2019-2021北京东城初二（下）期末数学汇编勾股定理一、单选题1．（2019·北京东城·八年级期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的
是（ ）A．4，5，6B．2，3，4C．3，4，5D．1，，32．（2019·北京东城·八年级期末）如图所示，在中，，，于D，BE
是的平分线，且交于，如果，则的长为（ ）A．2B．4C．6D．83．（2021·北京东城·八年级期末）如图，数轴上点表示的数为1，
，且，以原点为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为（ ）A．B．C．D．4．（2021·北京东城·八年级期末）
下列各组数中，能作为直角三角形边长的是（ ）A．1，2，3B．6，7，8C．1，1，D．5，12，13二、填空题5．（2021
·北京东城·八年级期末）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图1所示．在图2中，
若正方形的边长为14，正方形的边长为2，且，则正方形的边长为__________．6．（2021·北京东城·八年级期末）如图，等腰
直角中，，D为的中点，，若P为上一个动点，则的最小值为_________．7．（2021·北京东城·八年级期末）如图，把矩形沿直线
向上折叠，使点落在点的位置上，交于点，若，，则的长为______．三、解答题8．（2021·北京东城·八年级期末）在平面直角坐标系
中的图形和点，给出如下定义：如果图形上存在点，使得，那么称点为图形的和谐点．已知点，．（1）在点，，中，直线的和谐点是______
；（2）点在直线上，如果点是直线的和谐点，求点的横坐标的取值范围；（3）已知点，，如果直线上存在正方形的和谐点，，使得线段上的所有
点（含端点）都是正方形的和谐点，且，直接写出的取值范围．9．（2021·北京东城·八年级期末）如图，在四边形中，，，，.过点作，垂
足为点，延长至点，使，连接，．（1）求证：四边形是矩形；（2）求的长．10．（2021·北京东城·八年级期末）如图，在的正方形网格
中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图①中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）
在图②中，画一个直角三角形，使它的两边长是有理数，另外一边长是无理数；（3）在图③中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外
两边长是无理数．参考答案1．C【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、42+52≠
62，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、32+42=52，能构成直角三
角形，故符合题意；D、12+（）2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形
的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．2．C【分析】先根据题目条件给出的角度证明是等边三角形，得到
，再根据含有角的直角三角形的性质和勾股定理求出AC的长．【详解】解：∵，，∴，∵，∴∵BE平分，∴，∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴
，在中，，∴，根据勾股定理，，在中，，∴，根据勾股定理，．故选：C．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，含有角的直角三角形的性
质和勾股定理，解题的关键是掌握这些性质定理进行求解．3．A【分析】根据等腰直角三角形的性质求得的长，然后根据圆的性质即可求解，进而
即可判断．【详解】由已知得，∵，且，∴在中，，∵以原点为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点，∴，∴点所表示的数为；故选A．【点睛】
本题考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质，关键是求出的值，然后根据圆的性质即可求解．4．D【分析】根据勾股定理的逆定理对四组数据进
行逐一判断即可．【详解】解：A、∵22 +12=5 ≠3 2 ，∴不能构成直角三角形； B、∵62 +72 =85≠82 ，∴不能
构成直角三角形； C、∵ ，∴不能构成直角三角形； D、∵5 2 +12 2 =169=13 2 ，∴能构成直角三角形． 故选D．
【点睛】本题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即只要三角形的三边满足a2 +b2 =c 2 ，则此三角形是直角三角形．5
．10【详解】（14×14﹣2×2）÷8=（196﹣4）÷8=192÷8=2424×4+2×2=96+4=100=10．即正方形E
FGH的边长为10．故答案为10．考点：勾股定理的证明．6．【分析】根据中点的含义先求解 作点C关于AB对称点，则，连接，交AB于
P，连接，此时的值最小，由对称性可知 于是得到再证明，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：为的中点， 作点C关于AB对称
点，交于，则，连接，交AB于P，连接． 此时的值最小． 由对称性可知 ∴∴，点C关于AB对称点，∴AB垂直平分，∴ 根据勾股定理
可得 故答案为：．【点睛】此题考查了轴对称-线路最短的问题，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理的应用，确定动点P何位置时，使PC
+PD的值最小是解题的关键．7．【分析】根据折叠和矩形的性质，可以得出三角形BDE是等腰三角形，在直角三角形DEC′中，利用勾股定
理可求出答案．【详解】解：由折叠得，DC＝DC′＝3，∠CBD＝∠C′BD，∵ABCD是矩形，∴AD＝BC=6，AD∥BC，∴∠C
BD＝∠ADB＝∠C′BD，∴ED＝EB，设BE＝ED＝x，则EC′＝6﹣x，在Rt△DEC′中，由勾股定理得，32+（6﹣x）2
＝x2，解得，x＝，即BE＝，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形的勾股定理等知识，根据折叠轴对称，得出DE＝BE
是解决问题的关键．8．（1）和；（2）；（3）或【分析】(1)如下图1中，根据点P为图形M的和谐点的定义，观察图形可知P1和P2是
直线AB的和谐点；(2)如图2中，根据点P为图形M的和谐点的定义，可知0≤PQ≤1，根据题意|y-3|≤1，解不等式得2≤y≤4，
再利用函数求x的范围；(3)当b=7时，图中线段E1F1上的点都是和谐点，且利用勾股定理可得，当将直线往y轴负半轴平移时刚好经过点
L，此时上的点都是和谐点，且，当再往下平移时，直线经过开始EF上有部分点不是和谐点，由此求出b的范围为1≤b＜7；根据对称性，-7
＜b≤-1也满足．【详解】(1)如下图1中，根据点P为图形M的和谐点的定义，观察图形可知：到AB的最短距离为1，根据和谐点的定义图
形上存在点，使得，点P1是直线的和谐点；到到AB的最短距离为0.5，根据和谐点的定义图形上存在点，使得，点P2是直线的和谐点；；到
AB的最短距离为3，根据和谐点的定义图形上不存在点，使得，故点P3不是直线的和谐点；在点，，中，直线的和谐点是点，；故答案为：点，
；(2)如图过点P作PQ⊥AB于Q，0≤PQ≤1，设P点的纵坐标为y，根据题意|y-3|≤1，解得：2≤y≤4，∵，∴2≤≤4，解
得，点的横坐标的取值范围是； (3)如下图所示：过（0，4）作平行AB的直线，过（-4,0）作BC的平行线，过（0,-4）作CD的
平行线，过（4，0）作AD的平行线，分别交于GHJK，则四边形GHJK为正方形，直线y=x+b与GH-HJ交于E，与GK-KJ交于
F，在梯形E1F1LU和梯形SVE2F2上及其内部所有点都是是正方形的和谐点，∵，取GK上点F1（-3，4），GH上点E1（-4，
3），此时E1F1=，直线y=x+b过点F1时是b的最大值，∴-3+b=4，b=7，当直线y=x+b过点L（3，4）时，3+b=4
，b=1，当直线y=x+b在E1F1与LU之间运动时，当直线过点S时，4+b=3，b=-1，取HJ上点E2（3，-4），KJ上取F
2（4，-3），此时E2F2=，当直线y=x+b过点F2时是b的最小值，4+b=-3，∴b=-7，当直线y=x+b在SV与E2F2
之间运动时，b的范围是-7，故b的取值范围为：1≤b＜7或-7＜b≤-1．【点睛】本题属于一次函数的综合题，同时也是一个新定义题型
，借助一次函数的知识，勾股定理，正方形性质考查了函数平移等相关知识，解题的关键是理解题意，学会用分类思想思考问题；本题属于压轴题，
难度较大．9．（1）证明见解析；（2）4.8【分析】（1）根据已知条件可先证明，由此可得，再根据可证明，根据，，，利用勾股定理逆定
理可证明，即可证明结论；（2）设，则，利用勾股定理列出关于x的方程，求出x的值，再利用勾股定理可求得EF的值，即可求得结果．【详解
】解：（1）证明：，，，，,，，四边形是平行四边形，又，，四边形是矩形；（2）设，则，则有，即，解得：，，．【点睛】本题主要考查矩
形的判定，全等三角形判定与性质，勾股定理及其逆定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解决本题的关键．10．（1）答案见解析；（2）答案
见解析；（3）答案见解析【分析】（1）作出边长分别为3，4，5的三角形即可．（2）根据要求作出图形即可．（3）根据要求作出图形即可．【详解】解：（1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图2中，△ABC即为所求（答案不唯一）．（3）如图3中，△ACB即为所求（答案不唯一）．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 1 / 1 |
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