第19讲 平行四边形(含多边形)
1．平行四边形
(1)性质：
①平行四边形两组对边分别__相等__；
②平行四边形对角相等，邻角__互补__；
③平行四边形对角线互相__平分__；
④平行四边形是__中心__对称图形．
(2)判定方法：
①定义：两组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
②两组对边分别__相等__的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形；
④两组对角 分别相等 的四边形是平行四边形；
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
2．多边形及其性质(1)多边形：内角和定理：n边形的内角和等于 (n2)·180° ；外角和定理：n边形的外角和为 360；对n边形的一个顶点可引n－3条对角线边形共有 条对角线．(2)正多边形：正多边形各边相等各内角相等各外角相等；正n边形的每一个内角为(n≥3)每一个外角为；对称性：所有的正多边形都是轴对称图形正n边_n__条对称轴；当n是奇数时是轴对称图形不是中心对称图形；当n是偶数时既是轴对称图形又是中心对称图形.
(2017·大庆)如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF.
(1)求证：四边形BDEF为平行四边形；
(2)当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．
【解析】(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C.
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG＝∠C＝∠AEG.
∵BE＝BF，
∴∠F＝∠BEF＝∠AEG，
∴∠F＝∠DEG，
∴BF∥DE.
又∵EG∥BC，即FE∥BD，
∴四边形BDEF为平行四边形；
(2)解：∵∠C＝45°，
∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，
∴△BDE，△BEF均是等腰直角三角形，
∴BF＝BE＝BD＝.
过点F作FM⊥BD交DB的延长线于点M，连接DF，如解图所示．
则△BFM是等腰直角三角形．
∴FM＝BM＝BF＝1，
∴DM＝3.
在Rt△DFM中，由勾股定理得DF＝＝.
即D，F两点间的距离为.
(2018四川省眉山市15分 ) 如图①，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，点M为BC中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.
（1）求证：BN平分∠ABE；
（2）若BD=1，连结DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
（3）如图②，若点F为AB的中点，连结FN、FM，求证：△MFN∽△BDC.
【答案】（1）证明：∵AB=AC,
?∴∠ABC=∠ACB,
又∵M为BC中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM中，
∴∠ABC+∠MAB=90°,
∵AC⊥BD，
在Rt△CBE中，
∴∠ACB+∠EBC=90°,
∴∠MAB=∠EBC,
又∵MB=MN，AM⊥BC，
∴△NBM为等腰直角三角形，
∴∠MBN=∠MNB=45°,
∴∠EBC+∠NBE=45°,∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°,
∵∠MAB=∠EBC,
∴∠NBE=∠ABN,
∴BN平分∠ABE.
（2）解：∵四边形DNBC为平行四边形，
设BM=CM=MN=a，则DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中，
∵
∴△ABN≌△DBN中（SAS），
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，
∵BD=1，AB=AC=BD，
∴AB=1，
∴AM2+BM2=AB2 ，
∴（2a+a）2+a2=1，
解得：a= .
∴BC=2a= .
（3）解证明：∵MB=MN，M为BC中点，
∴MN=MB= BC，
又∵F是AB的中点，AB=AC=BD，
在Rt△ABM中，
∴MF=AF=BF= AB= BD，
∴∠MAB=∠FMN,
由（1）知∠MAB=∠EBC,
∴∠FMN=∠EBC,
又∵ ,
∴△MFN∽△BDC.
一、选择题：
1. （浙江分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9【答案】【解答】解：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，
则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．
故选：D．
在平行四边形ABCD中，B=60°，那么下列各式中，不能成立的是（ ）
A．D=60° B．A=120° C．C+∠D=180° D．C+∠A=180°
【答案】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
A=∠C，B=∠D，
而B=60°，
A=∠C=120°，D=60°．
所以D是错误的．
故选D．
（2018?宁波）如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若ABC=60°，BAC=80°，则1的度数为（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
【答案】【解答】解：ABC=60°，BAC=80°，
BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，
对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，
EO是DBC的中位线，
EO∥BC，
1=∠ACB=40°．故选：B．
（2018·浙江省台州·4分）如图，在ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】【解答】解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠DCE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，
∴BE=BC=3，
∵AB=2，
∴AE=BE﹣AB=1，
故选：B．
2018?陕西?3分）点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E.F分别是AB边上的点，且EF＝AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝BC；若S1,S2分别表示EOF和GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是A．2S1＝3S2. B．2S1＝S2. C． S1＝3S2.D．S1＝S2.
【答案】
【详解】过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，
∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，
∴S平行四边形ABCD=AB?2ON， S平行四边形ABCD=BC?2OM，
∴AB?ON=BC?OM，
∵S1=EF?ON，S2=GH?OM，EF＝AB，GH＝BC，
∴S1=AB?ON，S2=BC?OM，
∴2S1＝3S2，
故答案为：2S1＝3S2.
二、填空题：
6. （2018湖南省衡阳3分）如图，ABCD的对角线相交于点O，且ADCD，过点O作OMAC，交AD于点M．如果CDM的周长为8，那么ABCD的周长是 ．
【答案】【解答】解：ABCD是平行四边形，
OA=OC，
OM⊥AC，
AM=MC．
CDM的周长=ADCD=8，
平行四边形ABCD的周长是28=16．
故答案为16．
（2018?十堰）如图，已知ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=10，AB=5，则OCD的周长为 ．
【答案】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
AB=CD=5，OA=OC=4，OB=OD=5，
OCD的周长=54+5=14，
故答案为14．
株洲如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，且BD＝CD，过点A作AM⊥BD于点M，过点D作DN⊥AB于点N，且DN＝，在DB的延长线上取一点P，满足∠ABD＝∠MAP＋∠PAB，则AP＝_____.
【答案】6
【解析】分析：根据BD=CD，AB=CD，可得BD=BA，再根据AM⊥BD，DN⊥AB，即可得到DN=AM=3，依据∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，即可得到△APM是等腰直角三角形，进而得到AP=AM=6．
详解：∵BD=CD，AB=CD，
∴BD=BA，
又∵AM⊥BD，DN⊥AB，
∴DN=AM=3，
又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠P+∠BAP，
∴∠P=∠PAM，
∴△APM是等腰直角三角形，
∴AP=AM=6，
故答案为：6．
（2018?无锡）如图，已知XOY=60°，点A在边OX上，OA=2．过点A作ACOY于点C，以AC为一边在XOY内作等边三角形ABC，点P是ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点P作PDOY交OX于点D，作PEOX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a2b的取值范围是 ．
【答案】2a+2b≤5．【解答】解：过P作PHOY交于点H，
PD∥OY，PEOX，
四边形EODP是平行四边形，HEP=∠XOY=60°，
EP=OD=a，
RtHEP中，EPH=30°，
EH=EP=a，
a+2b=2（ab）=2（EHEO）=2OH，
当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=OA=1，即a2b的最小值是2；
当P在点B时，OH的最大值是：1=，即（a2b）的最大值是5，
2≤a+2b≤5．
2
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