2020北京汇文中学初二（上）期中数 学一.选择题（每小题2分，共20分）1. 下列有关医疗和倡导卫生的图标中，是轴对称图形的是（ ）A.
B. C. D. 2. 使分式有意义的的取值范围是（ ）A. ≠3B. ＞3C. ＜3D. ＝33. 若分式的值为0，则x应满足
的条件是( )A. x = -1B. x ≠ -1C. x = ±1D. x = 14. 在国庆70周年的庆典活动中，使用了大
量的电子显示屏，微间距显示屏就是其中之一.数字用科学记数法表示应为（ ）A B. C. D. 5. 下列约分正确的是（ ）A. B
. C. D. 6. 如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（
）A. 40°B. 50°C. 80°D. 100°7. 已知△ABC,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在A
B,AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）.A. ∠A的平分线上B. AC边的高上C. BC边的垂直平分线上D
. AB边的中线上8. 如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线，于，两点，以点为圆心，长为半径画弧，与
前弧交于点（不与点重合），连接，，，，其中交于点．若，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 9. 老师设计了一个接力游戏
，用小组合作的方式完成分式的运算，规则是：每人只能看见前一个人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成计算．其中
一个组的过程是：老师给甲，甲一步计算后写出结果给乙，乙一步计算后写出结果给丙，丙一步计算后写出结果给丁，丁最后算出结果．接力中，自
己负责的一步出现错误的是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁10. 如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，EF是B
C的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，则PA+PB的最小值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6二.填空题（每题2分，共16
分）11. 请写出一个只含有字母x的分式，当x=3时分式的值为0，你写的分式是__________．12. 若等腰三角形的两边长分
别为3cm和6cm，则它的周长为____．13. 已知，如图 AB=AC，∠BAC=40°，D 为 AB 边上的一点，过 D 作
DF⊥AB，交 AC 于 E，交 BC 延长线于点 F 则∠F=________°.14. 如图，△ABC 中，AB=AC，∠BA
C=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，AD=3，则BC=________．15. 如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A
为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于
点D．若CD=1，AB=4，则△ABD的面积是_________．16. 平面直角坐标系xOy中，点A（4，3），点B（3，0），
点C（5，3），点E在x轴上.当CE=AB时，点E的坐标为__________．17. 如图△ABC 中，AC=BC，∠ACB=1
20°，点 D 在线段 AB 上运动（D 不与 A、B 重合），连接 CD，作∠CDE=30°，DE 交 BC 于点 E，若△CD
E 是等腰三角形，则∠ADC 的度数是___________.18. 下面是小军同学计算的过程．＝…………………………………………
…………………………[1]＝……………………………………………………[2]＝………………………………………………………………………
…[3]＝…………………………………………………………………………[4]＝…………………………………………………………………………
[5]其中运算步骤[2]为：_____________，该步骤的依据是__________．三.解答题（19-28题每题5分，29
-30题每题7分，共64分）19. 下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上
一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图2：①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，
以大于AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小石设计尺规作图过程：（1
）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接QA，QB．∵QA＝ ，PA＝ ，∴PQ⊥l
（ ）（填推理的依据）．20. 计算：＋－．21. 计算：．22. 计算：．23. 解方程：．24. 己知m－n＝2，求代数式
的值．25. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC延长线交于点E，连接AE，如果∠B=50°，∠BAC=21°
，求∠CAE的度数.26. 如图，在△ABC中，∠B=∠ACB,D是边AB上一点，E是边AC的中点，作CF∥AB交DE的延长线于点
F，DB=3,CF=7,求AE.27. 列方程，解应用题：第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心
举行.与首届相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的270 000平方米增加到33
0 000平方米.参展企业比首届多了约300家，参展企业平均展览面积增加了12.8%，求首届进博会企业平均展览面积. （1）在解应
用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中数量关系. 设首届进博会企业平均展览面积x平方米，把下表补充完整：届别总面积（平方米）参
展企业数量企业平均展览面积（平方米）首 届270 000x第二届330 000（2）根据以上分析，列出方程（不解方程）.28. 阅
读：对于两个不等的非零实数a、b，若分式的值为零，则或．又因为，所以关于的方程有两个解，分别为．应用上面的结论解答下列问题：（1）
方程的两个解分别为，则＝_____；＝________；（2）方程的两个解中较大的一个为_______；（3）关于的方程的两个解分
别为，则＝_____，＝_____．29. 在Rt△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝90°．点D是射线BA上一点，点E是线段AB上
一点．且点D与点E关于直线AC对称，连接CD，过点E作直EF⊥CD于F，交CB的延长线于点G．（1）根据题意补全图形；（2）写出∠
CDA与∠G之间的数量关系，并进行证明；（3）已知在等腰直角三角形中，有以下结论：斜边长为一条直角边长的倍，写出线GB，AD之间的
数量关系，并进行证明．30. 已知线段AB，如果将线段AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，则称点C为线段AB关于点A的逆转点，
点C为线段AB关于点A的逆转点的示意图如下：（1）如图，在正方形ABCD中，点_______为线段BC关于点B的逆转点；（2）如图
，在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x，0)，且x＞0，点E是y轴上一点，点F是线段EO关于点E的逆转点，点G是线段EP关于
点E的逆转点，过逆转点G，F的直线与x轴交于点H．①补全图形；②判断过逆转点G，F直线与x轴的位置关系并证明．③若点E的坐标为（0
，5），连接PF、PG，设△PFG的面积为y，用含x的代数式表示y=________．2020北京汇文中学初二（上）期中数学参考答
案一.选择题（每小题2分，共20分）1. 【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此
选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意．故选
：D．【点睛】本题考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的特点是解题的关键.2. 【答案】A【解析】【分析】根据分式有意义的条件
可得x-3≠0．【详解】根据分式有意义的条件可得x-3≠0，解得x≠3；故选：A【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握
分式有意义，分母≠0．3. 【答案】D【解析】【分析】将分式方程转换成整式方程，一定要注意分母不为0【详解】由题意得：x2-1=0
且x+1≠0，解得：x=1，故选D【点睛】求解分式方程是本题的考点，解分式方程时应注意分母不为04. 【答案】A【解析】【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左
边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】=.故选：A.【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，一般形式为a×10-n，其
中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5. 【答案】C【解析】【分析】找出分子分母的公因式进
行约分即可．【详解】A.，错误；B.分子分母没有公因式，不能约分，错误；C. 正确；D.错误；故选C【点睛】考查分式的约分，熟练掌
握分式基本性质是解题的关键.6. 【答案】C【解析】【分析】由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得
∠ABE的度数，再由三角形的外角性质则可求得答案．【详解】∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE=BE，∴∠ABE=
∠A=40°，∵∠BEC=∠A+∠ABE∴∠BEC=40°+40°=80°．故选：C．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等
腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．7. 【答案】A【解析】【分析】根据角平分线的判定推出M在∠BAC的角平
分线上，即可得到答案．【详解】如图，∵ME⊥AB，MF⊥AC，ME=MF，∴M在∠BAC的角平分线上，故选：A．【点睛】本题主要考
查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题的关键．8. 【答案】C【解析】【分析】根据平行
线的性质得出∠CAB=40°，进而利用圆的概念判断即可．【详解】解：∵直线l1∥l2，∴∠ECA=∠CAB=40°，∵以点A为圆心
，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，∴BA=AC=AD，,故A正确；∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交
于点D（不与点B重合），∴CB=CD，∴∠CAB=∠DAC=40°，∴∠BAD=40°+40°=80°，故B正确；∵∠ECA=40
°，∠DAC=40°，∴CE=AE，故D正确；故选：C．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的判定，关键是根据
平行线的性质得出∠CAB=40°解答．9. 【答案】B【解析】【分析】找出题中出错的地方即可．【详解】乙同学的过程有误，应为，故选
B．【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10. 【答案】B【解析】【分析】根据题意知点B关于直线EF
的对称点为点C，故当点P-为EF和AC的交点时，AP+BP值最小为AC的长为4．【详解】解：如图：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于
EF对称，∴当AC交EF于P时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长为4，故选：B.【点睛】本题考查轴对称——最短路线问题的应用
.解决此题的关键是能根据轴对称的性质和两点之间线段最短找出P点的位置.二.填空题（每题2分，共16分）11. 【答案】（答案不唯一
）【解析】分析】根据要求和分式的定义可写出.【详解】如，，-等等，只要分母不等于0就好.故答案为：【点睛】考核知识点：分式的值为0
.理解分式的定义是关键.12. 【答案】15cm【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3cm和6cm，而没有明确腰、底分别
是多少，所以要进行讨论，再应用三角形的三边关系来验证能否组成三角形；【详解】解：分两种情况：当腰为3cm时，3+3=6，所以不能构
成三角形；当腰为6cm时，3+6>6，所以能构成三角形，此时三角形的周长为：3+6+6=15cm；故答案为：15cm；【点睛】本题
主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系是解题的关键.13. 【答案】20【解析】【分析】
由AB=AC，∠BAC=40°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC=∠A C B=70°；再由DF⊥AB，根据三角
形内角计算即可得到答案.【详解】因为AB=AC，∠BAC=40°，所以根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ABC=∠A C
B==70°；因为DF⊥AB，所以∠BDF=90°，则根据三角形内角和可得∠F=180°-90°-70°=20°.【点睛】本题考
查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理.14. 【答案】9【解析】【分析】根据勾
股定理求出AB，再利用相似即可求解.【详解】∵AB=AC，∠BAC=120°∴∠C=30°，又∵AD⊥AC，AD=3∴∠DAC=9
0°，CD=6勾股定理得AC=AB=3，由图可知△ABD∽△BCA，∴BC=9【点睛】本题考查了勾股定理和相似三角形，属于简单题．
证明相似是解题关键.15. 【答案】2【解析】【分析】根据角平分线的性质得到DE=DC=1，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】
解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC=1，∴△ABD的面积
=，故答案为：2．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、作角平分线，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．16. 【
答案】或【解析】【分析】作CD⊥BE,根据平移定义和等腰三角形性质可得有两种情况：当CE∥AB时; 当CE与AB不平行时.【详解】
因为点A（4，3），点C（5，3），所以AC∥OB如图，当CE∥AB时，由平移性质可得：E（3+1,0）即（4,0）；BE⊥AE当
CE与AB不平行时，作CD⊥BE,则四边形AEDC是矩形，故ED=AC=1,根据等腰三角形性质得DE’=DE=1,BE’=3；所以
E’（6,0）故E的坐标是或故答案为：或【点睛】考核知识点：矩形性质，等腰三角形性质，平移性质.根据题意画出相关情况是关键.17.
【答案】60°或105°【解析】【分析】分类讨论：当CD=DE时；当DE=CE时；当EC=CD时；然后利用等腰三角形的性质和三角
形的内角和定理进行计算.【详解】△CDE可以是等腰三角形，∵△CDE是等腰三角形；①当CD=DE时，∵∠CDE=30°，∴∠DCE
=∠DEC=75°，∴∠ADC=∠B+∠DCE=105°，②当DE=CE时,∵∠CDE=30°，∴∠DCE=∠CDE=30°，∴∠
ADC=∠DCE+∠B=60°.③当EC=CD时，∠BCD=180°?∠CED?∠CDE=180°?30°?30°=120°∵∠A
CB=180°?∠A?∠B=120°，∴此时，点D与点A重合，不合题意.综上,△ADC可以是等腰三角形,此时∠ADC的度数为60°
或105°.故答案为60°或105°.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是分情况讨论.18. 【答案
】 (1). 通分 (2). 分式的基本性质【解析】【分析】根据分式的基本性质即可解答．【详解】解：运算步骤[2]为：通分，该步骤
的依据是分式的基本性质，故答案为：通分，分式的基本性质．【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟记分式的基本性质．三.
解答题（19-28题每题5分，29-30题每题7分，共64分）19. 【答案】（1）见解析；（2）QB，PB，等腰三角形底边上的中
线与底边上的高互相重合．【解析】【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；（2）根据等腰三角形的性质即可完成证明．【详解】解：（1）
补全的图形如图2所示：（2）证明：连接QA，QB．∵QA＝QB，PA＝PB，∴PQ⊥l （等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重
合）．故答案为：QB；PB；等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．【点睛】本题考查了作图-基本作图、等腰三角形的性质，解决本
题的关键掌握等腰三角形的性质．20. 【答案】【解析】【分析】先算乘方,再算加减,准确计算即可.【详解】＋－ 【点睛】本题考查了有
理数的混合运算和零指数幂与负整指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键.21. 【答案】【解析】【分析】根据分式的运算法则正确计算即可
.【详解】 【点睛】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键.22. 【答案】【解析】【分析】根据分式的运算法则正确计
算即可.【详解】 【点睛】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则是解题的关键.23. 【答案】【解析】【分析】化简分式方程，先去
分母，方程两边同时乘以分母的公因式，再去括号，注意负号的作用，再移项，合并同类项，化系数为1，最后验根，即可解题．【详解】解：去分
母，得，去括号，得移项合并，得，系数化为1，得，检验：当时，，所以是原方程的解．【点睛】本题考查分式方程，涉及分式有意义的条件等知
识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．24. 【答案】，1．【解析】【分析】先将小括号内的分式通分，结合完全平方公式化
简，再根据除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，约分化简，最后用整体代入法解题即可．【详解】当m－n＝2时，原式=【点睛】本题考查分
式的化简求值，涉及完全平方公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．25. 【答案】∠EAC=71°【解析】【分析】根据
三角形外角的性质得出∠ACE=71°，再根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，从而得出∠EAC=∠ECA=71°.【详解】∵AC的
垂直平分线交AC于点D∴EA=EC∴∠EAC=∠ECA∵∠B=50°，∠BAC=21°∴∠ECA=∠B+∠BAC=71°∴∠EAC
=71°【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，三角形的外角性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距
离相等．26. 【答案】5【解析】【分析】先证△ADE≌△CFE，得到AD=CF=7，从而求出AB的长，再根据等角对等边即可得：A
C=AB，最后根据AE=AC，即可求出AE.【详解】解：∵E是边AC的中点∴AE=EC=AC∵CF∥AB∴∠A=∠FCE在△ADE
和△CFE中∴△ADE≌△CFE∴AD=CF=7∴AB=AD+DB=10∵∠B=∠ACB∴AC=AB=10∴AE=AC=5【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理和等角对等边是解决此题的关键.27. 【答案】（1）
填表见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据“总面积÷企业平均展览面积=参展企业数量”可得首届参展企业数量；再根据第二届参展企业
平均展览面积比第一届增加了12.8%，可用含有x的代数式表示第二届参展企业平均展览面积，再根据“总面积÷企业平均展览面积=参展企业
数量”可得第二届参展企业数量，以此填表即可；（2）根据“第二届参展企业比首届参展企业多约300家.”列出方程即可.【详解】（1）填
表：届别总面积（平方米）参展企业数量企业展平均面积（平方米）首 届270 000第二届330 000（2）设首届进博会企业平均展览
面积为x平方米，根据题意得，.【点睛】此题主要考查根据实际问题列方程. 解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的
等量关系列出方程．28. 【答案】（1）－4，3；（2）3；（3）【解析】【分析】（1）根据定义得到p=，q=，然后代入即可求解；
（2）方程的两个解根据公式可以解出；（3）要将原式构造成题目中的形式，首先将方程左右两端+1，将右端变形为，然后将当做题目中的x，
整体代入求解，最后解两个一元一次方程即可．【详解】（1）由题意得：p=，q=∵方程的解为∴p=，q=；（2）由题意得：，∴，解得或
3∴当时，；当时，∴较大的解为3（3）∵∴∴∴或 ∴或 ∵∴．【点睛】此题涉及的知识点是分式的综合应用，解一元二次方程，整体代入法
解方程，难度较大，解题时先搞清楚规律，把握已知的结论是解本题的关键．29. 【答案】（1）见解析；（2）；（3），证明见解析【解析
】分析】（1）根据题意画图即可；（2）由直角三角形中，两个锐角互余，结合三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和解题即可；（3
）连接CE，过点G作GH，垂足为H，先证明CD=CE，由三线合一性质可知，并设，计算出，，继而证明EG=CE=CD，可证明，再由全
等三角形的对应边相等，解得，最后结合勾股定理解题即可．【详解】（1）如图：（2）由图可知，（3）连接CE，过点G作GH，垂足为H，
关于直线AC对称，设在中，在中，，EG=CE=CD在与中在中，【点睛】本题考查几何变换综合题，其中涉及等腰直角三角形的性质、全等三
角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形三线合一性质等知识，是重要考点，难度较易，作出适合的辅助线构造全等三角形，掌握相关知识是解题
关键．30. 【答案】（1）A；（2）①如下图；②GF⊥x轴，证明见解析；③【解析】【分析】（1）将线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BA，即可求解；（2）①按题干定义补图即可；②首先根据SAS证明△GEF≌△PEO，根据全等三角形的性质得到∠GFE＝∠EOP＝90°，进而得到四边形EFHO是矩形，然后即可得结论；③分两种情形：如图4中，当0＜x＜5时，如图5中，当x＞5时，分别利用三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）由题意，将线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BA∴点A为线段BC关于点B的逆转点；故答案为A；（2）①图形如图3所示．②结论：GF⊥x轴．理由：∵点F是线段EF关于点E的逆转点，点G是线段EP关于点E的逆转点，∴∠OEF＝∠PEG＝90°，EG＝EP，EF＝EO，∴∠GEF＝∠PEO，∴△GEF≌△PEO（SAS），∴∠GFE＝∠EOP，∵OE⊥OP，∴∠POE＝90°，∴∠GFE＝90°，∵∠OEF＝∠EFH＝∠EOH＝90°，∴四边形EFHO是矩形，∴∠FHO＝90°，∴FG⊥x轴．③如图4，当0＜x＜5时，∵E（0，5），∴OE＝5，∵四边形EFHO是矩形，EF＝EO，∴四边形EFHO是正方形，∴OH＝OE＝5，∴；如图5中，当x＞5时，；综上所述，．点睛】此题主要考查旋转，结合题干中新定义，按照旋转法则解题，涉及到求三角形面积问题． 1 / 1 |
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