2019北京重点校初二（上）期中数学汇编三角形全等的判定一、单选题1．（2019·北京·101中学八年级期中）如图，等腰中，，于.的平分线分
别交，于点，两点，为的中点，延长交于点，连接.下列结论：①；②；③是等腰三角形；④.其中正确的结论个数是（ ）A．1个B．2个C．
3个D．4个2．（2019·北京师大附中八年级期中）如图，下列条件中，不能证明△ABC ≌ △DCB是（ ）A． B． C． D．
3．（2019·北京师大附中八年级期中）下列说法正确的是( )A．两个等腰直角三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合
的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等4．（2019·北京师大附中八年级期中）如图,下列条件中,不能证明△ABC≌△DCB的是(
)A．AB=DC,AC=DBB．AB=DC,∠ABC=∠DCBC．BO=CO,∠A=∠DD．AB=DC,∠DBC=∠ACB5．（
2019·北京市陈经纶中学八年级期中）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CB
E的是A．∠A=∠CB．AD=CBC．BE=DFD．AD∥BC6．（2019·北京·清华附中八年级期中）如图，已知 AB⊥BC 于
B，CD⊥BC 于 C，BC=12，AB=5， 且 E 为 BC 上一点，∠AED=90°，AE=DE，则 BE=（ ）A．13
B．8C．7D．57．（2019·北京师大附中八年级期中）如图，AB=CD，AD=CB，判定△ABD≌△CDB的依据是（ ）A．S
SSB．ASAC．SASD．AAS二、填空题8．（2019·北京师大附中八年级期中）如图，过边长为1的等边的边上一点，作于，为延长
线上一点，当时，连接交边于，则的长为______.9．（2019·北京师大附中八年级期中）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则
∠1+∠2+∠3＝_______．10．（2019·北京市陈经纶中学八年级期中）如图，已知AB⊥BD, AB∥ED，AB=ED，要
证明ΔABC≌ΔEDC，若以“SAS”为依据，还要添加的条件为____；若添加条件AC=EC，则可以用____方法判定全等.11．
（2019·北京师大附中八年级期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中
的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第_____块．12．（2019·北京·101中学八年级期中）如图，在中，，
，平分交于点，于点.若，则的周长为______.13．（2019·北京·101中学八年级期中）如图，等边中，，分别是、边上的一点，
且，则______.14．（2019·北京·101中学八年级期中）中，.设的面积为.①图1中，为中点，，，，是上的四点；②图2中，
，，，，，，交于点；③图3中，，D为中点，.其中，阴影部分面积为的是______（填序号）.15．（2019·北京·首都师范大学附
属中学八年级期中）如图，已知AE平分∠BAC,点D是AE上一点，连接BD,CD.请你添加一个适当的条件，使△ABD≌△ACD.添加
的条件是：____.（写出一个即可）16．（2019·北京·101中学八年级期中）如图，点，，，在同一条直线上，欲证，已知，，还可
以添加的条件是______.三、解答题17．（2019·北京师大附中八年级期中）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似
地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）如图，在中，点，分别在，上，设，相交于点，若，．请你写出图中一个与
相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？（2）在中，如果是不等于的锐角，点，分别在，上，且．探究：满足上述条件的图形中是否存
在等对边四边形，并证明你的结论．18．（2019·北京市陈经纶中学八年级期中）已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=
OC，OB=OD．求证：AB=CD．19．（2019·北京·北大附中八年级期中）已知:如图,点 E 是△ABC 外角∠CAF 平分
线上的一点(1)比大小:BE+EC AB+AC(填“>”、“＜”或“=”)(2)证明(1)中的结论20．（2019·北京·北大附中
八年级期中）已知 C 是线段 AB 垂直平分线 m 上一动点,连接 AC,以 AC 为边作等边△ACD,点 D 在直线 AB 的上
方,连接 DB 与直线 m 交于点 E,连接 BC(1)如图 1,点 C 在线段 AB 上①根据题意补全图 1;②求证:∠EAC=
∠EDC;(2)如图 2,点 C 在直线 AB 的上方,0°＜∠CAB＜30°,用等式表示线段 BE、CE、DE 之间的数量关系,
并证明.21．（2019·北京·101中学八年级期中）如图，是线段的中点，，，求证：.22．（2019·北京市陈经纶中学八年级期中
）阅读下列材料：如图，在四边形 ABCD 中，已知∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°，求证：CD=AB小刚是
这样思考的；由已知可得，∠CAB=30°，∠DAC=75°，∠DCA=60°，∠ACB+∠DAC=180°，由求证及特殊度数可联想
到构造特殊三角形，即过点 A 作 AE⊥AB 交 BC 的延长线于点 E，对 AB=AE，∠E=∠D在△ADC 与△CEA 中，∠
D = ∠E，∠DAC = ∠ECA = 75° ，AC = CA．△ADC≌△CEA．得 CD=AE=AB请你参考小刚同
学思考问题的方法，解决下面问题如图，在四边形 ABCD 中，若∠ACB+∠CAD=180°，∠B=∠D，请问：CD 与 AB 否相
等？若相等，请你给出证明；若不相等．请说明理由.23．（2019·北京·北大附中八年级期中）如图，点B，F，C，E在直线l上（F，
C之间不能直接测量），点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE=10
m，BF=3m，则FC的长度为 m．24．（2019·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）如图，已知△ABC中，AB=AC,AD
为中线，点P是AD上一点，点Q是AC上一点，且∠BPQ+∠BAQ=180°.（1）若∠ABP=α，求∠PQC的度数（用含α的式子表
示）；（2）求证：BP=PQ.25．（2019·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠B=∠ACB,D是边A
B上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点F，DB=3,CF=7,求AE.26．（2019·北京四中八年级期中）在
探究两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等（“SSA”）是否能判定两个三角形全等时，我们设计不同情形进行探究：（1）例如，当∠
B 是锐角时，如图 ，BC=EF，∠B=∠E，在射线 EM 上有点 D，使 DF=AC，用尺规画出符合条件的点 D，则△ABC 和
△DEF 的关系是( )；A．全等 B． 不全等 C． 不一定全等我们进一步发现如果能确定这两个三角形的形状，那么“S
SA”是成立的.（2）例如，已知：如图，在锐角△ABC 和锐角△DEF 中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E. 求证：△ABC≌
△DEF.27．（2019·北京四中八年级期中）阅读下面材料：老师说：“小米的做法正确.”请回答：小米的作图依据是_____.28
．（2019·北京·清华附中八年级期中）如图，B、C、E、F 在同一直线上，AB∥CD，BF=CE，∠A=∠D．求证：△ABE≌△
DCF29．（2019·北京·清华附中八年级期中）如图，等边△ABC边长为10，P在AB上，Q在BC延长线，CQ＝PA，过点P作P
E⊥AC点E，过点P作PF∥BQ，交AC边于点F，连接PQ交AC于点D，则DE的长为_____．30．（2019·北京四中八年级期
中）已知：如图，直角△ABC 中，AC=BC，∠C=90°，∠CAB=∠ABC=45°，过点 B 作射线BD⊥AB 于 B，点 P
为 BC 边上任一点，在射线上取一点 Q，使得 PQ=AP.（1）请依题意补全图形；（2）试判断 AP 和 PQ 的位置关系，并
加以证明.参考答案1．D【分析】求出BD=AD，∠DBF=∠DAN，∠BDF=∠ADN，证△DFB≌△DAN，即可判断①，证△AB
F≌△CAN，推出CN=AF=AE，即可判断②；根据A、B、D、M四点共圆求出∠ADM=22.5°，即可判断④，根据三角形外角性质
求出∠DNM，求出∠MDN=∠DNM，即可判断③．【详解】∵∠BAC=90°，AC=AB，AD⊥BC，∴∠ABC=∠C=45°，A
D=BD=CD，∠ADN=∠ADB=90°，∴∠BAD=45°=∠CAD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=22
.5°，∴∠BFD=∠AEB=90°-22.5°=67.5°，∴∠AFE=∠BFD=∠AEB=67.5°，∴AF=AE，∵M为EF
的中点，∴AM⊥BE， ∴∠AMF=∠AME=90°，∴∠DAN=90°-67.5°=22.5°=∠MBN，在△FBD和△NAD中
∴△FBD≌△NAD，∴DF=DN，∴①正确；在△AFB和△△CNA中 ∴△AFB≌△CAN，∴AF=CN，∵AF=AE，∴AE=
CN，∴②正确；∴A、B、D、M四点共圆，∴∠ABM=∠ADM=22.5°，∴∠DMN=∠DAN+∠ADM=22.5°+22.5°
=45°，∴④正确；∵∠DNA=∠C+∠CAN=45°+22.5°=67.5°，∴∠MDN=180°-45°-67.5°=67.5
°=∠DNM，∴DM=MN，∴△DMN是等腰三角形，∴③正确；即正确的有4个，故选D．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，三角
形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解题的关键．2．B【分析】全等三角形的
判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容逐个判断即可．【详解】A. AB=DC,AC=DB,BC=BC,符合全等三角
形的判定定理“SSS”,即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；B. BC=BC,,SSA不符合全等三角形的判定定理，即不能推出
△ABC≌△DCB，故本选项正确；C. 在△AOB和△DOC中，，∴△AOB≌△DOC(AAS)，∴AB=DC，∠ABO=∠DCO
，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠DCB，在△ABC和△DCB中， ，∴△ABC≌△DCB(SAS)，即能推出△
ABC≌△DCB，故本选项错误；D. AB=DC,∠A=∠D,根据AAS证明△AOB≌△DOC,由此可知OA=OD,OB=OC,所
以OA OC=OD OB,即AC=DB,从而再根据SSS证明△ABC≌△DCB.?，故本选项错误.故选B.【点睛】此题考查全等三角
形的判定，解题关键在于掌握判定定理.3．C【分析】根据选项的条件举出反例，再根据全等三角形的判定进行判断即可．【详解】A．如图：图
中的两个等腰直角三角形不全等，故本选项错误；B．当一个三角形的底是2，对应的高是1，而另一个三角形的底是1，对应的高是2，两三角形
的面积相等，但是两三角形不全等，故本选项错误．C．能够完全重合的两个三角形全等，故本选项正确；D．两个等边三角形的边不一定相等，故
不一定全等，故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SS
S，能够完全重合的两个三角形全等．4．D【详解】试题分析：根据题意知，BC边为公共边．A．由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，
故本选项错误；B．由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；C．由BO=CO可以推知∠ACB=∠DBC，则由“AAS”
可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；D．由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．故选D．考点：全等三角形的判定
．5．B【详解】试题分析：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF．∴AF=CE．A．∵在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CB
E（ASA），正确，故本选项错误．B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确
．C．∵在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误．D．∵AD∥BC，∴∠A=∠C．由A选项可知
，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误．故选B．6．C【分析】先根据题意证明△ABE≌△ECD，再根据全等三角形的性质
得到CE值，即可求出BE．【详解】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC ∴∠B=90°=∠C∴∠A+∠AEB=90°∵∠AED=90°∴∠
DEC+∠AEB=90°∴∠A=∠DEC在△ABE和△ECD中 ∴△ABE≌△ECD（AAS）．∴CE=AB=5．∴BE=BC-C
E=12-5=7．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定（AAS）和性质，解题关键在于掌握判定定理.7．A【分析】已知两边对应相
等，再加上公共边相等，根据“SSS”即可得出结论．【详解】在△ABD和△CDB中，∵AB=CD，AD=CB，BD=DB，∴△ABD
≌△CDB（SSS）．故选A．【点睛】本题考查了三角形全等的判定．找出隐含条件（公共边、公共角）是解答本题的关键．8．【分析】过P
作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出F
D=CD，推出DE=AC即可．【详解】解：过P作PF∥BC交AC于F，∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD=∠QCD，∠
APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，∴△APF是等边三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=
EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ，在△PFD和△QCD中，∴△PFD≌△QCD，∴FD=CD，∵AE=EF，∴EF+F
D=AE+CD，∴AE+CD=DE=AC，∵AC=1，∴DE=；故答案为：.【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角
形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和
解决问题的能力，题型较好，难度适中．9．135°【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3＝∠
ACB，再由∠ACB+∠1＝∠1+∠3＝90°，可得∠1+∠2+∠3＝90°．【详解】解：如图：∵在△ABC和△DBE中，∴△AB
C≌△DBE（SAS），∴∠3＝∠ACB，∵∠ACB+∠1＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝13
5°，故答案为：135°．【点睛】本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．10． BC=CD ,
HL【详解】还要添加的条件为BC=CD；若添加条件AC=EC，则可以用HL方法判定全等.故答案为(1). BC=CD
, (2). HL.11．2【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证．【详解】解：1、3
、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去，只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求
的条件，是符合题意的．故答案为：2．【点睛】本题考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等
的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．12．10.【分析】依题意可证△BDE≌△BDC，则有DE=DC，BE=BC，
故DE+DA+AE=DC+DA+AE=CA+AE=BC+AE=BE+AE=AB，再根据AB长即可得出结论．【详解】∵BD平分∠AB
C交AC于D，DE⊥AB于E，∴∠DBE=∠DBC，∠BED=∠C=90°，BD=BD，∴△BDE≌△BDC（AAS），∴DE=D
C，BE=BC，∴△ADE的周长=DE+DA+AE=DC+DA+AE=CA+AE=BC+AE=BE+AE=AB=10cm．故答案为
10.【点睛】此题考查角平分线性质，全等三角形的性质运用．解题关键是根据性质得出相等的线段，再将周长进行转化．13．60．【分析】
由等边三角形的性质可得出∠CAE=∠ABD=60°，AC=BA，进而可得出△ACE≌△BAD（SAS），根据全等三角形的性质即可得
出∠ACE=∠BAD，再根据三角形外角的性质结合角的计算即可得出结论．【详解】∵△ABC为等边三角形，∴∠CAE=∠ABD=60°
，AC=BA．在△ACE和△BAD中，，∴△ACE≌△BAD（SAS），∴∠ACE=∠BAD．∵∠DPC=∠CAP+ACP，∠BA
D+∠CAP=∠ACP+∠CAP=60°，∴∠DPC=60°．故答案为60．【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性
质，解题的关键是得出∠ACE=∠BAD．14．①②③．【分析】由等腰三角形的性质可判断①，由等边三角形的性质可判断②，由ASA可证
△ADF≌△DBE，可得S△ADF=S△DBE，即可判断③．【详解】如图1，∵AB=AC，点D是BC中点，∴BD=CD，AD垂直平
分BC，∴S△BDN=S△DCN，S△BMN=S△MNC，S△BFM=S△CFM，S△EFB=S△EFC，S△AEB=S△AEC，
∴阴影部分面积为S；如图2，∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，且AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，∴AD垂
直平分BC，BE垂直平分AC，CF垂直平分AB，∴S△BDO=S△CDO，S△AEO=S△CEO，S△AFO=S△BFO，∴阴影部
分面积为S；如图3，连接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC中点，∴AD=BD，∠B=∠DAC=45°，AD⊥BC，∴∠
ADM+∠BDM=90°，且∠MDA+∠ADN=90°，∴∠BDM=∠ADN，且AD=BD，∠B=∠DAC=45°，∴△ADF≌△
DBE（ASA）∴S△ADF=S△DBE，∴阴影部分面积为S；故答案为①②③．【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的
性质，等边三角形的性质，灵活运用等腰三角形的性质是本题的关键．15．AB=AC或∠B=∠C或∠BDA=∠CDA或∠BDE=∠CDE
（四者选一即可）【分析】先找到证△ABD≌△ACD的已知条件，然后再根据全等三角形的判定定理添加条件即可.【详解】解：∵AE平分∠
BAC,∴∠BAD=∠CAD∵AD=AD再添加AB=AC,可用SAS证明△ABD≌△ACD；再添加∠B=∠C,可用AAS证明△AB
D≌△ACD；再添加∠BDA=∠CDA,可用ASA证明△ABD≌△ACD；再添加∠BDE=∠CDE,根据等角的补角相等，可得：∠B
DA=∠CDA,可用ASA证明△ABD≌△ACD；故答案为AB=AC或∠B=∠C或∠BDA=∠CDA或∠BDE=∠CDE（四者选一
即可）【点睛】此题考查的是全等三角形的判定，掌握全等三角形的各个判定定理是解决此题的关键.16．∠A=∠D（答案不唯一）．【分析】
根据已知条件知AC=DF，AB=DE．结合全等三角形的判定定理进行解答．【详解】还可以添加的条件是：∠A=∠D，在△ABC与△DE
F中 ，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案为∠A=∠D（答案不唯一）．【点睛】此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定
理．17．（1）与∠A相等的角是∠BOD、∠COE，四边形DBCE是等对边四边形；（2）存在等对边四边形DBCE，证明见解析；【分
析】（1）根据三角形外角的性质可得∠BOD＝60°，根据对顶角的性质可得∠COE＝60°；作CG⊥BE于G点，作BF⊥C，D交CD
延长线于F点通过证明△BCF≌△CBG，可得BF＝CG，,再证明△BDF≌△CEG，即可证明四边形DBCE是等对边四边形；（2）作
CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．易证△BCF≌△CBG，进而证明△BDF≌△CEG，所以BD＝CE，所以四边形D
BCE是等对边四边形．【详解】（1）∵∠A=60°，∴∠OBC=∠OCB=30°∴∠BOD＝∠COE=∠OBC＋∠OCB＝30°＋
30°＝60°，∴与∠A相等的角是∠BOD、∠COE，四边形DBCE是等对边四边形，证明如下：如图，作CG⊥BE于G点，作BF⊥C
D交CD延长线于F点．∴∠BFC=∠CGB=∠CGE=90°∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC=BC，∴△BCF≌△CBG，∴BF＝
CG， ∵∠BDF＝∠ABE＋∠DOB，∠BEC＝∠ABE＋∠A，∠A=∠BOD∴∠BDF＝∠BEC，又∵∠BFD=∠CGE=90
°，BF＝CG，∴△BDF≌△CEG，∴BD＝CE，∴四边形DBCE是等对边四边形．（2）存在等对边四边形DBCE，理由如下：如图
，作CG⊥BE于G点，作BF⊥CD交CD延长线于F点．∴∠BFC=∠CGB=∠CGE=90°∵∠DCB＝∠EBC＝∠A，BC=BC
，∴△BCF≌△CBG，∴BF＝CG， ∵∴∠BOD =∠OBC＋∠OCB＝ ，∴∠A=∠BOD，∵∠BDF＝∠ABE＋∠DOB，
∠BEC＝∠ABE＋∠A，∴∠BDF＝∠BEC，又∵∠BDF=∠CGE=90°，BF＝CG，∴△BDF≌△CEG，∴BD＝CE，∴
四边形DBCE是等对边四边形．【点睛】解决本题的关键是理解等对边四边形的定义，把证明BD=CE的问题转化为证明三角形全等的问题．1
8．见解析【详解】试题分析：根据角平分线的性质得出∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，从而推出∠AOB=∠COD，再利用SAS
判定其全等从而得到AB=CD．证明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线，∴∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP．∴∠AOB=∠C
OD．在△AOB和△COD中，．∴△AOB≌△COD．∴AB=CD．考点：全等三角形的判定与性质．19．（1）＞；（2）证明见解析
.【分析】（1）在AF上截取一点P，使AP=AC，通过证明得PE=CE，证明，再根据三角形三边不等关系进行证明即可；（2）由（1）
的分析进行证明即可.【详解】（1）根据分析可得BE+EC＞AB+AC（2）在AF上截取一点P，使AP=AC，则∵EA是∠FAC的平
分线∴在△ACE和△APEK AE是公共边，在中,即【点睛】涉及边的不等关系或比较大小时，往往联系三角形三边不等关系，此题的关键就
是应用三角形两边之和大于第三边证明线段之间的大小关系的.20．（1）①作图见解析；②证明见解析；（2）EB=EC+ED，证明见解析
.【分析】（1）①根据题意画出图形即可；②只要证明CA=CD=CB，利用等腰三角形的性质即可解决问题；（2）如图2中，结论：EB=
EC+ED．设CD交AE于J，在EA上取一点H，使得EH=ED．只要证明△ADH≌△CDE（SAS），EA=EB即可解决问题；【详
解】（1）①根据题意补全图1，如图所示．②证明：∵直线m是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，EA=EB，∴∠EAC=∠EBC．∵
△ACD为等边三角形，∴CD=AC=BC，∴∠EDC=∠EBC，∴∠EAC=∠EDC．（2）如图2中，结论：EB=EC+ED．理由
：设CD交AE于J，在EA上取一点H，使得EH=ED，连接CB．∵△ADC是等边三角形，∴DA=DC=AC，∠ADC=∠DCA=6
0°，∵直线m垂直平分线段AB，∴CA=CB=CD，∴∠CDB=∠CBE，∵EA=EB，CA=CB，∴∠EAB=∠EBA，∠CAB
=∠CBA，∴∠EAC=∠EBC，∴∠JDE=∠JAC，∵∠DJE=∠AJC， ∴∠DEJ=∠JCA=60°，∵ED=EH，∴△D
EH是等边三角形，∴∠ADJ=∠HDE，DH=DE，∴∠ADH=∠CDE，在△ADH和△CDE中∵ ∴△ADH≌△CDE（SAS）
，∴AH=EC，∴EA=EH+AH=DE+EC，∵直线m垂直平分线段AB，∴EA=EB，∴EB=EC+ED．【点睛】本题属于三角形
综合题，考查了线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全
等三角形解决问题．21．见解析【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论．【详解】∵C是AB的中点，∴AC=CB．在△ACD和△
CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS）．【点睛】此题考查全等三角形的判定，线段中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的
关键．22．CD=AB． 证明见解析；【分析】作AE=AB交BC延长线于E点，则∠B=∠E，而∠B=∠D，得到∠D=∠E，由∠AC
B+∠DAC=180°，∠ACB+∠ECA=180°可得到∠DAC=∠ECA，然后根据“AAS”可判断△DAC≌△ECA，根据全等
的性质得CD=AE，于是有CD=AB．【详解】CD=AB． 证明如下：作AE=AB交BC延长线于E点，∴∠B=∠E∵∠B=∠D∴∠
D=∠E，∵∠ACB+∠DAC=180°，∠ACB+∠ECA=180°，∴∠DAC=∠ECA，∵在△DAC和△ECA中，，∴△DA
C≌△ECA?（AAS），∴CD=AE∴CD=AB．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定三角形全等的方法．
23．（1）见解析；（2）4【分析】（1）先证明∠ABC=∠DEF，再根据ASA即可证明；（2）根据全等三角形的性质即可解答．【详
解】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEF，在△ABC与△DEF中，， ∴△ABC≌△DEF（ASA）；（2）∵△ABC≌
△DEF，∴BC=EF，∴BF+FC=EC+FC，∴BF=EC，∵BE=10m，BF=3m，∴FC=10-3-3=4m．故答案为：
4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件．24．（1）α；（2）见解
析.【分析】（1）由四边形的内角和即可求出∠AQP，从而求出∠PQC；（2）过点P分别作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，证明△PE
B≌△PFQ即可.【详解】解：（1）∵∠BPQ+∠BAQ=180°，∠ABP=α∴∠AQP=360°－∠BPQ－∠BAQ－∠ABP
=180°－α∴∠PQC=180°－∠AQP=α（2）过点P分别作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F∵AB=AC,AD为△ABC的中线
∴AD平分∠BAC∴PE=PF在△PEB和△PFQ中∴△PEB≌△PFQ∴BP=PQ【点睛】此题考查的是四边形的内角、等腰三角形的
性质和全等三角形的判定，掌握四边形的内角和等于360°、三线合一和用AAS判定两个三角形全等是解决此题的关键.25．5【分析】先证
△ADE≌△CFE，得到AD=CF=7，从而求出AB的长，再根据等角对等边即可得：AC=AB，最后根据AE=AC，即可求出AE.【
详解】解：∵E是边AC的中点∴AE=EC=AC∵CF∥AB∴∠A=∠FCE在△ADE和△CFE中∴△ADE≌△CFE∴AD=CF=
7∴AB=AD+DB=10∵∠B=∠ACB∴AC=AB=10∴AE=AC=5【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形
的判定，掌握全等三角形的判定定理和等角对等边是解决此题的关键.26．(1) C(2)证明详见解析【分析】（1）以F为圆心，FD为半
径画弧，则交ME两点，这两点都满足要求.其中只有形状为锐角三角形的与原三角形相似.（2）根据（1）可知，已经确定两个三角形为锐角三
角形，则可用两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.【详解】（1）如图所示，以F为圆心，FD为半径，则这样的D点有两个.则△
ABC 和△DEF 的关系是不一定全等.（2）在△ABC与△DEF中有 且△ABC和△DEF是锐角三角形则△ABC≌△DEF.【点
睛】本题考查了三角形全等的证明，解题关键在于在确定两个三角形形状相同的前提下，可用两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等.2
7．全等三角形对应角相等【分析】可由SSS证明三角形ODC与三角形全等，然后得到对应角相等.【详解】由题意可知：在三角形ODC与三
角形中 ∴(SSS)∴故小米的作图依据是全等三角形对应角相等.【点睛】本题考查了尺规作图画一个角与已知角相等，解题关键在于以已知角
构造全等三角形，运用全等三角形对应角相等解题.28．证明见解析【分析】由AB∥CD得到∠B=∠C，由BF=CE得到BE=CF，根据
全等三角形的判定（AAS）即可得到答案.【详解】因为AB∥CD，所以∠B=∠C；又因为BF=CE，则BE=CF，在△ABE和△DC
F中，∵，∴△ABE≌△DCF（AAS）.【点睛】本题考查全等三角形的判定（AAS）和平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定（AAS）和平行线的性质.29．5【分析】先证明△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得DE= AC，即可推出DE的长度．【详解】∵PF∥BQ，∴∠Q＝∠FPD，∵△ABC是等边三角形，∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，∴△APF是等边三角形，∴AP＝PF，∵AP＝CQ，∴PF＝CQ，∵在△PFD和△QCD中， ，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，∴AE＝EF，∴AE+DC＝EF+FD，∴DE＝AC，∵AC＝10，∴DE＝AC＝5．故答案为5．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定（AAS）与性质，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．30．（1）图见解析.（2）垂直，证明见解析.【分析】（1）根据题意在CB取点P，再以点P为圆心AP为半径交BD于点Q，连接PQ.（2）通过证明三角形全等，得到对应角相等，再根据等量代换得到∠APQ=90°即可得到AP与PQ垂直.【详解】（1）（2）如图作BD=AB，PM∥BD，过点Q作QG垂直于BH，并延长与PM相交于点M.则三角形PMG与三角形DBH全等∴PM=BD=AB又三角形BGQ是等腰直角三角形∴BG=QG则PG-BG=MG-QG即PB=MQ在三角形PMQ与三角形ABP中 ∴（SSS）∴∠BAP=∠MPQ又∠BAP+∠CAP=∠MPQ+∠QPG=45°则∠CAP=∠QPG∵∠CAP+∠APC=90°∴∠QPG +∠APC=90°又∠APQ+(∠QPG +∠APC)=180°则∠APQ=90°故AP与PQ垂直.【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题关键在于通过作辅助线找到全等的三角形，通过对应角相等和直角三角形的两个锐角互余的等量代换即可证明. 1 / 1 |
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