2018北京十一学校初二（上）期中数 学一、选择题（共16分，每小题2分）1．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＝0B．x＝2C
．x≠0D．x≠22．下列图案中，是轴对称的是（ ）A．B．C．D．3．为庆祝首个“中国农民丰收节”，海淀区将在海淀公园举办京西
稻收割节活动，京西稻是我市著名农业作物，颗粒圆润，晶莹明亮，稻谷每粒重约0.000028千克．将0.000028用科学记数法表示为
（ ）A．2.8×10﹣5B．2.8×10﹣6C．28×10﹣6D．0.28×10﹣44．下列运算中正确的是（ ）A．a2+a
3＝a5B．a?a2＝a2C．（a3）2＝a6D．a2÷a8＝a﹣45．等腰三角形有一个角的度数为50°，那么它的底角的度数为（
）A．50°B．65C．80°D．50°或65°6．分式可变形为（ ）A．B．﹣C．D．﹣7．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，
a）与点B（b，3）关于x轴对称，则a+b的值是（ ）A．﹣5B．﹣1C．1D．58．如图，△ABC中，点D在BC边上，过D作D
E⊥BC交AB于点E，P为DC上的一个动点，连接PA、PE，若PA+PE最小，则点P应该满足（ ）A．PA＝PCB．PA＝PEC
．∠APE＝90°D．∠APC＝∠DPE二、填空题（共16分，每小题2分）9．计算：20180﹣3﹣2＝ ．10．分解因式：mx2
﹣4my2＝ ．11．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．连接AE，若△ABC的周长为20，AD＝4，
则△AEC的周长为 ．12．若﹣＝5，则的值为 ．13．当分式的值为整数时，整数x的值为 ．14．京津城际铁路由北京南站至天津站，
全长120公里，据报道，8月8日开始，京津城际铁路实施全新列车运行图，复兴号动车组在京津城际铁路实现提速运行，时速比原来快35公里
/小时．运行图调整后，北京南站至天津站列车运行时间将减少5分钟（小时）．求京津城际铁路复兴号动车组原来的运行时速．设京津城际铁路复
兴号动车组原来的运行时速为x公里/小时．依题意，可列方程为 ．15．用“#”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a#b＝﹣，
若（﹣2）#（﹣3）＝，则m的值为 ．16．如图，把△ABC纸片折叠，点B落在B′处，折痕为DE，则∠B、∠1、∠2满足的等量关系
为 ．三、解答题（共68分，第17题4分，第18题20分，第19、20、21题每题5分，第22题10分，第23题4分，第24题7分
，第25题8分）17．（4分）已知：线段a，b（如图1），等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为b．求作这个等腰三角形．下面是小明
设计的尺规作图过程．作法：如图2①在射线OA上截取线段OB＝a；②分别以点O，点B为圈心，大于OB长为半径画弧，两弧交于C，D两点
；③连接CD，交OB于点E；④在直线CE上截取线段EF＝b；⑤接OF，BF．△OBF即为所求．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使
用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵OC＝ ，OD＝ ，∴CD是线段OB的垂直平分线．（ ）（填
推理的依据）18．（20分）计算（1）?（﹣）3÷；（2）﹣；（3）1﹣÷；（4）（x+2+）?．19．（5分）如图，△ABC中，
AB＝AC，AD是BC边上的中线，延长BA到E，过E作EF⊥BC于F交AC于点G．（1）依题意补全图形；（2）求证：AE＝AG．2
0．（5分）已知x＝y+2，求代数式（﹣y）?的值．21．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．D为BC边上任
一点，连接AD，过D作DE⊥AD，且DE＝AD．连接BE，探究BE与AB的位置关系，并说明理由．22．（10分）解方程：（1）（2
）．23．（4分）如图，已知线段AB＝CD，求作线段a，使线段a与线段AB成轴对称，与线段CD也成轴对称．（保留作图痕迹）24．（
7分）如图1，在等边△ABC中，D为AC边上任一点，连接BD，延长BD到E，使BE＝AB．设∠ABD＝α．（1）则∠CAE的大小为
（用含α的代数式表示）；（2）如图2，点F在∠CBE的平分线上，连接EF，CF，若∠ECF＝60°，判断△EFC的形状并加以证明
．25．（8分）阅读理解在平面直角坐标系xOy中，对于图形M和点P，给出如下定义：若在图形M上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小
于或等于1，则称P为图形M的关联点．根据阅读材料，解决下列问题．已知点A（2，0），以OA为边作等边△OAB，点B在第一象限．（1
）在点C（0，﹣1），D（2，2），E（3.5，0）中，△OAB的关联点是 ；（2）直线1⊥AB于A，点F在直线1上．若F为△OA
B的关联点．①设点F的纵坐标为n，则n的取值范围是 ；②设△FAB的面积为S，则S的最大值为 ．参考答案一、选择题（共16分，每小
题2分）1．【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0列式计算即可．【解答】解：由题意得，x≠0，故选：C．【点评】本题主要考查了
分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解题的关键．2．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称
图形，不符合题意，本选项错误；B、是轴对称图形，符合题意，本选项正确；C、不是轴对称图形，不符合题意，本选项错误；D、不是轴对称图
形，不符合题意，本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3
．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指
数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：将0.000028用科学记数法表示为2.8×10﹣5．故选：A．
【点评】考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个
数所决定．4．【分析】直接利用整式的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．【解答】解：A、a2+a3，
无法计算，故此选项错误；B、a?a2＝a3，故此选项错误；C、（a3）2＝a6，正确；D、a2÷a8＝a﹣6，故此选项错误；故选：
C．【点评】此题主要考查了整式的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．【分析】由等腰三角形有一
个角的度数为50°，即可分别从50°的角为顶角或底角去分析，根据等边对等角的知识，即可求得答案．【解答】解：∵等腰三角形有一个角的
度数为50°，∴若50°的角为顶角，则可知底角为：＝65°，若50°的角为底角，则它的底角的度数为50°，∴它的底角的度数为50°
或65°．故选：D．【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．6．【分析】
直接利用分式的基本性质变形得出答案．【解答】解：分式可变形为：＝﹣．故选：B．【点评】此题主要考查了分式的基本性质，正确将原式变形
是解题关键．7．【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵点A（﹣2，a）与点B（b，3）关
于x轴对称，∴a＝﹣3，b＝﹣2，∴a+b的值是：﹣3﹣2＝﹣5．故选：A．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横
纵坐标的关系是解题关键．8．【分析】作点E关于直线BC的对称点F，连接AF交BC于P，此时PA+PE的值最小，依据轴对称的性质即可
得到∠APC＝∠DPE．【解答】解：如图，作点E关于直线BC的对称点F，连接AF交BC于P，此时PA+PE的值最小．由对称性可知：
∠EPD＝∠FPD，∵∠CPA＝∠FPD，∴∠APC＝∠DPE，∴DP+PB最小时，点P应该满足∠APC＝∠DPE，故选：D．【点
评】本题考查轴对称最短问题、对顶角的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性
质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．二、填空题（共16分，每小题2分）9．【分析】直接利用负指数幂的性
质以及零指数幂的性质计算得出答案．【解答】解：原式＝1﹣＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了负指数幂的性质以及零指数幂的性质，正
确把握负指数幂的性质是解题关键．10．【分析】原式提取m，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝m（x2﹣4y2）＝m（x+
2y）（x﹣2y）．故答案为：m（x+2y）（x﹣2y）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解
本题的关键．11．【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点E，∴AE＝BE，AD＝B
D，∴△AEC的周长＝AC+BC，AB＝2AD＝8，∵△ABC周长＝AC+BC+AB＝20，∴△AEC的周长＝△ABC周长﹣AB＝
20﹣8＝12，故答案为：12．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．12．【
分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后代入原式计算即可求出值．【解答】解：已知等式整理得：＝5，即x﹣y＝5
xy，则原式＝＝＝，故答案为：【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．【分析】根据分式的值为整数，得到分
母为2的因式，即为±1，±2，求出整数x的值即可．【解答】解：根据分式的值为整数，得到3x﹣1＝±1，±2，解得：x＝，x＝0，x
＝1，x＝﹣，则整数x的值为0，1，故答案为：0，1【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．【分析】设京
津城际铁路复兴号动车组原来的运行时速为x公里/小时，则提速后的运行时速为（x+35）公里/小时，根据时间＝路程÷速度结合提速后比提
速前少用小时，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：设京津城际铁路复兴号动车组原来的运行时速为x公里/小时，则提速后的运
行时速为（x+35）公里/小时，根据题意得：﹣＝．故答案为：﹣＝．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列
出分式方程是解题的关键．15．【分析】根据a#b＝﹣，（﹣2）#（﹣3）＝，可以得到关于m的方程，从而可以得到m的值．【解答】解：
∵a#b＝﹣，（﹣2）#（﹣3）＝，∴，解得，m＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理
数混合运算的计算方法．16．【分析】由折叠的性质可得∠B＝∠B''，根据三角形的外角的性质，可得∠BFE＝∠B''+∠1，∠2＝∠B+
∠BFE，可求∠B、∠1、∠2满足的等量关系．【解答】解：如图，设AB与B''E的交点为F，∵折叠∴∠B＝∠B''，∵∠BFE＝∠B''
+∠1，∠2＝∠B+∠BFE，∴∠2＝∠B''+∠B+∠1，∴∠2﹣∠1＝2∠B，故答案为：∠2﹣∠1＝2∠B【点评】本题考查了翻折
变换，折叠的性质，熟练运用三角形外角的性质解决问题是本题的关键．三、解答题（共68分，第17题4分，第18题20分，第19、20、
21题每题5分，第22题10分，第23题4分，第24题7分，第25题8分）17．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2
）利用作法得到OC＝BC，OD＝BD，然后根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可得到CD⊥OB．【解答】解：（1）如图，△OBF即
为所求；（2）完成下面的证明．证明：∵OC＝BC，OD＝BD，∴CD是线段OB的垂直平分线（到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直
平分线上）．故答案为BC，BD；到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种
基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本
性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．18．【分析】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，
然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．【解答】解：（1）?（﹣）3÷
＝?（﹣）?＝﹣＝﹣；（2）﹣＝﹣＝＝；（3）1﹣÷＝1﹣×＝1﹣＝＝﹣；（4）（x+2+）?＝[﹣]?＝×＝﹣2（x+3）＝﹣2
x﹣6．【点评】本题主要考查了分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
19．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示；（2）
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD，∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AD∥EF，∴∠BAD＝∠E，∠DAG＝∠A
GE，∴∠E＝∠AGE，∴AE＝AG．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．2
0．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝?
＝?＝，把x＝y+2代入得：原式＝＝1．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．【分析】过点E作E
M⊥BD，交DB延长线于点M，由“AAS”可证△EMD≌△DCA，可得EM＝CD，MD＝BC，可得EM＝BM，由等腰直角三角形的性
质可得∠ABC＝45°＝∠MBE，可得∠ABE＝90，则AB⊥BE．【解答】解：AB⊥BE理由如下：如图，过点E作EM⊥BD，交D
B延长线于点M，∵∠ACB＝90°，DE⊥AD，∴∠ADC+∠EDM＝90°，∠ADC+∠DAC＝90°∴∠DAC＝∠EDM，且D
E＝AD，∠C＝∠M＝90°∴△EMD≌△DCA（AAS）∴EM＝CD，MD＝BC∴MD﹣BD＝BC﹣BD∴BM＝CD＝EM∴∠M
EB＝∠MBE＝45°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°∴∠ABE＝180°﹣∠MBE﹣∠ABC＝90°∴AB⊥
BE【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．22．【分析】（1）
观察可得最简公分母是x（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解；（2）观察可得最简公分母是（2x+5）（
2x﹣5），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：（1）方程的两边同乘x（x+1），得5x+2＝3x
，解得x＝﹣1．检验：把x＝﹣1代入x（x+1）＝0．所以原分式方程无解；（2）方程的两边同乘（2x+5）（2x﹣5），得2x（2
x+5）﹣2（2x﹣5）＝（2x+5）（2x﹣5），解得x＝﹣．检验：把x＝﹣代入（2x+5）（2x﹣5）≠0．所以原方程的解为：
x＝﹣．【点评】本题考查了分式方程的解法，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分
式方程一定注意要验根．23．【分析】连接AC；作线段AC的垂直平分线l，作点D关于直线l的对称点E；连接AE，则AE即为线段a．【
解答】解：如图，连接AC；作线段AC的垂直平分线l，作点D关于直线l的对称点E；连接AE，则AE即为线段a；故CD与AE关于l对称
；作∠BAE的角平分线AF，则AE与AB关于AF对称．∴线段a与线段AB成轴对称，与线段CD也成轴对称．【点评】本题主要考查了利用
轴对称变换进行作图，几何图形都可看做是有点组成，在画一个图形的轴对称图形时，是先从确定一些特殊的对称点开始．24．【分析】（1）根
据等腰三角形的性质用α表示∠BAE度数，减去60°即可；（2）证明△BFC≌△AEC得到CF＝CE，再结合60度角即可说明是等边三
角形．【解答】解：（1）∵BE＝AB，∴∠BAE＝（180°﹣α）＝90°﹣α．∴∠CAE＝∠BAE﹣60°＝30°﹣α．（2）△
EFC是等边三角形，理由如下：∵∠EBC＝60°﹣α，BF平分∠EBC，∴∠FBC＝∠EBC＝30°﹣α．∴∠FBC＝∠EAC．∵
∠FCB＝60°﹣∠ACF，∠ECA＝60°﹣∠ACF，∴∠FCB＝∠ECA，又CA＝CB，∴△BFC≌△AEC（ASA）．∴CF
＝CE．又∠ECF＝60°，∴△EFC是等边三角形．故答案为：30°﹣α．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的
判定和性质．25．【分析】（1）如图1中，观察图象可知△OAB的关联点在图中的虚线区域内（包括虚线上）（虚线上的点到△OAB的顶点
或边的距离为1）．（2）①如图2中，设直线l交图中虚线于C′，F．解直角三角形求出点C′，F的坐标即可判断；②当点F与C′重合时，△FAB的面积最大；【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知△OAB的关联点在图中的虚线（包括虚线上）区域内（虚线上的点到△OAB的顶点或边的距离为1）．故△OAB的关联点是点C，D．故答案为C，D．（2）①如图2中，设直线l交图中虚线于C′，F．作C′G⊥OA于G，FN⊥x轴于N．在Rt△AFN中，∵∠FAN＝30°，AF＝1，∴FN＝，AN＝，∴N（2+，），在Rt△AC′G中，∵∠C′AG＝30°，C′G＝1，∴AG＝，AC′＝2，∴OG＝2﹣，∴C′（2﹣，﹣1）∴满足条件的点F的纵坐标：﹣1≤n≤．故答案为﹣1≤n≤．②当点F与C′重合时，△FAB的面积最大，面积的最大值S＝×2×2＝2．故答案为2．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，图形M的关联点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 1 / 1 |
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