2022届高考物理二轮复习讲义：专题十六+物理解题中的数学方法

 

专题16  物理解题中的数学方法

【高考命题动态与考情分析】

数学是解决物理问题的基本工具和途径，应用数学知识处理物理问题是新课标高考《考试大纲》中要求考查的五种能力之一。《考试大纲》中明确要求学生能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。因此，培养学生熟练地运用数学工具解决物理问题是中学物理教学的任务之一，教师在平时的教学工作中要特别注意物理问题和数学方法的有机结合，让学生能够熟练利用数学工具解决实际问题。

【学习目标】

1、数学方法在物理中的应用

2、解综合题能力的提高

【知识要点】

一、极值法

数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等．

1．利用三角函数求极值

y＝acos θ＋bsin θ

＝(cos θ＋sin θ)

令sin φ＝，cos φ＝

则有：y＝(sin φcos θ＋cos φsin θ)

＝sin (φ＋θ)

所以当φ＋θ＝时，y有最大值，且y_max＝．

2．利用二次函数求极值

二次函数：y＝ax²＋bx＋c＝a(x²＋x＋)＋c－＝a(x＋)²＋(其中a、b、c为实常数)，当x＝－ 时，有极值y_m＝(若二次项系数a>0，y有极小值；若a<0，y有极大值)．

3．均值不等式

对于两个大于零的变量a、b，若其和a＋b为一定值p，则当a＝b时，其积ab取得极大值 ；对于三个大于零的变量a、b、c，若其和a＋b＋c为一定值q，则当a＝b＝c时，其积abc取得极大值 ．

二、几何法

利用几何方法求解物理问题时，常用到的有“对称点的性质”、“两点间直线距离最短”、“直角三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识，如：带电粒子在有界磁场中的运动类问题，物体的变力分析时经常要用到相似三角形法、作图法等．与圆有关的几何知识在力学部分和电学部分的解题中均有应用，尤其在带电粒子在匀强磁场中做圆周运动类问题中应用最多，此类问题的难点往往在圆心与半径的确定上，确定方法有以下几种．

1．依切线的性质确定．从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点作切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径．

三、图象法

中学物理中一些比较抽象的习题常较难求解，若能与数学图形相结合，再恰当地引入物理图象，则可变抽象为形象，突破难点、疑点，使解题过程大大简化．图象法是历年高考的热点，因而在复习中要密切关注图象，掌握图象的识别、绘制等方法．

1．物理图象的分类

整个高中教材中有很多不同类型的图象，按图形形状的不同可分为以下几类．

(1)直线型：如匀速直线运动的s－t图象、匀变速直线运动的v－t 图象、定值电阻的U－I图象等．

(2)正弦曲线型：正弦式交变电流的e－t图象、 (3)其他型：分子力与分子间距离的f－r图象等．

下面我们对高中物理中接触到的典型物理图象作一综合回顾，以期对物理图象有个较为系统的认识和归纳．

图　　象	函数形式	特例	物理意义
	y＝c	匀速直线运动的v－t图象	做匀速直线运动的质点的速度是恒矢量．
	y＝kx	①匀速直线运动的s－t图象 ②初速度v0＝0的匀加速直线运动的v－t　图象(若v0≠0，则纵截距不为零) ③纯电阻电路的I－U图象	①表示物体的位移大小随时间线性增大． ②表示物体的速度大小随时间线性增大． ③表示纯电阻电路中I随导体两端的电压U线性增大．
	y＝a－kx	①匀减速直线运动的v－t图象 ②闭合电路中的U－I图象(U＝E－Ir)	①表示物体的速度大小随时间线性减小． ②表示路端电压随电流的增大而减小．
	y＝·x (双曲线函数)	①由纯电阻用电器组成的闭合电路的U－R图象(U＝R) ②在垂直于匀强磁场的[XCzt71．tifBP]导轨上，自由导体棒在一恒定动力F的作用下做变加速运动的v－t图象	①表示纯电阻电路中电源的端电压随外电阻而非线性增大． ②将达到稳定速度vm＝．
	y＝kx2 (抛物线函数)	①小灯泡消耗的实际功率与外加电压的P－U 图象 ②位移与时间的s－t图象(s＝at2)	①表示小灯泡消耗的实际功率随电压的增大而增大，且增大得越来越快． ②表示位移随时间的增大而增大，且增大得越来越快．
	xy＝c (双曲线函数)	机械在额定功率下，其牵引力与速度的关系图象(P＝Fv)	表示功率一定时，牵引力与速度成反比．
	y＝Asin ωt	交流电的e－t图象(e＝Emsin ωt)	表示交流电随时间变化的关系．

2．物理图象的应用

(1)利用图象解题可使解题过程更简化，思路更清晰．

利用图象法解题不仅思路清晰，而且在很多情况下可使解题过程得到简化，起到比解析法更巧妙、更灵活的独特效果．甚至在有些情况下运用解析法可能无能为力，但是运用图象法则会使你豁然开朗，如求解变力分析中的极值类问题等．

(2)利用图象描述物理过程更直观．

从物理图象上可以比较直观地观察出物理过程的动态特征．

(3)利用物理图象分析物理实验．

运用图象处理实验数据是物理实验中常用的一种方法，这是因为它除了具有简明、直观、便于比较和减少偶然误差的特点外，还可以由图象求解第三个相关物理量，尤其是无法从实验中直接得到的结论．

3．对图象意义的理解

(1)首先应明确所给的图象是什么图象，即认清图象中比纵横轴所代表的物理量及它们的“函数关系”，特别是对那些图形相似、容易混淆的图象，更要注意区分．例如振动图象与波动图象、运动学中的s－t 图象和v－t图象、电磁振荡中的i－t图象和q－t图象等．

(2)要注意理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义．

①点：图线上的每一个点对应研究对象的一个状态．要特别注意“起点”、“终点”、“拐点”、“交点”，它们往往对应着一个特殊状态．如有的速度图象中，拐点可能表示速度由增大(减小)变为减小(增大)，即加速度的方向发生变化的时刻，而速度图线与时间轴的交点则代表速度的方向发生变化的时刻．

②线：注意观察图线是直线、曲线还是折线等，从而弄清图象所反映的两个物理量之间的关系．

③斜率：表示纵横坐标上两物理量的比值．常有一个重要的物理量与之对应，用于求解定量计算中所对应的物理量的大小以及定性分析变化的快慢．如v－t 图象的斜率表示加速度．

④截距：表示纵横坐标两物理量在“边界”条件下物理量的大小．由此往往可得到一个很有意义的物理量．如电源的U－I图象反映了U＝E－Ir的函数关系，两截距点分别为(0，E)和．

⑤面积：有些物理图象的图线与横轴所围的面积往往代表一个物理量的大小．如v－t图象中面积表示位移．

4．运用图象解答物理问题的步骤

(1)看清纵横坐标分别表示的物理量．

(2)看图象本身，识别两物理量的变化趋势，从而分析具体的物理过程．

(3)看两相关量的变化范围及给出的相关条件，明确图线与坐标轴的交点、图线斜率、图线与坐标轴围成的“面积”的物理意义．

四、数学归纳法

在解决某些物理过程中比较复杂的具体问题时，常从特殊情况出发，类推出一般情况下的猜想，然后用数学归纳法加以证明，从而确定我们的猜想是正确的．利用数学归纳法解题要注意书写上的规范，以便找出其中的规律．

五、微元法

利用微分思想的分析方法称为微元法．它是将研究对象(物体或物理过程)进行无限细分，再从中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出被研究对象的变化规律的一种思想方法．微元法解题的思维过程如下．

(1)隔离选择恰当的微元作为研究对象．微元可以是一小段线段、圆弧或一小块面积，也可以是一个小体积、小质量或一小段时间等，但必须具有整体对象的基本特征．

(2)将微元模型化(如视为点电荷、质点、匀速直线运动、匀速转动等)，并运用相关的物理规律求解这个微元与所求物体之间的关联．

(3)将一个微元的解答结果推广到其他微元，并充分利用各微元间的对称关系、矢量方向关系、近似极限关系等，对各微元的求解结果进行叠加，以求得整体量的合理解答．

六、三角函数法

三角函数反映了三角形的边、角之间的关系，在物理解题中有较广泛的应用．例如：讨论三个共点的平衡力组成的力的三角形时，常用正弦定理求力的大小；用函数的单调变化的临界状态来求取某个物理量的极值；用三角函数的“和积公式”将结论进行化简等．

七、数列法

凡涉及数列求解的物理问题都具有过程多、重复性强的特点，但每一个重复过程均不是原来的完全重复，而是一种变化了的重复．随着物理过程的重复，某些物理量逐步发生着前后有联系的变化．该类问题求解的基本思路为：

(1)逐个分析开始的几个物理过程；

(2)利用归纳法从中找出物理量变化的通项公式(这是解题的关键)；

(3)最后分析整个物理过程，应用数列特点和规律求解．

无穷数列的求和，一般是无穷递减数列，有相应的公式可用．

等差：S_n＝＝na₁＋d(d为公差)．

等比：S_n＝(q为公比)．

八、比例法

比例计算法可以避开与解题无关的量，直接列出已知和未知的比例式进行计算，使解题过程大为简化．应用比例法解物理题，要讨论物理公式中变量之间的比例关系，要清楚公式的物理意义和每个量在公式中的作用，以及所要讨论的比例关系是否成立．同时要注意以下几点．

(1)比例条件是否满足．物理过程中的变量往往有多个，讨论某两个量间的比例关系时要注意只有其他量为常量时才能成比例．

(2)比例是否符合物理意义．不能仅从数学关系来看物理公式中各量的比例关系，要注意每个物理量的意义．(如不能根据R＝ 认定电阻与电压成正比)

(3)比例是否存在．讨论某公式中两个量的比例关系时，要注意其他量是否能认为是不变量．如果该条件不成立，比例也不能成立．(如在串联电路中，不能认为P＝ 中P与R成反比，因为R变化的同时，U也随之变化而并非常量)

许多物理量都是用比值法来定义的，常称之为“比值定义”．如密度ρ＝，导体的电阻R＝，电容器的电容 C＝，接触面间的动摩擦因数μ＝，电场强度E＝等．它们的共同特征是：被定义的物理量是反映物体或物质的属性和特征的，它和定义式中相比的物理量无关．对此，学生很容易把它当做一个数学比例式来处理而忽略了其物理意义，也就是说教学中还要防止数学知识在物理应用中的负迁移．

数学是“物理学家的思想工具”，它使物理学家能“有条理地思考”并能想象出更多的东西．可以说，正是有了数学与物理学的有机结合，才使物理学日臻完善．物理学的严格定量化，使得数学方法成为物理解题中一个不可或缺的工具．

题型一   运用三角函数求极值

例1：如图4所示，半径为的绝缘光滑圆环被固定在方向水平的匀强电场中，圆环面在竖直平面内且平行于电力线，一个质量为的带正电的小球套在圆环上。小球受到的电场力的大小等于其重力的0.75倍。当把小球从圆环最低点处由静止释放后，小球所能获得的最大动能是多少？

练习：质量为m的物体放在水平面上，在沿水平方向、大小为F的拉力(F<mg)作用下做匀速直线运动，如图所示．

(1)求物体与水平面之间的动摩擦因数

(2)现在物体上再加另一个大小为F的力．若要使物体仍沿原方向做匀速运动，则该力的方向应如何?

 (3)若再加另一个大小为F的力，要使物体沿原方向移动一定距离s后动能的增加最大，则该力的方向又应如何?

题型二利用均值不等式求极值

例2. 一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度的释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？

 

练习.如图所示，在xOy平面直角坐标系中，直角三角形MNL内存在垂直于xOy平面向里磁感应强度为B的匀强磁场，三角形的一直角边ML长为6a，落在y轴上，∠NML = 30°，其中位线OP在x轴上.电子束以相同的速度v₀从y轴上-3a≤y≤0的区间垂直于y轴和磁场方向射入磁场，已知从y轴上y=-2a的点射入磁场的电子在磁场中的轨迹恰好经过点.若在直角坐标系xOy的第一象限区域内，加上方向沿y轴正方向、大小为E=Bv₀的匀强电场，在x=3a处垂直于x轴放置一平面荧光屏，与x轴交点为Q.忽略电子间的相互作用，不计电子的重力.试求：

（1）电子的比荷；

（2）电子束从+y轴上射入电场的纵坐标范围；

（3）从磁场中垂直于y轴射入电场的电子打到荧光屏上距Q点的最远距离。

题型三图像的多解性

例3、如图，光滑的平行金属导轨水平放置，电阻不计，导轨间距为l，左侧接一阻值为R的电阻。区域cdef内存在垂直轨道平面向下的有界匀强磁场，磁场宽度为s。一质量为m，电阻为r的金属棒MN置于导轨上，与导轨垂直且接触良好，受到F＝0.5v＋0.4（N）（v为金属棒运动速度）的水平力作用，从磁场的左边界由静止开始运动，测得电阻两端电压随时间均匀增大。（已知l＝1m，m＝1kg，R＝0.3W，r＝0.2W，s＝1m）

（1）分析并说明该金属棒在磁场中做何种运动；

（2）求磁感应强度B的大小；

（3）若撤去外力后棒的速度v随位移x的变化规律满足v＝v₀－x， 且棒在运动到ef处时恰好静止，则外力F作用的时间为多少？

（4）若在棒未出磁场区域时撤去外力，画出棒在整个运动过程中速度随位移的变化所对应的各种可能的图线

题型四微元法

例4如图所示，劲度系数为k=40.0N/m的轻质水平弹簧左端固定在壁上，右端系一质量M=3.0kg的小物块A，A的右边系一轻细线，细线绕过轻质光滑的滑轮后与轻挂钩相连，小物块A放在足够长的桌面上，它与桌面的滑动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。滑轮以左的轻绳处于水平静止状态，弹簧的长度为自然长度。现将一质量m=2.0kg的物体B轻挂在钩上，然后松手，在此后的整个运动过程中，求：

（1）小物块A速度达到最大时的位置；

（2）弹簧弹性势能的最大值；

（3）小物块A克服摩擦力所做的功。

题型五数学归纳法

例5.如图7-8所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M＝19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ＝60°的位置自由释放，下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。

专题16 物理解题中的数学方法答案

例1解：设小球静止释放后运动到图５所示的位置处时获得动能为。这过程中小球受到重力、电场力和圆环的弹力。做负功、做正功、而不做功。根据动能定理有

　　　　　　　　

而把

代入后并整理后可得

这是一个形如“”的函数（本例中的函数又加上了一个常数），在对这类函数的极值问题的分析时可取

而将函数转化为

　　　　　　　　　　

后，再计算其极值。于是有

　　　　　　　　　　

显然，当　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（５）

时，有极大值，为　　　　　　　　　　　　　　　　　（６）

所以，小球从圆环最低点处静止释放后，当运动到和圆环中心的连线与竖直方向间夹角如（５）式所给出时所获得的动能最大，最大动能如（６）式所给出。

练习：解析：(1)物体做匀速运动，有：F=umg，故   

(2)若要使物体仍沿原方向做匀速运动，则该力的方向分两种情形：

①设所加的力F斜向右下方，且与水平方向的夹角为，由平衡条件得：F+Fcos一Uf_N=O，FN—mg-Fsin=O，得=arctan(mg/F)．

②设所加的力F斜向左上方，且与水平方向的夹角为，由平衡条件得：F—Fcos一Uf_N=0

，FN—mg十Fsin=0，得=arctan(mg/F)．

(3)若要使物体沿原方向移动一定距离s后动能的增加最大，则要合外力F’最大．设后来所加的外力F斜向右上方且与水平成夹角，根据平衡条件得：F’=F+Fcos一Uf_N，Fsin+F_n一mg=O，因此有F’=F(COS+usin )，令tan a=u，则有：

      当时，F’有最大值

    

即时，合外力有最大值为：

例2、解：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C时，重力的功率为：

P=mg υcosα=mgυsinθ…………①

小球从水平位置到图中C位置时，机械能守恒有：

……………②

解①②可得：

令y=cosθsinθ

根据基本不等式，定和求积知：

当且仅当，y有最大值

结论：当时，y及功率P有最大值。

练习

例3、解析：（1）金属棒做匀加速运动， R两端电压UµIµeµv，U随时间均匀增大，即v随时间均匀增大，加速度为

恒量；

（2）F－＝ma，以F＝0.5v＋0.4

代入得（0.5－）v＋0.4＝a

a与v无关，所以a＝0.4m/s²，（0.5－）＝0

得B＝0.5T

（3）x₁＝at²，v₀＝x₂＝at，x₁＋x₂＝s，所以at²＋at＝s

得：0.2t²＋0.8t－1＝0，t＝1s，

（4）可能图线如下：

例4.解：（1）A物快最大静摩擦力

放上B物体后A将向右滑动且与B具有相同的运动状态 

A：           B：

整理得

可见向右运动过程AB物理做加速度不断减小的加速运动，时系统具有速度最大值

即     解得

（2）由可知之后，系统加速度反向，做加速度不断增大的减速运动，系统速度为零时，弹簧达到最大伸长量，物体B下落至最大高度，弹簧的弹性势能达到最大

由初始条件及能量守恒定律得  ………………①

把弹簧的伸长量平均分成n等分，每份为大小为

在时

每份内的平均弹力    

每份内所作的功  ，其中

整个形变量x内弹簧的弹性势能

 

即  最大伸长量为时 ………………②

联立①②得

              

（3由于系统运动过程中始终要克服摩擦力阻力做功，因此该系统将做振幅不断减小的阻尼运动。设系统最后静止时弹簧的伸长量为，摩擦力所做的总功为

由初始条件及能量守恒定律可知

 即

可见当时，存在最大值

例5.设在第n次碰撞前绝缘球的速度为v_n－1，碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为v_n、V_n。由于碰撞过程中动量守恒、碰撞前后动能相等，设速度向左，则

解得：    ，

第n次碰撞后绝缘球的动能为：

E₀为第1次碰撞前的动能，即初始能量。

绝缘球在θ＝θ₀＝60°与θ＝45°处的势能之比为

经n次碰撞后有：

易算出(0.81)²＝0656，(0.81)³＝0.531，因此，经过3次碰撞后θ小于45° 。