2021北京北师大实验中学初二（下）期中数 学一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列二次根式中，能与合并的
是 A．B．C．D．2．（3分）在平行四边形中，，则的度数是 A．B．C．D．3．（3分）已知是一元二次方程的一个解，则的值是 A
．2B．C．D．2或4．（3分）下列说法不正确的是 A．矩形的对角线相等B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半C．对角线互相垂直
且相等的四边形是正方形D．菱形的对角线互相垂直5．（3分）如图，数轴上点所表示的数为，则的值是 A．B．C．D．6．（3分）菱形的
边长为5，一条对角线长为6，则菱形面积为 A．30B．20C．24D．487．（3分）如图，是矩形对角线的中点，是的中点，若，，则
的长为 )A．1B．2C．3D．48．（3分）已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程的根，则此三角形的周长为 A．17B．1
1C．15D．11或159．（3分）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为 A．6B．7.5C．
12D．1510．（3分）如图，在的正方形网格中，每一格长度为1，小正方形的顶点称为格点，，，，，，都在格点上，以，，为边能构成一
个直角三角形，则点的位置有 A．1处B．2处C．3处D．4处二、填空题（每空2分，共18分）11．（2分）若有意义，则的取值范围是
．12．（4分）化简：（1） ；（2） ．13．（2分）如图，的对角线相交于点，两条对角线的和为18，的长为5，则的周长为
．14．（2分）若方程是关于的一元二次方程，则 ．15．（2分）在中，，，高，则的长 ．16．（2分）如图，在矩形中，点的坐标是，
则的长是 ．17．（2分）对任意的两实数，，用表示其中较小的数，如，则方程的解是 ．18．（2分）在数学课上，老师提出如下问题：尺
规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线及其外一点．求作：的平行线，使它经过点．小云的作法如下：（1）在直线上任取一点；
（2）以为圆心，长为半径作弧，交直线于点；（3）分别以、为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；（4）作直线．直线即为所求．小云作图的
依据是 ．三、解答题：（第19题每小题12分；第20题每小题12分；第21～25题每题6分，共52分）19．（12分）计算：（1）
；（2）．20．（10分）解下列方程（1）（2）．21．（6分）已知：如图，，是的对角线上的两点，，求证：．22．（6分）如图，菱
形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求和的长．23．（6分）在中，平分，为的中点，
连接并延长，交于点，连接，．（1）求证：四边形是菱形；（2）若点为的中点，且，，求的长．24．（6分）请阅读下列材料：问题：如图1
，点，在直线的同侧，在直线上找一点，使得的值最小．小军的思路是：如图2，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为所求．请你参
考小军同学的思路，探究并解决下列问题：（1）如图3，在图2的基础上，设与直线的交点为，过点作，垂足为．若，，，写出的值为 ；（2）
如图3，若，，，写出此时的最小值 ；（3）写出的最小值为 ．25．（6分）如图，已知正方形，点是延长线上一点，连接，过点作于点，连
接．（1）求证：；（2）作点关于直线的对称点，连接，．①依据题意补全图形；②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．四、附加题（
26题7分，27题6分，28题7分，共20分）26．（7分）（1）用“”、“ ”、“ ”填空： ， ， ．（2）由（1）中各式猜想
与的大小，并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．
如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为的花圃，所用的篱笆至少需要 ．27．（6分）阅读、操作与探究：小亮发现一种方法，
可以借助某些直角三角形画矩形，使矩形邻边比的最简形式（如的最简形式为为两个连续自然数的比，具体操作如下：如图1，中，，，的长分别为
3，4，5，先以点为圆心，线段的长为半径画弧，交的延长线于点，再过，两点分别作，的平行线，交于点．得到矩形，则矩形的邻边比为 ．
请仿照小亮的方法解决下列问题：（1）如图2，已知中，，请你在图2中画一个矩形，使所画矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比，并写
出这个比值；（需保留作图痕迹）（2）若已知直角三角形的三边比为为正整数），则所画矩形（邻边比的最简形式为两个连续自然数的比）的邻边
比为 ；（3）若小亮所画的矩形的邻边比为，那么他所借助的直角三角形的三边比为 ．28．（7分）在平面直角坐标系中，对于两个点，
和图形，如果在图形上存在点，，可以重合）使得，那么称点与点是图形的一对平衡点．（1）如图1，已知点，．①设点与线段上一点的距离为，
则的最小值是 ，最大值是 ；②在，，，这三个点中，与点是线段的一对平衡点的是 ；（2）如图2，已知正方形的边长为2，一边平行于轴，
对角线的交点为点，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是正方形的一对平衡点，求的取值范围；（3）已知点，，某正方形对角线的交点为坐
标原点，边长为．若线段上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共10道小题，每小题3
分，共30分）1．【分析】先化成最简二次根式，再判断即可．【解答】解：、，不能和合并，故本选项错误；、，不能和合并，故本选项错误；
、，能和合并，故本选项正确；、不能和合并，故本选项错误；故选：．【点评】本题考查了二次根式的性质，同类二次根式的应用，注意：几个二
次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．2．【分析】根据平行四边形的性质得出，根据平行线的
性质推出，代入求出即可．【解答】解：四边形是平行四边形，，，把代入得：，，故选：．【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的
性质等知识点的理解和掌握，能推出是解此题的关键．3．【分析】根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到关于的一元一次方程，然后解一次
方程即可．【解答】解：是一元二次方程的一个解，，．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数
的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．4．【分
析】利用矩形的性质，直角三角形的性质，正方形的判定，菱形的性质依次判断可求解．【解答】解；矩形的对角线相等，故选项不符合题意；直角
三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故选项不符合题意；对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项符合题意；菱形的对角线互相垂
直，故选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是
本题的关键．5．【分析】本题可以通过勾股定理及数轴上的运算求解．【解答】解：直角三角形斜边长为，点表示的数为．故选：．【点评】本题
考查数轴上点的运算及勾股定理，解题在直角三角形中利用勾股定理求解．6．【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线，再根据菱
形的面积等于两对角线乘积的一半求得菱形的面积．【解答】解：如图，当时，四边形是菱形，，，，，，，菱形的面积是：，故选：．【点评】本
题主要考查菱形的面积公式，以及菱形的性质和勾股定理，关键是掌握菱形的面积等于两条对角线的积的一半．7．【分析】首先由是矩形对角线的
中点，可求得的长，然后由勾股定理求得的长，即的长，又由是的中点，可得是的中位线，继而求得答案．【解答】解：是矩形对角线的中点，，，
，是的中点，．故选：．【点评】此题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质．注意利用直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半，求得的长是关键．8．【分析】求出方程的解得到原方程的解，即可能为三角形的第三边，然后利用三角形的两边之和大于第三边判断能否
构成三角形，选择满足题意的第三边，即可求出三角形的周长．【解答】解：，，解得，．若，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为；若时
，，不能构成三角形，则此三角形的周长是15．故选：．【点评】此题考查了三角形的三边关系，一元二次方程的解．运用三角形的三边关系解决
问题时常常把最长的边作为第三边，用剩下的两边相加与最长边比较大小来判断能否三角形．9．【分析】根据翻折的性质可得，，设，则，在直角
中，根据勾股定理可得，即可得到的长度，由翻折性质可得，，由矩形的性质可得，即可得出是等腰三角形，，即可得出答案．【解答】解：设，则
，根据勾股定理可得，，解得：，由翻折性质可得，，，，，，．故选：．【点评】本题主要考查了翻折的性质及矩形的性质，熟练应用相关知识进
行求解是解决本题的关键．10．【分析】先利用勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理，如果满足或，即为直角三角形，解出的长，进而得
出点的位置．【解答】解：由题意可得，，．以，，为边能构成一个直角三角形，或，即或，解得或3，点的位置如图所示．故选：．【点评】本题
考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．二、
填空题（每空2分，共18分）11．【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：由题意，得，解得，故答案为：．【点评】本题考
查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．12．【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；（2）
直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：（1）；故答案为：；（2）．故答案为：．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简
，正确化简二次根式是解题关键．13．【分析】根据两对角线之和为18，可得出的值，再由，可得出的周长．【解答】解：由题意得，，又，的
周长．故答案为：14．【点评】此题考查了平行四边形的性质，解答此题需要掌握平行四边形的对角线互相平分，对边相等的性质，难度一般．1
4．【分析】根据一元二次方程的定义得出，，求出即可．【解答】解：是关于的一元二次方程，，，解得：，故答案为：2．【点评】本题考查了
对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：一元二次方程的一般形式是、、是常数，且．15．【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角
形，根据勾股定理求得，，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，．【解答】解：（1）如图，锐角中，，，边上高，在中，，，，
在中，，由勾股定理得，，的长为；（2）钝角中，，，边上高，在中，，由勾股定理得，，在中，，由勾股定理得，，的长为．故答案为14或4
．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形斜边转化到直角三角形中用勾股定理解答．关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边
长的平方之和一定等于斜边长的平方．16．【分析】根据矩形的对角线相等，求出即可；【解答】解：如图，理解、．，，四边形是矩形，故答案
为【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，学会添加常用辅助线，用转化的思想思
考问题．17．【分析】分和两种情况，列出关于的方程，解之可得答案．【解答】解：①若，即，则，解得不符合题意，舍去；②若，即，则，解
得；故答案为：．【点评】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程、一元二次方程，解题的关键是根据新定义列出关于的方程．18．【分
析】利用作法可判定四边形为菱形，然后根据菱形的性质得到与平行．【解答】解：由作法得，所以四边形为菱形，所以．故答案为四条边相等的四
边形为菱形，菱形的对边平行．【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和
基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．三、解答题：（
第19题每小题12分；第20题每小题12分；第21～25题每题6分，共52分）19．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然
后合并即可；（2）根据二次根式的乘除法则运算．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根
式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径
，往往能事半功倍．20．【分析】根据一元二次方程的解法即可求出答案【解答】解：（1），，（2）【点评】本题考查一元二次方程的解法，
解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．21．【分析】由可得，再结合平行四边形的性质证明，从而得出，于是得到．【
解答】证明：，，，四边形是平行四边形，，，，在与中，，，，．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质，首先利
用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题．22．【分析】（1）根据菱形的性质得出，再由点是的中点，所以，，
进而判断出是三角形的中位线，得到，推出，求得四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据菱形的性质得到，，得到；
由（1）知，四边形是矩形，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论．【解答】解：（1）四边形是菱形，，是的中点，是的中位线，，，四边形
是平行四边形，，，平行四边形是矩形；（2）四边形是菱形，，，，是的中点，；由（1）知，四边形是矩形，，，，，．【点评】本题考查了矩
形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．23．【分析】（1）证，得，由，则四边形是平行
四边形，再证，即可解决问题；（2）过作于，根据菱形的性质得到，，求得，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：四边形是平行四
边形，，，，为的中点，，在和中，，，，四边形是平行四边形；平分，，，，，四边形是菱形；（2）解：过作于，如图所示：为的中点，且，，
四边形是菱形，，，，，，，，，．【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、含角的直角三角形
的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．24．【分析】（1）利用勾股定理求得，根
据三角形相似对应边成比例求得，从而求得；（2）作，交的延长线于，根据已知条件求得、，然后根据勾股定理即可求得，从而求得的值；（3）
设，，则；设，，则，结合（2）即可求解．【解答】解：（1），，，，，，△，，，，；故答案为：；（2）作，交的延长线于，如图3，则四
边形是矩形，，，，，即，在△中，，，故答案为：；（3）如图3，设，，则；设，，则，，，，，．故答案为：．【点评】本题考查了轴对称最
短路线问题，熟练掌握轴对称的性质和勾股定理的应用是解题的关键．25．【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可．（2）①根据要求画出
图形即可．②结论：．在上截取点，使得，连接．证明，推出，，再证明四边形为平行四边形，可得结论．【解答】（1）证明：，，四边形是正方
形，，，，又，，，．（2）①如图：图形即为所求作．②解：结论：．理由：在上截取点，使得，连接．四边形是正方形，．在和中，，，，，，
是等腰直角三角形，．点关于直线的对称点是点，，，，，，，．，，，四边形为平行四边形，，．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的
性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．四、附加题（26题7分，
27题6分，28题7分，共20分）26．【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想；
比较大小，可以作差，，联想到完全平方公式，问题得证；（3）设花圃的长为米，宽为米，需要篱笆的长度为米，利用第（2）问的公式即可求得
最小值．【解答】解：（1），，，，，；，，；，，．故答案为：，，．（2）．理由如下：当，时，，，，．（3）设花圃的长为米，宽为米，
则，，，根据（2）的结论可得：，篱笆至少需要40米．故答案为：40．【点评】本题主要考查了二次根式的计算，体现了由特殊到一般的思想
方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．27．【分析】阅读、操作与探究：根据题意求出与的值，即可求出矩形邻边之
比；（1）根据题中的方法画出矩形，求出矩形邻边之比即可；（2）归纳总结得到一般性规律，求出所画矩形（邻边比的最简形式为两个连续自然
数的比）的邻边比即可．（3）由题意：直角三角形的一条直角边为3，设斜边为，则另一条直角边为．利用勾股定理求出，即可解决问题．【解答
】解：阅读、操作与探究：根据题意得：，，则矩形的邻边比为；故答案为：．（1）根据题意画出矩形，如图2所示，矩形邻边比的最简形式为两
个连续自然数的比为；（2）根据题意得：．故答案为：．（3）由题意：直角三角形的一条直角边为3，设斜边为，则另一条直角边为．，，直角
三角形的三边的比．故答案为：．【点评】此题属于四边形综合题，认真阅读题中画矩形的方法，弄清题中矩形（邻边比的最简形式为两个连续自然数的比）邻边之比的规律是解本题的关键．28．【分析】（1）①观察图象的最小值是长，最大值是长，由勾股定理即可得出结果；②过作于，可得出，根据平衡点的定义，即可得出点与点是线段的一对平衡点；（2）如图2，可得，，由平衡点的定义可求出的范围；（3）如图2，正方形边长为2，，上任意两点关于是一对平衡点，且，的交点是，根据平衡点的定义，可得，，即可求出的范围．【解答】解：（1）①由题意知：，，则的最小值是3，最大值是；②如图1，过作于，，根据平衡点的定义，点与点是线段的一对平衡点；故答案为：3，，；（2）如图2中，，，且，均在正方形上，符合平衡点的定义，；（3）如图2，正方形边长为2，，上任意两点关于是一对平衡点，且，的交点是，则，，，，．【点评】本题属于四边形综合题，考查了点与点是图形的一对平衡点、正方形性质、点与点的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题，属于中考压轴题． 2 / 2 |
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