2020北京初二（上）期中数学汇编勾股定理的逆定理一、单选题1．（2020·北京四中八年级期中）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（
）A．1，，2B．1，1，2C．2，3，4D．4，5，62．（2020·北京市第一六一中学八年级期中）下列各组数中，以它们为边长
的线段不能构成直角三角形的是（ ）．A．2，2，3B．3，4，5C．5，12，13D．1，，3．（2020·北京·首都师范大学附
属中学八年级期中）下列线段不能组成直角三角形的是（ ）A．a＝6，b＝8，c＝10B．a＝1，b＝，c＝C．a＝1，b＝1，c＝
D．a＝2，b＝3，c＝4．（2020·北京市第十三中学分校八年级期中）下列四组线段中，能作为直角三角形三条边的是（?）A．3，4
，5B．6，8，9C．1，2，D．5，12，145．（2020·北京·北外附中八年级期中）下列命题中正确的是（ ）A．在直角三角
形中，两条边的平方和等于第三边的平方B．如果一个三角形两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形C．在△ABC中，∠
A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2+b2＝c2，则∠A＝90°D．在△ABC中，若a＝3，b＝4，则c＝56．（2020
·北京八中八年级期中）有公共边的两个直角三角形，称为“双生直角三角形”.下列给定的数组中，不能构成“双生直角三角形”边长的是（?）
A．3，4，5，12，13B．，4，，3，5C．7，15，20，24，25D．5，6，8，10，57．（2020·北京市第四十四中
学八年级期中）下列线段不能组成直角三角形的是（?）A．a6，b 8，c10B．a1，b，cC．a7，b24，c25D．a2，b3
，c8．（2020·北京铁路二中八年级期中）下列线段不能组成直角三角形的是（?）．A．a＝3，b＝4，c＝5B．a＝1，b＝，c＝
C．a＝2，b＝3，c＝4D．a＝7，b＝24，c＝259．（2020·北京·清华附中八年级期中）如图，在中，是上一点，已知，，，
，则的长为（?）A．B．C．D．10．（2020·北京理工大学附属中学分校八年级期中）下列长度的三条线段，能成为一个直角三角形的三
边的一组是（ ）A．B．1，2，C．2，4，D．9，16，2511．（2020·北京·北师大二附中海淀学校八年级期中）下列四组线
段中，可以构成直角三角形的是（?）A．4，5，6B．1.5，2，2.5C．2，3，4D．1，， 3二、填空题12．（2020·北京
市第一六一中学八年级期中）图中每个小方格的边长是l，若线段EF能与线段AB、CD组成一个直角三角形，则线段EF的长度是_____．
13．（2020·北京·清华附中八年级期中）如图所示的网格是正方形网格，则______（点、、、、是网格线交点）．三、解答题14．
（2020·北京·北外附中八年级期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求：（1）△ABC的周长；
（2）△ABC是否是直角三角形？为什么？15．（2020·北京八中八年级期中）如图，每个小正方形的边长都是1.均在网格的格点上.（
1）直接写出四边形的面积与、的长度；（2）是直角吗？请说出你的判断理由.（3）找到一个格点，并画出四边形，使得其面积与四边形的面积
相等.解：（1）___________；___________；___________.（2）判断___________（填“是”
或“否”）理由_________________________________________________;（3）在图中画出
一个满足条件的四边形.16．（2020·北京市第十三中学分校八年级期中）如图，每个小正方形的边长为1．（1）直接写出四边形ABCD
的面积和周长；（2）求证：∠BCD=90°．17．（2020·北京市第一六一中学八年级期中）若△ABC的三边长a、b、c满足6a+
8b+10c﹣50=a2+b2+c2，试判断△ABC的形状．参考答案1．A【分析】根据勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系逐个判
断即可．【详解】解：A、∵12+（）2＝22∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意B、1+1＝2，不符合三角形三边关系
定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意C、∵22+32≠42∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项
不符合题意D、∵42+52≠62∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意故选：A．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆
定理及三角形三边关系，掌握勾股定理的逆定理及三角形三边关系是解题的关键．2．A【分析】欲判断是否能构成直角三角形，需验证两小边的平
方和是否等于最长边的平方即可．【详解】A、22+22≠32，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；B、32+42＝52，能构成直角
三角形，此选项不合题意；C、52+122＝132，能构成直角三角形，故此选项不合题意；D、12+()2＝()2，能构成直角三角形，
此选项不合题意．故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，注意题干要求找出不能构成直角三角形的选项，不要弄错了．3．D【分析】根
据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可．【详解】解：A、∵62+82＝102，∴能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵
12+（）2＝（）2，∴能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵12+12＝（）2，∴能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D
、∵22+32≠（）2，∴不能组成直角三角形，故本选项符合题意．故选：D【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长
a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．A【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的
平方即可．【详解】A、∵32+42＝52，∴能构成直角三角形，故本选项正确；B、∵62+82≠92，∴不能构成直角三角形，故本选项
错误；C、∵12+22≠（）2，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；D、∵52+122≠142，∴不能构成直角三角形，故本选项错误
．故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角
形是解答此题的关键．5．B【分析】根据勾股定理逐一判断每个选项即可得出答案.【详解】解：A、在直角三角形中，两条直角边的平方和等于
斜边的平方，原命题是假命题；B、如果一个三角形两边的平方差等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，是真命题；C、在△ABC中
，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若，则∠C＝90°，原命题是假命题；D、在Rt△ABC中，若，，则，原命题是假命题；故选
：B．【点睛】本题考查勾股定理，也就是在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，注意区分直角边和斜边.6．B【分析】根据“双
生直角三角形”的定义逐一进行判断即可．【详解】A.，有公共边，故该选项不符合题意；B. ，而与3，4，5中任一个数都不满足勾股定理
，所以不能构成直角三角形，故该选项符合题意；C. ，有公共边，故该选项不符合题意；D. ，有公共边，故该选项不符合题意；故选：B．
【点睛】本题主要考查“双生直角三角形”的定义和勾股定理，掌握“双生直角三角形”的定义和勾股定理是解题的关键．7．D【分析】根据勾股
定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可.【详解】解：A.∵62+82=102，∴能构成直角三角形，故该选项错误；B.∵12+()2
=()2，∴能构成直角三角形，故该选项错误；C.∵72+242=252，∴能构成直角三角形，故该选项错误；D.∵22+()2≠32
，∴不能构成直角三角形，故该选项正确.故选D.【点睛】本题考查了勾股定理逆定理. 即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c
2，那么这个三角形是直角三角形.8．C【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项逐一分析即可解答．【详解】解：A、32+42=52，.
能组成直角三角形；B、12+（）2=（）2，能组成直角三角形；C、22+32≠42：不能组成直角三角形；D、72+242=252，
：能组成直角三角形．故选C．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，掌握运用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形是解答本题
的关键．9．A【分析】根据勾股定理的逆定理得出∠ADC＝90°，再根据勾股定理求出BD即可．【详解】解：∵AC＝13，AD＝12，
CD＝5，∴AD2＋CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD＝，∴BC＝BD＋
CD＝9＋5＝14，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能根据勾股定理的逆定理求出∠ADC＝90°是解此题的关
键．10．B【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】A、∵（）2+（）2≠（）2，∴不能构
成直角三角形，故本选项错误；B、∵12+（）2=22，∴能构成直角三角形，故本选项正确；C、∵22+（）2≠42，∴不能构成直角三
角形，故本选项错误；D、∵92+162≠252，∴不能构成直角三角形，故本选项错误．故选B．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，
熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．11．B【分析】由勾股定理的逆
定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故本选项错误；B、1.
52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故本选项正确；C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故本选项错误；
D、，不可以构成直角三角形，故本选项错误．故选：B【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．1
2．或．【分析】根据勾股定理得出AB，CD的长度，进而利用勾股定理的逆定理解答即可．【详解】解：AB＝，CD＝，当EF为斜边时，E
F＝，当EF是直角边时，EF＝，故答案为：．【点睛】此题主要考查勾股定理和逆定理，熟练利用定理和逆定理解直角三角形是解题关键．13
．45【分析】如图作辅助线，证明△AHC是等腰直角三角形，△AFH≌△CDE，得到∠HAC＝45°，∠FAH＝∠DCE，然后根据平
行线的性质求出∠FAC＝∠ACB，将∠ACB－∠DCE转化为∠FAC－∠FAH＝∠HAC进行计算即可．【详解】解：如图所示作辅助线
，点F、H均在格点上，设一小格为1，由勾股定理得：AH＝CH＝CE＝，AC＝，∴AH2＋CH2＝AC2，∴△AHC是等腰直角三角形
，∠HAC＝45°，又∵AF＝CD＝2，FH＝DE＝1，∴△AFH≌△CDE，∴∠FAH＝∠DCE，∵AF∥BC，∴∠FAC＝∠A
CB，∴∠ACB－∠DCE＝∠FAC－∠FAH＝∠HAC＝45°，故答案为：45．【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，等腰
直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质等知识，通过作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．1
4．（1）54；（2）△ABC不是直角三角形．【分析】（1）运用勾股定理求得AB、AC的长，然后根据三角形周长的定义解答即可；（2
）运用勾股定理逆定理判定即可．【详解】解：（1）∵AD⊥BC，AD＝12，BD＝16∴AB= 同理：AC=∴△ABC的周长为AC+
BC+AB=AC+BD+DC+AB=13+16+5+20=54；（2）∵BC2=（BD+DC）2=212=441, AB2=202
=400,AC2=132=169∴BC2≠AB2+ AC2∴△ABC不是直角三角形．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定
理，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键．15．（1），，；（2）否， ；（3）见解析．【分析】（1）利用矩形的面积减去三个三角形和
一个梯形的面积即可求出四边形ABCD的面积，然后利用勾股定理即可求出BC,BD的长度；（2）利用勾股定理的逆定理进行判断即可；（3
）只要找到点E，使与面积相等即可．【详解】（1），，；（2）不是直角，理由如下： ， ，不是直角； （3）如图，【点睛】本题主要考
查勾股定理及其逆定理，平行线的性质，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．16．（1）四边形ABCD的面积为14.5，四边形ABCD
的周长是3；（2）证明见解析．【分析】（1）用四边形ABCD所在长方形的面积减去4个小三角形的面积，列出算式计算即可求得四边形AB
CD的面积；利用勾股定理分别求出AB、BC、CD、AD，即可求得四边形ABCD的周长；（2）求出BD2，利用勾股定理的逆定理即可证
明；【详解】（1）四边形ABCD的面积=5×5﹣3×1÷2﹣4×2÷2﹣5×1÷2﹣5×1÷2=14.5；由勾股定理得AB，BC2
，CD，AD，故四边形ABCD的周长是23；（2）连接BD．∵BD2，BC2+CD2=20+5=25，∴BC2+CD2=BD2，∴
△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°．【点睛】本题考查割补法求面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学
知识解决问题，属于中考常考题型．17．见解析【分析】把已知条件写成三个完全平方式的和的形式，再由非负数的性质求得三边，根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状．【详解】∵6a+8b+10c﹣50=a2+b2+c2，∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）+（c2﹣10c+25）=0，∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2=0，∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，（c﹣5）2≥0，∴a﹣3=0，得a=3；b﹣4=0，得b=4；c﹣5=0，得c=5．又∵52=32+42，即a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用、完全平方公式、非负数的性质．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 1 / 1 |
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