第30讲 概 率
1．事件的分类
事件类型 定义 概率 必然事件 一定会发生的事件 1 不可能事件 一定不会发生的事件 0 随机事件 在一定条件下可能发生也可能不发生的事件 0～1之间 2.概率：一般地，表示一个随机事件A发生的可能性大小的数值，叫做这个随机事件A发生的概率．
3．概率的计算
(1)公式法：对于简单的事件直接用公式法计算即可；
(A)＝；
(2)列表法：当一次P(A)＝计算概率；
(3)画树状图法：当一次试验涉及两步或两步以上的计算时可采用画树状图表示所有可能的结果再根据P(A)＝计算概率．
几何概型求概率：与几何图形有关的概率的计算一般是用几何图形中的面积比进行求解计算公式为(A)＝
5．频率与概率
(1)用频率估算概率：一般地在大量重复试验下随机事件A发生的频率 (这里n是总试验次数它必须相当大是在n次试验中事件A发生的次数)会稳定到某个常数p.于是我们用p这个常数表示事件A发生的概率即P(A)＝p；
(2)频率与概率的区别与联
①区别：概率是用来表示一个随机事件发生的可能性的大小只要有一个随机事件存在就有一个概率存在而频率是通过试验得到的它随着试验次数的变化而变化；
联系：当试验次数充分大时频率稳定在概率的附近摆动为了求出一个随机事件的概率通常需要大量的重复试验用所得的频率来估计随机事件的概率.
【例题1】（201?湖北省仙桃市?7分）为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位：cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．
（1）填空：样本容量为 100 ，a＝ 30 ；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．
【分析】（1）用A组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算B组所占的百分比得到a的值；
（2）利用B组的频数为30补全频数分布直方图；
（3）计算出样本中身高低于160cm的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解．
【解答】解：（1）15÷＝100，
所以样本容量为100；
B组的人数为100﹣15﹣35﹣15﹣5＝30，
所以a%＝×100%＝30%，则a＝30；
故答案为100，30；
（2）补全频数分布直方图为：
（3）样本中身高低于160cm的人数为15+30＝45，
样本中身高低于160cm的频率为＝0.45，
所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率为0.45．
利用频率估计概率：用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
一步概率
1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为2的概率是（??? ）
A.???????B.?????? C.?? D.?
【答案】A
【分析】抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，则朝上一面的数字可以是1,2,3,4,5,6六种情况，其中朝上一面的数字为2的只有一种情况，根据概率公式计算即可。
【解析】 ：抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，则朝上一面的数字共出现六种等可能情况，其中朝上一面的数字为2的只有一种情况，则朝上一面的数字为2的概率是
故答案为：A,
考点3：几何概型求概率
2018贵阳（3.00分）如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解析】：恰好摆放成如图所示位置的概率是=，
故选：D．
【例题4】 (2018·承德模拟)从背面相同的同一副扑克牌中取出红桃9张，黑桃10张，方块11张，现将这些牌洗匀背面朝上放在桌面上．
(1)求从中抽出一张是红桃的概率；
(2)现从桌面上先抽掉若干张黑桃，再放入与抽掉的黑桃张数相同的红桃，并洗，问至少抽掉了多少张黑桃？
(3)若先从桌面上抽掉9张红桃和m(m＞6)张黑桃后，再在桌面上抽出一张牌，当m为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件？当m为何值时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件？并求出这个事件的概率的最小值．
(1)抽出一张是红桃的概率是＝.
(2)设至少抽掉了x张黑x张的红桃，
根据题意，得≥.
解得x≥3.
答：至少抽掉了3张黑桃．
(3)当m为10时，事件“再抽出的这张牌是方块”为必然事件，
当m为9，8，7时，事件“再抽出的这张牌是方块”为随机事件，P(最小)＝＝.
(1)判断使用列表或画树状图方法：列表法一般适用于两步计算；画树状图法适合于两步及两步以上求概率；
(2)不
(3)确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果数m；
(4)用公式P(A)＝求事件A发生的概率．
1. （201?浙江绍兴?4分）为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高x（cm）统计如下：
组别（cm） x＜160 160≤x＜170 170≤x＜180 x≥180 人数 5 38 42 15 根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（ ）
A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15
【解答】解：样本中身高不低于180cm的频率＝＝0.15，
所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15．
故选：D．
2019?湖北天门?3分）下列说法正确的是（ ）
A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合全面调查
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明乙的跳远成绩比甲稳定
C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5
D．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生
【答案】C
【解答】解：A．了解我市市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，A错误；
B．甲、乙两人跳远成绩的方差分别为S甲2＝3，S乙2＝4，说明甲的跳远成绩比乙稳定，B错误；
C．一组数据2，2，3，4的众数是2，中位数是2.5，正确；
D．可能性是1%的事件在一次试验中可能会发生，D错误．
故选：C．
3. （201?山东省德州市 ?4分）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：（1）画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，
∴乙获胜的概率为，
故选：C．
2019?湖北武汉?3分）从1.2.3.4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为A.c，则关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数解的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：画树状图得：
由树形图可知：一共有12种等可能的结果，其中使ac≤4的有6种结果，
∴关于x的一元二次方程ax2+4x+c＝0有实数解的概率为，
故选：C．
5. （2019?湖北省随州市?如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O，若随机向平行四边形ABCD内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵E为BC的中点，
∴，∴=，
∴S△BOE=S△AOB，S△AOB=S△ABD，∴S△BOE=S△ABD=SABCD，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为，故选：B．
6. (2019甘肃省（4分）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：
实验者 德?摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 罗曼诺夫斯基 掷币次数 6140 4040 10000 36000 80640 出现“正面朝上”的次数 3109 2048 4979 18031 39699 频率 0.506 0.507 0.498 0.501 0.492 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为 0.5 （精确到0.1）．
【解答】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，
所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．
故答案为0.5．
一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为 .
【解答】袋子里装有2个红球、3个黄球和5个白球共10个球，从中摸出一个球是白球的概率是．
2019?黑龙江省齐齐哈尔市?3分）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的小球．已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为 .
【答案】22
【解答】解：设袋中黑球的个数为x，
根据题意得＝，解得x＝22，
即袋中黑球的个数为22个．
9. （201?山东省德州市 ?4分）甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张标有数字，，1的卡片，乙中有三张标有数字1，2，3的卡片，卡片除所标数字外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数字记为a，从乙中任取一张卡片，将其数字记为b．若a，b能使关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜．则乙获胜的概率为 .
【解答】解：（1）画树状图如下：
由图可知，共有9种等可能的结果，其中能使乙获胜的有4种结果数，
∴乙获胜的概率为，
10. （2019?海南省为宣传6月6日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级500名学生此次竞赛成绩（百分制）的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表（表1）和统计图（如图）．请根据图表信息解答以下问题：
（1）本次调查一共随机抽取了 50 个参赛学生的成绩；
（2）表1中a＝ 8 ；
（3）所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是 C ；
（4）请你估计，该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生约有 320 人．
表1 知识竞赛成绩分组统计表
组别 分数/分 频数 A 60≤x＜70 a B 70≤x＜80 10 C 80≤x＜90 14 D 90≤x＜100 18
【分析】（1）本次调查一共随机抽取学生：18÷36%＝50（人）；
（2）a＝50﹣18﹣14﹣10＝8；
（3）本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在C组；
（4）该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生有500×＝320（人）．
【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取学生：18÷36%＝50（人），
故答案为50；
（2）a＝50﹣18﹣14﹣10＝8，
故答案为8；
（3）本次调查一共随机抽取50名学生，中位数落在C组，故答案为C；
（4）该校九年级竞赛成绩达到80分以上（含80分）的学生有500×＝320（人），故答案为320．
(2018·遵义)某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式，方式一：转动转盘甲，指针指向A区域时，所购买物品享受9折优惠、指针指向其他区域无优惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字8折优惠，其他情况无优惠．在每个转盘中，指针指向每个区城的可能性相同(若指针指向分界线，则重新转动转盘)
(1)若顾客选择方式一，则享受9折优惠的概率为；
(2)若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受8折优惠的概率．
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能结果，其中指针指向每个区域的字母相同的有2种结果，
∴P(顾客享受8折优惠)＝＝.
湖北仙桃（7分）为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位：cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．
（1）填空：样本容量为 100 ，a＝ 30 ；
（2）把频数分布直方图补充完整；
（3）若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．
【分析】（1）用A组的频数除以它所占的百分比得到样本容量，然后计算B组所占的百分比得到a的值；
（2）利用B组的频数为30补全频数分布直方图；
（3）计算出样本中身高低于160cm的频率，然后利用样本估计总体和利用频率估计概率求解．
【解答】解：（1）15÷＝100，
所以样本容量为100；
B组的人数为100﹣15﹣35﹣15﹣5＝30，
所以a%＝×100%＝30%，则a＝30；
故答案为100，30；
（2）补全频数分布直方图为：
（3）样本中身高低于160cm的人数为15+30＝45，
样本中身高低于160cm的频率为＝0.45，
所以估计从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率为0.45．
(2018·邢台三模)嘉嘉和琪琪一块去选汽车牌照，现只有四个牌照可随机选取，这四个牌照编号末尾数字如图所示．
牌照末尾数字 5 6 7 数量(个) 1 1 2 (1)求嘉嘉选取牌照编号末尾数字是6的概率；
(2)求她俩选取牌照编号末尾数字正好差1的概率．
：(1)一共有四个牌照，四种等可能结果，其中末尾数字是6的只有一种等可能结果，以P(摇到牌照末尾数字是6)＝.
(2)将这四个牌照编号5的记为a，末尾数字为6的记为b，末尾数字为7的分别为c1，c2，
a b c1 c2 a (a，b) (a，c1) (a，c2) b (b，a) (b，c1) (b，c2) c1 (c1，a) (c1，b) (c1，c2) c2 (c2a) (c2，b) (c2，c1) 一共有12种等可能结果，其中末尾数字正好差1有6种等可能结果，
所以P(末尾数字正好差1)＝.
湖北省鄂州市．（8分）某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
类别 A B C D E 类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 11 20 40 m 4 请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）统计表中m的值为 25 ，统计图中n的值为 25 ，A类对应扇形的圆心角为 39.6 度；
（2）该校共有1500名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱体育节目的学生人数；
（3）样本数据中最喜爱戏曲节目的有4人，其中仅有1名男生．从这4人中任选2名同学去观赏戏曲表演，请用树状图或列表求所选2名同学中有男生的概率．
【分析】（1）先根据B类别人数及其百分比求出总人数，再由各类别人数之和等于总人数求出m，继而由百分比概念得出n的值，用360°乘以A类别人数所占比例即可得；
（2）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）∵样本容量为20÷20%＝100，
∴m＝100﹣（11+20+40+4）＝25，n%＝×100%＝25%，A类对应扇形的圆心角为360°×＝39.6°，
故答案为：25、25、39.6．
（2）1500×＝300（人）
答：该校最喜爱体育节目的人数约有300人；
（3）画树状图如下：
共有12种情况，所选2名同学中有男生的有6种结果，
所以所选2名同学中有男生的概率为．
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