中考数学压轴题--二次函数--存在性问题
第13节 面积等量问题的存在性
方法点拨
面积转化
例题演练
1．抛物线y＝﹣x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC．
(1)如图1，求直线BC的表达式；
(2)如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，连接PC，PB，当△PCB面积最大时，一动点Q从点P从出发，沿适当路径运动到y轴上的某个点G再沿适当路径运动到x轴上的某个点H处，最后到达线段BC的中点F处停止．求当△PCB面积最大时，点P的坐标及点Q在整个运动过程中经过的最短路径的长；
(3)如图2，在(2)的条件下，当△PCB面积最大时，把抛物线y＝﹣x+3向右平移使它的图象经过点P，得到新抛物线y''，在新抛物线y''上是否存在点E，使△ECB的面积等于△PCB的面积．若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴令x＝0，
∴y＝3，
∴C(0，3)，
令y＝0，
∴0＝﹣x+3，
∴x＝﹣或x＝3，
∴B(3，0)，
设直线BC的解析式为y＝kx+3，
∴3k+3＝0，
∴k＝﹣，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
(2)如图1，设P(m，﹣m2+m+3)(0＜m＜3)，
过点P作PM∥y轴交BC于M，
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴M(m，﹣m+3)，
∴PM＝﹣m2+m+3﹣(﹣m+3)＝﹣m2+m＝﹣(m﹣)2+，
∴S△PBC＝[﹣(m﹣)2+]×3＝﹣(m﹣)2+，
∴m＝时，S△PBC的面积最大，最大值为，
即：点P(，)，
∵B(3，0)，C(0，3)，
∴F(，)，
∴点M和点F重合，
作点P(，)关于y轴的对称点P''(﹣，)，
再作点F(，)关于x的对称点F''(，﹣)，
连接P''F''交y轴于G，交x轴于H，连接PD，G，H，HF
此时PG+GH+HF最小，最小值为P''F''＝；
(3)如图2，在抛物线y＝﹣x+3＝﹣(x﹣)2+4中，
令y＝，
∴＝﹣x+3，
∴x＝或x＝，
由平移知，抛物线y向右平移到y''，则平移了﹣＝个单位，y''＝﹣(x﹣2)2+4＝﹣x2+2，
设点E(n，﹣n2+2n)，
过点E作EQ∥y轴交BC于Q，
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴Q(n，﹣n+3)，
∴EQ＝|﹣n2+2n+n﹣3|＝|n2﹣5n+6|
∵△ECB的面积等于△PCB的面积，
由(2)知，PM＝﹣(m﹣)2+，
∴PM最大＝
∴EQ＝PM最大，
∴|n2﹣5n+6|＝
∴n＝或n＝或n＝或(舍)，
∴E(，﹣)或(，﹣)或(，)．
2．如图，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3m(m＞0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点M为抛物线的顶点．
(1)求A，B两点的坐标；
(2)是否存在以BM为斜边的Rt△BCM的抛物线？若存在，请求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由；
(3)在(2)的条件下，若抛物线上有一点P，连接PC交线段BM于Q点，且S△BPQ＝S△CMQ，请写出点P的坐标．
【解答】解：(1)令y＝0，则mx2﹣2mx﹣3m＝0，
即x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
所以，点A(﹣1，0)，B(3，0)；
(2)令x＝0，则y＝﹣3m，
∴点C坐标为(0，﹣3m)，
∵y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m(x﹣1)2﹣4m，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点M坐标为(1，﹣4m)，
∴BC2＝32+(3m)2＝9+9m2，BM2＝(3﹣1)2+(4m)2＝4+16m2，MC2＝12+[(﹣3m﹣(﹣4m)]2＝1+m2，
∵Rt△BCM以BM为斜边，
∴BC2+MC2＝BM2，
即9+9m2+1+m2＝4+16m2，
整理得，m2＝1，
解得m＝±1，
∵m＞0，
∴m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
(3)在(2)的条件下，点C坐标为(0，﹣3)，M(1，﹣4)，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
所以直线BC的解析式为y＝x﹣3，
∵S△BPQ＝S△CMQ，
∴S△BPQ+S△BCQ＝S△CMQ+S△BCQ，
即S△BPC＝S△BMC，
∴点P到BC的距离等于点M到BC的距离，
∴MP∥BC，
设MP的解析式为y＝x+c，
则1+c＝﹣4，
解得c＝﹣5，
所以，直线MP的解析式为y＝x﹣5，
联立，
解得(为点M坐标)，，
所以，点P的坐标为(2，﹣3)．
3．已知抛物线C：y＝﹣x2+x+2与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，与y轴交于点K，顶点为D．
(Ⅰ)求点A，B，K，D的坐标；
(Ⅱ)若向下平移抛物线C，使顶点D落在x轴上，抛物线C上的点P平移后的对应点为P′，若OP′＝OP，求点P的坐标；
(Ⅲ)点E(﹣2，n)在抛物线C上，则在抛物线C上是否存在一点Q，使△QBE的面积是△BEK面积的一半，若存在，求满足条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：(Ⅰ)对于y＝﹣x2+x+2①，令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或2，令x＝0，则y＝2，
则点A、B、K的坐标分别为(﹣1，0)、(2，0)、(0，2)，
∵y＝﹣x2+x+2＝﹣(x﹣)2+，
故点D的坐标为(，)；
(Ⅱ)由平移的性质知，平移后的抛物线表达式为y＝﹣(x﹣)2＝﹣x2+x﹣，
设点P的坐标为(x，﹣x2+x+2)，则点P′的坐标为(x，﹣x2+x﹣)，
∵OP′＝OP，
故点P、P′关于x轴对称，
即(﹣x2+x+2)+(x，﹣x2+x﹣)＝0，
解得x＝，
故点P的坐标为(，)或(，)
(Ⅲ)存在，理由：
当x＝﹣2时，n＝y＝﹣x2+x+2，即点E的坐标为(﹣2，﹣4)，
由点B、E的坐标得，直线BE的表达式为y＝x﹣2，
①当点Q在BE上方时，
设直线EB交y轴于点P，则点P的坐标为(0，﹣2)，
取PK的中点M，作直线m∥BE，则直线m和抛物线的交点即为所求的点Q，
由点K、P的坐标得，点M的坐标为(0，0)，
故直线m的表达式为y＝x②，
联立①②得：﹣x2+x+2＝x，解得x＝，
则点Q的坐标为(，)或(﹣，﹣)；
②当点Q在BE的下方时，
同理可得，直线n的表达式为y＝x﹣4，
同理可得，点Q的坐标为(，﹣4)或(﹣，﹣﹣4)，
综上，点Q的坐标为(，)或(﹣，﹣)或(，﹣4)或(﹣，﹣﹣4)．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
(1)求直线BC的解析式；
(2)若点P为抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，S△ABP＝S△ABC，求此时点P的坐标．
(3)若将△AOC沿射线CB方向平移，平移后的三角形记为△A1O1C1，连接AA1，直线AA1交抛物线于M点，是否存在点C1，使得△AMC1为等腰三角形？若存在，直接写出C1点横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：(1)对于y＝x2﹣2x﹣3①，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，
故点A、B、C的坐标分别为(﹣1，0)、(3，0)、(0，﹣3)，
设直线BC的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线BC的表达式为y＝x﹣3；
(2)∵S△ABP＝S△ABC，则|yP|＝|yC|＝×3＝4，
则x2﹣2x﹣3＝±4，
解得x＝1±2或1，
故点P的坐标为(1，4)或(1﹣2，4)或(1，﹣4)；
(3)存在，理由：
由BC的表达式知，直线BC与x轴的夹角为45°，则△AOC沿射线CB向右平移m个单位就向上平移了m个单位，
则点C1(m，m﹣3)，
∵AA1∥BC，则设直线AA1的表达式为y＝x+s，
将点A的坐标代入上式并解得s＝1，
故直线AA1的表达式为y＝x+1②，
联立①②并解得，即点M的坐标为(4，5)，
由点A、M、C1的坐标的：AM2＝50，MC12＝(m﹣4)2+(m﹣8)2，AC12＝(m+1)2+(，m﹣3)2，
当AM＝MC1时，则AM2＝(m﹣4)2+(m﹣8)2，解得m＝6±；
当AM＝AC1时，同理可得：m＝1(舍去负值)；
当MC1＝AC1时，同理可得：m＝3.5；
综上，点C1的横坐标为6+或6﹣或1+或3.5．
5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知A、B两点的坐标分别为(﹣4，0)、(4，0)，C(m，0)是线段AB上一动点(与A、B两点不重合)，抛物线l1：y＝ax2+b1x+c1(a＞0)经过点A、C，顶点为D，抛物线l2：y＝ax2+b2x+c2(a＞0)经过点C、B，顶点为E，直线AD、BE相交于F．
(1)若a＝，m＝﹣1，求抛物线l1、l2的解析式；
(2)若a＝1，∠AFB＝90°，求m的值；
(3)如图2，连接DC、EC，记△DAC的面积为S1，△ECB的面积为S2，△FAB的面积为S，问是否存在点C使得2S1?S2＝a?S，若存在，请求出C的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：(1)解：(1)将A、C点代入y＝ax2+b1x+c1中，可得：，解得：，
∴抛物线L1解析式为y＝x2++2；
同理可得：，解得：，
∴抛物线L2解析式为y＝x2﹣x﹣2；
(2)如图，过点D作DG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H，
由题意得：，解得：，
∴抛物线L1解析式为y＝x2+(4﹣m)x﹣4m；
∴点D坐标为(，﹣)，
∴DG＝，AG＝；
同理可得：抛物线L2解析式为y＝x2﹣(m+4)x+4m；
∴EH＝，BH＝，
∵AF⊥BF，DG⊥x轴，EH⊥x轴，
∴∠AFB＝∠AGD＝∠EHB＝90°，
∵∠DAG+∠ADG＝90°，∠DAG+∠EBH＝90°，
∴∠ADG＝∠EBH，
∵在△ADG和△EBH中，
，
∴△ADG～△EBH，
∴＝，
∴＝，化简得：m2＝12，
解得：m＝±2；
(3)设L1：y＝a(x+4)(x﹣m)＝ax2+(4﹣m)ax﹣4ma，L2：y＝a(x﹣4)(x﹣m)＝ax2﹣(4+m)ax+4ma，
∴D(，﹣a)，E(，﹣a)，
∴直线AF的解析式为y＝﹣x﹣2a(m+4)，直线BF的解析式为y＝﹣x+2a(m﹣4)，
由，解得，
∴F(﹣m，)，
∵2S1?S2＝a?S，
∴2××(m+4)×a××(4﹣m)×＝a××8×[﹣a]，
整理得：(m2﹣16)2＝64，
∴m2﹣16＝±8，
解得m＝±2或±2(舍弃)，
∴C(2，0)或(﹣2，0)；
6．如图，抛物线l1：y＝﹣x2平移得到抛物线l2，且经过点O(0，0)和点A(4，0)，l2的顶点为点B，它的对称轴与l2相交于点C，设l1、l2与BC围成的阴影部分面积为S，解答下列问题：
(1)求l2表示的函数解析式及它的对称轴，顶点的坐标．
(2)求点C的坐标，并直接写出S的值．
(3)在直线AC上是否存在点P，使得S△POA＝S？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【参考公式：抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣，顶点坐标是(﹣，)】．
【解答】解：(1)设l2的函数解析式为y＝﹣x2+bx+c，
把点O(0，0)和点A(4，0)代入函数解析式，得：
，
解得：，
∴l2表示的函数解析式为：y＝﹣x2+4x，
∵y＝﹣x2+4x＝﹣(x﹣2)2+4，
∴l2的对称轴是直线x＝2，顶点坐标B(2，4)；
(2)当x＝2时，y＝﹣x2＝﹣4，
∴C点坐标是(2，﹣4)，
∵顶点坐标B(2，4)，
∴S即是抛物线l1、l2与x轴组成的面积，
∴S＝×2×(4+4)＝8；
(3)存在．
理由：设直线AC表示的函数解析式为y＝kx+n，
把A(4，0)，C(2，﹣4)代入得：，
解得：，
∴y＝2x﹣8，
设△POA的高为h，
S△POA＝OA?h＝2h＝4，
设点P的坐标为(m，2m﹣8)．
∵S△POA＝S，且S＝8，
∴S△POA＝×8＝4，
当点P在x轴上方时，得×4(2m﹣8)＝4，
解得m＝5，
∴2m﹣8＝2．
∴P的坐标为(5，2)．
当点P在x轴下方时，得×4(8﹣2m)＝4．
解得m＝3，
∴2m﹣8＝﹣2，
∴点P的坐标为(3，﹣2)．
综上所述，点P的坐标为(5，2)或(3，﹣2)．
7．如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(﹣3，﹣3)．
(1)求正比例函数和反比例函数的表达式；
(2)把直线OA向上平移后与反比例函数的图象交于点B(﹣6，m)，与x轴交于点C，求m的值和直线BC的表达式；
(3)在(2)的条件下，直线BC与y轴交于点D，求以点A，B，D为顶点的三角形的面积；
(4)在(3)的条件下，点A，B，D在二次函数的图象上，试判断该二次函数在第三象限内的图象上是否存在一点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1＝S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：(1)设正比例函数的解析式是y＝kx，代入(﹣3，﹣3)，得：﹣3k＝﹣3，解得：k＝1，
则正比例函数的解析式是：y＝x；
设反比例函数的解析式是y＝，把(﹣3，﹣3)代入解析式得：k1＝9，
则反比例函数的解析式是：y＝；
(2)m＝＝﹣，则点B的坐标是(﹣6，﹣)，
∵y＝k3x+b的图象是由y＝x平移得到，
∴k3＝1，即y＝x+b，
故一次函数的解析式是：y＝x+；
(3)∵y＝x+的图象交y轴于点D，
∴D的坐标是(0，)，
作AM⊥y轴于点M，作BN⊥y轴于点N．
∵A的坐标是(﹣3，﹣3)，B的坐标是(﹣6，﹣)，
∴M的坐标是(0，﹣3)，N的坐标是(0，﹣)．
∴OM＝3，ON＝．
则MD＝3+＝，DN＝+＝6，MN＝3﹣＝．
则S△ADM＝×3×＝，S△BDN＝×6×6＝18，S梯形ABNM＝×(3+6)×＝．
则S四边形ABDM＝S梯形ABNM+S△BDN＝+18＝，
S△ABD＝S四边形ABDM﹣S△ADM＝﹣＝；
(4)设二次函数的解析式是y＝ax2+bx+，
则，
解得：，
则这个二次函数的解析式是：y＝x2+4x+；
点C的坐标是(﹣，0)．
则四边形OABD的面积S＝S△ABD+S△AOD＝+××3＝．
假设存在点E(x0，y0)，使S1＝S＝×＝．
∵四边形CDOE的顶点E只能在x轴的下方，
∴y0＜0，
∴S1＝S△OCD+S△OCE＝××﹣×y0＝﹣y0，
∴﹣y0＝，
∴y0＝﹣4，
∵E(x0，y0)在二次函数的图象上，
∴x02+4x0+＝﹣4，
∴方程无解，
∴不存在．
8．如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3，3)．
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式；
(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6，m)，求m的值和这个一次函数的解析式；
(3)第(2)问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的三角形的面积．
(4)在第(3)问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1＝S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：(1)设正比例函数的解析式是y＝kx，代入(3，3)，得：3k＝3，解得：k＝1，
则正比例函数的解析式是：y＝x；
设反比例函数的解析式是y＝，把(3，3)代入解析式得：k1＝9，
则反比例函数的解析式是：y＝；
(2)m＝＝，则点B的坐标是(6，)，
∵y＝k3x+b的图象是由y＝x平移得到，
∴k3＝1，即y＝x+b，
一次函数的解析式是：y＝x﹣；
(3)∵y＝x﹣的图象交y轴于点D，
∴D的坐标是(0，﹣)，
作AM⊥y轴于点M，作BN⊥y轴于点N．
∵A的坐标是(3，3)，B的坐标是(6，)，
∴M的坐标是(0，3)，N的坐标是(0，)．
∴OM＝3，ON＝．
则MD＝3+＝，DN＝+＝6，MN＝3﹣＝．
则S△ADM＝×3×＝，S△BDN＝×6×6＝18，S梯形ABNM＝(3+6)×＝．
则S四边形ABDM＝S梯形ABNM+S△BDN＝+18＝，
S△ABD＝S四边形ABDM﹣S△ADM＝﹣＝＝；
(4)设二次函数的解析式是y＝ax2+bx﹣，
则，
解得：，
则这个二次函数的解析式是：y＝﹣x2+4x﹣；
点C的坐标是(，0)．
则S＝×6﹣×6×6﹣×3×3＝45﹣18﹣﹣＝．
假设存在点E(x0，y0)，使S1＝S＝×＝．
∵四边形CDOE的顶点E只能在x轴的上方，
∴y0＞0，
∴S1＝S△OCD+S△OCE＝××+y0
＝+y0，
∴+y0＝，
∴y0＝，
∵E(x0，y0)在二次函数的图象上，
∴﹣x02+4x0﹣＝，
解得：x0＝2或6．
当x0＝6时，点E(6，)与点B重合，这时CDOE不是四边形，故x0＝6，(舍去)．
∴E的坐标是(2，)．
9．如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3，3)．
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式；
(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6，m)，求m的值和这个一次函数的解析式；
(3)第(2)问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；
(4)在第(3)问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使△OCE的面积S1与△OCD的面积S满足：S1＝S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：(1)设正比例函数的解析式为y＝ax，反比例函数的解析式为，
∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3，3)，
∴3＝3a，3＝，
∴a＝1，k＝9，
∴正比例函数的解析式为y＝x，反比例函数的解析式为y＝．
(2)∵点B(6，m)在反比例函数上，
∴m＝，
∴B点的坐标为(6，)，
∵直线BD是直线OA平移后所得的直线，
∴可设直线BD的解析式为y＝x+b，
将B点代入上面的关系式得：
，
∴b＝，
∴这个一次函数的解析式为y＝x﹣．
(3)令y＝x﹣中的x＝0得，y＝，
∴D(0，)，
令y＝x﹣中的y＝0得，x＝，
∴C(，0)，
设过A、B、D三点的二次函数的解析式为：
y＝ax2+bx+c，
将A(3，3)、B(6，)、D(0，﹣)三点代入上面的关系式得：
，
解得：，
∴过A、B、D三点的二次函数的解析式为：，
(4)存在点E，使△OCE的面积S1与△OCD的面积S满足：S1＝S，
∵，
∴S1＝S＝，
设E点的坐标为(x，y)，
∵，
∴，
∴y＝±3，
将y＝3代入得：
x1＝3，x2＝5，
∴E1(3，3)，E2(5，3)，
将y＝﹣3代入得：
，
∴，
∴存在4个点E，E1(3，3)，E2(5，3)，，使△OCE的面积S1与△OCD的面积S满足：S1＝S．
10．如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3，3)．
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式；
(2)把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6，m)，求m的值和这个一次函数的解析式；
(3)第(2)问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；
(4)在第(3)问的条件下，二次函数在第一象限的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1＝S？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：(1)设正比例函数的解析式为y＝k1x(k1≠0)，
因为y＝k1x的图象过点A(3，3)，
所以3＝3k1，解得k1＝1．
这个正比例函数的解析式为y＝x．
设反比例函数的解析式为y＝(k2≠0)，
因为y＝的图象过点A(3，3)，
所以3＝，
解得k2＝9．
这个反比例函数的解析式为y＝．
(2)因为点B(6，m)在y＝的图象上，
所以m＝＝，
则点B(6，)．
设一次函数解析式为y＝k3x+b(k3≠0)，
因为y＝k3x+b的图象是由y＝x平移得到的，
所以k3＝1，即y＝x+b．
又因为y＝x+b的图象过点B(6，)，
所以＝6+b，
解得b＝﹣，
∴一次函数的解析式为y＝x﹣．
(3)因为y＝x﹣的图象交y轴于点D，
所以D的坐标为(0，﹣)．
设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c(a≠0)．
因为y＝ax2+bx+c的图象过点A(3，3)、B(6，)、和D(0，﹣)，
所以，
解得，
这个二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣．
(4)方法一：
∵交x轴于点C，
∴点C的坐标是(，0)，
如图所示，连接OE，CE，过点A作AF∥x轴，交y轴于点F，过点B作BH∥y轴，交AF于点H，过点D作DG∥x轴，交直线BH于点G，则S＝×6﹣×6×6﹣××3﹣×3×3＝45﹣18﹣﹣＝．
假设存在点E(x0，y0)，使S1＝S＝．
∵四边形CDOE的顶点E只能在x轴上方，
∴y0＞0，
∴S1＝S△OCD+S△OCE＝＝．
∴，
∴．
∵E(x0，y0)在二次函数的图象上，
∴．
解得x0＝2或x0＝6．
当x0＝6时，点E(6，)与点B重合，这时CDOE不是四边形，故x0＝6舍去，
∴点E的坐标为(2，)．
方法二：
过点O作BD的垂线，垂足为H，设E(t，﹣)，
∵OH⊥CD，∴OH＝，
∵SOECD＝S△OEC+S△OCD＝＝＝，
∵OA∥BD，
∴SOABD＝＝，
∵S1＝S，
∴＝，
∴t1＝2，t2＝6，
∴E1(2，)，E2(6，)，
∵E2(6，)在直线CD上，故舍去，
∴E(2，)．
11．如图，抛物线经过点A(﹣6，0)，B(﹣2，0)，C(0，3)，
(1)求该抛物线的解析式；
(2)过C点作x轴的平行线交抛物线于点D，请直接写出D的坐标；
(3)在该抛物线是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：(1)设抛物线解析式为y＝a(x+6)(x+2)，
把C(0，3)代入得a×6×2＝3，解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝(x+6)(x+2)，
即y＝x2+2x+3；
(2)∵CD∥x轴，
∴C点和D点的纵坐标都为3，
当y＝3时，x2+2x+3＝3，解得x1＝0，x2＝﹣8，
∴D点坐标为(﹣8，3)；
故答案为(﹣8，3)；
(3)存在．
设P(x，x2+2x+3)
∵，
∴×8×|x2+2x+3﹣3|＝××4×3，
整理得|x2+2x|＝4，
解方程x2+2x＝4得 x1＝﹣4﹣4，x2＝﹣4+4，此时P点坐标为(﹣4﹣4，7)或(﹣4+4，7)；
解方程x2+2x＝﹣4得 x1＝x2＝﹣4，此时E点坐标为(﹣4，﹣1)．
综上所述，P点坐标为(﹣4﹣4，7)或(﹣4+4，7)或(﹣4，﹣1)．
12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣5ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OB＝OC＝8．
(1)求a，c的值．
(2)点P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点D，设点P的横坐标为t，线段CD的长为d，求d与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
(3)在(2)的条件下，点Q为抛物线上一动点，当tan∠PAB＝时，是否存在点Q，使得S△APQ＝S△ABC？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：(1)由函数的图象及OB＝OC＝8，得B(8，0)、C(0，﹣8)，
把B(8，0)、C(0，﹣8)代入y＝ax2﹣5ax+c，
得，解得，
∴a、c的值分别为、﹣8．
(2)如图1，作PE⊥x轴于点E.
由(1)得，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣8，
∴P(t，t2﹣t﹣8)，E(t，0)；
当y＝0时，由x2﹣x﹣8＝0，得x1＝﹣3，x2＝8，
∴A(﹣3，0)；
∵OD∥PE，
∴△ADO∽△APE，
∴，
∴，
整理，得OD＝t﹣8，
∵CD＝OD+OC＝t﹣8+8＝t，点P在第一象限，
∴d＝t(t＞8)．
(3)存在．
∵AB＝8﹣(﹣3)＝11，OC＝8，
∴S△ABC＝×11×8＝44，
∴S△APQ＝S△ABC＝×44＝110；
∵＝tan∠PAB＝，OA＝3，
∴OD＝×3＝1；
设直线AP的解析式为y＝kx+1，则0＝﹣3k+1，解得k＝，
∴y＝x+1；
由，得，，
∴P(9，4)，E(9，0)．
过点Q作QF⊥x轴于点G，交AP点于F，
设Q(x，x2﹣x﹣8)，则F(x，x+1)．
如图2，当点Q在x轴的下方，则QF＝x+1﹣x2+x+8＝﹣x2+2x+9，AE＝9﹣(﹣3)＝12，
∵S△APQ＝QF?AG+QF?GE＝QF?AE，
∴110＝×12(﹣x2+2x+9)，
整理，得x2﹣6x+28＝0，
∵△＝(﹣6)2﹣4×1×28＝﹣76＜0
∴此方程无解；
如图3，点Q在x轴的上方，且点Q在第二象限，则S△APQ＝QF?EG﹣QF?AG＝QF?AE；
如图4，点Q在x轴的上方，且点Q在第一象限，则S△APQ＝QF?AG﹣QF?EG＝QF?AE；
QF＝x2﹣x﹣8﹣x﹣1＝x2﹣2x﹣9，AE＝9﹣(﹣3)＝12，
∴110＝×12(x2﹣2x﹣9)，
整理，得x2﹣6x﹣82＝0，
解得x1＝3﹣，x2＝3+．
综上所述，点Q的横坐标为3﹣或3+．
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