2021北京陈经纶中学分校初二（上）期中数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．（2分）下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对
称图形的是 )A．赵爽弦图B．费马螺线C．科克曲线D．斐波那契螺旋线2．（2分）下列计算正确的是 A．B．C．D．3．（2分）如图
，是的外角，平分，若，，则等于 A．B．C．D．4．（2分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是 A．B．C．D．
5．（2分）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 A．的
三条中线的交点B．三边的中垂线的交点C．三条角平分线的交点D．三条高所在直线的交点6．（2分）如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边
长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是 A．B．C．D．7．（2分）如图
，已知为边的中点，在上，将沿着折叠，使点落在上的处．若，则等于 A．B．C．D．8．（2分）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径
画弧交于、于，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于，下列四个结论：①是的平分线；②；③点在的中垂线上；
④．其中正确的有 A．只有①②③B．只有①②④C．只有①③④D．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）计算：
．10．（2分）随着人们物质生活的提高，手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点．为了解决
这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的 ．11．（2分）沛沛沿
一段笔直的人行道行走，边走边欣赏风景，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如
图，，相邻两平行线间的距离相等，，相交于，垂足为．已知米．请根据上述信息求标语的长度 ．12．（2分）已知点，关于轴的对称点的坐
标是 ．13．（2分）若等腰三角形的顶角为，腰长为6，则此等腰三角形的面积为 ．14．（2分）如图，，的延长线交于，交于，，，
，则 ．15．（2分）如图，是某课题学习小组对地图上的、、、、、、、八处地点进行观察、分析．在讨论中得到了，、都在线段上，，的正确
结论．接着，小聪又提出了如下结论线路与线路一样长．请判断小聪提出的结论正确吗？ （填“正确”或“错误” ．16．（2分）如图，已知
四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为线段的中点．如果点在线段上以3厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动
速度为 厘米秒时，能够使与以、、三点所构成的三角形全等．三、解答题（本题共有68分，第17—22题每题5分，第23—26题每题6分
，第27—28题每题7分）17．计算：．18．计算：．19．因式分解：．20．因式分解：．21．如图，点、、、在直线上、之间不能直
接测量），点、在异侧，测得，，．（1）求证：；（2）若，，求的长度．22．已知：如图，在等腰中，，，平分，且；求的度数．23．已知
，求代数式的值．24．如图，在中，，为上一点（不与，重合）．在上找一点，在上找一点，使得与全等，以下是甲，乙两位同学的作法．甲：连
接，作线投的垂直平分线，分别交，于，两点，则，两点即为所求；乙：过点作，交于点，过点作，交于点，则，两点即为所求．（1）对于甲、乙
两人的作法，下列判断正确的是 ；．两人都正确．甲正确，乙错误．甲错误，乙正确（2）选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明．25．
如图，在等边三角形中，，，相交于点，于．求证：（1）；（2）．26．阅读理解：①②；③；④（1）观察以上各式，你发现它们有什么规律
吗？请用含有、的式子表示上述规律；（2）运用你所学的知识证明你发现的规律；（3）已知，求的最大值．27．在等边三角形外侧作射线，，
点关于射线的对称点为点，连接交于点．（1）依题意补全图形；（2）求的度数；（3）当时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．2
8．对于及其边上的点，给出如下定义：如果点，，，，都在的边上，且，那么称点，，，，为关于点的等距点，线段，，，，，为关于点的等距线
段．（1）如图1，中，，，点是的中点．①点， 关于点的等距点，线段， 关于点的等距线段；（填“是”或“不是” ）②关于点的两个等距
点，分别在边，上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段，；（2）如图2，是边长为4的等边三角形，点在上，点，是关于点的等距点，
且，求线段的长；（3）如图3，在中，，．点在上，关于点的等距点恰好有3个，且其中一个是点．若，直接写出 ．（用含的式子表示）202
1北京陈经纶中学分校初二（上）期中数学参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．【分析】根据轴对称图形定义进行分析即可．【
解答】解：、不是轴对称图形，故此选项错误；、不是轴对称图形，故此选项错误；、是轴对称图形，故此选项正确；、不是轴对称图形，故此选项
错误；故选：．【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．【分析】根据合并同类
项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，逐一进行计算即可判断．【解答】解：．因为，故选项计算错误；．因为，故选项计
算正确；．因为，故选项计算错误；．因为，故选项计算错误．故选：．【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘
方，合并同类项，解决本题的关键是掌握同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则．3．【分析】根据三角形外角性质求出，根据角平分线定义求
出即可．【解答】解：，，，平分，，故选：．【点评】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，能熟记三角形外角性质的内容是解此题的关键
．4．【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用，答案可得．【解答】解：作图的
步骤：①以为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、；②任意作一点，作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；③以为圆心，长为半径画弧
，交前弧于点；④过点作射线．所以就是与相等的角；作图完毕．在与△，，△，，显然运用的判定方法是．故选：．【点评】本题考查了全等三角
形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．5．【分析】由于凉亭到草坪三
条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．【解答】解：凉亭到草坪三条边
的距离相等，凉亭选择三条角平分线的交点．故选：．【点评】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个
端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．6．【分析】根据面积相等，列出关系式即可．【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，，故
选：．【点评】本题主要考查对平方差公式的知识点的理解和掌握，能根据在边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形是解此题的关键．7．
【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得，根据等边对等角的性质可得，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．【解答】解：是沿直线翻
折变换而来，，是边的中点，，，，，．故选：．【点评】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的
性质是解答此题的关键．8．【分析】利用角平分线的性质以及各内角度数和三角形面积求法分别得出即可．【解答】解：根据作图方法可得是的平
分线，故①正确；，，，是的平分线，，，故②正确；，，，点在的中垂线上，故③正确；，，，，，，，，故④正确，故选：．【点评】此题主要
考查了角平分线的性质以及三角形面积求法等知识，根据角平分线的性质得出是解题关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【分析】
根据单项式除以单项式的法则计算即可．【解答】解：，故答案为：．【点评】此题考查了整式的除法，用到的知识点是单项式除以单项式的法则，
在计算时要注意系数和指数的变化．10．【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．【解答】解：把手机放在上面就可以方便地使用手机
，这是利用了三角形的稳定性，故答案为：三角形的稳定性．【点评】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性．11．【
分析】由，利用平行线的性质可得，利用定理可得，，由全等三角形的性质可得结果．【解答】解：，，，，，即，相邻两平行线间的距离相等，，
在与中，，，（米，故答案为：16米．【点评】本题主要考查了平行线的性质和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各定理是解答此题的关键
．12．【分析】根据关于轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等的特征解决问题即可．【解答】解：点，点关于轴的对称点的坐标是，故答
案为：．【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解关于轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标相等．13．【分析】过点作于点，根据
直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半求得，然后利用三角形面积公式解答即可．【解答】解：如图所示，过作于，，，，，故答案为
：9．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质以及含角的直角三角形的性质，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．14．【分析
】根据全等三角形对应角相等可得，再求出，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：，，，在和中，，即，解得．故答案为
：．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．15．【分析】由，即可推出为等边三角形
，再根据平行线的性质，即可推出、、均为等边三角形，然后根据等边三角形的性质，即可推出线路与线路一样长．【解答】解：正确，理由：，是
等边三角形，又，，，，是等边三角形．同理可证、是等边三角形；、、都是等边三角形，，，，，又是等边三角形，，，线路与线路一样长．故答
案为：正确．【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．16．【
分析】分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点的运动速度．【解答】解：设点运动的时间为秒，则，，，①当，时，与全等，
此时，，解得，，此时，点的运动速度为厘米秒；②当，时，与全等，此时，，解得，点的运动速度为厘米秒；故答案为：3或．【点评】本题考查
了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等．三、解答题（本题共有68分，第17—22题每题5分，第
23—26题每题6分，第27—28题每题7分）17．【分析】根据多项式乘多项式的运算法则计算，再去括号、合并同类项即可得．【解答】
解：原式，故答案为：．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项
式的每一项，再把所得的积相加．18．【分析】多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．【解答】原式
．【点评】本题考查多项式除以单项式．多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加．19．【分析】
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方
法是解本题的关键．20．【分析】原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式．【点评】此题考查了提公因式法与
公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．21．【分析】（1）先证明，再根据即可证明．（2）根据全等三角形的性质即可
解答．【解答】（1）证明：，，在与中；（2），，，，，，．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是
正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．22．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得到，根据角平
分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，再根据角的和差关系求得的度数．【解答】解：，平分，，，，，，，．【点
评】本题考查了等腰三角形的性质，关键是熟练掌握等腰三角形三线合一的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理．23．【分析】首先利用多
项式乘以多项式、多项式乘以单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可．【解答】解：原式，，．原式．【点评】此题主要考
查了整式的混合运算，关键是掌握有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．24．
【分析】（1）结论两人都是正确的．（2）根据全等三角形的判定分别证明即可．【解答】解：（1）两人都正确，故选．（2）甲：如图1中，
垂直平分线段，，，在和中，，．乙：如图2中，，，四边形是平行四边形，，，在和中，，．【点评】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定
等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．25．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证得结论；（2）先由全等三角形
的性质和三角形外角的性质求得，得，再由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可得出结论．【解答】证明：（1）为等边三角形，，，在与
中，，；（2）由（1）知，，，，，，，．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质等
知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．26．【分析】（1）观察各式，即可得出规律：如果、是两个实数，则有；（
2）根据完全平方的计算结果是非负数证明即可；（3）根据规律可得．【解答】解：（1）规律是：如果、是两个实数，则有；（2），，；（3
），，，．故的最大值是4．【点评】此题主要考查了实数的大小的比较以及数字的变化规律，通过阅读题目，发现规律实质上是完全平方公式的变
形：因为，所以．27．【分析】（1）依题意补全图形；（2）由等腰三角形的性质可求的度数，由外角性质可求解；（3）由“”可证，可得，
即可求解．【解答】（1）解：如图，补全图形：（2）解：如图，连接，由对称可知，，，，，，，，，，，；（3）当时，，理由如下：如图，
在上截取，，是等边三角形，，，，，，，即．【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等边三角形的性
质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．28．【分析】（1）①根据等腰三角形的三线合一、等腰直角三角形的性质解答；②根据角
平分线的性质作出线段，；（2）分点在边上、点在边上两种情况，根据关于点的等距点的定义计算；（3）根据角平分线的性质、关于点的等距点的定义计算．【解答】解：（1）①，点是的中点，，点，是关于点的等距点，当，，点是的中点时，，，，线段，不是关于点的等距线段，故答案为：是；不是；②如图1所示，线段，即为所求；（2）显然，点不可能在边上，当点在边上时，如图2所示，是等边三角形，，点，是关于点的等距点，，是等边三角形，；当点在边上时，点，是关于点的等距点，，，综上所述，或2；（3）作于，，，当时，，，此时，点在上，关于点的等距点恰好有3个，，当点为中点时，，在上有且只有一点，使，此时，，综上所述，点在上，关于点的等距点恰好有3个，且其中一个是点，，或，故答案为：或．【点评】本题考查的是关于点的等距点和关于点的等距线段的定义、角平分线的的性质，正确理解关于点的等距点和关于点的等距线段的定义是解题的关键． 2 / 2 |
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