2020北京昌平初二（上）期末数 学一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1. 若
分式的值等于0，则的值为（ ）A. B. 1C. D. 22. 下列方程是关于x的一元二次方程的是A. B. C. D. 3. 下
列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D. 4. 下列各式正确的是A. B. C. D. 5. 袁老师在课堂
上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有10cm，15cm，20cm和25cm四种规格，小朦同学已经取了10cm和15cm两根木棍，
那么第三根木棍不可能取（ ）A. 10cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm6. 正方体的体积为7，则正方体的棱长为(
)A. B. C. D. 7. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合
，则∠1的度数为（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°8. 如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做
勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ）A 47B. 62C. 79D. 98二、填空
题（共8道小题，每小题2分，共16分）9. 若代数式在实数范围内有意义，则x取值范围是_______．10. 如果一元二次方程x2
﹣3kx + k＝0的一个根为x＝﹣1，则k的值为______．11. 如图，某人将一块三角形玻璃打碎成两块，带______块（填
序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是______． 12. 等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长
为_____cm．13. 如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是______．14. 已知x，y是实数，且满足y=＋
＋，则的值是______．15. 如图，已知点D，E分别是等边三角形ABC 中BC ，AB 边的中点，BC=6，点F是AD边上的动
点，则BF+EF 的最小值为______．16. 比较大小：（1）______5；（2）______.三、解答题（本题共12道小题
，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）17. 计算：.18. 解方程x2
＋4x－5＝019. 计算：20. 解方程：-=121. 已知：如图，E是BC上一点，AB＝EC，AB∥CD，BC＝CD．求证：A
C＝ED．22. 已知关于的一元二次方程．（1）当时，求方程的根；（2）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．23. （1
）在如下6×6正方形网格中（每个小正方形边长均为1），画出一个面积为17的正方形；（2）在如图所示的数轴上找到表示的点A（保留画图
痕迹）．24. 先化简，再从﹣2、﹣1、0、1、2中选择一个合适的数代入求值．25. 如图，已知线段a和∠EAF，点B在射线AE上
．在∠EAF中画出△ABC，使点C在射线AF上，且BC＝a．（1）依题意将图补充完整；（2）如果∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，
求△ABC的面积．26. “四书五经”是中国的“圣经”，“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《
尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们
了解中国古代社会的一把钥匙 . 某学校计划分阶段引导学生读这些书，先购买《论语》和《孟子》供学生阅读 . 已知用500元购买《孟子
》的数量和用800元购买《论语》的数量相同，《孟子》的单价比《论语》的单价少15元 . 求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少
元？27. 如图，将△ABC分别沿AB，AC翻折得到△ABD 和△AEC，线段BD与AE交于点 F，连接BE .（1）如果∠ABC
=16o，∠ACB=30°，求∠DAE的度数；（2）如果BD⊥CE，求∠CAB 的度数．28. 在同一平面内，若点P与△ABC三个
顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点.（1）如图1，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不
写作法，保留作图痕迹）. （2）如图2，在△ABC中，∠A=80°，AB=AC，求作△ABC的所有巧妙点P （尺规作图，不写作法，
保留作图痕迹），并直接写出∠BPC的度数是 .（3）等边三角形巧妙点的个数有（ ）A.2 B.6 C.10
D.12参考答案一、选择题（共8道小题，每小题2分，共16分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1. 若分式的值
等于0，则的值为（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】A【解析】【详解】由题意得：ａ+1=0且a≠0，解得：a=-1，故选A.
【点睛】本题考查了分式值为0的条件，解题的关键是要熟记分式值为0时，分子为0且分母不为0.2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是
A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义注意判断即可.【详解】解：A、是二元一次方程，故A选项错误
；B、是一元二次方程，故B选项正确；C、整理得：是一元一次方程，故C选项错误；D、是分式方程，故D选项错误；故选：B.【点睛】本题
主要考查一元二次方程的定义，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的定义：：①整式方程；②方程中只含有一个未知数；③方程中未知数的最高
次数为2.3. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先把每个二次根式进行
化简，化成最简二次根式，后比较被开方数即可．【详解】A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；B.，与不是同类二次根式；C.，与
被开方数相同，故是同类二次根式；D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式
，熟练掌握根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键．4. 下列各式正确的是A. B. C. D. 【答案
】A【解析】【分析】根据分式的定义与性质逐一判断即可.【详解】解：A、成立的前提是，由分式的定义即可判断，故A选项正确；B、，故B
选项错误；C、，故C选项错误；D、成立的前提是，在该选项中无法判断a是否等于0，故D选项错误；故选：A【点睛】不呢提主要考查分式的
定义与性质，解题的关键是熟练掌握分式的定义和分式的性质：分式的分子和分母同时乘以或者除以一个不为0的数，分式的大小不变.5. 袁老
师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有10cm，15cm，20cm和25cm四种规格，小朦同学已经取了10cm和15cm两
根木棍，那么第三根木棍不可能取（ ）A. 10cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm【答案】D【解析】【分析】根据三角形
三边关系确定第三边取值范围即可求解．【详解】设三角形第三边长为，即∴∴选项A，B，C，不符合题意，D符合题意．故答案选D【点睛】本
题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形三边关系建立不等式是解题的关键．6. 正方体的体积为7，则正方体的棱长为( )A.
B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据正方体的体积公式得：正方体的体积= ，那么棱长=，代入数据计算即可.【详解】解：∵
根据正方体的体积公式得：正方体的体积=，∴棱长=，即棱长=.故选：B.【点睛】本题主要考查立方根的相关知识，解题的关键是熟练的掌握
正方体的面积公式，再根据公式变换表示出棱长即可.7. 将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板
的一条直角边重合，则∠1的度数为（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°【答案】D【解析】【分析】根据三角形的外角的
性质及直角三角形的两个锐角互余可求解．【详解】解：由题意得：，；故选：D．【点睛】本题主要考查三角形外角及直角三角形的两个锐角互余
，熟练掌握知识点是解题的关键．8. 如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成
下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ）A. 47B. 62C. 79D. 98【答案】C【解析】【分析】依据每列数的规律，即
可得到，进而得出的值.【详解】解：由题可得：……当 故选：C【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的
关键.二、填空题（共8道小题，每小题2分，共16分）9. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．【答案】【解
析】【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】解：∵在实数范围内有意义，∴x-1≥0，解
得x≥1．故答案为：x≥1．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．10. 如果一元二次方程x2﹣3kx
+ k＝0的一个根为x＝﹣1，则k的值为______．【答案】.【解析】【分析】的一个根是，那么就可以把代入方程，从而可直接求k.
【详解】解：把代入中得：，解得，故答案为：.【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解根与方程的关系．11. 如图，某人
将一块三角形玻璃打碎成两块，带______块（填序号）能到玻璃店配一块完全一样的玻璃，用到的数学道理是______． 【答案】 ①
. ②， ②. ASA【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法，选出一块符合三角形全等的即可.【详解】解：观察可知，只有②有完整的
两个角与一条边，可以根据“角边角”配出一块全等的三角形，故是带②去，全等的依据是ASA．故答案为：②；ASA【点睛】本题考查了全等
三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．12. 等腰三角形的周长为20cm，一边长为6cm，则底边长为_____c
m．【答案】6或8【解析】【分析】分6cm是底边与腰长两种情况讨论求解．【详解】解：①6cm是底边时，腰长=×（20-6）=7cm
，此时三角形的三边分别为7cm、7cm、6cm，能组成三角形，②6cm是腰长时，底边=20-6×2=8cm，此时三角形的三边分别为
6cm、6cm、8cm，能组成三角形，综上所述，底边长为6或8cm．故答案为6或8．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要
分情况讨论．13. 如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】，一个
无理数a与的积是有理数，那么即可判断a与是同类二次根式，即可写出a的值，答案不唯一．【详解】解：∵，∴由题意得一个无理数a与的积是
有理数，∴a与是同类二次根式，答案不唯一．故答案为：（答案不唯一）【点睛】本题主要考查实数的性质以及同类二次根式的性质，解题的关键
是掌握有理数和无理数的基本定义以及同类二次根式的积为有理数即可．14. 已知x，y是实数，且满足y=＋＋，则的值是______．【
答案】【解析】【分析】根据二次根式的定义可得，解得：，即可求出y的值，即可求出的值.【详解】解：∵由二次根式的定义得，解得：，∴，
即：，∴.故答案为：.【点睛】本题主要考查二次根式的定义以及二次根式的乘除，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义以及二次根式的乘除的
运算法则即可.15. 如图，已知点D，E分别是等边三角形ABC 中BC ，AB 边中点，BC=6，点F是AD边上的动点，则BF+E
F 的最小值为______．【答案】.【解析】【分析】连接CE交AD于F，连接BF，则最小，再根据等边三角形的性质求出EC的长即可
.【详解】解：连接CE交AD于F，连接BF，则最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短）∵三角形ABC为等边三角形，且D为
BC边的中点,∴在中： , .∴,即AD为BC的垂直平分线，∴C和B关于AD对称，则，∴，同理可得：∴，∴在 中由勾股定理得：.故
答案为：.【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质
等知识点的综合运用．16. 比较大小：（1）______5；（2）______.【答案】 ①. <,②. >【解析】【分析】（1）
首先求出每个数的平方是多少，然后比较出每个数的平方的大小，即可判断出与5的大小关系．（2）首先求出每个数的平方是多少，然后比较出每
个数的平方的大小，即可判断出与的大小关系．【详解】解：（1） ，，∵,∴.（2），，∵，，，∴∴.故答案为：＜；＞.【点睛】此题主
要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是比较出每个数的平方的大小．三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每
小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分）17. 计算：.【答案】【解析】【分析】先把各个二次根
式化简，计算立方根，绝对值化简，最后计算即可.【详解】解：原式==.【点睛】本题主要考查二次根式的加减法，涉及了立方根、二次根式的
化简、绝对值的化简等运算，属于基础题．18. 解方程x2＋4x－5＝0.【答案】，.【解析】【详解】解：x2＋4x－5＝0 ，（x
-1）(x+5)=0，x-1=0，x+5=0，，.19. 计算：【答案】【解析】【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，
约分即可得到结果.【详解】= = = =.【点睛】此题主要考查了同分母分式的加减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.20. 解方
程：-=1【答案】【解析】【详解】【分析】先去分母，把分式方程化为一元一次方程，解一元一次方程，再验根.【详解】解：去分母得：解得
： 检验：把代入 所以：方程的解为【点睛】本题考核知识点：解方式方程. 解题关键点：去分母，得到一元一次方程，.验根是要点.21.
已知：如图，E是BC上一点，AB＝EC，AB∥CD，BC＝CD．求证：AC＝ED．【答案】见解析【解析】【详解】试题分析：已知A
B∥CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠B=∠ECD，再根据SAS证明△ABC≌△ECD全，由全等三角形对应边相等即可得AC=E
D．试题解析：∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE．在△ABC和△ECD中，∴△ABC≌△ECD（SAS），∴AC=ED．考点：平行线的
性质；全等三角形的判定及性质．22. 已知关于的一元二次方程．（1）当时，求方程的根；（2）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取
值范围．【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）将代入方程中，再解方程即可；（2）根据方程根的情况可得到方程根的判别式的取值
范围，即m的取值范围.【详解】解：（1）把m=0代入方程中，得： ∴ 原方程的根为.（2）∵方程有两个不相等的实数根，∴. ∴.
∴. ∴m的取值范围为.【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根
；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．23. （1）在如下6×6的正方
形网格中（每个小正方形边长均为1），画出一个面积为17的正方形；（2）在如图所示的数轴上找到表示的点A（保留画图痕迹）．【答案】(
1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】（1）利用勾股定理画出长度为的线段，然后利用旋转画出边长为 的正方形即可；（2）先在数轴
的负半轴上画出边长分别为1、2的矩形，然后在负半轴上截取矩形的对角线得到表示 的点．【详解】解：（1）如图所示:（2）如图所示:【
点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的
关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．24. 先化简，再从﹣2、﹣1、0、1、2
中选择一个合适的数代入求值．【答案】2x-3,1.【解析】【分析】先算括号内的加法，同时把除法变成乘法，再根据分式的乘法进行计算，
最后代入求出即可．【详解】解：原式 . ∵由题意，x不能取1，-2,0∴当x=2时，原式=2×2－3=1. （或当x=－1时，
原式=2×（－1）－3=－5.）【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．25. 如
图，已知线段a和∠EAF，点B在射线AE上．在∠EAF中画出△ABC，使点C在射线AF上，且BC＝a．（1）依题意将图补充完整；（
2）如果∠A＝45°，AB＝4，BC＝5，求△ABC的面积．【答案】（1）图见解析；（2）2或14．【解析】【分析】（1）以点为圆
心，长为半径画弧，交于点即可得；（2）过点作于点，先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再利用勾股定理可得，从而可得，然后利用三角
形的面积公式即可得．【详解】解：（1）如图，和即为所求；（2）如图，过点作于点，，是等腰直角三角形，，，，解得（负值已舍），，，，
，，的面积为，的面积为，综上，的面积为2或14．【点睛】本题主要考查学生一个作图能力和分类讨论思想，涉及的知识点有等腰直角三角形和
勾股定理，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理的运用，以及分类讨论的数学思想．26. “四书五经”是中国的“圣经”，
“四书五经”是《大学》、《中庸》、《论语》和《孟子》（四书）及《诗经》、《尚书》、《易经》、《礼记》、《春秋》（五经）的总称，这是
一部被中国人读了几千年的教科书，包含了中国古代的政治理想和治国之道，是我们了解中国古代社会的一把钥匙 . 某学校计划分阶段引导学生
读这些书，先购买《论语》和《孟子》供学生阅读 . 已知用500元购买《孟子》的数量和用800元购买《论语》的数量相同，《孟子》的单
价比《论语》的单价少15元 . 求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元？【答案】40元和25元【解析】【分析】根据题意可设《
孟子》这种书的单价为x元，则《论语》这种书的单价为，已知已知用500元购买《孟子》的数量和用800元购买《论语》的数量相同，所以可
得等量关系式：，代入数据计算即可.【详解】解：. 设《孟子》这种书的单价为x元，则《论语》这种书的单价为，根据题意，得：. 解得：
，经检验，是所列方程解，且符合题意. ∴.答：《论语》和《孟子》这两种书的单价分别为40元和25元.【点睛】本题是关于分式方程的实
际问题，解题的关键在于能从题目中找到等量关系式，并能用合适的未知数来表示各个量，（注意：解得到的答案需要检验）.27. 如图，将△
ABC分别沿AB，AC翻折得到△ABD 和△AEC，线段BD与AE交于点 F，连接BE .（1）如果∠ABC=16o，∠ACB=3
0°，求∠DAE的度数；（2）如果BD⊥CE，求∠CAB 的度数．【答案】（1） ∠DAE=42°;（2）∠CAB =135°.【
解析】【分析】（1）已知，,可由三角形的内角和求出的度数，已知△ABC分别沿AB，AC翻折得到△ABD 和△AEC，所以可得 ，,
从而可求出；（2）当时，,已知△ABC分别沿AB，AC翻折得到△ABD 和△AEC，所以可得,,所以,最后由三角形内角和求出即可.
【详解】解：（1）∵△ABC沿AC、AB翻折得到△AEC和△ABD，∴. ∴. . ∵，∴. ∴.（2）∵，∴. ∴.∵，∴.∴.
在△ABC中，【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，折叠，旋转，平移必有全等，解题的关键是通过折叠找到全等的三角形，再利用全等三
角形的性质：对应角相等找到各个角之间的关系，联立等式求解即可.28. 在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形
成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点.（1）如图1，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）.
（2）如图2，在△ABC中，∠A=80°，AB=AC，求作△ABC的所有巧妙点P （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出
∠BPC的度数是 .（3）等边三角形的巧妙点的个数有（ ）A2 B.6 C.10 D.12【答案】(1)
见解析;(2) 40°,160° ，140° ，80°;(3)C.【解析】【分析】（1）根据题意可知，巧妙点必在某条边的垂直平分线
上，所以只需要作出两边的垂直平分线即可找到巧妙点；（2）根据题意分别以A、C为圆心，AC为半径画圆，交BC边的垂直平分线的点即为点
P，连接两圆的交点与BC边的垂直平分线的交点也为点P，最后分类讨论即可求∠BPC的度数；（3）分别以等边三角形的三条边作其垂直平分
线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点.【详解】解：（1）作BC边的垂直平分线：分别以B、C为圆心，大于的长为半径画弧，连接其圆弧的交点；同理作AB边的垂直平分线：分别以A、B为圆心，大于的长为半径，连接其圆弧的交点；AB边的垂直平分线与BC边的垂直平分线的交点即为巧妙点P.∴点P为所求.（2）作BC边上的垂直平分线，再分别以A、C为圆心，AC为半径画圆，交BC边的垂直平分线的交点从上至下依次为 ,连接两圆的交点，交CB边的垂直平分线的交点为， 即为所求.①接,∵,∴,∵∴； ②连接,∵是AC、BC边的垂直平分线的交点，∴∴,即： ③接 ,∵,为BC边上的垂直平分线，∴∵,∴ ∴；④连接，∵,,为BC边上的垂直平分线,∴,∴,；综上所述的度数可能为.（3）分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点.如下图：巧妙点P有10个，故选C.【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是在理解题意的前提下明白巧妙点就是三角形两条边的垂直平分线的交点，以及构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等. 1 / 1 |
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