2017-2021北京海淀初二（下）期末数学汇编四边形的章节综合一、单选题1．（2021·北京海淀·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，矩
形的顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则点的横坐标是（ ）A．4B．C．5D．2．（2019·北京海淀·八年级期末）如图，正方形AB
CD的边长为，对角线AC，BD交于点O，E是AC延长线上一点，且CE=CO.则BE的长度为（ ）A．B．C．D．3．（2019·北
京海淀·八年级期末）在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）A．两组对边分别平行B．一组对边平行且另一组对边相等C．两组邻
边相等D．对角线互相垂直4．（2017·北京海淀·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是
（ ）A．B．C．D．5．（2021·北京海淀·八年级期末）如图，在中，，，则的度数是（ ）A．40°B．50°C．60°D．70
°6．（2017·北京海淀·八年级期末）在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，且BC=3，AC=4，则线段CD的长是（ ）A．2
B．3C．D．5二、填空题7．（2017·北京海淀·八年级期末）如图，分别是边长为4的正方形四条边上的点，且. 那么四边形的面积的
最小值是___．8．（2019·北京海淀·八年级期末）在□ABCD中，已知∠A=110°，则∠D=__________.9．（20
21·北京海淀·八年级期末）如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC．分别取AC，BC的中点D，E，测得D，E
两点间的距离为30，则A，B两点间的距离为________．三、解答题10．（2021·北京海淀·八年级期末）在平面直角坐标系中，
对于点与，给出如下的定义：将过点的直线记为，若直线与有且只有两个公共点，则称这两个公共点之间的距离为直线与的“穿越距离”，记作．例
如，已知过点的直线与，其中，，，，如图所示，则．请解决下面的问题：已知，其中，，，．（1）当时，已知，为过点的直线． ①当时，__
______________；当时，________________；②若，结合图象，求的值；（2）已知，为过点的直线，若有最大值
，且最大值为，直接写出的取值范围．11．（2019·北京海淀·八年级期末）如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作B
E⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF=CE，连接AF.(1)求证:四边形ABEF是矩形；(2)连接OF，若AB=6，DE=2，∠
ADF=45°，求OF的长度.12．（2017·北京海淀·八年级期末）对于正数，用符号表示的整数部分，例如：，，．点在第一象限内，
以A为对角线的交点画一个矩形，使它的边分别与两坐标轴垂直. 其中垂直于轴的边长为，垂直于轴的边长为，那么，把这个矩形覆盖的区域叫做
点A的矩形域．例如：点的矩形域是一个以为对角线交点，长为3，宽为2的矩形所覆盖的区域，如图1所示，它的面积是6．图1图2根据上面的
定义，回答下列问题：（1）在图2所示的坐标系中画出点 的矩形域，该矩形域的面积是 ；（2）点的矩形域重叠部分面积为1，求的值； （
3）已知点在直线上， 且点B的矩形域的面积满足，那么的取值范围是 ．（直接写出结果）13．（2017·北京海淀·八年级期末）如图，
四边形是正方形，是垂直平分线上的点，点关于的对称点是，直线与直线交于点.（1）若点是边的中点，连接，则＝ ；（2）小明从老师那里了
解到，只要点不在正方形的中心，则直线与所夹锐角不变．他尝试改变点的位置，计算相应角度，验证老师的说法．①如图，将点选在正方形内，且
△为等边三角形，求出直线与所夹锐角的度数；②请你继续研究这个问题，可以延续小明的想法，也可用其它方法.我选择 小明的想法；（填“用
”或“不用”）并简述求直线与所夹锐角度数的思路．14．（2021·北京海淀·八年级期末）如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且
，连接AE，CF．求证：AE//CF．15．（2021·北京海淀·八年级期末）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的
尺规作图过程．已知：如图1，直线l 及直线l 外一点A．求作：直线AD，使得AD// l．作法：如图2，①在直线l 上任取两点B，
C，连接AB；②分别以点A，C 为圆心，线段BC，AB 长为半径画弧，两弧在直线l 上方相交于点D；③作直线AD．直线AD 就是所
求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接CD．∵
AB ＝________，BC ＝________，∴ 四边形ABCD 为平行四边形（_________）（填推理的依据）．∴ A
D// l．16．（2021·北京海淀·八年级期末）如图，在中，，为边上的中线，点与点D关于直线对称，连接，．（1）求证：四边形是
菱形；（2）连接BE，若，，求的长．17．（2021·北京海淀·八年级期末）在正方形中,是线段上一动点（不与点,重合）,连接,,分
别过点,作,的垂线交于点．（1）依题意补全图形,并证明;（2）过点作∥,交于点,连接．若正方形的边长为1,写出一个的值,使四边形为
平行四边形,并证明．18．（2019·北京海淀·八年级期末）下面是小丁设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程.
已知:如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，0为AC的中点.求作:四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形.作法:①作射线BO
，在线段BO的延长线上取点D，使得DO=BO；②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形.根据小丁设计的尺规作图过程.(1)使用直尺
和圆规，在图中补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明.证明:∴点O为AC的中点，∴AO=CO.又∵DO=BO，∵四边形AB
CD为平行四边形(__________)(填推理的依据).∵∠ABC=90°，∴ABCD为矩形(_________)(填推理的依据
).19．（2017·北京海淀·八年级期末）在四边形中，一条边上的两个角称为邻角. 一条边上的邻角相等，且这条边的对边上的邻角也相
等，这样的四边形叫做IT形. 请你根据研究平行四边形及特殊四边形的方法，写出IT形的性质，把你的发现都写出来.20．（2017·北
京海淀·八年级期末）如图，在直角△中，点，，分别是边，， 的中点．（1）求证：四边形为矩形；（2）若，，求出矩形的周长．参考答案1
．C【分析】分别过点A、C作AE⊥x轴，CD⊥x轴于点E，D，证明得BE=OD，从而可得OB，即可解答此题．【详解】解：分别过点A
、C作AE⊥x轴，CD⊥x轴于点E，D，如图，∴ ∵点A的坐标是（4，-2），点C的坐标是（1，2）∴OD=1，OE=4∵四边形A
BCD是矩形，∴AB=CO，AB//CO∴ 在和中 ∴≌∴ ∴ ∴点的横坐标是5故选：C．【点睛】此题主要考查了坐标与图形，全等三
角形的判定与性质，矩形的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．2．C【分析】利用正方形的性质得到OB=OC=B
C=1，OB⊥OC，则OE=2，然后根据勾股定理计算BE的长．【详解】∵正方形ABCD的边长为，∴OB=OC=BC=×=1，OB⊥
OC，∵CE=OC，∴OE=2，在Rt△OBE中，BE=．故选C．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是
直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．3．A
【分析】根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．【详解】A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；B、一组对边平行
且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；C、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；D
、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，能熟记平行四边形的判定
定理的内容是解此题的关键，注意：平行四边形的判定定理有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四
边形，③两组对角分别平行的四边形是平行四边形，④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．4．
D【详解】作BE⊥OA于点E.则AE=2-(-3)=5，△AOD≌△BEA（AAS）,∴OD=AE=5， ,∴正方形的面积是: ,
故选D.5．D【分析】因为，，所以可得到，根据平行四边形的性质对角相等，从而得出的度数．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵四边形是平行
四边形，∴．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，清楚掌握其性质并能灵活运用是解题关键．6．C【分析】
根据勾股定理列式求出AB的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【详解】解：∵AC=4cm，BC=3，∴AB= =
,∵D为斜边AB的中点，∴CD=AB=×5= ．故选C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的
应用，熟记性质是解题的关键．7．【解析】设AE=x,则AN=4-x, . ,∴当 时，四边形的面积取得最小值8.8．70°【详解】
在□ABCD中，∠A+∠D=180°，因为∠A=110°，所以∠D=70°.故答案：70°.9．60【分析】先判断出DE是△ABC
的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AB＝2DE，问题得解．【详解】解：∵点D，E分别是BC和AC的
中点，∴DE是△ABC的中位线，DE＝30，∴AB＝2DE＝2×30＝60（m）．故答案是：60．【点睛】本题考查了三角形的中位线
平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理并准确识图是解题的关键．10．（1）①2；；②，；（2）【分析】（1）①由题意和图像即可
得出；②根据题意表示出一次函数的表达式，根据“穿越距离”，的长度列方程求解即可；（2）由一次函数的图像和的最大值求解即可．【详解】
（1）当时，，．由图可知,四边形ABCD为正方形，又∵点在直线上． 所以将代入得：，即．∴．①当时，∴：．∴．当时，将代入，得出∴
：．直线经过和，∴由题意可知：．②如图，．过作于，则．∵，∴．∴．∴．结合图象，由正方形的轴对称性可知，均符合题意．（2）设直线的
表达式为，将代入得：，，∴．如图所示，设直线与线段AB交于点，与线段CD交于点．∴将代入得：，解得：，将代入得：，解得：．∵的最大
值为，又因为平行线段和之间的距离为2，∴由勾股定理可得PQ之间的水平距离，代入得：，解得：．∴，，此时Q点与B点重合．∴由“穿越距
离”得定义和图像可得，若有最大值，且最大值为，C点需在P点的右边，即C点的横坐标需大于P点的横坐标，∴；D点需在P点的左边或和P点
重合，即D点的横坐标需小于等于P点的横坐标，∴，解得：；综上所述，的取值范围是.【点睛】此题考查了一次函数图像和平行四边形结合动点
问题，解题的关键是根据题意找到题目中的等量关系列出方程．11．(1)见解析；(2) OF =.【分析】（1）根据菱形的性质得到AD
∥BC且AD=BC，等量代换得到BC=EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据直角三角形斜
边中线可得：OF=AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论．【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，AB∥C
D.∵DF=CE，∴DF+DE=CE+ED，即:FE=CD.∵点F、E在直线CD上∴AB=FE，AB∥FE.∴四边形ABEF是平行
四边形 又∵BE⊥CD，垂足是E，∴∠BEF=90°.∴四边形ABEF是矩形. (2)解:∵四边形ABEF是矩形O，∴∠AFC=
90°，AB=FE.∵AB=6，DE=2，∴FD=4.∵FD=CE，∴CE=4.∴FC=10. 在Rt△AFD中，∠AFD=90
°.∵∠ADF=45°，∴AF=FD=4. 在Rt△AFC中，∠AFC=90°.∴. ∵点O是平行四边形ABCD对角线的交点，∴
O为AC中点在Rt△AFC中，∠AFC=90°.O为AC中点.∴OF=AC=.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质
，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．12．（1）8；（2）所以的值为或；（3）【分析】（1）点（2，）的矩形域的定义，求出矩形
边长分别为2，4，画出图形即可解决问题；（2）分两种情形，重叠部分在（1）中矩形的左边或右边，分别构建方程即可解决问题；（3）利用
特殊值法．推出平行于y轴的矩形的边长为3，由此即可解决问题；【详解】解：（1）点的矩形域如图所示， 该该矩形域的面积是8；故答案为
：8；（2）如图所示，因为点的矩形域重叠部分面积为1，且平行于轴的边长均为4，所以点的矩形域重叠部分也是一个矩形，且平行于轴的边长
为4，平行于轴的边长为. ①当时，，解得；②当时，，解得.所以的值为或.（3）当m=1时，S=3，当m=2时，S=8，∵4＜S＜5
，∴1＜m＜2，∴平行于y轴的矩形的边长为3，∴平行于x轴的矩形的边长m的范围为故答案为．【点睛】本题考查一次函数综合题、矩形的性
质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．13．（1）；（2）①；②
证明见解析.【解析】（1）. （2）∵是等边三角形，∴，．∵四边形是正方形，∴，，．∴，．∴．∵点是点关于的对称点，∴．∴．∴．∴
．∵，∴≌． ∴．∴．∴．（3）如果沿用小明的想法：方法一：如图，我将点选在边的中点．∵四边形是正方形，∴，，，．∵点是点关于的对
称点，∴.∴.∴在上.∴在直线上.∴.∴，.∵是的中点，∴，∴≌．∴.∴.∵，∴是等腰直角三角形.∴.∴.∴直线与所夹锐角为．方法
二：如图，我将点选在正方形外，使的位置，连接．∵四边形是正方形，∴，．∵在的垂直平分线上，∴．∴．∵，∴，．∴．∵点是点关于的对称
点，∴．∴，，三点共线.∴点与点重合．∴，．∴．∴≌．∴． 14．见解析【分析】由平行四边形的性质得∥，＝，再证，得四边形是平行四
边形，即可得出结论．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴∥，＝．∵，∴．即．又∵，∴四边形是平行四边形．∴．【点睛】本题考查了平
行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．15．（1）见解析；（2），，两组对边分别相等的四边形是平行四边
形【分析】（1）根据作法画出图形即可；（2）根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”进行证明即可．【详解】（1）如图所示，（2
）证明：连接CD．∵ AB ＝CD，BC ＝AD，∴ 四边形ABCD 为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理
的依据）．∴ AD// l．故答案为：，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种
基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本
性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定．16．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据对称得到CE＝CD，
AE＝AD，再根据直角三角形斜边上中线的性质得，从而得证；（2）过E作EN⊥BC交BC的延长线于点N，勾股定理求得，再根据勾股定理
求得即可．【详解】（1）证明：∵点E与点D关于直线AC对称，∴CE＝CD，AE＝AD．∵∠ACB＝90°，为边上的中线， ∴．∴C
E＝CD＝AD＝AE．∴四边形AECD是菱形．（2）过E作EN⊥BC交BC的延长线于点N．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC
＝30°，AC＝2，∴．∴．由勾股定理得．∵四边形AECD是菱形，∴EC＝CD＝2，EC//AD．∴∠ECN＝30°．∵∠ENC＝
90°，∴．由勾股定理得． ∴． ∵∠ENC＝90°，由勾股定理得．【点睛】本题考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，菱形的判定与
性质，勾股定理，掌握以上性质是解题的关键．17．（1）见解析;（2）当时,四边形FCQN为平行四边形,见解析【分析】（1）根据题意
作图即可,在BA上截取BM＝BF,连接MF,根据题目条件证明△AMF≌△FCQ即可．（2）设 ,则 , ,由题意和（1）的结论,结
合平行线和勾股定理得出,根据平行四边形的性质即可证明．【详解】（1）补全图形如图所示:证明:如图,在BA上截取BM＝BF,连接MF
．∵四边形ABCD为正方形,∴AB＝BC,∠B＝∠BCD＝90°,AC平分∠BCD．∴∠ACB＝45°．∵CQ⊥AC,∴∠ACQ＝
90°．∴∠FCQ＝∠ACB＋∠ACQ＝135°．∵BM＝BF,∠B＝90°,∴∠FMB＝∠MFB＝45°,．① ∴∠AMF＝18
0°－∠FMB＝135°．∴∠AMF＝∠FCQ．②∵FQ⊥AF,∴∠AFQ＝90°．∴∠QFC＋∠AFB＝90°．∵∠B ＝90°
,∴∠BAF＋∠AFB＝90°．∴∠BAF＝∠CFQ．③ 由①②③得△AMF≌△FCQ． ∴AF＝FQ．（2）证明: 当时,四边形
FCQN为平行四边形,如图,在BA上截取BM＝BF,连接MF．设 ,则 , ,∴ ,由（1）可得△BMF为等腰直角三角形,且△AM
F≌△FCQ．∴,∵,∴∠FCQ＋∠NQC＝180°．∵∠FCQ＝135°,∴∠NQC＝45°．∵∠NCQ＝90°,∴∠NQC＝4
5°＝∠CNQ．∴,∴,若四边形FCQN为平行四边形,则 ,所以 ,解得: ,∴当时,四边形FCQN为平行四边形．【点睛】此题考查
了正方形的性质,平行四边形的判定,全等三角形的证明以及勾股定理等,解题的关键是根据题意作出辅助线构造出全等三角形．18．(1)作图
如图所示，见解析(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形， 有一个角是直角的平行四边形是矩形.【分析】（1）根据要求画出图形即可．
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明．【详解】（1）如图，矩形ABCD即为所求．（2）理由：∵点O为AC的中点，∴A
O=CO又∵DO=BO，∴四边形ABCD为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）∵∠ABC=90°，∴?ABCD为矩形（
有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故答案为对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形.【点睛】本题考查
作图-复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．19．性质见解析.【解析】称IT形中一条边上相等的邻角为IT形的底角，这条边叫做IT形的底边，夹在两底边间的边叫做IT形的腰.则IT形的性质如下：IT形中同一底上的两个底角相等；IT形的对角互补；IT形的两底边平行；IT形的两条对角线相等；IT形的两腰相等；IT形是轴对称图形. 20．（1）见解析；（2）矩形ADEF的周长为．【分析】（1）连接DE．根据三角形的中位线的性质即可得到结论；（2）根据矩形的性质得到∠BAC＝∠FEC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接DE．∵E，F分别是边AC，BC的中点，∴EF∥AB，EF＝AB，∵点D是边AB的中点，∴AD＝AB．∴AD＝EF．∴四边形ADFE为平行四边形；由点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE＝BC．∵在直角△ABC中，点F是边BC的中点，∴BC＝2AF，∴DE＝AF，∴四边形ADFE为矩形；（2）解：∵四边形ADFE为矩形，∴∠BAC＝∠FEC＝90°，∵AF＝2，∴BC＝4，CF＝2，∵∠C＝30°，∴AC＝2，CE＝，EF＝1，∴AE＝，∴矩形ADFE的周长＝2+2．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，三角形的中位线的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键． 1 / 1 |
|
