2019-2021北京重点校初二（下）期中数学汇编矩形一、单选题1．（2019·北京·清华附中八年级期中）如图所示，有一张一个角为60°的直
角三角形纸片，沿其一条中位线剪开后，不能拼成的四边形是( )A．邻边不等的矩形B．等腰梯形C．有一角是锐角的菱形D．正
方形2．（2019·北京四中八年级期中）矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中
点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（ ）A．1B．C．D．3．（2019·北京·101中学八年级期中）将
矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，BE＝1，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在
EC1边上的B1处．则EC的长为（ ）A．B．2C．3D．24．（2019·北京·北大附中八年级期中）矩形、菱形、正方形都具有的
性质是（ ）A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线互相平分且相等5．（2021·北京师大附中八年级期中）下列
关于矩形的说法中正确的是（ ）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的
对角线互相垂直且平分6．（2019·北京·北师大实验中学八年级期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOD=1
20°，AC=4，则CD的长为( )A．2B．3C．2D．27．（2019·北京四中八年级期中）如图，在矩形中，对角线交于点，于点
，若，则的度数是（ ）A．B．C．D．二、填空题8．（2019·北京·清华附中八年级期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜
边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝4，OC＝7，则另一条直角边BC的长为_____．9．
（2019·北京·北师大实验中学八年级期中）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四
边形ABOM的周长为_______.10．（2019·北京·北师大实验中学八年级期中）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=6
，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则线段A''B的长度为____，折痕DG的长度为____．11．（2019·北京四中
八年级期中）如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，则的长为_________．12．（201
9·北京·人大附中八年级期中）如图，已知点为矩形边上的一点，作于，且满足．下面结论①；②；③；④．其中正确的结论是：_______
______（只填序号）13．（2020·北京四中八年级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠BOC＝12
0°，AB＝3，则BC的长为_____．14．（2020·北京四中八年级期中）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的
点，AE＝CF，∠EFB＝45°，若AB＝5，BC＝13，则AE的长为_____．三、解答题15．（2019·北京·101中学八年
级期中）在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P是边BC上一点（点P不与点B，点C重合），点C关于直线AP的对称点为C''．（1）
如果C''落在线段AB的延长线上．①在图①中补全图形；②求线段BP的长度；（2）如图②，设直线AP与CC''的交点为M，求证：BM⊥D
M．16．（2019·北京四中八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，M为直线l：x＝a上一点，N是直线l外一点，且直线MN与x轴不
平行，若MN为某个矩形的对角线，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为直线l的“伴随矩形”．如图为直线l的“伴随矩形”的示意
图．（1）已知点A在直线l：x＝2上，点B的坐标为（3，﹣2）①若点A的纵坐标为0，则以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”的面积是
；②若以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”是正方形，求直线AB的表达；（2）点P在直线l：x＝m上，且点P的纵坐标为4，若在以
点（2，1），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）为顶点的四边形上存在一点Q，使得以PQ为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方
形，直接写出m的取值范围．17．（2020·北京四中八年级期中）如图，矩形ABCD中，点E为矩形的边CD上的任意一点，点P为线段A
E的中点，连接BP并延长与边AD交于点F，点M为边CD上的一点，且CM＝DE，连接FM．（1）依题意补全图形；（2）求证∠DMF＝
∠ABF．参考答案1．D【详解】如图：此三角形可拼成如图三种形状，（1）为矩形，∵有一个角为60°，则另一个角为30°，∴此矩形为
邻边不等的矩形；（2）为菱形，有两个角为60°；（3）为等腰梯形．故选D．2．C【详解】分析：延长GH交AD于点P，先证△APH≌
△FGH得AP=GF=1，GH=PH=PG，再利用勾股定理求得PG=，从而得出答案．详解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形AB
CD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD∥GF，∴∠GFH=∠
PAH，又∵H是AF的中点，∴AH=FH，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP=GF=1，GH=PH
=PG，∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，则GH=PG=×=，故选C．点睛：本题主要考查矩形的性质，解题的
关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．3．B【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出
AE=2，再根据直角三角形两锐角互余求出∠AEB=60°，根据翻折变换的性质可得∠AEB1=∠AEB，根据两直线平行，内错角相等可
得∠EAC1=∠AEB1=60°，然后判断出△AEC1是等边三角形，根据等边三角形的性质可得EC1=AE，再根据翻折变换的性质可得
EC=EC1．【详解】∵矩形纸片ABCD，∠BAE＝30°，∴AE＝2BE＝2×1＝2，∠AEB＝90°﹣∠BAE＝90°﹣30°
＝60°，∵AB沿AE翻折点B落在EC1边上的B1处，∴∠AEB1＝∠AEB＝60°，∵矩形对边AD∥BC，∴∠EAC1＝∠AEB
1＝60°，∴△AEC1是等边三角形，∴EC1＝AE＝2，∵EC沿BF翻折点C落在AD边上的C1处，∴EC＝EC1＝2．故选B．【
点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定与性质，熟记翻折前后对应边相等，对应角相等
是解题的关键．4．B【分析】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．【详解】解：平行
四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相
平分．故选B．【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．5．B【详解】试题分析
：A．对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；B．矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；C．对角线互相平分的四边形是平行
四边形，不一定是矩形，故本选项错误；D．矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；故选B．考点：矩形的判定与性质．6．
A【分析】根据邻补角的定义求出∠COD＝60°，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得AO＝BO＝CO＝DO＝2，然后判断出△COD
是等边三角形，根据等边三角形三条边都相等可得CD＝DO＝2．【详解】∵∠AOD=120°，∴∠COD=180°﹣∠AOD=180°
﹣120°=60°．∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO=CO=DO=2，∴△COD是等边三角形，∴CD=DO=2．故选：A．【点
睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并判断出△COD是等边三角形是解题的关键．7．B【分析】根据，求出，进
而求出，根据矩形性质证明，推出，即可求出答案．【详解】解：设，则，四边形是矩形，，，，即，，，，四边形是矩形，相等且互相平分，，，
，故选：．【点睛】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，关键是求出，明确本题中所含的四个等腰三角形．8．【分析】过O作OF⊥BC
，过O作OM⊥AC，根据正方形的性质得出∠AOB＝90°，OA＝OB，求出∠BOF＝∠AOM，根据AAS证△AOM≌△BOF，推出
AM＝BF，OM＝FO，求出四边形CMOF为矩形，得出等腰直角三角形OCF，根据勾股定理求出CF＝OF的长，求出BF，即可求出答案
．【详解】过O作OF⊥CB，交CB的延长线于F，过O作OM⊥AC于M，∵∠ACB＝90°，∴∠BCM＝∠OFB＝∠CMO＝90°，
∴四边形CMOF是矩形，∴OM＝CF，CM＝OF，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠AOM+∠BOM＝
90°，又∵∠FOM＝90°，∴∠BOF+∠BOM＝90°，∴∠BOF＝∠AOM，在△AOM和△OBF中∴△AOM≌△BOF(AA
S)，∴AM＝BF，OM＝OF，∴OF＝CF，∵∠CFO＝90°，∴△CFO是等腰直角三角形，∵OC＝7，由勾股定理得：CF＝OF
＝,∴BF＝AM＝AC﹣CM＝AC﹣OF＝﹣＝,∴BC＝﹣＝3．故答案为：3．【点睛】此题考查矩形的判定定理，正方形的性质，三角形
全等的判定及性质定理，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理.9．20．【详解】∵AB＝5，AD＝12，∴根据矩形的性质和勾股定理，
得AC＝13.∵BO为Rｔ△ABC斜边上的中线∴BO＝6.5∵O是AC的中点，M是AD的中点，∴OM是△ACD的中位线∴OM＝2.
5∴四边形ABOM的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20故答案为2010． 4 3．【分析】在矩形中根据勾股定理可求出BD
的长，由折叠得DA＝DA′＝6，进而求出A′B，在Rt△A′BG中，由勾股定理建立方程可求出A′G，即AG，在Rt△ADG中，由勾
股定理可求出DG．【详解】∵矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=6，∴BD10，由折叠得：DA=DA''=6，GA=GA''，∴A''B
=DB﹣DA''=10﹣6=4，设GA=GA''=x，则GB=8﹣x，在Rt△A''BG中，由勾股定理得：x2+42=(8﹣x)2，解得
：x=3，即AG=3，在Rt△ADG中，由勾股定理得：DG3．故答案为：4，3．【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、折叠的性质，
设未知数建立方程是解决此类问题的常用方法．11．【分析】先根据折叠与矩形性质，证明，再设，在Rt△中，根据勾股定理构造关于的方程，
解方程即可．【详解】解：由折叠得，，∵四边形ABCD为矩形，∴，∴，，，设，则，在Rt△中，，解得，的长为．故答案为：【点睛】本题
考查了轴对称的性质以及勾股定理．折叠在数学上一般表现为轴对称变换，折叠前后图形全等，即对应边和对应角相等．解题时，结合矩形特点利用
勾股定理构造方程，即可求解．本题中证明是解题关键．12．①②④【分析】利用“HL”即可证明Rt△DEF≌Rt△DEC得出①正确；在
证明△ABE≌△DFA得出S△ABE=S△ADF，即可判定②④正确；没有条件可证明AF=AB，③不正确，从而得出结论．【详解】∵四
边形ABCD是矩形，∴∠C=∠ABE=90°，AD∥BC，AB=CD，∵DF=AB，∴DF=CD，∵DF⊥AE， ∴∠DFA=∠D
FE=90°， 在Rt△DEF和Rt△DEC中，，∴Rt△DEF≌Rt△DEC(HL)，①正确； ∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DA
F，在△ABE和△DFA中，，∴△ABE≌△DFA(AAS)，∴S△ABE=S△ADF；②正确；∴BE=AF，④正确，没有条件可证
明AF=AB，③不正确；正确的结论是①②④，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握
矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．13．3．【分析】根据矩形的性质求出AC＝2AO，AO＝BO，根据等边三角形的判定得出△A
OB是等边三角形，求出AB＝AO＝3，求出AC，再根据勾股定理求出BC即可．【详解】解：，，四边形是矩形，，，，，，是等边三角形，
，，，，由勾股定理得：，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能灵活运用定理进行推理
是解此题的关键．14．4【分析】过E作EM⊥BC于M，根据矩形的性质得出∠A＝∠B＝90°，得出四边形ABME是矩形，根据矩形的性
质得出EM＝AB＝5，AE＝BM，求出EM＝FM＝5，根据BC＝13和AE＝CF＝BM求出即可．【详解】解：如图，过E作EM⊥BC
于M，则∠EMF＝∠EMB＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABME是矩形，∵AB＝5，∴EM＝AB
＝5，AE＝BM，∵∠EFB＝45°，∠EMF＝90°，∴∠MEF＝45°＝∠EFB，∴EM＝FM＝5，∵BC＝13，AE＝CF＝
BM，∴2AE+5＝13，解得：AE＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定，熟练掌握这些知识
并合理的作出辅助线是解题的关键．15．（1）①详见解析；② ；（2）详见解析.【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②连接AC，作
PH⊥AC于H．则△APB≌△APH，可得AB=AH=1，PB=PH，设PB=PH=x，利用勾股定理构建方程即可；（2）如图②中，
连接AC、BD交于点O．连接OM．只要证明A、B、M、C、D五点共圆，即可解决问题.【详解】（1）①如图①所示：②连接AC，作PH
⊥AC于H．则△APB≌△APH，∴AB＝AH＝1，PB＝PH，设PB＝PH＝x，∵AC＝，∴CH＝﹣1，在Rt△PCH中，x2+
（﹣1）2＝（2﹣x）2，解得x＝，∴PB＝．（2）如图②中，连接AC、BD交于点O．连接OM．∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝O
B＝OC＝OD，∵∠AMC＝90°，∴OM＝OA＝OB＝OC＝OD，∴A、B、M、C、D五点共圆，∵BD是直径，∴∠BMD＝90°
，∴BM⊥DM．【点睛】本题考查作图-轴对称变换，矩形的性质，五点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问
题，学会利用辅助圆解决问题．16．（1）①以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”AMBN的面积为2；②直线AB的表达式为y＝﹣x+1
或y＝x﹣5；（2）m的范围为﹣7≤m≤﹣1或1≤m≤7．【分析】（1）①根据“伴随矩形”的定义画出图形即可解决问题；②根据题意，
当以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形时，点A的坐标为（2，-1）或（2，-3），利用待定系数法即可解决问题；（2）如图3
中，求出经过特殊位置时当P坐标即可解决问题：当Q1坐标为（-2，-1）时，可得P1（-7，4）；当Q2坐标为（2，1）时，可得P2
（-14）；当Q3坐标为（2，-1）时，可得P3（7，4）；当Q4坐标为（-2，1）时，可得P4（1，4）；再结合图象即可解决问题
；【详解】（1）①如图1中，∵A（2，0），B（3，﹣2）．∴以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”AMBN的面积＝1×2＝2．②如
图2中，根据题意，当以AB为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形时，点A的坐标为（2，﹣1）或（2，﹣3）．可得，直线AB的表达式
为：y＝﹣x+1或y＝x﹣5．（2）如图3中，当Q1坐标为（﹣2，﹣1）时，可得P1（﹣7，4）；当Q2坐标为（2，1）时，可得P
2（﹣14）；当Q3坐标为（2，﹣1）时，可得P3（7，4）；当Q4坐标为（﹣2，1）时，可得P4（1，4）；观察图象可知：在以点
（2，1），（﹣2，1），（﹣2，﹣1），（2，﹣1）为顶点的四边形上存在一点Q，使得以PQ为对角线的直线l的“伴随矩形”为正方形
时，m的范围为﹣7≤m≤﹣1或1≤m≤7．【点睛】本题考查一次函数综合题、矩形的性质、正方形的性质、“伴随矩形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点解决问题，属于中考压轴题．17．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）按要求画图即可；（2）延长BF交CD的延长线于点N，首先证明△APB和△EPN全等，得到EN＝AB，再根据已知条件利用垂直平分线的性质定理证明FN＝FM，可得结论．【详解】（1）解：如图所示，（2）证明：延长BF交CD的延长线于点N，∵点P为线段AE中点，∴AP＝PE，∵AB∥CD，∴∠PEN＝∠PAB，∠2＝∠N，∵在△APB和△EPN中，∵，∴△APB≌△EPN（AAS），∴AB＝EN∴AB＝CD＝EN，∵EN＝DN+DE，CD＝DM+CM，∵DE＝CM，∴DN＝DM，∵FD⊥MN，∴FN＝FM，∴∠N＝∠1，∴∠1＝∠2，即∠DMF＝∠ABF．【点睛】本题考查了几何作图、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解题的关键． 1 / 1 |
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