2018北京师大附中
一、选择题：（本题共16分，每小题2分）
1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 2017年12月某种流感病毒肆虐，该种病毒的直径在0. 00000012米左右，该数用科学记数法表示应为（ ）
A. 0.12×10-6 B. 12×10-8 C. 1.2×10-6 D. 1.2×10-7
3. 下列式子为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，△ABC≌△DCB，若AC=7，BE=5，则DE的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 分式可变形为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知一次函数y=kx+1，y随x的增大而减小，则该函数的图象一定经过（ ）
A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限
C. 第一、三、四象限 D. 第二、二、四象限
7. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线. 如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是（ ）
A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确
8. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
二. 填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 在实数范围内有意义，那么x的取值范围是________.
11. 如图，BC=EF，∠1=∠F. 请你添加一个适当的条件________，使得△ABC≌△DEF（只需填一个答案即可）.
12. 若函数的图象经过点A(1,2)，点B(2,1)，写出一个符合条件的函数表达式________.
13. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB的垂直平分线与AC交于点D，与AB交于点E，连接BD. 若AD=14，则BC的长为________.
14. 如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=________度.
15. 如图，直线y=x+b与直线y=kx+b交于点P(3,5)，则关于x的不等式kx+6>x+b的解集是________.
16. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程数. “燃油效率”越高表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越多；“燃油效率”越低表示汽车每消耗1升汽油行驶的里程数越少. 下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.
根据图中提供的信息，下列说法：
①以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
②以低于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，乙车消耗汽油最少
③以高于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，乙车比丙车省油
④以80km/h的速度行驶时，行驶100公里，甲车消耗的汽油量约为10升
正确的是________（填写正确结论的序号）.
三、解答题：（本题共68分）
17. 分解因式：（1）5x2+10xy+5y2 （2）9a2(x-y)+4b2(y-x)
18. 计算：
19. 先化简，再求值：，其中.
20. 解方程：
21. 已知：如图，点D在△ABC的BC边上，AC∥BE，BC=BE，∠ABC=∠E，求证：AB=DE.
22. 某地区要在区域S内（即∠COD内部）建一个超市M，如图，按照要求，超市M到两个新建的居民小区A、B的距离相等，到两条公路OC，OD的距离也相等. 这个超市应该建在何处？（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
23. 2017年5月，“一带一路”国际合作高峰论坛在中国北京成功召开. 会议期间为方便市民出行，某路公交车每天比原来的运行增加30车次. 经调研得知，原来这路公交车平均每天共运送乘客5600人，高峰论坛期间这路公交车平均每天共运送乘客8000人，且平均每车次运送乘客与原来的数量基本相同，问高峰论坛期间这路公交车每天运行多少车次？
24. 画出函数的图象.
（1）函数的自变量x的取值范围是________；
（2）列表（把表格补充完整）
x …… -2 -1 0 1 2 3 4 …… y
（3）描点、连线
（4）结合图象，写出函数的一条性质________________________________________.
25. 已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=60°，AD=CE，求∠BPD的度数.
26. 已知一次函数y=-x+4的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，点P在直线y=2x上.
（1）若点P是一次函数y=-x+4的图象与直线y=2x的交点，求△OBP的面积；
（2）若点P的坐标为(3,6)，求△ABP的面积；
（3）若△ABP的面积为12时，求点P的坐标.
27. 已知：∠MON=α，点P是∠MON角平分线上一点，点A在射线OM上，作∠APB=180°-α，交直线ON于点B，PC⊥ON于C.
（1）如图1，若∠MON=90°时，求证：PA=PB；
（2）如图2，若∠MON=60°时，写出线段OB，OA及BC之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若∠MON=60°时，点B在射线ON的反向延长线上时，（2）中结论还成立吗？若不成立，直接写出线段OB，OA及BC之间的数量关系（不需要证明）.
28. 已知A(2,0)，B(2,4)，定义：若平面内点P关于直线AB的对称点Q在图形M内或图形的边界上，则称点P是图形M关于直线AB的“反称点”.
（1）已知C(5,0)，D(5,3)
①点M1(0,3)，M2(-0. 5,2)，M3(-2,1)，则是△ACD关于直线AB的“反称点”的是________：
②若直线y=2x+m上存在△ACD关于直线AB的“反称点”，求m的取值范围；
（2）已知点E(1,0)，F(5,0)，，点P(x，y)在直线y=x+1上，且点P是△EFG的反称点，求点P横坐标的取值范围.
北京师大附中
参考答案
一、选择题：（本题共16分，每小题2分）
1. 【答案】D
【解析】试题解析：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
2. 【答案】D
【解析】解：0. 00000012=．故选D．
3. 【答案】A
【解析】解：A．是最简二次根式，故A正确；
B．，故不是最简二次根式，故B错误；
C．，故不是最简二次根式，故C错误；
D．根号内含有分母，不是最简二次根式，故D错误．
故选A．
4. 【答案】A
【解析】试题分析：根据三角形全等可以得出BD=AC=7，则DE=BD-BE=7-5=2.
5. 【答案】C
【解析】∵ ，∴A正确.故选A.
6. 【答案】B
【解析】试题分析：对于一次函数y=kx+b，当k＞0，b＞0时，函数经过一、二、三象限；当k＞0，b＜0时，函数经过一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，函数经过一、二、四象限；当k＜0，b＜0时，函数经过二、三、四象限.
考点：一次函数图象与系数的关系
7. 【答案】B
【解析】试题分析：完全相同的尺子，等宽，点P到角的两边距离是尺子宽度，所以OP是角平分线，所以利用的是角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.故选B.
8. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=16，解得AD=8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短=(CM+MD)+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10，
故选C.
二. 填空题（本题共16分，每小题2分）
9.【答案】x≥-2
【解析】试题解析：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数x+2为非负数， ∴x+2≥0， 解得：x≥-2．
10. 【答案】6x
【解析】解：原式==6x．故答案为：6x．
11. 如图，BC=EF，∠1=∠F. 请你添加一个适当的条件________，使得△ABC≌△DEF（只需填一个答案即可）.
【答案】AC=DF（或∠A=∠D或∠B=∠DEF）
【解析】解：添加条件AC=DF可使得△ABC≌△DEF．理由如下：
在△ABC与△DEF中，∵ BC＝EF，∠1＝∠F，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF．
故答案为：AC=DF（或∠A=∠D或∠B=∠DEF）．
12. 若函数的图象经过点A(1,2)，点B(2,1)，写出一个符合条件的函数表达式________.
【答案】y=-x+3
【解析】解：设y=kx+b，则：，解得：，∴符合条件的函数表达式为y=-x+3．故答案为：y=-x+3．
13. 【答案】7
【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD=14，∴∠A=∠ABD=15°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=15°+15°=30°．在Rt△BCD中，BC=BD=×14=7．故答案为：7．
点睛：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解答本题的关键．
14. 【答案】15
【解析】试题分析：设∠E=x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解：设∠E=x，
∵DF=DE，
∴∠DFE=∠E=x，
∴∠CDG=∠E+∠DFE=2x，
∵CG=CD，
∴∠CDG=∠CGD=2x，
∴∠ACB=∠CDG+∠CGD=2x+2x=4x，
∵∠ACB=70°，
∴4x=70°，
∴x=17.5°，
即∠E=17.5°．
故答案为：17.5°．
考点：等腰三角形的性质．
15. 【答案】x<3
【解析】试题解析：当x＞3时，x+b＞kx+6，
即不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16. 【答案】③④
【解析】解：①以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车燃油效率最高，甲车消耗汽油最少，故①错误；
②以低于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，三辆车中，甲车燃油效率最高，甲车消耗汽油最少，故②错误；
C．以高于80km/h的速度行驶时，行驶相同路程，乙车燃油效率大于丙车燃油效率，乙车比丙车省油，故③正确；
D．由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1L，行驶100km时耗油10L，故④正确；
故答案为：③④．
点睛：本题主要考查了折线统计图，理解燃油效率的定义并从折线统计图中得出解题所需数据是解题的关键．
三、解答题：（本题共68分）
17. 【答案】（1）5(x+y)2 （2）(x-y)(3a+2b)(3a-2b)
【解析】试题分析：（1）提公因式后运用公式法分解即可；
（2）提公因式后运用公式法分解即可．
试题解析：解：（1）原式==．
（2）原式===．
18. 【答案】
【解析】试题分析：首先将各二次根式进行化简，然后进行求和计算.
试题解析：原式 ．
考点：二次根式的计算.
19. 【答案】，
【解析】试题分析：根据分式混合运算法则化简后，代入求值即可．
试题解析：解：原式===
当时，原式==．
20. 【答案】x=3.
【解析】试题分析：方程两边同时乘以x（x-1），然后解整式方程即可．
去括号得：
整理得：x=3．
经检验：x=3是原方程的根．
21. 【答案】证明见解析
【解析】试题分析：先利用平行线的性质得到∠C=∠DBE，再根据“ASA”可证明△ABC≌△DEB，然后根据全等三角形的性质即可得到结论．
试题解析：证明：∵AC∥BE，∴∠C=∠DBE．
在△ABC和△DEB中，∵∠C=∠DBE，BC=EB，∠ABC=∠E，∴△ABC≌△DEB，∴AB=DE．
22. 【答案】见解析
【解析】试题分析：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，超市M建在∠COD的平分线上，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知超市应建在AB的垂直平分线上，所以作出两线的交点即可．
试题解析：解：如图所示，点M就是所要求作的建立超市的位置．
点睛：本题主要考查了基本作图，有作线段的垂直平分线，角的平分线，是基本作图，需要熟练掌握．
23. 【答案】100
【解析】试题分析：设高峰论坛期间这路公交车每天运行x车次，则原来每天运行（x﹣30）车次，根据高峰论坛期间平均每车次运送乘客与原来的数量基本相同，列方程求解．
试题解析：解：设高峰论坛期间这路公交车每天运行x车次，则原来每天运行（x﹣30）车次．由题意得：
解得：x=100．经检验，x=100是原分式方程的解，且符合题意．
答：高峰论坛期间这路公交车每天运行100车次．
点睛：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
24. 【答案】（1）任意实数；（2）见下表；（3）见解析；（4）见解析.
【解析】试题分析：由于x﹣1的符号不能确定，故应分x≥1与x＜1两种情况求出函数的解析式，列出表格，画出函数图象即可．
试题解析：解：（1）任意实数；
（2）见下表；
（3）如图；
（4）①函数的最小值为0（或当x=1时，函数取得最小值，且最小值为0）．
②当x＜1时，y随x的增大而减小
或当x＞1时，y随x的增大而增大．
③函数图象关于直线x=1对称．
25. 【答案】60°.
【解析】试题分析：根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，得到△ABC是等边三角形．再根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，根据SAS即可证明△ACD≌△BCE，再由全等三角形的性质得到∠ACD＝∠CBE，根据外角的性质即可得到结论．
试题解析：解：∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠A＝∠ACB＝60°．
在△ACD和△BCE中，∵AD＝CE，∠A＝∠ACB＝60°，AC＝BC，∴△ACD≌△BCE （SAS），∴∠ACD＝∠CBE，∴∠BPD＝∠CBE+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝∠ACB＝60°．
点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质．熟记外角的性质是解答本题的关键．
26. 【答案】（1）；（2）10；（3）或.
【解析】试题分析：（1）解方程组即可得到P的坐标，进一步可得到△OBP的面积；
（2）由S△OAB+S△ABP=S△OAP+S△OBP，可得出△ABOP的坐标；
（3）分两种情况讨论：①点P在第一象限；②点P在第三象限．
试题解析：解：（1）依题意，得：A（4，0），B（0，4）．
由，解得：，，∴，
∴；
（2）∵S△OAB+S△ABP=S△OAP+S△OBP
∴，
∵P（3，6），∴S△ABP=10；
（3）设P（x，2x），
若点P在第一象限时，由（2）可知，，∴；
若点P在第三象限时，∵S△ABP=S△OAP+S△OBP+S△OAB，
∴.
∴P点坐标为：或.
27. 【答案】（1）证明见解析；（2）OA=OB+2BC，理由见解析；（3）不成立，OA=2BC-OB.
（2）结论：OA=OB+2BC．作PD⊥OM于点D．同（1），可证△APD≌△BPC，得到AD=BC．
由△OPD≌△OPC，得到OC=OD，即可得到结论；
（3）不成立，OA=2BC-OB．
试题解析：解：（1）作PD⊥OM于点D．
∵点P在∠MON的角平分线上，且PC⊥ON于C，∴PC=PD．
∵∠MON=90°，∴∠APB=90°，∠CPD=90°，∴∠APD=∠BPC．
又∵∠PDA=∠PCB=90°，∴△APD≌△BPC（ASA），∴AP=BP．
（2）结论：OA=OB+2BC．理由如下：
作PD⊥OM于点D．同（1），可证△APD≌△BPC，∴AD=BC．
由△OPD≌△OPC，得OC=OD，∴OA-AD=OB+BC，得OA=OB+2BC．
（3）不成立，OA=2BC-OB．
28. 【答案】（1）①M2；②-4≤m≤5（2）
【解析】试题分析：根据“反称点”的定义解答即可．
试题解析：解：（1）①设直线AD的解析式为y=kx+b，则：，解得：，∴直线AD为：y=x-2．点M1（0，3）关于直线AB的对称点为Q（4，3），当x=4时，y=x-2=2．∵2＜3，∴Q在△ACD外，∴M1不是△ACD关于直线AB的“反称点”；
点M2（-0．5，2）关于直线AB的对称点为Q（4.5，2），当x=4.5时，y=x-2=2.5．∵2.5＞2，∴Q在△ACD内，∴M2是△ACD关于直线AB的“反称点”；
点M3（-2，1）于直线AB的对称点为Q（6，1）．∵6＞5，∴Q在△ACD外，∴M3不是△ACD关于直线AB的“反称点”；
②设M（a，2a+m）在直线y=2x+m上，M关于直线AB的对称点为 Q（4-a，2a+m），则2≤4-a≤5，0≤2a+m≤2-a，解得：-1≤a≤2，-4≤m≤5；
（2）易求直线EF的解析式为.点P（a，a+1）在直线y=x+1上，P关于直线AB的对称点为Q（4-a，a+1），则1≤4-a≤5，0≤a+1≤，解得：-1≤a≤.
点睛：本题是一次函数综合题，解答本题的关键是弄懂“反称点”的定义．
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