2017-2021北京重点校初二（下）期中数学汇编勾股定理的逆定理一、单选题1．（2019·北京八十中八年级期中）下列各组数据中能作为直角三
角形的三边长的是（ ）A．1，2，2B．1，1，C．4，5，6D．1，，22．（2018·北京四中八年级期中）以下列各组数为三边
的三角形中不是直角三角形的是（ ）A．9、12、15B．41、40、9C．25、7、24D．6、5、43．（2017·北京·
人大附中八年级期中）分别以每一组的三个数为一个三角形的边长：（），，；（），，；（），，；（），，，期中能构成直角三角形的有（
）．A．组B．组C．组D．组4．（2018·北京师大附中八年级期中）下列各组数中，是直角三角形的三条边长的是( )A．1，3
，B．3，4，5C．2，3，D．4，6，75．（2019·北京·北师大实验中学八年级期中）下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直
角三角形的是( )A．2，4，4B．，2，2C．3，4，5D．5，12，146．（2020·北京四中八年级期中）以下列各组数为边
长，能构成直角三角形的是（ ）A．1，，2B．1，1，2C．2，3，4D．4，5，67．（2021·北京师大附中八年级期中）下列
各组数据中的三个数，可以作为直角三角形三边长的是（ ）A．1，2，3B．2，4，7C．6，8，10D．8．（2019·北京师
大附中八年级期中）下列三角形中不是直角三角形的是（ ）A．三个内角之比为5：6：1B．三边长为5，12，13C．三边长之比为
1.5：2：3D．其中一边上的中线等于这一边的一半9．（2019·北京四中八年级期中）以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是
（ ）A．6，7，8B．2，3，4C．3，4，6D．6，8，10二、解答题10．（2021·北京·北大附中八年级期中）对于平
面内的图形G1和图形G2，A为图形G1上一点，B为图形G2上一点，如果线段AB的长度有最小值，称图形G1和图形G2存在“最短距离”
，此时线段AB的长度记为m（G1，G2）；如果线段AB的长度有最大值，称图形G1和图形G2存在“最长距离”，此时线段AB的长度记为
M（G1，G2）．例如：线段EF两端点坐标为E（1，3），F（3，1），线段KH两端点坐标为K（3，3），H（3，5），根据“最短
距离”和“最长距离”的公式可得m（G1，G2）＝，M（G1，G2）＝4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，1）
，C（4，2），D（2，2）．（1）线段AD和线段BC是否存在“最短距离”和“最长距离”？如果存在，请直接写出m（AD，BC）和M
（AD，BC）；如果不存在，请说明理由．（2）已知点P（0，t），若过点P且平行于AD的直线l与四边形ABCD没有公共点，且m（l
，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中的最小值不超过最大值的，求t的取值范围．（3）已知四边形QRST，其中Q（4，5
），R（5，4），S（6，5），T（5，6）．现将四边形ABCD绕点O旋转，旋转后的图形记为A′B''C′D′，记m表示m（A''B
′C′D′，QRST）的最小值，M表示M（A′B''C′D′，QRST）的最大值，直接写出M+m的值．11．（2019·北京师
大附中八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC、AB于点D、E.(1)
求证：△ABC为直角三角形．(2)求AE的长．12．（2019·北京·北师大实验中学八年级期中）如图，每个小正方形的边长为1．（1
）直接写出四边形ABCD的面积和周长；（2）求证：∠BCD=90°．参考答案1．D【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析
即可．【详解】解：A、∵12+22＝5≠22，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；B、∵12+12＝2≠（）2，∴
此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误；C、∵42+52＝41≠62，∴此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项错误
；D、∵12+（）2＝4＝22，∴此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项正确．故选D．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟
知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．2．D【详解】选项A，92+12
2=225=152；选项B，402+92=1681=412；选项C，72+242=625=252；选项D，52+42≠62，根据勾
股定理的逆定理可知，只有选项D不能够成直角三角形．故选D．3．B【解析】（1）∵，∴长为3、4、5的线段能够构成直角三角形；（2）
∵，∴长为5、12、13的线段能构成直角三角形；（3）∵，∴长为8、15、17的线段能构成直角三角形；（4）∵，∴长为3、4、5的
线段不能构成直角三角形.综上所述，上述四组线段中，能构成直角三角形的有3组.故选B.点睛：根据勾股定理的逆定理可知：三条线段中，若
是最长线段，且，则这三条线段能围成直角三角形.4．B【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．【详解】12+≠32，故
A选项不能组成直角三角形，32+42=52，故B选项能组成直角三角形，22+ ≠32，故C选项不能组成直角三角形，42+62≠72
，故D选项不能组成直角三角形，故选B.【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，
那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．5．C【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】A．∵22+42=20≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵()2+22=6≠22，∴不能构成直角三角形
，故本选项不符合题意；C．∵32+42=25=52，∴能够构成直角三角形，故本选项符合题意；D．∵52+122=169≠142，∴
不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b
2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．6．A【分析】根据勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系逐个判断即可．【详解】解：A、∵1
2+（）2＝22，∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；B、1+1＝2，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也
不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵22+32≠42，∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D、∵4
2+52≠62，∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理及三角形三
边关系，掌握勾股定理的逆定理及三角形三边关系是解题的关键．7．C【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的
平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．【详解】解：A、12+22=5≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、22+42=
20≠72，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、62+82=100=102，能构成直角三角形，故符合题意； D、，不能构成直角
三角形，故不符合题意． 故选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确
定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．8．C【分析】根据直角三角形的定义，只有三角形的一个内
角为，则这个三角形是直角三角形。【详解】A 内角之比计算可得三个内角分别为： ，，，因此为直角三角形；B 根据勾股定理可得 ，故三
角形为直角三角形；C 不是直角三角形，根据勾股定理不符合；D根据直角三角形斜边的中线定理可以判断是直角三角形，故选C。【点睛】本题
主要考查直角三角形的定义，关键在于计算一个角为，综合性比较强，应当熟练掌握。9．D【分析】根据勾股定理逆定理即两短边的平方和等于最
长边的平方逐一判断即可．【详解】解：．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，不能构成直角三角形，故本选项错误；．，不能构成直角三
角形，故本选项错误；．，能构成直角三角形，故本选项正确．故选：．【点睛】本题考查的是勾股定理逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足
，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．10．（1）存在，m（AD，BC）＝，M（AD，BC）＝；（2）0＜t≤2或﹣4≤
t＜﹣2；（3）M+m＝+．．【分析】（1）连结AB并延长AB到G，过D，C作DE⊥AG，CF⊥AG，分别交于E、F，先证AB
∥x轴，再证△ADE为等腰直角三角形，可得∠DAE=45°，再证△CBF为等腰直角三角形，可得∠CBG=45°，可得AD∥BC，利
用勾股定理逆定理可证BD⊥AD，可求m（AD，BC）＝，M（AD，BC）＝；（2）由过P的直线l平行于AD，且与?ABCD无交点，
可证l∥BC，当l在AD左侧时：m（l，BC）＝m（l，AD）+m（AD，BC），由m（l，ABCD）＝m（l，AD），可得m（A
D，BC）＝，由m（l，BC）＝2m（l，AD），可得m（l，AD）＝，求出AD解析式为，可求过P与AD平行的直线为+,可证△OA
P为等腰直角三角形，利用勾股定理OP=t=，可得0＜t≤2， 当l在BC右侧时，用相同方法求BC解析式为，证明△OKN为等腰直角三
角形再证△KLP为等腰直角三角形，利用勾股定理PK，可求t＝﹣4，可得﹣4≤t＜﹣2；（3）先求M（O，ABCD）＝，M（O，QR
ST），取QR的中点W（），再求m（O，QRST）＝|OW|=，可求M＝+，m＝﹣即可．【详解】解：（1）连结AB并延长AB到
G，过D，C作DE⊥AG，CF⊥AG，分别交于E、F，∵A（1，1），B（3，1），两点纵坐标相同，∴AB∥x轴，∵点A（1，1）
，B（3，1），C（4，2），D（2，2）．∴E（2，1），F（4，1），∴AE=2-1=1，DE=2-1=1，AE=DE，DE⊥
AE，∴△ADE为等腰直角三角形，∴∠DAE=45°，∵BF=4-3=1，CF=2-1=1，CF=BF，CF⊥BF，∴△CBF为等
腰直角三角形，∴∠CBG=45°，∴∠DAE=∠CBG=45°，∴AD∥BC，又∵EB=3-2=1=AE=DE，∴AD2+BD2=
，∴BD⊥AD∴AD、BC间最短距离为BD，即m（AD，BC）＝，∴AD、BC间最长为AC，即M（AD，BC）＝；（2）∵过P的直
线l平行于AD，且与?ABCD无交点，∴l∥BC，∴当l在AD左侧时：m（l，BC）＝m（l，AD）+m（AD，BC），m（l，A
BCD）＝m（l，AD），由（1）知，m（AD，BC）＝，若m（l，BC）＝2m（l，AD），则m（l，AD）＝，设AD解析式为解
得AD解析式为过P与AD平行的直线为+,∵OA== m（l，AD），过A作PA⊥AD，交y轴于P，∴△OAP为等腰直角三角形，∴O
P=t=，∵直线l在O、P之间运动∴0＜t≤2，∴当0＜t≤2时，m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中的最小值
不超过最大值的，当l在BC右侧时，m（l，AD）＝m（l，BC）+m（AD，BC），m（l，ABCD）＝m（l，BC），由（1）知
，m（AD，BC）＝，若m（l，AD）＝2m（l，BC），则m（l，BC）＝，设BC的解析式为为解得BC解析式为直线BC与y轴交点
为K（0，-2），与x轴交点N（2，0）∴OK=ON=2，∴△OKN为等腰直角三角形∴∠OKN=45°，过K作KL⊥l于L，则KL
=，∵∠PKL=180°-∠OKN-∠NKL=45°∴△KLP为等腰直角三角形，∴PL=KL=，在Rt△KLP中PK=，∴-2-t
=2∴t＝﹣4，∵直线l在BC下方到t=-4之间运动，∴﹣4≤t＜﹣2，当﹣4≤t＜﹣2时，m（l，AD）、m（l，BC）、m（l
，ABCD）三者中的最小值不超过最大值的，∴不超过最大值时：0＜t≤2或﹣4≤t＜﹣2；（3）由题意知，M（O，ABCD）＝|OC
|＝，M（O，QRST）=|OS|＝，取QR的中点W（），m（O，QRST）＝|OW|=，∴M＝+，m＝﹣，∴M+m＝+．
【点睛】本题考查新定义距离问题，等腰直角三角形的判定与性质，直线平行判定，勾股定理定理与逆定理，两点间距离，直线解析式，截距范围，
利用辅助线画出准确图形是解题关键．11．(1)见解析；(2) AE的长是.【分析】（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，
b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形；（2）根据线段垂直平分线的性质可得BE=CE，设
AE=x，则EC=4-x，根据勾股定理可得x2+32=（4-x）2，再解即可．【详解】（1）证明：∵△ABC中，AB=4，AC=3
，BC=5，又∵42+32=52，即AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形；（2）证明：连接CE．?∵DE是BC的垂直平分
线，∴EC=EB，设AE=x，则EC=4-x．∴x2+32=（4-x）2．解之得x=，即AE的长是．【点睛】此题主要考查了勾股定理
逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．勾股
定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．12．（1）四边形ABCD的面积为14.5，四边形ABCD的周长是3；（2）证明见解析．【分析】（1）用四边形ABCD所在长方形的面积减去4个小三角形的面积，列出算式计算即可求得四边形ABCD的面积；利用勾股定理分别求出AB、BC、CD、AD，即可求得四边形ABCD的周长；（2）求出BD2，利用勾股定理的逆定理即可证明；【详解】（1）四边形ABCD的面积=5×5﹣3×1÷2﹣4×2÷2﹣5×1÷2﹣5×1÷2=14.5；由勾股定理得AB，BC2，CD，AD，故四边形ABCD的周长是23；（2）连接BD．∵BD2，BC2+CD2=20+5=25，∴BC2+CD2=BD2，∴△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°．【点睛】本题考查割补法求面积，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 1 / 1 |
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