点A(8，0)代入抛物线y＝ax2﹣6ax+6，得64a﹣48a+6＝0，
∴16a＝﹣6，a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x+6与y轴交点，令x＝0，得y＝6，
∴B(0，6)．
设AB为y＝kx+b过A(8，0)，B(0，6)，
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6．
(2)∵E(m，0)，
∴N(m，﹣m+6)，P(m，﹣m2+m+6)．
∵PE∥OB，
∴△ANE∽△ABO，
∴＝，
∴＝，解得：AN＝．
∵PM⊥AB，
∴∠PMN＝∠NEA＝90°．
又∵∠PNM＝∠ANE，
∴△NMP∽△NEA．
∵＝，
∴，
∴PM＝AN＝×＝12﹣m．
又∵PM＝﹣m2+m+6﹣6+m＝﹣m2+3m，
∴12﹣m＝﹣m2+3m，整理得：m2﹣12m+32＝0，解得：m＝4或m＝8．
∵0＜m＜8，
∴m＝4．
(3)①在(2)的条件下，m＝4，
∴E(4，0)，
设Q(d，0)．
由旋转的性质可知OE′＝OE＝4，
若△OQE′∽△OE′A．
∴＝．
∵0°＜α＜90°，
∴d＞0，
∴＝，解得：d＝2，
∴Q(2，0)．
②由①可知，当Q为(2，0)时，
△OQE′∽△OE′A，且相似比为＝＝＝，
∴AE′＝QE′，
∴BE′+AE′＝BE′+QE′，
∴当E′旋转到BQ所在直线上时，BE′+QE′最小，即为BQ长度，
∵B(0，6)，Q(2，0)，
∴BQ＝＝2，
∴BE′+AE′的最小值为2．
练1.3如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点P．连接AC．
(1)求点P的坐标及直线AC的解析式；
(2)如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OF，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接FA、FC．求AF+CF的最小值；
【解答】解：(1)在抛物线y＝x2+x+3中，
当x＝0时，y＝3，
∴C(0，3)，
当y＝3时，x1＝0，x2＝2，
∴P(2，3)，
当y＝0时，x1＝﹣4，x2＝6，
B(﹣4，0)，A(6，0)，
设直线AC的解析式为y＝kx+3，
将A(6，0)代入，
得，k＝﹣，
∴yAC＝﹣x+3，
∴点P坐标为P(2，3)，直线AC的解析式为yAC＝﹣x+3；
(2)在OC上取点H(0，)，连接HF，AH，
则OH＝，AH＝＝＝，
∵＝＝，＝，且∠HOF＝∠FOC，
∴△HOF∽△FOC，
∴＝，
∴HF＝CF，
∴AF+CF＝AF+HF≥AH＝，
∴AF+CF的最小值为；
练1.4如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．
(1)求抛物线解析式及B点坐标；
(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
(3)如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
【解答】解：(1)直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5
∴C(0，5)
y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1
∴A(1，0)
∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5
当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5
∴B(5，0)
(2)如图1，过点M作MH⊥x轴于点H
∵A(1，0)，B(5，0)，C(0，5)
∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5
∴S△ABC＝AB?OC＝×4×5＝10
∵点M为x轴下方抛物线上的点
∴设M(m，m2﹣6m+5)(1＜m＜5)
∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5
∴S△ABM＝AB?MH＝×4(﹣m2+6m﹣5)＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2(m﹣3)2+8
∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2(m﹣3)2+8]＝﹣2(m﹣3)2+18
∴当m＝3，即M(3，﹣4)时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18
(可以直接利用点M是抛物线的顶点时，面积最大求解)
(3)如图2，在x轴上取点D(4，0)，连接PD、CD
∴BD＝5﹣4＝1
∵AB＝4，BP＝2
∴
∵∠PBD＝∠ABP
∴△PBD∽△ABP
∴＝＝，
∴PD＝AP
∴PC+PA＝PC+PD
∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小
∵CD＝
∴PC+PA的最小值为
练1.5如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A(，0)，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝3OA＝OC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值；
(3)当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求AQ+EQ的最小值．
【解答】解：(1)由题意A(，0)，B(﹣3，0)，C(0，﹣3)，
设抛物线的解析式为y＝a(x+3)(x﹣)，
把C(0，﹣3)代入得到a＝．
故抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3．
(2)在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝，
∴∠OAC＝60°，
∵AD平分∠OAC，
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝OA?tan30°＝1，
∴D(0，﹣1)，
∴直线AD的解析式为y＝x﹣1，
由题意P(m，m2+m﹣3)，H(m，m﹣1)，F(m，0)，
∵FH＝PH，
∴1﹣m＝m﹣1﹣(m2+m﹣3)
解得m＝﹣或(舍弃)，
∴当FH＝HP时，m的值为﹣．
(3)如图，∵PF是对称轴，
∴F(﹣，0)，H(﹣，﹣2)，
∵AH⊥AE，
∴∠EAO＝60°，
∴EO＝OA＝3，
∴E(0，3)，
∵C(0，﹣3)，
∴HC＝＝2，AH＝2FH＝4，
∴QH＝CH＝1，
在HA上取一点K，使得HK＝，此时K(﹣，﹣)，
∵HQ2＝1，HK?HA＝1，
∴HQ2＝HK?HA，
∴＝，
∵∠QHK＝∠AHQ，
∴△QHK∽△AHQ，
∴＝＝，
∴KQ＝AQ，
∴AQ+QE＝KQ+EQ，
∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值＝＝．
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