第22讲 与圆有关的位置关系
1．点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)：
(1)点P在圆上?d＝r；
(2)点P在圆内?d
(3)点P在圆外? d>r．
2．直线和圆的位置关系
(1)设r是⊙O的半径，d是圆心O到直线l的距离．
直线和圆的位置关系 图形 公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系公共点名称直线名称相交 2 d＜r 交点 割线相切 1 d＝r 切点 切线相离 0 d>r 无 无(2)切线的性质：
①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
②推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
③推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
(3)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(4)①切线长：经过圆外一点作圆的一条切线；这一点与切点之间的线段长度叫做点到圆的切线长．
②切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
3．三角形的外接圆和内切圆
名称 图形 内、外心 性质三角形的外接圆 三边垂直平分线的交点称为三角形的外心 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等三角形的内 三条的交点称为三角形的内心 三角形的内心到三角形三条边的距离
考点1：圆的切线的判定与性质
【例题1】如图，AB是⊙O的直径，且长为10，点P是AB下方的半圆上不与点A，B重合的一个动点，点C为AP的中点，延长CO交⊙O于点D，连接AD，过点D作⊙O的切线交PB的延长线于点E，连CE.
(1)若∠ADC＝30°，求的长；
(2)求证：△DAC≌△ECP；
(3)在点P运动过程中，若tan∠DCE＝，求AD的长．
【点拨】 (1)利用同弧所对圆周角与圆心角之间的关系，可求得∠DOB＝60°，利用弧长公式求的长；(2)先证得四边形DCPE是矩形，从而证明△DAC≌△ECP；(3)可以利用tan∠DCE在Rt△DAC中获得三边的数量关系，在Rt△AOC中建立方程求解．
【解答】 解：(1)∵∠ADC＝30°，OA＝OD，∴∠OAD＝30°.
∴∠DOB＝60°.
∴l＝＝.
(2)证明：连接OP.
∵AO＝OP，点C是AP的中点，∴∠DCP＝90°.
∵DE是⊙O的切线，∴∠CDE＝90°.
∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°.∴四边形DCPE是矩形．∴DC＝EP.
又∵AC＝CP，∠ACD＝∠CPE＝90°，∴△DAC≌△ECP(SAS)．
(3)由(2)知，四边形DCPE是矩形，△DAC≌△ECP，
∴∠ADC＝∠CEP＝∠DCE.
∵tan∠DCE＝，∴tan∠ADC＝.
∴设AC＝x，则DC＝2x，AD＝x.Rt△AOC中，OC＝2x－5，AO2＝AC2＋OC2，
∴52＝x2＋(2x－5)2，解得x1＝0(舍去)，x2＝4.
∴AD＝4.
1.切线的判定：在判定直线与圆相切时，若直线与圆的公共点已知，证明方法是“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点未知，证明方法是“作垂线，证半径”．这两种情况可概括为一句话：“有交点，连半径，无交点，作垂线”．
2．求线段长度时通常在构造的直角三角形中(注意直径所对的圆周角也可得直角三角形)利用三角函数或勾股定理求解，有时也需根据圆中相等的角得到相似三角形，根据相似三角形对应边成比例建立等式进行求解．
考点2：圆的切线综合应用
【例题2】（甘肃兰州，27，10分）如图，三角形ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，OD⊥AB于点O，分别交AC、CF于点E、D，且DE=DC．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，BC=，求DE的长．
【提示】OCE+∠DCE=90°，从而证得结论；
（2）第一步：作DH⊥EC，根据“等角的余角相等”可得∠EDH=∠A，△EDC中根据三线合一得EH =HC=EC，于是AB=10，由勾股定理可得AC=；第三步：由△AEO∽△ABC得，代入数据求得AE，进一步求出EC、EH；第四步：由等角的正弦相等得sin∠A= sin∠EDH，从而，进而求得DE的长．
【解答】解：EO=∠DEC， ∴ ∠AEO= ∠DCE，∴∠OCE+∠DCE=90°，∴CF是⊙O的切线．
（2）作DH⊥EC，则∠EDH=∠A，∵DE =DC，∴ EH =HC=EC，∵ ⊙O的半径为5，BC= ∴AB=10，AC=，∵△AEO∽△ABC，∴，
∴AE=，∴EC=AC-AE==，
∴EH=EC=， ∵∠EDH=∠A，∴sin∠A= sin∠EDH，即，
∴DE=．
归纳：当⊙C与AB相切时，只有一个交点，同时要注意AB是线段，当圆的半径R在一定范围内时，斜边AB与⊙C相交且只有一个公共点．
考点3：圆与其它知识的综合应用
【例题3】【例1】 如图点C是以AB为直径的圆O上一点直线AC与过BD，点E是BD的中点直线CE交直线AB于点F.
(1)求证：CF是⊙O的切线；(2)若ED＝3＝求⊙O的半径．【分析】 (1)要判断CF是切线根据切线的判定“有切点连半径”连接CB、OC根据圆周角定理得∠ACB＝90即∠BCD＝90则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE＝BE所以∠BCE＝∠CBE根据角之间的等量代换证得∠OCE＝90CF是切线；(2)由题意得CE＝BE＝DE＝3在中利用＝和F可计算出BF再利用勾股定理可得EF由CF＝CE＋EF得CF最后在中利用正切函数可计算出OC.(1)证明：如图连接CB、OC为⊙O的切线＝90是直径＝90＝90E为BD的中点＝BE＝∠CBE而∠OCB＝∠OBC＋∠CBE＝∠OCB＋∠BCE＝90CF，∴CF是⊙O的切线； (2)解：CE＝BE＝DE＝3在中＝＝＝＝4＝＝5＝CE＋EF＝8在中＝＝＝6.即⊙O的半径为6
一、选择题：
1. 矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( )
A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外、点C在圆P内
C．点B在圆P内、点C在圆P外D．点B，C均在圆P内
：画出矩形后求解出DP的长度即圆的半径，然后求出BP，CP的长度与DP的长度作比较就可以发现答案．在Rt△ADP中，DP＝＝7，在Rt△BCP中，BP＝6，PC＝＝9.
∵PC＞DP，BP＜DP，∴点B在圆P内，点C在圆P外．
答案：C
在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，若⊙A，⊙B的半径分别为1 cm,4 cm，则⊙A，⊙B的位置关系是( )
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
：如图所示，由勾股定理可得AB＝＝＝5(cm)，
∵⊙A，⊙B的半径分别为1 cm,4 cm，
∴圆心距d＝R＋r，∴⊙A，⊙B的位置关系是外切．
答案：A
（2018重庆市B卷）（4.00分）如图，ABC中，A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分ABC，AD=2，则线段CD的长是（ ）
A．2 B． C． D．
【解答】解：连接OD
OD是O的半径，AC是O的切线，点D是切点，
OD⊥AC
在RtAOD中，A=30°，AD=2，
OD=OB=2，AO=4，
ODB=∠OBD，又BD平分ABC，
OBD=∠CBD
∴∠ODB=∠CBD
∴OD∥CB，
即
CD=．
故选：B．
⊙O相切于A.B两点，点C为⊙O上一点，连接AC.BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（ ）
A．60° B．75° C．70° D．65°
【答案】D
【解答】解：连接OA.OB，
∵PA.PB分别与⊙O相切于A.B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ACB＝∠AOB＝×130°＝65°．
故选：D．
5. (2019湖北仙桃（3分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是⊙O的切线；②CO⊥DB；③△EDA∽△EBD；④ED?BC＝BO?BE．其中正确结论的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：连结DO．
∵AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，
∴∠CBO＝90°，
∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中，，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO＝90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；故①正确，
∵△COD≌△COB，
∴CD＝CB，
∵OD＝OB，
∴CO垂直平分DB，
即CO⊥DB，故②正确；
∵AB为⊙O的直径，DC为⊙O的切线，
∴∠EDO＝∠ADB＝90°，
∴∠EDA+∠ADO＝∠BDO+∠ADO＝90°，
∴∠ADE＝∠BDO，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠EDA＝∠DBE，
∵∠E＝∠E，
∴△EDA∽△EBD，故③正确；
∵∠EDO＝∠EBC＝90°，
∠E＝∠E，
∴△EOD∽△ECB，
∴，
∵OD＝OB，
∴ED?BC＝BO?BE，故④正确；
故选：A．
（2019?江苏苏州?3分）如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为
【答案】
【解答】切线性质得到
（3分）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为
【答案】6
【解答】解：∵PA⊥PB，
∴∠APB=90°，
∵AO=BO，
∴AB=2PO，
若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，
连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，
过点M作MQ⊥x轴于点Q，
则OQ=3、MQ=4，
∴OM=5，
又∵MP′=2，
∴OP′=3，
∴AB=2OP′=6，
（2018山东威海）如图，在扇形CAB中，CDAB，垂足为D，E是ACD的内切圆，连接AE，BE，则AEB的度数为 ．
135°
【解答】解：如图，连接EC．
E是ADC的内心，
AEC=90°+∠ADC=135°，
在AEC和AEB中，
，
EAC≌△EAB，
AEB=∠AEC=135°，
故答案为135°．
（2018年江苏省泰州市?3分）如图，ABC中，ACB=90°，sinA=，AC=12，将ABC绕点C顺时针旋转90°得到A''B''C，P为线段A′B''上的动点，以点P为圆心，PA′长为半径作P，当P与ABC的边相切时，P的半径为 ．
或【解答】解：如图1中，当P与直线AC相切于点Q时，连接PQ．
设PQ=PA′=r，
PQ∥CA′，
=，
=，
r=．
如图2中，当P与AB相切于点T时，易证A′、B′、T共线，
A′BT∽△ABC，
=，
=，
A′T=，
r=A′T=．
综上所述，P的半径为或．
在中＝90＝3＝4若以C为圆心为半径的圆与斜边AB只有一个公共点求R的值．解：当⊙O与AB相切时＝＝5＝AB·CD＝AC·BC＝＝＝；
如图当⊙C与斜边AB相交时A在圆内部点B在圆上或圆外时此时AC＜即3＜故答案为：3＜R≤4或＝ 如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过点P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于点D，连接OC.
(1)求证：△CDQ是等腰2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．
：(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°.
又∵∠BAC＝60°，OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形，∠ABC＝∠Q＝30°.
∴∠ACO＝60°.∴∠DCQ＝180°－90°－60°＝30°.
∴∠DCQ＝∠Q.
∴△CDQ是等腰三角形．
(2)设⊙O的半径为x，则AB＝2x，AC＝x，BC＝x.
∵△CDQ≌△COB，∴CQ＝BC＝x.
∴AQ＝AC＋CQ＝(1＋)x.∴AP＝AQ＝x.
∴BP＝AB－AP＝x，PO＝AP－AO＝x.
∴BP∶PO＝.
12. (2018·扬州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F.
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)若点F是OA的中点，OE＝3，求图中阴影部分的面积；
(3)在(2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PE＋PF取最小值时，直接写出BP的长．
：(1)证明：作OH⊥AC于点H.
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴AO平分∠BAC.
又∵OE⊥AB，OH⊥AC，
∴OH＝OE，即OH为⊙O的半径．
∴ACO的切线．
(2)∵点F是OA的中点，
∴OA＝2OF＝2OE＝6.
又∵OE＝3，
∴∠OAE＝30°，∠AOE＝60°.
∴AE＝3.
∴S阴影＝S△AOE－S扇形EOF
＝×3×3－
＝.
(3)作F点关于BC的对称点F′，连接EF′交BC于点P，此时PE＋PF最小．
∵OF′＝OF＝OE，∴∠F′＝∠OEF′.
∵∠AOE＝∠F′＋∠OEF′＝60°，
∴∠F′＝30°.∴∠F′＝∠EAF′.
∴EF′＝EA＝3，即PE＋PF最小值为3.
在Rt△OPF′中，OP＝tan30°·OF′＝，
在Rt△ABO中，OB＝tan30°·OA＝2，
∴BP＝2－＝. (2018·聊城)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．
【点拨】 (1)证AC是⊙O的切线，可转化为证OE⊥AC；(2)求BC，AD的长可通过证明△BDE∽△BEC和△AOE∽△ABC.
【解答】 解：(1)证明：连接OE.
∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.
∵BE平分∠ABC，∴∠OBE＝∠CBE.
∴∠OEB＝∠CBE.∴OE∥BC.
又∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC.
又∵OE是⊙O的半径，∴AC为⊙O的切线．
(2)∵ED⊥BE，∴∠BED＝∠C＝90°.
又∵∠DBE＝∠EBC，∴△BDE∽△BEC.
∴＝，即＝.∴BC＝.
∵∠AEO＝∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△AOE∽△ABC.
∴＝，即＝.∴AD＝.2019?四川省凉山州?8分）如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若OB＝BF，EF＝4，求AD的长．
【分析】（1）连接OD，由AB为⊙O的直径得∠BDC＝90°，根据BE＝EC知∠1＝∠3、由OD＝OB知∠2＝∠4，根据BC是⊙O的切线得∠3+∠4＝90°，即∠1+∠2＝90°，得证；
（2）根据直角三角形的性质得到∠F＝30°，BE＝EF＝2，求得DE＝BE＝2，得到DF＝6，根据三角形的内角和得到OD＝OA，求得∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
在Rt△BDC中，∵BE＝EC，
∴DE＝EC＝BE，
∴∠1＝∠3，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠3+∠4＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
又∵∠2＝∠4，
∴∠1+∠2＝90°，
∴DF为⊙O的切线；
（2）∵OB＝BF，
∴OF＝2OD，
∴∠F＝30°，
∵∠FBE＝90°，
∴BE＝EF＝2，
∴DE＝BE＝2，
∴DF＝6，
∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，
∴∠FOD＝60°，
∵OD＝OA，
∴∠A＝∠ADO＝BOD＝30°，
∴∠A＝∠F，
∴AD＝DF＝6．
15. （2019湖北省鄂州市（10分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：E为△PAB的内心；
（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．
【分析】（1）连结OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明；
（2）连结AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，证明EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念证明即可；
（3）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】（1）证明：连结OB，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵AB⊥PO，
∴PO∥BC
∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，
OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∴∠AOP＝∠POB，
在△AOP和△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP（SAS），
∴∠OBP＝∠OAP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∴PB是⊙O的切线；
（2）证明：连结AE，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAE+∠OAE＝90°，
∵AD⊥ED，
∴∠EAD+∠AED＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠OAE＝∠AED，
∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，
∵PA、PD为⊙O的切线，
∴PD平分∠APB
∴E为△PAB的内心；
（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，
∴∠PAB＝∠C，
∴cos∠C＝cos∠PAB＝，
在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，
∴AC＝，AO＝，
∵△PAO∽△ABC，
∴，
∴PO＝＝＝5．
2
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