2020北京重点校初二（上）期中数学汇编尺规作图及轴对称一、单选题1．（2020·北京市陈经纶中学八年级期中）下列大学的校徽图案是轴对称图形
的是（?）A．清华大学B．北京大学C．中国人民大学D．浙江大学2．（2020·北京师大附中八年级期中）在 中，， ，点是边 上一定
点，此时分别在边 ，上存在点 ，使得周长最小且为等腰三角形，则此时的值为（ ）A．B．C．D．3．（2020·北京四中八年级期中）
我们利用尺规作图可以作一个角等于已知角，如下所示：（1）作射线；（2）以为圆心，任意长为半径作弧，交于，交于；（3）以为圆心，为半
径作弧，交于；（4）以为圆心，为半径作弧，交前面的弧于；（5）连接作射线则就是所求作的角．以上作法中，错误的一步是（?）A．B．C
．D．4．（2020·北京四中八年级期中）下列轴对称图形中，有4条对称轴的图形是（?）A．B．C．D．5．（2020·北京四中八年
级期中）在平面直角坐标系上，已知点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），则点A的坐标为（ ）A．（4，4）B．（﹣2，﹣2）
C．（2，4）D．（3，4）6．（2020·北京·汇文中学八年级期中）下列有关医疗和倡导卫生的图标中，是轴对称图形的是（ ）A．
B．C．D．二、填空题7．（2020·北京二中八年级期中）如图1是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现要从其余13个
白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请在下图中补全图形，并思考可能的位置有 种．（请在图中利用阴影
标出）8．（2020·北京四中八年级期中）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，则的
度数为______．9．（2020·北京四中八年级期中）已知锐角如图（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连
接；（2）分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点连接；（3）作射线交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是____
___________；；；； 10．（2020·北京·汇文中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长
为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD=
1，AB=4，则△ABD的面积是_________．11．（2020·北京师大附中八年级期中）点（3，）关于轴的对称点的坐标是__
________．12．（2020·北京市陈经纶中学八年级期中）数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中，BC>AB>AC，
在BC边上取一点P，使∠APC=2∠ABC．小路的作法如下：① 作AB边的垂直平分线，交BC于点P，交AB于点Q；② 连结AP．请
你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中蕴含的数学依据：∵ PQ是AB的垂直平分
线∴ AP= ，?（依据： ）；∴ ∠ABC= ， （依据： ）．∴ ∠APC=2∠ABC．三、解答题13．（2020·北京市陈经
纶中学八年级期中）在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数
目的对称轴．回答下列问题：(1)非等边的等腰三角形有 条对称轴，等边三角形有 条对称轴；(2)观察下列一组凸多边形（实线画出），它
们的共同点是只有1条对称轴，其中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1﹣4和图1﹣5中，
分别修改图1﹣2和图1﹣3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；(3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴
的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；(4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，
并用虚线标出对称轴．14．（2020·北京二中八年级期中）已知：如图，请用尺规作图法在射线CD上找一点P，使射线AP平分∠BAC．
小明的作图方法如下：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N．②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在
∠CAB的内部相交于点E．③画射线AE，交射线CD于点P，点P即为所求．小刚说：“我有不同的作法，如图②所示，只需要以 点C为圆心
，CA为半径画弧，交射线CD于点P，画射线AP，也能够得到AP平分∠BAC．” 请回答：(1)请在图1中补全小明的作图过程（要求尺
柜作图，保留作图痕迹）．小明在作图的过程中，构造出一组全等三角形，它们是__________≌__________，全等的依据是_
______．因为全等三角形的对应角相等，所以能够得到∠CAB的角平分线AP；(2)对于小刚的作图方法证明如下：∵CA＝CP∴∠C
AP＝∠CPA（等边对等角）∵∴∠BAP＝∠___________（_______）∴∠CAP＝∠BAP∴射线AP平分∠BAC(3
)点P到直线AC和AB的距离相等，理由是____________．15．（2020·北京八十中八年级期中）在△ABC中，AD ⊥B
C．求作：△ABC，使AB=m，BC=n，AD=h．(作出所有满足条件的△ABC) 16．（2020·北京四中八年级期中）如图1，
点是等腰三角形外一点，过点作于点．（1）依据题意，补全图形．（2）求证：．（3）如图2，与交于点，当是的中点时，翻折得到，连接求证
：两点到直线的距离相等．17．（2020·北京四中八年级期中）小宇遇到了这样一个问题：已知：如图，，点A，B分别在射线OM，ON上
，且满足．求作：线段OB上的一点C，使的周长等于线段的长．以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，
若符合题意得点C已经找到，即得周长等于OB的长，那么由，可以得到 ．对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得，那
么就可以得到 ．若连接AD，由 ．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．请根据小宇得分析，在图
2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．18．（2020·北京·汇文中学八年级期中）下面是小石设计的“过直线上一点作这条
直线的垂线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l及直线l上一点P．求作：直线PQ，使得PQ⊥l．作法：如图2：①以点P为圆心，任意
长为半径作弧，交直线l于点A，B；②分别以点A，B为圆心，以大于AB的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；③作直线PQ．所
以直线PQ就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程：（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明
：连接QA，QB．∵QA＝ ，PA＝ ，∴PQ⊥l （ ）（填推理的依据）．19．（2020·北京·清华附中八年级期中
）如图，在中，．用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等保留作图痕迹，不写作法和证明当满足的点P到AB、BC的距离相等
时，求的度数．参考答案1．B【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对
称轴，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键
是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．B【分析】如图，先作分别关于，对称的三角形，以及的对称点，，找到周长最小的条件即、M、N
、共线时，进而设，，，，通过各边关系列出方程，解出x，即可求得的值.【详解】如图作分别关于，对称，得，，以及的对称点，，则，，所以
、M、N、共线时，周长最小。作、、关于的垂线，垂足为、、，由梯形的性质，得，在中，，设，，，，则由，，令，由，得，所以，即，化简得
，所以，又因为平分，故，所以，若，则，解得（负根舍去），此时 ，同理可知，若或均可得，所以，故选B【点睛】本题主要考查等腰三角形的
性质、直角三角形的性质以及轴对称的应用。根据题意正确的做出对称图形是本题的关键.3．C【分析】根据作一个角等于已知角的方法解决问题
即可．【详解】解：（4）错误．应该是以C''为圆心，CD为半径作弧，交前面的弧于D''；故选：C．【点睛】本题考查作图-复杂作图，作一
个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．4．D【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可．【详解】解：A、
是轴对称图形，有5条对称轴，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，有3条对称轴，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，有1条对称轴
，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，有4条对称轴，故此选项符合题意；故选：D．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，解题的关键是掌
握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．5．A【分析】根据对称的性质即可得点A的坐标．【
详解】解：∵点A关于直线x＝1对称的点为B（﹣2，4），∴点A的坐标为（4，4）．故选：A．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-对称
、关于平行于x轴或y轴的直线的对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握对称的性质．6．D【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：
A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形
，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的特点是解题的关键.7．4，画图见解析【分析】直
接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．【详解】解：根据题意可得可能的位置有4种，如下图所示：故答案为：4．【点睛】本题主要
考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键．8．【分析】连接AD，根据三角形内角和性质，得；根据轴对称的性质，得
，；结合，通过计算即可得到答案．【详解】如下图，连接AD根据题意得：， ∴ ∵将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、∴， ∵
∴ 故答案为：．【点睛】本题考查了三角形内角和、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、轴对称的性质，从而完成求解．9．
②③④．【分析】根据作图信息判断出OP平分∠AOB，由此即可一一判断．【详解】解：由作图可知，OC=OD，PC=PD，PC=PD=
CD，OP平分∠AOB，∴OP垂直平分线段CD，∴CQ=DQ∴CP=2QC故②③④正确，故答案为②③④．【点睛】本题考查角平分线的
作图-复杂作图及线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．10．2【分析】根据角平分线的性质得到D
E=DC=1，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作DE⊥AB于E，由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，∵∠C=9
0°，DE⊥AB，∴DE=DC=1，∴△ABD的面积=，故答案为：2．【点睛】本题考查的是角平分线的性质、作角平分线，掌握角的平分
线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．11．（3,2）【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点
P（x，y）关于x轴的对称点P''的坐标是（x，﹣y），进而求出即可．【详解】点（3，﹣2）关于x轴的对称点坐标是（3，2）．故答案
为（3，2）．【点睛】本题考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题的关键．12．尺规作图见解析；BP，线段垂直平分
线上的点到线段两个端点的距离相等；∠BAP，等边对等角.【分析】按照线段垂直平分线的作图方法作出AB的垂直平分线，然后按照线段垂直
平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质求解即可.【详解】如图，∵ PQ是AB的垂直平分线∴ AP=BP，（依据：线段垂直
平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；∴ ∠ABC=∠BAP，（依据：等边对等角）．∴ ∠APC=2∠ABC．【点睛】本题考查了
尺规作图，段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.13．(1)1，3(2)见解析
(3)见解析(4)见解析【分析】（1）根据对称轴的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做
轴对称图形，这条直线就叫做对称轴进行求解即可；（2）仿照题意进行设计即可；（3）仿照题意进行设计即可；（4）仿照题意进行设计即可．
（1）解：非等边的等腰三角形有1条对称，等边三角形有3条对称轴，故答案为：1，3；（2）解：恰好有1条对称轴的凸五边形如图所示（3
）解：恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示（4）解：恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示【点睛】本题主要考查了轴对称图形的设计，对称轴
的条数，解题的关键是熟知轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合．14．(1)△AME，△AN
E，SSS；(2)CPA，两直线平行，内错角相等；(3)角平分线上的点到角的两边的距离相等【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法
作出对应的角平分线，根据作图过程和全等三角形的判定即可解答；（2）根据等腰三角形的等边对等角性质和平行线的性质证得∠CAP＝∠BA
P即可；（3）根据角平分线的性质定理解答即可．（1）解：如图1，AP为所作：根据作图的过程，得AM=AN，EM=EN，又AE=AE
，故可构造出一组全等三角形，它们是△AME≌△ANE，全等的依据是SSS．因为全等三角形的对应角相等，所以能够得到∠CAB的角平分
线AP，故答案为：△AME，△ANE，SSS；（2）解：对于小刚的作图方法证明如下：∵CA＝CP，∴∠CAP＝∠CPA（等边对等角
），∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠CPA（两直线平行，内错角相等），∴∠CAP＝∠BAP，∴射线AP平分∠BAC．故答案为：CPA，
两直线平行，内错角相等；（3）解：点P到直线AC和AB的距离相等，理由是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，故答案为：角平分线
上的点到这个角的两边的距离相等．【点睛】本题考查尺规作图-作角平分线、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、角平
分线的定义和性质定理；熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．15．作图见解析【分析】先作射线 在上截取 以为圆心，任意长为半径
画弧，得与的两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间距离的一半为半径画弧，得两弧的交点，再过这个交点与作射线 在射线上
截取 按同样的方法作 再以B为圆心，的长为半径作弧，交于 按同样的方法过作 交于 则 则是所求作的三角形.【详解】解：如图，都是符
合要求的三角形，【点睛】本题考查的是尺规作图，掌握“根据已知线段或角作三角形”是解题的关键.16．（1）见解析；（2）见解析；（3
）见解析．【分析】（1）依据题意画出图形即可；（2）过点A作AH⊥CD，交DC的延长线于H，由“AAS”可证△ABE≌△ACH，可
得AE＝AH，BE＝CH，由“HL”可证Rt△AED≌Rt△AHD，可得结论；（3）过点A作AG⊥BC于G，连接GD交BC延长线于
N，由“AAS”可证△AGF≌△DNF，可得AG＝DN＝GN，可得结论．【详解】（1）解：如图3所示即为所求：证明：（2）如图4，
过点A作AH⊥CD，交DC的延长线于H，∵AE⊥BD，AH⊥DH，∴∠AED＝∠H＝90°．∴∠EDH＋∠EAH＝180°．∵AB
＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠BAC＋2∠ABC＝180°．又∵∠BDC＝2∠ABC
，∴∠BDC＋∠BAC＝180°．∴∠BAC＝∠EAH．∴∠BAC-∠CAE＝∠EAH-∠CAE．即∠BAE＝∠CAH．在△ABE
和△ACH中，∠AEB＝∠H，∠BAE＝∠CAH，AB＝AC，∴△ABE≌△ACH（AAS）．∴AE＝AH，BE＝CH．在Rt△A
ED和Rt△AHD中，AE＝AH，AD＝AD，∴Rt△AED≌Rt△AHD（HL）．∴DE＝DH．∴DE＝BE＋CD；证明：（3）
如图5，过点A作AG⊥BC于点G，连接GD交BC的延长线于点N，∵翻折△BCD得到△BCG，∴BN⊥GD，GN＝DN，∵F是AD的
中点，∴AF＝DF，在△AGF和△DNF中，∠AFG＝∠DFN，∠AGF＝∠DNF，AF＝DF，∴△AGF≌△DNF（AAS）．∴
AG＝DN．∴AG＝GN．∴A，G两点到直线BC的距离相等．【点睛】本题为几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定
和性质、翻折的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．17．图见解析，BC，DC，线段的垂直平分线的判定【分析】在线
段BO上截取BD=OA，连接AD，作线段AD的垂直平分线交OD于点C，连接AC，△AOC即为所求．【详解】解：如图，△AOC即为所
求．如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即得周长等于OB的长，那么由，可以得到BC．对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上
取一点D，使得，那么就可以得到DC．若连接AD，由线段的垂直平分线的判定．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问
题得解法就找到了．故答案为：BC，DC，线段的垂直平分线的判定．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的判定等知识，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．（1）见解析；（2）QB，PB，等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重
合．【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；（2）根据等腰三角形的性质即可完成证明．【详解】解：（1）补全的图形如图2所示：（2）
证明：连接QA，QB．∵QA＝QB，PA＝PB，∴PQ⊥l （等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合）．故答案为：QB；PB；等腰三角形底边上的中线与底边上的高互相重合．【点睛】本题考查了作图-基本作图、等腰三角形的性质，解决本题的关键掌握等腰三角形的性质．19．（1）图形见解析（2）30°【分析】（1）画出线段AB的垂直平分线，交AC于点P，点P即为所求；（2）由点P到AB、BC的距离相等可得出PC=PD，结合BP=BP可证出Rt△BCP≌Rt△BDP（HL），根据全等三角形的性质可得出BC=BD，结合AB=2BD及∠C=90°，即可求出∠A的度数．【详解】解:（1）依照题意，画出图形，如图所示．（2）∵点P到AB、BC的距离相等，∴PC=PD．在Rt△BCP和Rt△BDP中，，∴Rt△BCP≌Rt△BDP（HL），∴BC=BD．又∵PD垂直平分AB，∴AD=2BD=2BC．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∴∠A=30°．【点睛】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及解含30°角的直角三角形，解题的关键是：（1）熟练掌握尺规作图；（2）通过证全等三角形找出AB=2BC．第1页/共1页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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