2019北京一六一中学初二（下）期中数 学班级姓名学号考生须知本试卷共4页，考试时间100分钟。试卷由主卷和附加卷组成，主卷部分满分100
分，附加卷部分满分20分。试卷答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效。在答题纸上，用黑色字迹钢笔或签字笔作答。考试结束后，将答题
纸交回。第I卷（主卷部分，共100分）一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）1.下列二次根式，最简二次根式时A.B.
C.D.2.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是A.4,5,6B.11,12,13C.2,3,4D.8,15,17
3.平行四边形ABCD中，若∠B=2∠A，则∠C的度数为A.120°B.60°C.30°D.15°4.正方形的一条对角线长为4，则
这个正方形的面积是A.8B.4C.8D.165.若A（1，）,B（2，）两点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是A.B.C.D.
无法确定6.如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，若AC=4，BD=6，则菱形ABCD的周长为A.16B.24C.D
.87.如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE=CD，则∠BEC的度数为A.22.5°B.60
°C.67.5°D.75°8.如图，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC、EG剪开，拼成如图所示的平行四边形K
LMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且平行四边形KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为A.24B.25C.2
6D.27二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，本题共24分）9.化简的结果是。10.如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，
在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN=32m，则A，B两点间的距离是m.11.三角形三边长分别为3,4,5
，那么最长边上的中线长等于。12.如图，一棵大树在离地面9米高的B处断裂，树顶A落在离树底部C点12米处，则大树断裂之前的高度为米
。13.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC=4cm,∠AOD=120°，则BC的长为。14.反比例函数在第一象限的
图象如图，请写出一个满足条件的k值，k=。15.如图，正方形ABCD的面积是2，E，F，P分别是AB，BC，AC上的动点，PE+P
F的最小值等于。16.在数学课上，老师提出如下问题：如图，将锐角三角形纸片ABC（BC>AC）经过两次折叠，得到边AB，AC，CA
上的点D，E，F使得四边形DECF恰好为菱形小明的折叠方法如下：如图AC边向BC边折叠，使AC边落在BC边上，得到折痕交AB于D；
C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F。老师说：“小明的作法正确。”请回答：小明这样折叠得到菱形的
依据是。三、计算题（本大题共3道小题，每小题4分，本题共12分）17.计算（1）（2）×（3）四、解答题（本大题共8道小题，其中2
3小题4分，24小题6分，其它每小题5分，本题共40分）18.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且B
E=DF，求证：四边形AECF是平行四边形19.如图，凹四边形ABCD中，CD⊥AD，AD=8,CD=6,AB=26,BC=24求
凹四边形ABCD的面积. 20.利用勾股定理可以在数轴上画出表示的点，请依据以下思路完成画图，并保留画图痕迹:第一步:(计算)尝试
满足=，使其中a，b都为正整数,你取的正整数a=，b=;第二步:(画长为的线段)以第一步中你所取的正整数a，b为两条直角边长画Rt
△OFF,使O为原点，点E落在数轴的正半轴上，∠OEF=90°，则斜边OF的长即为.请在下面的数轴上画图:(第二步不要求尺规作图，
不要求写画法)第三步:(画表示的点)在下面的数轴上画出表示的点M，并描述第三步的画图步骤：。21.己知，如图所示，折叠矩形的一边A
D，使点p落在BC边的点F处，如果AB=8，BC=10.(1)求FC的长;(2)求EC的长. 22.在平面直角坐标系xOy中，一次
函数y=kx+b的图象与y轴交于点B,(0,1)与反比例函数y=的图象交于点A(3,-2)(1)求反比例函数的表达式和一次函数表达
式；(2)若点C是y轴上一点，且BC=BA，P直接写出点C的坐标. 23.如图，六个完全相同的小长方形拼成一个大长方形，AB是其中
一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求:①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹.(1)在图(1)中画一个45°角，
使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边;(2)在图(2)中利用所学特殊四边形的知识，画出线段AB的垂直平分线.24.我们
给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.(1)如图1，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB
、BC、CD、DA的中点，则中点四边形EFGH是形:(2)如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB,PC=PD,∠AP
B=∠CPD，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，试猜想中点四边形EFGH的形状并证明;(3)若改变(2)中的条
件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状是形。25.在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为
(，)，点N的坐标为(，)，且≠,≠，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.
(1)己知点A(2,0)，B(0,2)，则以AB为边的“坐标菱形”的面积为；(2)若点C(1,2)，点D在直线y=5上，以CD为边
的“坐标菱形”为正方形，求直线CD解析式。第II卷（附加卷部分，共20分）填空题（本题6分）1.如图，OP=1，过P作P⊥OP且P
，根据勾股定理，得O=，再过作⊥O且，得O；又过作⊥O且，得O=2；O=；依此继续，得O=O(n为自然数，且n>0)二、解答题(本
题共14分，2小题6分，3小题8分)2.如图1，将边长为1的正方形ABCD压扁为边长为1的菱形ABCD，在菱形ABCD中，∠A的大
小为a，面积记为S.请补全下表：α30°45°60°90°120°135°150°S1填空：由（1）可以发现单位正方形在压扁的过程
中，菱形的面积随着∠A大小的变化而变化，不防把单位菱形的面积S记为S（α）。例如当α=30°时，S=S（30°）=；当α=135°
时，S=S（135°）=，由上表可以得到S（60°）=S（°）；S（150°）=S（°），···，由此可以归纳出S(180°-α)
=S()。(3)两块相同的等腰立角三角板按图2的方式放置，AD=，∠AOB=α,试探究图中两个带阴影的三角形面积是否相等。并说明理
由(注:可以利用((2)中的结论)。3.己知如图1，正方形ABCD, CEF为等腰直角三角形，其中∠CFE=90°, CF=EF，
连接CE,AE，AC，点G是AE的中点，连接FG.(1)用等式表示线段BF与FG的数量关系是.(2)若将△CEF绕顶点C旋转，使得
点F恰好在线段AC上，并且点E在线段AC的上方，点G仍是AE的中点，连接FG,DF.①在图2中依据题意补全图形;②求证:DF=FG
.参考答案一、选择题（本大题共8道小题，每小题3分，共24分）1．【分析】结合最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被
开方数中不含能开得尽方的因数或因式．求解即可．【解答】解：A、是最简二次根式，本选项正确；B、＝3，不是最简二次根式，本选项错误；
C、＝，不是最简二次根式，本选项错误；D、＝3a，不是最简二次根式，本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了最简二次根式，解答本题
的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．2．【分析】根据勾股定理
的逆定理，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【解答】解：A、∵42+52＝41≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项
不符合题意；B、∵112+122＝265≠132，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵22+32＝13≠42，∴不能构
成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵82+152＝289＝172，∴能够构成直角三角形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本
题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．3．【分析】先根据平
行四边形的性质得出∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，再由∠B＝2∠A可求出∠A的度数，进而可求出∠C的度数．【解答】解：∵四边形A
BCD是平行四边形，∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，∵∠B＝2∠A，∴∠A+2∠A＝180°，∴∠A＝∠C＝60°．故选：B．
【点评】本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角相等是解答此题的关键．4．【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列
式计算即可得解．【解答】解：∵正方形的一条对角线长为4，∴这个正方形的面积＝×4×4＝8．故选：A．【点评】本题考查了正方形的性质
，熟记利用对角线求面积的方法是解题的关键．5．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征结合点A、B的横坐标，求出y1、y2的值，二
者进行比较即可得出结论．【解答】解：∵A（1，y1），B（2，y2）两点都在反比例函数y＝的图象上，∴1?y1＝1，2?y2＝1，
解得：y1＝1，y2＝，∵1＞，∴y1＞y2．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据反比例函数
图象上点的坐标特征求出y1、y2的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的横坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征
求出点的纵坐标是关键．6．【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO＝OD，AO＝OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理
可以求得AB的长，即可求得菱形ABCD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BO＝OD＝AC＝2，AO＝OC＝BD＝3，A
C⊥BD，∴AB＝＝，∴菱形的周长为4．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题
中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．7．【分析】由正方形的性质得到BC＝CD，∠DBC＝45°，证出BE＝BC，根据三角形的内
角和定理求出∠BEC＝∠BCE＝67.5°即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠DBC＝45°，∵BE＝CD
，∴BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，三角形的内角
和定理，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质，证出BE＝BC是解决问题的关键．8．【分析】如图，设PM＝PL＝NR＝KR＝
a，正方形ORQP的边长为b，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，设PM＝PL＝NR＝KR＝a，正方形ORQP的边长为b．由题
意：a2+b2+（a+b）（a﹣b）＝50，∴a2＝25，∴正方形EFGH的面积＝a2＝25，故选：B．【点评】本题考查图形的拼剪
，矩形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴
题．二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，本题共24分）9．【分析】根据算术平方根的性质直接写出结果即可．【解答】解：＝3，故
答案为：3．【点评】本题考查了算术平方根的定义，算术平方根是一个正数正的平方根，难度不大．10．【分析】根据M、N是OA、OB的中
点，即MN是△OAB的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解．【解答】解：∵M、N
是OA、OB的中点，即MN是△OAB的中位线，∴MN＝AB，∴AB＝2MN＝2×32＝64（m）．故答案为：64．【点评】本题考查
了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解题的关键．11．【分析】根据勾股定理逆定理判断出三角形是直角三角形，然后根据直角三角形斜
边上的中线等于斜边的一半解答即可．【解答】解：∵32+42＝25＝52，∴该三角形是直角三角形，∴×5＝2.5．故答案为：2.5．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的逆定理，判断出是直角三角形是解题的关键．12．【分析】根据
大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可．【解答】解：由题意得BC＝9，在直角三角形ABC中，根据勾股定理
得：AB＝＝15米．所以大树的高度是15+9＝24米．故答案为：24．【点评】本题考查了勾股定理的应用．熟记9，12，15这组勾股
数，计算的时候较快．13．【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分可得OA＝OB，再根据邻补角的定义求出∠AOB＝60°，然后判断出
△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB＝OA，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：在矩形ABCD中，OA＝O
B＝AC＝×4＝2cm，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝2cm
，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC＝＝＝2cm．故答案为：2．【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，本题主要
利用了矩形的对角线相等且互相平分．14．【分析】根据反比例函数y＝的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限
内y随x的增大而减小可得答案．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在第一象限，∴k＞0，∴k＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查
了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第
一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．15．【分析】过点P作MN∥AD交AB于点M，交CD于点N，根据正方形的性质可得出MN⊥A
B，且PM≤PE、PN≤PF，由此即可得出AD≤PE+PF，再由正方形的面积为2即可得出结论．【解答】解：过点P作MN∥AD交AB
于点M，交CD于点N，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴MN⊥AB，∴PM≤PE（当PE⊥AB时取等号），PN≤PF（当PF⊥
BC时取等号），∴MN＝AD＝PM+PN≤PE+PF，∵正方形ABCD的面积是2，∴AD＝．故答案为：．【点评】本题考查了正方形的
性质，解题的关键是找出AD≤PE+PF．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据正方形的性质找出PE+PF最小时，三点的位
置关系是关键．16．【分析】根据折叠的性质得到CD和EF互相垂直且平分，结合菱形的判定定理“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”证得
结论．【解答】解：如图，连接DF、DE．根据折叠的性质知，CD⊥EF，且OD＝OC，OE＝OF．则四边形DECF恰为菱形．故答案是
：CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分（答案不唯一）．【点评】本题考查了菱形的判定，翻折变换（折叠问题）．
总结：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直
的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．三、计算题（本大题共3道小题，每小题12分，本题共12分）17．【分
析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把二次根式化为最简二次根式，然后根据二次根式的乘除法则运算；（3）利
用平方差公式和二次根式的乘法法则运算．【解答】解：（1）原式＝2+3﹣﹣5＝﹣2；（2）原式＝2×÷＝2××3×＝8；（3）原式＝
＝+2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能
结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．四、解答题（本大题共8道小题，其中23小题4分，24小题
6分，其它每小题5分，本题共40分）18．【分析】连接对角线AC交对角线BD于点O，运用OA＝OC，OE＝OF，即可判定四边形AE
CF是平行四边形；【解答】证明：连接对角线AC交对角线BD于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵点E，
F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．【点评】本题主要考查平
行四边形的性质及判定和菱形的性质，本题的关键是灵活运用知识找出线段之间的关系．19．【分析】连接AC，在Rt△ACD中，AD＝8，
CD＝6，根据勾股定理可求AC；在△ABC中，由勾股定理的逆定理可证△ABC为直角三角形，利用两个直角三角形的面积差求图形的面积．
【解答】解：连接AC，在Rt△ACD中，AD＝8，CD＝6，∴AC＝＝＝10，在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝26
2＝AB2，∴△ABC为直角三角形；∴图形面积为：S△ABC﹣S△ACD＝×10×24﹣×6×8＝96．【点评】本题考查了勾股定理
及其逆定理的运用，三角形面积的求法，关键是得到△ABC为直角三角形．20．【分析】第一步：利用实数的运算可确定a和b的值；第二步：
4对应的点为E点，过点E作数轴的垂线，再截取EF＝2，然后连接OF，则OF＝；第三步：如图，在数轴的正半轴上截取OM＝OF即可．【
解答】解：第一步：a＝4，b＝2；第二步：如图，OF为所作；第三步：如图，以原点为圆心，OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M
为所作．故答案为4，2；以原点为圆心，OF为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则点M为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图
是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图
形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．21．【分析】（1）根据折叠的性质得AF＝AD＝10，DE＝EF，在Rt△ABF中
，利用勾股定理计算出BF＝6，则FC＝4；（2）设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，在Rt△EFC中，根据勾股定理得x2+42＝（8
﹣x）2，然后解方程即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴DC＝AB＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠D＝∠C＝90°，
∵折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处∴AF＝AD＝10，DE＝EF，在Rt△ABF中，BF＝BF＝＝＝6，∴FC＝BC﹣
BF＝4；（2）设EC＝x，则DE＝8﹣x，EF＝8﹣x，在Rt△EFC中，∵EC2+FC2＝EF2，∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3∴EC的长为3．【点评】本题主要考查了折叠变换问题，解决本题的关键是结合图形根据翻折的性质得到一些相等的线段，然后灵活运
用勾股定理进行解答．22．【分析】（1）依据一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点B（0，1），与反比例函数y＝ 的图象交于点A（
3，﹣2），即可得到反比例函数的表达式和一次函数表达式；（2）由A（3，﹣2），B（0，1）可得，AB＝＝3，即可得到BC＝3，再
根据BO＝1，可得CO＝3+1或3﹣1，即可得出点C的坐标．【解答】解：（1）∵双曲线y＝ 过A（3，﹣2），将A（3，﹣2）代入
y＝，解得：m＝﹣6．∴所求反比例函数表达式为：y＝﹣．∵点A（3，﹣2），点B（0，1）在直线y＝kx+b上，∴﹣2＝3k+b，
b＝1，∴k＝﹣1，∴所求一次函数表达式为y＝﹣x+1．（2）由A（3，﹣2），B（0，1）可得，AB＝＝3，∴BC＝3，又∵BO
＝1，∴CO＝3+1或3﹣1，∴C（0，3+1 ）或 C（0，1﹣3 ）．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数、一次函数的
解析式和反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．23．【分析】（1）利用矩形的性质作出等腰直角三
角形ABC和等腰直角三角形ABD，从而得到45°的角；（2）先通过连接矩形的对角线得到AB的中点M，再利用（1）中的作法作正方形得
到AB的对边的中点N，则MN垂直平分AB．【解答】解：（1）如图1，∠ABC＝45°，∠DAB＝45°；（2）如图2，MN为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．决此类题目的
关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质．24．【分析】（1）如
图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH＝FG即可．（2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得
到AC＝BD，再证明EF＝FG即可．（3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG＝90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP＝∠
BDP，即可证明∠COD＝∠CPD＝90°，再根据平行线的性质即可证明．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边
AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH＝BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG＝BD，∴EH∥FG，EH＝GF
，∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．证明：如图2中，连接AC，BD．∵∠APB＝∠CPD，∴∠APB+
∠APD＝∠CPD+∠APD即∠APC＝∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD，∴AC＝BD∵点E，F，G分别为
边AB，BC，CD的中点，∴EF＝AC，FG＝BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．（3）四边形EFGH是正
方形．证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP＝∠BDP，∵
∠DMO＝∠CMP，∴∠COD＝∠CPD＝90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°，∵四
边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正
方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．25．【分析】（1）根据定义建
立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB＝4，由菱形的面积公式可求解；（2）先确定直线CD与直线y＝5的夹角是45°，得D
（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y＝x+1或y＝﹣x+3；【解答】解：（1）如图1∵点A（2，0），B（0，2）
，∴OA＝2，OB＝2，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC＝2，OB＝OD＝2∴A
C＝4，BD＝4∴以AB为边的“坐标菱形”的面积＝＝8，故答案为：8；（2）如图2，∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD
与直线y＝5的夹角是45°，过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），设直线CD解析式为y＝kx+b，由题意可得 或解
得： 或∴直线CD的表达式为：y＝x+1或y＝﹣x+3；【点评】本题是一次函数的综合题，考查了菱形的性质，正方形的性质，待定系数法
求解析式，点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题．四、填空题（本题6分）26．【分析】首先
根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2019的长．【解答】解：由勾股定理得：OP1＝＝；得
OP2＝＝；得OP3＝＝＝2；OP4＝＝；依此类推可得OPn＝，∴OP2019＝＝＝2．故答案为：，2，．【点评】本题考查了勾股定
理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．五、解答题（本题共14分，2小题6分，3小题8分）27．【分析】（1）过D作DE⊥AB于
点E，当α＝45°时，可求得DE，从而可求得菱形的面积S，同理可求当α＝60°时S的值，当α＝120°时，过D作DF⊥AB交BA的
延长线于点F，则可求得DF，可求得S的值，同理当α＝135°时S的值；（2）根据表中所计算出的S的值，可得出答案；（3）将△ABO
沿AB翻折得到菱形AEBO，将△CDO沿CD翻折得到菱形OCFD．利用（2）中的结论，可求得△AOB和△COD的面积，从而可求得结
论．【解答】解：（1）当α＝45°时，如图1，过D作DE⊥AB于点E，则DE＝AD＝，∴S＝AB?DE＝，同理当α＝60°时S＝，
当α＝120°时，如图2，过D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，则∠DAE＝60°，∴DF＝AD＝，∴S＝AB?DF＝，同理当α
＝150°时，可求得S＝，故表中依次填写：；；；；（2）由（1）可知S（60°）＝S（120°），S（150°）＝S（30°），∴
S（180°﹣α）＝S（α）故答案为：120；30；α；（3）两个带阴影的三角形面积相等．证明：如图3将△ABO沿AB翻折得到菱形
AMBO，将△CDO沿CD翻折得到菱形OCND．∵∠AOD＝∠COB＝90°，∴∠COD+∠AOB＝180°，∴S△AOB＝S菱形
AMBO＝S（α）S△CDO＝S菱形OCND＝S（180°﹣α）由（2）中结论S（α）＝S（180°﹣α）∴S△AOB＝S△CDO
．【点评】本题为四边形的综合应用，涉及知识点有菱形的性质和面积、解直角三角形及转化思想等．在（1）中求得菱形的高是解题的关键，在（
2）中利用好（1）中的结论即可，在（3）中把三角形的面积转化成菱形的面积是解题的关键．本题考查知识点较基础，难度不大．28．【分析
】（1）先判断出△AGB≌△CGB，得到∠GBF＝45°，再判断出△EFG≌△CFG，得到∠GFB＝45°，从而得到△BGF为等腰
直角三角形，即可求解；（2）①画图2即可；②如图2，连接BF、BG，证明△ADF≌△ABF得DF＝BF，根据直角三角形斜边中线的性质得：AG＝EG＝BG＝FG，由圆的定义可知：点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，∠BGF＝2∠BAC＝90°，所以△BGF是等腰直角三角形，可得结论．【解答】解：（1）BF＝FG，理由是：如图1，连接BG，CG，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，∵EF⊥BC，FE＝FC，∴∠CFE＝90°，∠ECF＝45°，∴∠ACE＝90°，∵点G是AE的中点，∴EG＝CG＝AG，∵BG＝BG，∴△AGB≌△CGB（SSS），∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC＝45°，∵EG＝CG，EF＝CF，FG＝FG，∴△EFG≌△CFG（SSS），∴∠EFG＝∠CFG＝（360°﹣∠BFE）＝（360°﹣90°）＝135°，∵∠BFE＝90°，∴∠BFG＝45°，∴△BGF为等腰直角三角形，∴BF＝FG．故答案为：BF＝FG；（2）①如图2所示，②如图2，连接BF、BG，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∵AF＝AF，∴△ADF≌△ABF（SAS），∴DF＝BF，∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，点G是AE的中点，∴AG＝EG＝BG＝FG，∴点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，∵＝，∠BAC＝45°，∴∠BGF＝2∠BAC＝90°，∴△BGF是等腰直角三角形，∴BF＝FG，∴DF＝FG．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，圆的性质，判断△BGF为等腰直角三角形是解本题的关键，作出辅助线是解本题的难点． 1 / 1 |
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