2019-2021北京重点校高二（上）期末数学汇编抛物线一、单选题1．（2020·北京·首都师范大学附属中学高二期末）双曲线的左右焦点分别为
，，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为A．B．C．D．2．（2020
·北京·101中学高二期末）已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为 A．B．C．D．3．（2020·北
京·清华附中高二期末）已知抛物线的焦点为是C上一点，，则（ ）A．1B．2C．4D．8二、填空题4．（2019·北京师大附中高二期
末）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．5．（2019·北京·101中学高二期
末）若抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合，则p=_________．6．（2020·北京·清华附中高二期末）设抛物线的焦点为，准线为
，则以为圆心，且与相切的圆的方程为_________.7．（2020·北京·中央民族大学附属中学高二期末）过抛物线（）的焦点做平行
于轴的直线与抛物线相交于两点，为坐标原点，面积为，则_____.8．（2020·北京·101中学高二期末）若抛物线的焦点与双曲线的
右焦点重合，则的值__________．9．（2020·北京·清华附中高二期末）抛物线的焦点到准线的距离为______.三、解答题
10．（2019·北京师大附中高二期末）已知抛物线的准线方程是.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点
，证明：.参考答案1．B【详解】试题分析：∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．考点：抛物线的标准方程及几何性质．2．C【
分析】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，则可利用几何性质得到，故可得到轴的距离.【详解】抛
物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，因为是该抛物线上的两点，故，所以，又为梯形的中位线，所以，
故到轴的距离为，故选C.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，属于基础题.3．B【分析】利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出．【
详解】由抛物线可得，准线方程，，是上一点，，．，解得．故选：B．4．6【分析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴
交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．点睛:抛物线
的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物
线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定
义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．5．4【详解】解：双曲线右顶点坐标为 ，即： .6．【分析】由抛物线方程可知焦点,
准线为,则,进而可得圆的方程【详解】由题,焦点为,准线为,则圆的半径,所以圆的方程为,故答案为：【点睛】本题考查抛物线的几何性质的
应用,考查圆的标准方程7．【解析】将抛物线方程化为标准方程,求得焦点坐标.可得直线的方程及的长.由面积即可求得的值.【详解】抛物线
（）化为标准方程可得所以焦点坐标为 则直线的方程为代入抛物线方程可得,所以则由题意可得代入可得解得 故答案为: 【点睛】本题考查了
抛物线标准方程及性质的简单应用,属于基础题.8．6【详解】试题分析：根据题意，由于双曲线的右焦点坐标为，因此可知抛物线的焦点,故答
案为6考点：考查了抛物线与双曲线的性质．.点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数p的值，
属于基础题．9．1.【解析】利用抛物线的标准方程可得，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果.【详解】抛物线的焦点到准线的距离为p，
由标准方程可得.故答案为：1【点睛】本题考查抛物线的标准方程与简单几何性质，属于基础题.10．（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【详解】试题分析
：（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的
斜率关系即可证明OM⊥ON试题解析：（Ⅰ）解：因为抛物线的准线方程为， 所以 ， 解得， 所以 抛物线的方程为. （Ⅱ）证明：设，
.将代入，消去整理得 .所以 . 由，，两式相乘，得 ， 注意到，异号，所以 . 所以直线与直线的斜率之积为， 即 . 考点：直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程 1 / 1 |
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