2020北京重点校初二（上）期中数学汇编等腰三角形与直角三角形一、单选题1．（2020·北京师大附中八年级期中）如图，，，则等于（ ）A．B
．C．D．2．（2020·北京师大附中八年级期中）若一个等腰三角形的两边长分别为 ，，则三角形的周长为（ ）A．B．C．D．或3．
（2020·北京四中八年级期中）△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若求五边形D
ECHF的周长，则只需知道（ ）A．△ABC的周长B．△AFH的周长C．四边形FBGH的周长D．四边形ADEC的周长4．（202
0·北京·汇文中学八年级期中）如图，直线，点在直线上，以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线，于，两点，以点为圆心，长为半径画
弧，与前弧交于点（不与点重合），连接，，，，其中交于点．若，则下列结论错误的是（?）A．B．C．D．二、填空题5．（2020·北京
市陈经纶中学八年级期中）等腰三角形的一个角等于40°，则它的顶角的度数是_____．6．（2020·北京市陈经纶中学八年级期中）我
们规定：等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作a，若，则该等腰三角形的顶角的度数为________
．7．（2020·北京市陈经纶中学八年级期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平
分线，且交AD于点P，如果AP＝2，则AC的长为______．8．（2020·北京·101中学八年级期中）如图，在的两边上，分别取
，再分别过点，作，的垂线，交点为，画射线．可判定，依据是_______．（请从“、、、、”中选择一个填入）．9．（2020·北京·
汇文中学八年级期中）等腰三角形的两边长分别是3cm和6cm，则它的周长是_________cm．10．（2020·北京师大附中八年
级期中）如图，在等边中，，是的中点，过点作 于点 ，过点 作 于点 ，则的长为 __________．11．（2020·北京师大
附中八年级期中）在平面直角坐标系中，已知点，，在坐标轴上找一点， 使得是等腰三角形，则这样的点共有__________个 12．（
2020·北京四中八年级期中）如图，已知每个小方格的边长为两点都在小方格的顶点上（即为格点），请在图中找一个格点，使为等腰三角形，
则这样的格点有_________________个．13．（2020·北京四中八年级期中）已知等腰三角形一个外角的度数为，则顶角度
数为____________.14．（2020·北京·汇文中学八年级期中）已知，如图 AB=AC，∠BAC=40°，D 为 AB
边上的一点，过 D 作 DF⊥AB，交 AC 于 E，交 BC 延长线于点 F 则∠F=________°.15．（2020·北京
·汇文中学八年级期中）如图△ABC 中，AC=BC，∠ACB=120°，点 D 在线段 AB 上运动（D 不与 A、B 重合），连
接 CD，作∠CDE=30°，DE 交 BC 于点 E，若△CDE 是等腰三角形，则∠ADC 的度数是___________.16
．（2020·北京·清华附中八年级期中）如图．在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为________
_．17．（2020·北京市陈经纶中学八年级期中）已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，
AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB=________(度) 18．（2020·北京市陈经纶中学八年级
期中）如图，在长方形的对称轴上找点，使得，均为等腰三角形，则满足条件的点有_________个.三、解答题19．（2020·北京市
陈经纶中学八年级期中）如图，△ABC 中，AB=BC，∠ABC=90°，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在BC 上，且 AE=
CF．(1)求证： ∠BAE=∠BCF(2)若∠CAE=25°，求∠ACF 的度数．20．（2020·北京市陈经纶中学八年级期中）
如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一点，连接AP，延长BC至点Q，使得，过点作于点，交于点．(1)若∠C
AP=20°，则= °．(2)判断AP与QM的数量关系，并证明．21．（2020·北京八十中八年级期中）如图，等边三角形△AOB，
点C为射线OA上一动点，连接BC，以线段BC为边在射线OA同侧作等边三角形△CBD，连接DA．（1）求证：△OBC≌△ABD （2
）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果变化，请说明理由．22．（2020·北京八十中
八年级期中）若一个等腰三角形的周长为36cm，一边长为8cm，求其他两边的长．23．（2020·北京师大附中八年级期中）如图，已知
等边三角形ABC，延长BA至点D，延长AC至点E，使AD=CE，连接CD，BE．求证：△ACD≌△CBE．24．（2020·北京·
汇文中学八年级期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于点D，交BC延长线交于点E，连接AE，如果∠B=50°，∠BAC=
21°，求∠CAE的度数.参考答案1．C【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】∵AB＝BC，∴∠A
＝∠ACB，∵∠DBC＝∠A＋∠ACB，∴∠DBC＝2∠A，∵BC＝CD，∴∠D＝∠DBC＝2∠A，∵∠ACD＝120°，∴∠A＋
∠D＝∠A＋2∠A＝180°?120°＝60°，∴∠A＝20°，故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟
练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．2．C【分析】分4cm长的边为腰和底两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其
周长即可．【详解】解：当4cm的边长为腰时，三角形的三边长为：4cm、4cm、2cm，满足三角形的三边关系，其周长为4＋2＋4＝1
0（cm）；当2cm的边长为腰时，三角形的三边长为：2cm、2cm、4cm，此时4＝2＋2，不满足三角形的三边关系，所以此三角形不
存在．故选： C．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断是解题的关键．3．A【分析】由
等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得：FH＝GH，∠ACB＝∠A＝60°，∠AHF＝∠HGC，进而可根据AAS证明△AFH≌△
CHG，可得AF＝CH，然后根据等量代换和线段间的和差关系即可推出五边形DECHF的周长＝AB+BC，从而可得结论．【详解】解：∵
△GFH为等边三角形，∴FH＝GH，∠FHG＝60°，∴∠AHF+∠GHC＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，
∠ACB＝∠A＝60°，∴∠GHC+∠HGC＝120°，∴∠AHF＝∠HGC，∴△AFH≌△CHG（AAS），∴AF＝CH．∵△B
DE和△FGH是两个全等的等边三角形，∴BE＝FH，∴五边形DECHF的周长＝DE+CE+CH+FH+DF＝BD+CE+AF+BE
+DF＝（BD+DF+AF）+（CE+BE），＝AB+BC．∴只需知道△ABC的周长即可．故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的
性质、全等三角形的判定和性质以及多边形的周长问题，熟练掌握等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．4．C【分析】根
据平行线的性质得出∠CAB=40°，进而利用圆的概念判断即可．【详解】解：∵直线l1∥l2，∴∠ECA=∠CAB=40°，∵以点A
为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，∴BA=AC=AD，,故A正确；∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与
前弧交于点D（不与点B重合），∴CB=CD，∴∠CAB=∠DAC=40°，∴∠BAD=40°+40°=80°，故B正确；∵∠ECA
=40°，∠DAC=40°，∴CE=AE，故D正确；故选：C．【点睛】此题考查平行线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的判定，关键
是根据平行线的性质得出∠CAB=40°解答．5．40°或100°【分析】由等腰三角形中有一个角等于40°，可分别从①若40°为顶角
与②若40°为底角去分析求解，即可求得答案．【详解】解：分两种情况讨论：①若40°为顶角，则这个等腰三角形的顶角的度数为40°；②
若40°为底角，则这个等腰三角形的顶角的度数为：180°﹣40°×2＝100°．∴这个等腰三角形的顶角的度数为：40°或100°．
故答案为：40°或100°．【点睛】本题考查了等腰三角形，根据题目分两种情况讨论是解题关键．6．90°##90度【分析】根据等腰三
角形的性质得出，根据三角形内角和得出，求解即可．【详解】在中，即故答案为：90°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的
性质，能熟练应用上述知识是解题的关键．7．6【分析】先计算出，再根据角平分线的定义得到，接着计算出，则，然后根据含30度的直角三角
形三边的关系求出，从而得到的长．【详解】解：，，，是的平分线，，，，，，在中，，，在中，．故答案为：6．【点睛】本题考查了角平分线
的定义、含的直角三角形的三边关系，解题的关键是掌握含30度的直角三角形三边的关系．8．．【分析】根据题意得到和均为直角三角形，再由
判断三角形全等，即可得出答案．【详解】由题意可得∴和均为直角三角形在和中∴故答案为：．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，熟练掌
握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．9．15【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨
论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：当腰为时，，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为时，，能构成三角
形；此时等腰三角形的周长为．故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；解题的关键是题目从边的方面考查三角形
，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去
．10．【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求得AF，CF，CE，即可得出BE的长．【详解】∵△ABC
为等边三角形，∴∠A＝∠C＝60°，AB＝AC＝BC＝2，∵DF⊥AC，FE⊥BC，∴∠AFD＝∠CEF＝90°，∴∠ADF＝∠C
FE＝30°，∴AF＝AD，CE＝CF，∵点D是AB的中点，∴AD＝1，∴AF＝，CF＝，CE＝，∴BE＝BC?CE＝2?＝，故答
案为：．【点睛】本题考查了含30°角直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握含30°角直角三角形的性质是解题的关键．11
．【分析】分别以A、B为圆心，AB长为半径画圆可得与坐标轴的交点，然后再作AB的垂直平分线可得与坐标轴的交点，即可得到答案．【详解
】解：如图所示，一共有5个这样的点，故答案为：5．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是考虑全面，作图不重不漏．12．8【
分析】分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数．【详解】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数
有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的点C有8个．故答案是：8．【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题．13．或【分析】等腰三角形的一个外角等于，则等腰三角形的一
个内角为72°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．【详解】∵一个外角为，∴三角形的一个内角为72°，
当72°为顶角时，其他两角都为、，当72°为底角时，其他两角为72°、36°，所以等腰三角形的顶角为或．故答案为：或【点睛】本题考
查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进
行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．14．20【分析】由AB=AC，∠BAC=
40°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠ABC=∠A C B=70°；再由DF⊥AB，根据三角形内角计算即可得到答案.
【详解】因为AB=AC，∠BAC=40°，所以根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ABC=∠A C B==70°；因为DF
⊥AB，所以∠BDF=90°，则根据三角形内角和可得∠F=180°-90°-70°=20°.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角
形内角和定理，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理.15．60°或105°【分析】分类讨论：当CD=DE时；当DE=
CE时；当EC=CD时；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算.【详解】△CDE可以是等腰三角形，∵△CDE是等腰三
角形；①当CD=DE时，∵∠CDE=30°，∴∠DCE=∠DEC=75°，∴∠ADC=∠B+∠DCE=105°，②当DE=CE时,
∵∠CDE=30°，∴∠DCE=∠CDE=30°，∴∠ADC=∠DCE+∠B=60°.③当EC=CD时，∠BCD=180°?∠CE
D?∠CDE=180°?30°?30°=120°∵∠ACB=180°?∠A?∠B=120°，∴此时，点D与点A重合，不合题意.综上
,△ADC可以是等腰三角形,此时∠ADC的度数为60°或105°.故答案为60°或105°.【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角
形的内角和定理，解题的关键是分情况讨论.16．10【分析】利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到MB＝MO，NC＝NO
，将三角形AMN周长转化，求出即可．【详解】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线，∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝
∠BCO，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO，∴MB＝MO，NC＝N
O，∴MN＝MO＋NO＝MB＋NC，∵AB＝4，AC＝6，∴△AMN周长为AM＋MN＋AN＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝1
0，故答案为10【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和平行线的性质是解题的关键．17．6
0【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．【详解】解：连接AB，根据题
意得：OB=OA=AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°．故答案为60【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质．此题难度
不大，解题的关键是能根据题意得到OB=OA=AB．18．5【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或D
C的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部在l上作点P，使PA=AB，PD=DC，同理，在l上作点P，使PC=DC，AB=PB；三是
如图，在长方形外l上作点P，使AB=BP，DC=PC，同理，在长方形外l上作点P，使AP=AB，PD=DC．【详解】如图，作AB或
DC的垂直平分线交l于P，如图，在l上作点P，使PA=AB，同理，在l上作点P，使PC=DC，如图，在长方形外l上作点P，使AB=
BP，同理，在长方形外l上作点P，使PD=DC，故答案为:5.【点睛】考查等腰三角形的判定与性质，注意分类讨论思想在解题中的应用.
19．(1)证明见解析(2)65°【分析】（1）根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△CBF，即可证明结论；（2）先根据等腰三角形的
性质得出∠BAC=∠BCA=45°，根据∠CAE=25°，求出∠BAE=20°，即可得出∠BCF=20°，根据∠ACF=∠BCA+
∠BCF求出答案即可．（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠CBF=180°-90°=90°，∵在Rt△ABE和Rt△CBF中，∴R
t△ABE≌Rt△CBF（HL），∴∠BAE=∠BCF．（2）解：由（1）可得：∠BAE=∠BCF，∵△ABC中，AB=BC，∠A
BC=90°，∴∠BAC=∠BCA=45°，∵∠CAE=25°，∴∠BAE=20°，∴∠BCF=20°，∴∠ACF=∠BCA+∠B
CF=45°+20°=65°．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，证明Rt△ABE≌Rt△CBF是解题
的关键．20．(1)65(2)AP=QM，证明见解析【分析】（1）根据题意，得出∠CAB=45°，再根据角的关系，得出∠PAB=2
5°，再根据直角三角形两锐角互余，即可算出∠AMQ的度数；（2）连接AQ，首先推断出AP=AQ，再根据三线合一的性质，得出∠QAC
=∠PAC，再根据三角形的外角和定理，得出∠QMA =∠MQB+45°，再根据角的关系，得出∠QAM =∠QAC+45°，再根据
直角三角形两锐角互余，得出∠MQB =∠PAC，再根据等量代换，得出∠QMA =∠QAM，再根据等角对等边，得出QA=QM，再根据
等量代换，即可得出结论．（1）解：∵△ABC是等腰三角形，∠ACB=90°，∴∠CAB=45°．∵∠CAP=20°，∴∠PAB=2
5°．∵，∴∠AHM=90°．∴∠AMQ=90°－∠PAB=90°－25°=65°．故答案为：65（2）解：AP=QM，证明如下：
连接AQ，∵∠ACB =90°，∴AC⊥PQ．又∵CQ=CP，∴AP=AQ．∵AP=AQ，AC⊥PQ，∴∠QAC =∠PAC．∵∠
QMA =∠MQB+∠B，∴∠QMA =∠MQB+45°．∵∠QAM =∠QAC+∠CAB，∴∠QAM =∠QAC+45°．∵AC
⊥PQ，AP⊥MQ，∴∠MQB =∠PAC．∵∠QAC =∠PAC，∴∠QAC=∠MQB．∴∠QMA =∠QAM．∴QA=QM，∴
AP=QM．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质与判定、三角形的外角和定理、等量代换，解本题的关键在熟练掌握相关性
质定理．21．（1）见解析；（2）变化， 或或0°【分析】（1）根据等边三角形可得，，，可推得，可证；（2）变化，由，∠OCB=∠
ADB，由对顶角性质得∠AEC=∠BED，利用三角形内角和可求∠CAD=180°-∠ACB-∠AEC=180°-∠EDB-∠BED
=∠EBD=60°或∠CAD=∠OAB+∠BAD=60°+60°=120°，即可 ．【详解】证明：（1）是等边三角形，，，∵△CB
D是等边三角形，∴，，∴∠OBA+∠ABC=∠ABC+∠CBD，即可，在和中,， ；（2）变化，当点C在线段OA的延长线上设AD与
BC交于E点，，∴∠OCB=∠ADB，∵∠AEC=∠BED，∴∠CAD=180°-∠ACB-∠AEC=180°-∠EDB-∠BED
=∠EBD=60° ，? ．当点C在线段OA上时，∴∠BOC=∠BAD=60°，∵△OAB为等边三角形，∴∠OAB=60°，∴∠C
AD=∠OAB+∠BAD=60°+60°=120°，当点C与点A重合时，∠CAD=0°，∴∠CAD=60°或120°或0°，∴∠C
AD大小发生变化．【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，对顶角性质，三角形内角和，掌握等边三角形的性质，三角形全
等判定与性质，对顶角性质，三角形内角和是解题关键．22．14cm，14cm．【分析】题目给出等腰三角形有一条边长为，而没有明确腰、
底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解:当腰为时，底边长， +＜20，不能构成三角形 ；当底边为时，三角形的腰， ，14，14能构成三角形，其他两边长为，．答：另外两边的长度是，．【点睛】此题主要考查等腰三角形的边长，解题的关键是熟知三角形的三边关系及等腰三角形的性质．23．见解析【分析】根据等边三角形的性质求得AC=BC，∠DAC=∠BCE，再根据SAS证明△ACD≌△CBE．【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠CAB=∠ACB=60°，∴∠DAC=∠BCE=120°，在△ACD和△CBE中，∵AD=CE，∴△ACD≌△CBE（SAS）．【点睛】考查了全等三角形的判定定理、等边三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．24．∠EAC=71°【分析】根据三角形外角的性质得出∠ACE=71°，再根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，从而得出∠EAC=∠ECA=71°.【详解】∵AC的垂直平分线交AC于点D∴EA=EC∴∠EAC=∠ECA∵∠B=50°，∠BAC=21°∴∠ECA=∠B+∠BAC=71°∴∠EAC=71°【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形性质，三角形的外角性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．第1页/共1页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
|
