2019北京北师大实验中学初二（下）期中数 学试卷说明： 1.本试卷考试时间为100分钟，总分数为120分. 2.本试卷共10页，八道
大题，30道小题. 3.请将答案都写在答题纸上. 4.一律不得使用涂改液及涂改带，本试卷主观试题铅笔答题无效. 5.注意保持卷面整
洁，书写工整。 试卷命题人：苏海燕 吴勇试卷审核人：陈平A卷一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列
各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ）A．2，4，4B．，2，2C．3，4，5D．5，12，142．（3分）下列
各式中属于最简二次根式的是（ ）A．B．C．D．3．（3分）在平行四边形ABCD中，∠A＝2∠B，则∠C的度数是（ ）A．60
°B．90°C．120°D．135°4．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOD＝120°，AC＝4，则
CD的长为（ ）A．2B．3C．2D．25．（3分）若函数y＝（m+1）x|m|﹣2是反比例函数，则m＝（ ）A．±1B．±3
C．﹣1D．16．（3分）下列说法错误的是（ ）A．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．三个
角是直角的四边形是矩形D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形7．（3分）如图，正方形ABOC的边长为3，点A在反比例函数y＝
（k≠0）的图象上，则??的值是（ ）A．3B．﹣3C．9D．﹣98．（3分）如图，在?ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC
的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF＝（ ）A．1B．C．2D．39．（3分）已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2
）、C（3，y3） 都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．
y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y310．（3分）如图，边长为1的正方形ABCD的对角线交于点O，点E是边AB上一动点，点F在边B
C上，且满足OE⊥OF，在点E由A运动到B的过程中，以下结论正确的个数为（ ）①线段OE的大小先变小后变大；②线段EF的大小先变
大后变小；③四边形OEBF的面积先变大后变小．A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分）11．（
2分）若式子有意义，则x的取值范围是 ．12．（2分）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且AC，BD互相平分，若添加
一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是 （填写一个即可）．13．（2分）若+（y﹣2）2＝0，则（x+y）2019
＝ ．14．（2分）请写出一个图象位于第一、三象限的反比例函数的关系式： ．（答案不唯一）15．（2分）已知菱形的一条对角
线长为6，面积是12，则这个菱形的另一条对角线长是 ．16．（2分）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，
若AB＝5，BC＝12，则四边形ABOM的周长为 ．17．（2分）如图，矩形纸片????????中，????＝8，????＝6
，折叠纸片使????边与对角线????重合，折痕为????，则线段??′??的长度为 ，折痕????的长度为 ．18．（2
分）如图，正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为1和3，点C在边BG上，线段DF、EG交于点M，连接DE、BM，则△DEG的面
积为 ，BM＝ ．三、解答题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）19．（5分）计算：+﹣5+20．（5分）计算：（+
）（﹣）+÷21．（5分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F是线段AC上的两点，并且AE＝CF．求证：DE
∥BF．22．（5分）心理学家研究发现，一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化，开始上课时，学生
的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，经过实验分析可知，学生的注意力??随
时间??（分）的变化规律如图所示，其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分．（1）写出线段AB和双曲线CD的函数关系式（不要
求指出自变量取值范围）：线段AB：??1＝ ；双曲线CD：??2＝ ；（2）开始上课后第5分钟时的注意力水平为??1，第3
0分钟时的注意力水平为??2，则??1、??2的大小关系是 ；（3）在一节课中，学生大约最长可以连续保持 分钟（精确到1分
钟），使得注意力维持在32以上．四、解答题（本大题共3道小题，每小题6分，共18分）23．（6分）如图，每个小正方形的边长为1．（
1）直接写出四边形ABCD的面积和周长；（2）求证：∠BCD＝90°．24．（6分）如图，一次函数??＝????+??（??≠0）
与反比例函数??＝（??≠0）的图象交于??（2，2）、??（﹣1，??）两点．（1）求反比例函数??＝和一次函数??＝????+
??的表达式；（2）根据图象，直接写出关于??的不等式????+??＜的解集．25．（6分）如图，在?ABCD中，BC＝2AB，点
E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF，OC．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，∠ABC＝6
0°，求OC的长．五、解答题（本大题共2道小题，每小题8分，共16分）26．（8分）【问题情境】已知矩形的面积为一定值1，当该矩形
的一组邻边分别为多少时，它的周长最小？最小值是多少？【数学模型】设该矩形的一边长为??，周长为??，则??与??的函数表达式为
．【探索研究】小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数??＝??+的图象性质．（1）结合问题情境，函数??＝??+的自变量??的取
值范围是 ，如表是??与??的几组对应值．x…123m…y…4322234…①直接写出m的值；②画出该函数图象，结合图象，得出
当??＝ 时，??有最小值，??的最小值为 ；【解决问题】（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．27．（8分）定义：至少
有一组对边相等的四边形为“等对边四边形”．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是“等对边四边形”的名称；（2）如图1，四边形ABC
D是“等对边四边形”，其中AB＝CD，边BA与CD的延长线交于点M，点E、F是对角线AC、BD的中点，若∠M＝60°，求证：EF＝
AB；（3）如图2，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，且满足∠DBC＝∠ECB＝∠A，线段CE、BD交于点，①求证：∠B
DC＝∠AEC；②请在图中找到一个“等对边四边形”，并给出证明．六、画图题（本大题共6分）28．（6分）如图的三张形状相同、大小完
全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长为1，请依次在3个图中画出满足要求的三角形，要求所画的三角形的各顶点必须与方格纸中小正方
形的顶点重合．（1）画一个底边长为4，面积为10的等腰三角形；（2）画一个面积为10的等腰直角三角形；（3）画一个一边长为2且面积
为10的等腰三角形．七、解答题（本大题共8分）29．（8分）四边形ABCD是边长为4正方形，点E是边BC上一动点（含端点B，不含端
点C），点F是正方形外角∠DCM的平分线上一点，且满足∠AEF＝90°．（1）当点E与点B重合时，直接写出线段AE与线段EF的数量
关系；（2）如图1，当点E是边BC的中点时，①补全图形；②请证明（1）中的结论仍然成立；（3）取线段CF的中点N，连接DE、NE、
DN，①求证：EN＝DN；②直接写出线段EN长度的取值范围．八、解答题（本大题共6分）30．（6分）在平面直角坐标系??O??中，
若?????????的对角线交点在原点??上，并且其中一条对角线在坐标轴上，那么我们称?????????为“中心平行四边形”，其中
要求?????????的四个顶点??、??、??、??按顺时针方向排列．（1）如图1，点??（2，3），①若点??（3，0），在图
中画出?????????，并直接写出?????????的面积；②若“中心平行四边形”?????????是矩形，求?????????
的面积；（2）如图2，点??（1，5），??（4，2），点??在线段????上，若“中心平行四边形”?????????中有一组对边
垂直于坐标轴，直接写出?????????面积的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1．【分析】
根据勾股定理的逆定理，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．【解答】解：A、∵22+42＝20≠42，∴不能构成直角三角
形，故本选项不符合题意；B、∵（）2+22＝6≠22，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵32+42＝25＝52，∴能
够构成直角三角形，故本选项符合题意；D、∵52+122＝169≠142，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：C．【点评
】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．2．【分析】结合
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．求解即可．【解答】解：A、是最简二次根式，
本选项正确；B、＝2，不是最简二次根式，本选项错误；C、＝，不是最简二次根式，本选项错误；D、＝，不是最简二次根式，本选项错误．故
选：A．【点评】本题考查了最简二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含
能开得尽方的因数或因式．3．【分析】根据平行四边形的性质得出BC∥AD，根据平行线的性质推出∠A+∠B＝180°，代入求出即可．【
解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠A+∠B＝180°，把∠A＝2∠B代入得：3∠B＝180°，∴∠B＝60
°，∴∠C＝120°故选：C．【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能推出∠A+∠B＝180°
是解此题的关键．4．【分析】根据邻补角的定义求出∠COD＝60°，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得AO＝BO＝CO＝DO＝2，
然后判断出△COD是等边三角形，根据等边三角形三条边都相等可得CD＝DO＝2．【解答】解：∵∠AOD＝120°，∴∠COD＝180
°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝CO＝DO＝2，∴△COD是等边三角形，∴CD＝D
O＝2，故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并判断出△COD是等边三角形是解题的关键．5．【
分析】根据反比例函数的定义列方程即可得到结论．【解答】解：∵函数y＝（m+1）x|m|﹣2是反比例函数，∴|m|﹣2＝﹣1，m+1
≠0，∴m＝1，故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的定义，正确的列出方程是解题的关键．6．【分析】根据菱形、矩形和正方形的判定
方法和直角三角形斜边上的中线性质进行判断即可．【解答】解：A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，故不符合题意；B、对角线
互相垂直平分的四边形是菱形，故符合题意；C、三个角是直角的四边形是矩形，正确，故不符合题意；D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是
正方形．正确，故不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了正方形的判定，矩形和菱形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质定理是
解题的关键．7．【分析】由正方形的边长为3，可以确定点A的坐标为（﹣3，3），代入反比例函数的关系式求出k的值．【解答】解：如图，
正方形ABOC的边长为3，∴A（﹣3，3）代入反比例函数y＝得，k＝﹣9，故选：D．【点评】考查反比例函数图象上点的坐标特征，正方
形的性质等知识，求出点A的坐标是解决问题的关键．8．【分析】根据平行四边形的对边相等且平行和利用平行四边形的性质以及平行线的基本性
质求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∴∠ABE＝∠CFE，∵∠AB
C的平分线交AD于点E，∴∠ABE＝∠CBF，∴∠CBF＝∠CFB，∴CF＝CB＝5，∴DF＝CF﹣CD＝5﹣3＝2，故选：C．【
点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．9．【
分析】分别把各点坐标代入反比例函数y＝，求出y1，y2，y3的值，再比较大小即可．【解答】解：∵点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2
）、C（3，y3） 都在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝﹣2，y2＝﹣4，y3＝，∵﹣4＜﹣2＜，∴y2＜y1＜y3．故选：D．【
点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．10．【分析
】①根据E点运动路线可知E点在起始A点和和终点B点时都最大，在此过程中当OE⊥AB时，OE最小，所以线段OE的大小先变小后变大；②
易知△AOE≌△BOF可得OE＝OF，根据勾股定理可知EF2＝OE2+OF2，所以EF的变化和OE变化一致：先变小后变大；③证明四
边形OEBF面积＝△AOB面积，则其面积始终不变．【解答】解：①在点E由A运动到B的过程中，根据垂线段最短可知当OE⊥AB时，OE
最小，所以线段OE的大小先变小后变大，①正确；②∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝90°，即∠AOE+∠BOE＝90°，又∠B
OF+∠BOE＝90°，∴∠AOE＝∠BOF．又∠OAE＝∠OBF＝45°，OA＝OB，∴△OAE≌△OBF（ASA）．∴OE＝O
F．即OF的变化与OE变化一致，∵在Rt△OEF中，利用勾股定理可知EF2＝OE2+OF2，∴EF的变化是先变小后变大．②错误；③
∵△OAE≌△OBF，∴△OAE面积＝△OBF面积．∴四边形OEBF面积＝△OEB面积+△OBF面积＝△OEB面积+△OAE面积＝
△AOB面积，∴四边形OEBF面积不会改变，始终等于△AOB面积．③错误．故选：B．【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形
的判定和性质，本题同时也属于动点问题，解决此题的关键是分析出E点运动轨迹，同时推导出△OAE≌△OBF，不仅可得OF＝OE，判断出
EF变化趋势，而且还推导出四边形OEBF面积不会改变，始终等于△AOB面积．二、填空题（本大题共8道小题，每小题2分，共16分）1
1．【分析】根据二次根式的性质和，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+2≥0，解得：x≥﹣2．故答
案是：x≥﹣2．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12．【分析】因为在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相
平分，所以四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的判定条件，可得在不添加任何辅助线的前提下，要使四边形ABCD成为矩形，还需添加一个
条件，这个条件可以是一个角是直角或者对角线相等，从而得出答案．【解答】解：∵对角线AC与BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形
，要使四边形ABCD成为矩形，需添加一个条件是：AC＝BD或有个内角等于90度．故答案为：AC＝BD或有个内角等于90度．【点评】
此题主要考查了矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相
等的四边形是矩形．13．【分析】由二次根式和偶次乘方的非负性得出x、y的值，代入计算可得．【解答】解：∵+（y﹣2）2＝0，∴x＝
﹣1，y＝2，则（x+y）2019＝（﹣1+2）2019＝12019＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查非负数的性质，解题的关
键是掌握非负数之和等于0时，各项都等于0的性质．14．【分析】利用反比例函数的性质解答．【解答】解：根据反比例函数的性质，图象位于
第一、三象限，只要k＞0即可，如：y＝（答案不唯一）．【点评】本题主要考查反比例函数的性质：当k＞0时，图象位于第一、三象限；当k
＜0时，图象位于第二、四象限．15．【分析】设另一条对角线长为x，然后根据菱形的面积计算公式列方程求解即可．【解答】解：设另一条对
角线长为x，则×6x＝12，解得：x＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质、菱形面积的计算方法，熟记菱
形的面积公式是解题的关键．16．【分析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股定理可求出AC的长，利用直角
三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M
是AD的中点，∴OM＝CD＝AB＝2.5，∵AB＝5，AD＝12，∴AC＝＝13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO＝A
C＝6.5，∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，故答案为：20．【点评】本题考查了矩形的
性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大．17．【分析】在矩形中估计
勾股定理可求出BD的长，由折叠得DA＝DA′＝6，进而求出A′B，在Rt△A′BG中，由勾股定理建立方程可求出A′G，即AG，在R
t△ADG中，由勾股定理可求出DG．【解答】解：∵矩形纸片????????中，????＝8，????＝6，∴BD＝＝10，由折叠得
，DA＝DA′＝6，GA＝GA′，∴A′B＝DB﹣DA′＝10﹣6＝4，设GA＝x＝GA′，则GB＝8﹣x，在Rt△A′BG中，由
勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，即AG＝3，在Rt△ADG中，由勾股定理得：DG＝＝3，故答案为：4，3．【点
评】考查矩形的性质、勾股定理、折叠轴对称的性质，设未知数建立方程是解决此类问题的常用方法．18．【分析】依据五边形AEFGD的面积
减去△ADE和△EFG的面积，即可得到△DEG的面积；连接BD，BF，即可得到△BDF是直角三角形，再根据勾股定理进行计算，即可得
到DF的长，依据直角三角形斜边上中线的性质即可得出BM的长．【解答】解：根据题意得，△DEG的面积为：12+32+×1×（3﹣1）
﹣×1×（1+3）﹣×32＝1+9+1﹣2﹣＝，如图，连接BD，BF，则∠DBF＝90°，∴△BDF是直角三角形，∵BM与FM关于
GE对称，∴BM＝FM，∴∠MBF＝∠MFB，又∵∠MBF+∠MBD＝∠MFB+∠MDB，∴∠MDB＝∠MBD，∴DM＝BM，∴M
是DF的中点，∴Rt△BDF中，BM＝DF，∵正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为1和3，∴BD＝，BF＝3，∴DF＝＝＝2
，∴BM＝，故答案为：，．【点评】此题考查了正方形的性质以及勾股定理的运用，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解本题的关键．三、
解答题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分）19．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝2+2﹣5+＝
2+3﹣5【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．20．【分析】利用平方差公式和二次根
式的除法法则运算．【解答】解：原式＝5﹣3+＝2+2＝4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后
合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．21．
【分析】由平行四边形的性质可求得AO＝CO，再结合条件可求得OE＝OF，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形可证得结论．【解答】
证明：如图，连接BE，DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD．又∵AE＝CF，∴OE＝OF．∴四边形BFDE
是平行四边形，∴DE∥BF．【点评】本题主要考查平行四边形的判定和性质，利用平行四边形的性质求得OE＝OF是解题的关键．22．【分
析】（1）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，进而得出答案；（2）利用（1）中所求，得出第五分钟和第三十分钟的注意力指数
，最后比较判断；（3）分别求出注意力指数为32时的两个时间，求差即可得到结论．【解答】解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1
＝k1x+20，把B（10，40）代入得，k1＝2，∴AB解析式为：y1＝2x+20（0≤x≤10）．设C、D所在双曲线的解析式为
y2＝，把C（25，40）代入得，k2＝1000，∴曲线CD的解析式为：y2＝（x≥25）；（2）当x1＝5时，y1＝2×5+20
＝30，当x2＝30时，y2＝，∴??1、??2的大小关系是y1＜y2；（3）令y1＝32，∴32＝2x+20，∴x1＝6，令y2
＝32，∴32＝，∴x2≈31，∵31﹣6＝25，∴学生大约最长可以连续保持25分钟（精确到1分钟），使得注意力维持在32以上．故
答案为：2x+20；；y1＜y2；25．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义
中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．四、解答题（本大题共3道小题，每小题6分，共
18分）23．【分析】（1）用长方形的面积减去4个小三角形的面积，列出算式计算即可求得四边形ABCD的面积；利用勾股定理分别求出A
B、BC、CD、AD即可求得四边形ABCD的周长；（2）求出BC、CD、BD，利用勾股定理的逆定理即可证明；【解答】（1）解：四边
形ABCD的面积＝5×5﹣3×1÷2﹣4×2÷2﹣5×1÷2﹣5×1÷2＝9.5；由勾股定理得AB＝＝、BC＝＝2、CD＝＝、AD
＝＝，故四边形ABCD的周长是+2++＝+3+；（2）证明：连接BD．∵BD＝＝5，∴BC2+CD2＝20+5＝25，BD2＝25
，BC2+CD2＝BD2，∴△BCD是直角三角形，即∠BCD＝90°．【点评】本题考查勾股定理．勾股定理的逆定理等知识，解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．【分析】（1）首先，根据待定系数法求得反比例函数的解析式，进而求得B的坐标，然
后再根据待定系数法求得一次函数的解析式；（2）结合函数图象特征即可得出结论．【解答】解：（1）反比例函数??＝（??≠0）的图象经
过??（2，2），∴2＝，解得m＝4，∴反比例函数??＝，∵??（﹣1，??）在反比例函数y＝的图象上，∴n＝＝﹣4，∴B（﹣1，
﹣4），∵一次函数??＝????+??（??≠0）与反比例函数??＝（??≠0）的图象交于??（2，2）、??（﹣1，﹣4）两点．
∴，解得，∴一次函数为y＝2x﹣2；（2）结合一次函数图象与反比例函数图象可知：当x＜﹣1或0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数
图象上方．故不等式????+??＜的解集为：x＜﹣1或0＜x＜2．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一
次函数和反比例函数的解析式，结合两函数的交点横坐标解决问题是关键．25．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2
）过点O作OG⊥BC于点G．分别在Rt△OEG，Rt△OCG中，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解答即可．【解答】（1）证
明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD．∵E，F分别是BC，AD的中点，∴BE＝BC，AF＝AD，∴BE＝AF
．∴四边形ABEF是平行四边形．∵BC＝2AB，∴AB＝BE．∴平行四边形ABEF是菱形．（2）解：过点O作OG⊥BC于点G，如图
所示：∵E是BC的中点，BC＝2AB，∴BE＝CE＝AB，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，∴BE＝CE＝AB＝4，∠OB
E＝30°，∠BOE＝90°．∴OE＝2，∠OEB＝60°．∴GE＝1，OG＝GE＝．∴GC＝GE+CE＝5．∴OC＝＝＝2．【点
评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造
直角三角形解决问题，属于中考常考题型．五、解答题（本大题共2道小题，每小题8分，共16分）26．【分析】【数学模型】根据矩形的周长
公式即可得到结论；【探索研究】（1）①根据求代数式的值的方法将x的值函数的解析式求出其值就可以了．②根据①表中的数据画出函数的图象
，再结合表中的数据就可以写出图象的相应的性质；（2）根据（1）中的结论就可以求出周长的最小值．【解答】解：【数学模型】L与??的函
数表达式为L＝2（x+）【探索研究】（1）自变量x的取值范围是x＞0；①当y＝4时，x＝4，∴m的值为4；②当0＜x＜1时，y随x
增大而减小；当x＞1时，y随x增大而增大；当x＝1时函数y＝x+（x＞0）的最小值为2；故答案为：L＝2（x+）；x＞0；1，2；
（2）当邻边分别为1和1时，它的周长最小，最小值是4．【点评】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数的图象，考查了描点法画函数的图
象的方法，正确的理解题意是解题的关键．27．【分析】（1）理解等对边四边形的图形的定义，有平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等，可得
出答案．（2）取BC的中点N，连结EN，FN，由中位线定理可得EN＝CD，FN＝AB，可证明△EFN为等边三角形，则结论得证；（3
）①证明∠EOB＝∠A，利用四边形内角和可证明∠BDC＝∠AEC；②作CG⊥BD于G点，作BF⊥CE交CE延长线于F点．根据AAS
可证明△BCF≌△CBG，则BF＝CG，证明△BEF≌△CDG，可得BE＝CD，则四边形EBCD是“等对边四边形”．【解答】解：（
1）如：平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形等．（2）证明：如图1，取BC的中点N，连结EN，FN，∴EN＝CD，FN＝AB，∴EN＝
FN，∵∠M＝60°，∴∠MBC+∠MCB＝120°，∵FN∥AB，EN∥MC，∴∠FNC＝∠MBC，∠ENB＝∠MCB，∴∠EN
F＝180°﹣120°＝60°，∴△EFN为等边三角形，∴EF＝FN＝AB．（3）①证明：∵∠BOE＝∠BCE+∠DBC，∠DBC
＝∠ECB＝∠A，∴∠BOE＝2∠DBC＝∠A，∵∠A+∠AEC+∠ADB+∠EOD＝360°，∠BOE+∠EOD＝180°，∴∠
AEC+∠ADB＝180°，∵∠ADB+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝∠AEC；②解：此时存在等对边四边形，是四边形EBCD．如
图2，作CG⊥BD于G点，作BF⊥CE交CE延长线于F点．∵∠DBC＝∠ECB＝∠A，BC＝CB，∠BFC＝∠BGC＝90°，∴△
BCF≌△CBG（AAS），∴BF＝CG，∵∠BEF＝∠ABD+∠DBC+∠ECB，∠BDC＝∠ABD+∠A，∴∠BEF＝∠BDC
，∴△BEF≌△CDG（AAS），∴BE＝CD，∴四边形EBCD是等对边四边形．【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定
与性质，中位线定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，四边形内角和等知识，解决本题的关键是理解等对边四边形的定义．六
、画图题（本大题共6分）28．【分析】（1）利用三角形面积求法以及直角三角形的性质画即可；（2）利用三角形面积求法以及等腰直角三角
形的性质画出即可；（3）利用三角形面积求法以及等腰三角形的性质画出即可．【解答】解：（1）如图1所示，△ABC即为所求；（2）如图
2所示，△ABC即为所求；（3）如图3所示，△ABC即为所求．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及作图
；熟练掌握等腰三角形的性质是关键．七、解答题（本大题共8分）29．【分析】（1）由图形可得；（2）①由题意画出图形；②在AB上取A
B中点H，连接HE，由“ASA”可证△AHE≌△ECF，可得AE＝EF；（3）①如图2，延长DN，使HN＝DN，连接FH，EH，由
“SAS”可证△DCN≌△HFN，可得DC＝FH，∠DCF＝∠FCM＝45°，由“SAS”可证△ADE≌△FHE，可得DE＝EH，
由等腰三角形的性质可得EN＝DN；②由等腰直角三角形的性质可得DE＝EN，即可求解．【解答】解：（1）当点??与点??重合时，且∠
??????＝90°．∴点F与点C重合，∴AE＝EF，（2）①如图1，②如图1，在AB上取AB中点H，连接HE，∵四边形ABCD是
正方形∴AB＝CB，且点H是AB中点，点E是BC中点，∴AH＝BH＝BE＝CE，∴∠BEH＝∠BHE＝45°，∴∠AHE＝135°
，∵CF平分∠DCM，∴∠DCF＝45°∴∠ECF＝135°＝∠AHE，∵∠AEF＝90°∴∠AEB+∠FEC＝90°，且∠AEB
+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，且AH＝EC，∠AHE＝∠ECF，∴△AHE≌△ECF（ASA）∴AE＝EF，（3）①如
图2，延长DN，使HN＝DN，连接FH，EH，∵CN＝FN，∠DNC＝∠HNF，DN＝NH，∴△DCN≌△HFN（SAS）∴DC＝
FH，∠DCF＝∠FCM＝45°，∴FH∥DC，且CD⊥BC，∴FH⊥BM，∴∠FEM+∠EFH＝90°，且∠FEM＝∠BAE，∠
BAE+∠DAE＝90°，∴∠DAE＝∠EFH，∵AD＝CD，CD＝FH，∴AD＝FH，且AE＝EF，∠DAE＝∠EFH，∴△ADE≌△FHE（SAS）∴DE＝EH，且DN＝NH，∴EN＝DN，②∵DE＝EH，DN＝NH，∴EN＝DN，EN⊥DN∴DE＝EN，∵点E是边BC上一动点（含端点B，不含端点C），∴4＜DE≤4∴2＜EN≤4【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．八、解答题（本大题共6分）30．【分析】（1）①作点 C（﹣2，﹣3），点D（﹣3，0），依次连接AB，BC，CD，AD，即可得平行四边形ABCD，由平行四边形的面积公式可求解；②由矩形的性质可得OA＝OB＝，分对角线在x轴上和y轴上两种情况讨论，由矩形的性质可求解；（2）由待定系数法求直线MN解析式为y＝﹣x+6，设点A（a，﹣a+6），即可求?????????面积，由二次函数的性质可求解．【解答】解：（1）①作点 C（﹣2，﹣3），点D（﹣3，0），依次连接AB，BC，CD，AD，即可得平行四边形ABCD，∴S?ABCD＝6×3＝18，（2）∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵点??（2，3），∴OA＝＝当对角线在x轴上，OB＝OA＝∴S?ABCD＝2×3＝6，当对角线在y轴上，OB＝OA＝，∴S?ABCD＝2×2＝4（3）设直线MN的解析式为y＝kx+b，且过点??（1，5），??（4，2），∴解得：∴直线MN的解析式为y＝﹣x+6，∵点??在线段????上，∴设点A（a，﹣a+6），（1≤a≤4）∵有一组对边垂直于坐标轴，∴S?ABCD＝4××a×（﹣a+6）＝﹣2（a﹣3）2+18∴当a＝3时，S?ABCD有最大值为18，当a＝1时，S?ABCD有最小值为10，∴10≤?????????面积≤18．【点评】本题四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，待定系数法求直线解析式，二次函数的性质，用参数表示?????????面积是本题的关键． 1 / 6 |
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