中考数学压轴题--二次函数
第7节 线段之差最值问题
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方法点拨
(1)在直线l同侧有两点A、B，在直线L上找一点P，使|PA﹣PB|最大；
(2)在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PA﹣PB|最大；
(3)在直线l两侧有两点A、B，在直线l上找一点P，使|PA﹣PB|最小．
(1)如图所示：
(2)如图所示：
(3)如图所示：
例题演练
1．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2的顶点为A，与y轴交于点B．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)若点P是x轴上任意一点，求证：|PA﹣PB|≤|AB|；
(3)当|PA﹣PB|最大时，求点P的坐标．
【解答】(1)解：抛物线y＝﹣x2﹣x+2与y轴的交于点B，
令x＝0得y＝2．
∴B(0，2)
∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣(x+2)2+3
∴A(﹣2，3)
(2)证明：当点P是AB的延长线与x轴交点时，
|PA﹣PB|＝|AB|．
当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，
在点P、A、B构成的三角形中，|PA﹣PB|＜|AB|．
综合上述：|PA﹣PB|≤|AB|
(3)解：作直线AB交x轴于点P，由(2)可知：当|PA﹣PB|最大时，点P是所求的点
作AH⊥OP于H．
∵BO⊥OP，
∴△BOP∽△AHP
∴
由(1)可知：AH＝3、OH＝2、OB＝2，
∴OP＝4，
故P(4，0)．
注：求出AB所在直线解析式后再求其与x轴交点P(4，0)等各种方法只要正确也相应给分．
2．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为点A(﹣2，3)，且抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点B(0，2)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)是否在x轴上存在点P使△PAB为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若点P是x轴上任意一点，则当PA﹣PB最大时，求点P的坐标．
【解答】解：(1)∵抛物线的顶点坐标为A(﹣2，3)，∴可设抛物线的解析式为y＝a(x+2)2+3(a≠0)，
由题意得：a(0+2)2+3＝2，解得：a＝﹣．
∴物线的解析式为y＝﹣(x+2)2+3，即y＝﹣x2﹣x+2．
(2)设存在符合条件的点P，其坐标为(p，0)，则
PA2＝(﹣2﹣p)2+32，PB2＝p2+22，AB2＝(3﹣2)2+22＝5
当PA＝PB时，(﹣2﹣p)2+32＝p2+22，解得：p＝﹣；
当PA＝AB时，(﹣2﹣p)2+32＝5，方程无实数解；
当PB＝AB时，p2+22＝5，解得p＝±1．
∴x轴上存在符合条件的点P，其坐标为(﹣，0)或(﹣1，0)或(1，0)．
(3)∵|PA﹣PB|≤AB，
∴当A、B、P三点共线时，可得PA﹣PB的最大值，这个最大值等于AB，此时点P是直线AB与x轴的交点．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则：
，解得．
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2，
当y＝﹣x+2＝0时，解得x＝4．
∴当PA﹣PB最大时，点P的坐标是(4，0)．
3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与x轴的交点为D．
(1)求直线BC的解析式；
(2)点E(m，0)，F(m+2，0)为x轴上两点，其中2＜m＜4，EE′，FF′分别垂直于x轴，交抛物线于点E′，F′，交BC于点M，N，当ME′+NF′的值最大时，在y轴上找一点R，使|RF′﹣RE′|的值最大，请求出R点的坐标及|RF′﹣RE′|的最大值；
(3)如图2，已知x轴上一点P(，0)，现以P为顶点，2为边长在x轴上方作等边三角形QPG，使GP⊥x轴，现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P到达点A时停止，记平移后的△QPG为△Q′P′G′．设△Q′P′G′与△ADC的重叠部分面积为s．当Q′到x轴的距离与点Q′到直线AW的距离相等时，求s的值．
【解答】解：(1)令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，
解方程得：x＝6或x＝﹣2，
∴A(﹣2，0)，B(6，0)，
又y＝﹣x2+x+3＝﹣(x﹣2)2+4，
又顶点C(2，4)，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，代入B、C两点坐标得：
，
解得：，
∴y＝﹣x+6；
(2)如图1，
∵点E(m，0)，F(m+2，0)，
∴E′(m，﹣m2+m+3)，F′(m+2，﹣m2+4)，
∴E′M＝﹣m2+m+3﹣(﹣m+6)＝﹣m2+2m﹣3，
F′N＝﹣m2+4﹣(﹣m+4)＝﹣m2+m，
∴E′M+F′N＝﹣m2+2m﹣3+(﹣m2+m)＝﹣m2+3m﹣3，
当m＝﹣＝3时，E′M+F′N的值最大，
∴此时，E′(3，)F′(5，)，
∴直线E′F′的解析式为：y＝﹣x+，
∴R(0，)，
根据勾股定理可得：RF′＝10，RE′＝6，
∴|RF′﹣RE′|的值最大值是4；
(3)由题意得，Q点在∠WAB的角平分线或外角平分线上，
①如图2，当Q点在∠WAB的角平分线上时，
Q′M＝Q′N＝，AW＝，
∵△RMQ′∽△WOA，
∴
∴RQ′＝，
∴RN＝+，
∵△ARN∽△AWO，
∵
∴AN＝，
∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，
∴S＝；
②如图3，当Q点在∠WAB的外角平分线上时，
∵△Q′RN∽△WAO，
∴RQ′＝，
∴RM＝﹣，
∵△RAM∽△WOA，
∴AM＝，
在RtQ′MP′中，MP′＝Q′M＝3，
∴AP′＝MP′﹣AM＝3﹣＝，
在Rt△AP′S中，P′S＝AP′＝×，
∴S＝．
4．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A(﹣1，0)，与y轴交于点B，且对称轴为x＝1．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一动点，当|PA﹣PB|取最大值时，求点P的坐标．
【解答】解：(1)由题意得：，解得，
∴该抛物线的解析式 y＝﹣x2+2x+3；
(2)∵抛物线为y＝﹣x2+2x+3，
令x＝0，则y＝3，
∴B(0，3)，
如图所示，根据三角形两边之差小于第三边，所以，当点P在直线AB上时，|PA﹣PB|最大
设抛物线的对称轴直线x＝1与x轴交于点H．
∵PH∥y轴
∴△ABO∽△APH
∴＝＝，
∴PH＝2BO＝6
∴P(1，6)即为所求．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2，0)，且经过点(4，1)，如图，直线y＝x与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝﹣1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使|PA﹣PB|取得最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知F(x0，y0)为平面内一定点，M(m，n)为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
【解答】解：(1)设函数解析式为y＝a(x﹣2)2，
将点(4，1)代入，
得到a＝，
∴y＝(x﹣2)2，
(2)y＝(x﹣2)2与y＝x的交点A(1，)，B(4，1)，
对称轴x＝2，
点A关于对称轴的对称点为A''(3，)，
当点P，A''，B共线时，|PA﹣PB|取得最大值；
设直线A''B的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝x﹣2，
∴P(2，﹣)；
(3)∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，
∴，
∴m2﹣2x0m+y02+﹣2y0n＝2n+1，
∵n＝(m﹣2)2，
∴+﹣2y0﹣3＝0，
∴，
∴，
∴F(2，1)；
6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．
(1)求直线BC的解析式；
(2)过P作PM⊥x轴，交BC于M，当PM﹣CM的值最大时，求P的坐标和PM﹣CM的最大值；
(3)如图2，将该抛物线向右平移1个单位，得到新的抛物线y1，过点P作直线BC的垂线，垂足为E，作y1对称轴的垂线，垂足为F，连接EF，请直接写出当△PEF是以PF为腰的等腰三角形时，点P的横坐标．
【解答】解：(1)对于抛物线y＝，令x＝0，得y＝3，
∴C(0，3)．
令y＝0，则＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝4，
∴A(﹣2，0)，B(4，0)．
设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，将点B，C的坐标代入，
得解得
∴直线BC的函数解析式为y＝；
(2)设点P的坐标为(m，)(0＜m＜4)，
则点M的坐标为(m，+3)，
∴PM＝yP﹣yM＝﹣(+3)＝，
CM＝，
∴PM﹣CM＝﹣＝+m＝．
∵＜0，
∴该抛物线开口向下，
∴当m＝时，PM﹣CM取得最大值，最大值为．
将m＝代入y＝中，得y＝，
∴P(，)；
(3)如图，过点P作PK⊥x轴于点K，交直线BC于点H．
由(1)，易得OC＝3，OB＝4，BC＝5．
设点P的坐标为(n，)(0＜n＜4)，则点H的坐标为(n，+3)，
∴PH＝．
在Rt△PEH中，PE＝PH?cos∠EPH．
∵PE⊥BC，∠PHE＝∠BHK，
∴∠EPH＝∠KBH．
∵cos∠KBH＝，
∴PE＝()＝．
∵原抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴将抛物线向右平移1个单位后，新抛物线的对称轴为直线x＝2．
又∵点F在新抛物线的对称轴上，PE垂直新抛物线的对称轴，
∴xF＝2，PF＝|n﹣2|．
∵PF＝PE，
∴＝|n﹣2|．
①当n＞2时，＝n﹣2，解得；
②当n＜2时，＝﹣(n﹣2)，解得．
综上，当△PEF是以PF为腰的等腰三角形时，点P的横坐标为或．
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