2021北京陈经纶中学分校初二（下）期中数 学一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）若二次根式有意义，则下列数中，实数不可以取的值
是 A．B．0C．1D．22．（3分）中，已知，．要使是直角，的长度是 A．B．C．3D．或3．（3分）已知，，，是正比例函数在第
二象限的图象上的两个点，如果点在点左边，那么，的大小关系是 A．B．C．D．不能确定4．（3分）如图，在四边形中，，，，分别是边，
，，的中点．要使四边形为菱形，可以添加的一个条件是 A．四边形是菱形B．、互相平分C．D．5．（3分）如图，以直角三角形的一条直角
边和斜边为一边作正方形和，它们的面积分别为和，则直角三角形的面积为 A．B．C．D．6．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数为常数
，且的图象一定经过的点是 A．B．C．D．7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于
点，则点的横坐标介于 A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间8．（3分）甲、乙两位运动员在一段2000米长的笔直
公路上进行跑步比赛，比赛开始时甲在起点，乙在甲的前面200米，他们同时同向出发匀速前进，甲的速度是8米秒，乙的速度是6米秒，先到终
点者在终点原地等待．设甲、乙两人之间的距离是米，比赛时间是秒，当两人都到达终点计时结束，整个过程中与之间的函数图象是 A．B．C．
D．二、填空题（本题共有8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）已知，那么 ．10．（3分）已知是的一次函数，如表列出了部分对应
值，则 ．0121.53.511．（3分）如图，在中，，，点在边上，以，为边作，则的度数是 ．12．（3分）如图，点，分别是锐角两
边上的点，，分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，．则根据作图过程判定四边形是菱形的依据是 ．13．（3分）如
图，在矩形中，是上一点，且，，垂足为．在下列结论中①；②；③；④．一定正确的是 （把正确的序号写在横线上）．14．（3分）在平面直
角坐标系中，已知点，直线对应的函数解析式为，平移直线使其经过点，则应向下平移 个单位．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点是
直线上的动点，过点作轴，交直线于点，当时，设点的横坐标为，则的取值范围为 ．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别
为、，欲在轴上找一点，使最短，小白试了四个点、，、、．你认为点的坐标应该为 ，的最小值为 ．三、按要求解答（17-24题，每小题5
分，25-26题，每小题5分，共52分）17．（5分）计算：．18．（5分）已知，，求代数式的值．19．（5分）已知，是常数，是的
正比例函数．当时，；当时，，求与的函数关系式．20．（5分）如图，每个小正方形的边长都是1．、、、均在网格的格点上．（1）是直角吗
？请证明你的判断．（2）直接写出四边形的面积（3）找到格点，并画出四边形（一个即可），使得其面积与四边形面积相等．21．（5分）如
图，五一期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：（1）设租车时间为小时，
租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于的函数解析式；（2）请你帮助小明计算选择哪个出游方案合算．2
2．（5分）已知：如图，点是直线外一点，，两点在直线上，，．（1）按要求作图：（保留作图痕迹）①以为圆心，为半径作弧，再以为圆心，
为半径作弧，两弧交于点；②作出所有以，，，为顶点的四边形；（2）比较在（1）中所作出的线段与的大小关系．23．（5分）四边形中，，
点在边上，点在的延长线上，且点与点关于直线对称，过点作交于点，连接，．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求四边形的面积．24．
（5分）我们设定，当一条直线与一个正方形的边有两个不同的公共点时，称这条直线与这个正方形相交．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶
点为、、．．（1）判断直线与正方形是否相交，如果是，求出交点，否则说明原因；（2）若直线与正方形相交，求的取值范围．25．（6分）
如图，在正方形中，点在边上（点与点、不重合），过点作，与边相交于点，与边的延长线相交于点．（1）与有什么样的数量关系？请直接写出你
的结论： ；（2）、、的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论．（3）如果正方形的边长是1，，直接写出点到直线的距离．26．
（6分）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”，给出如下定义：任意两点横坐标差的最大值称为“水平底” ，任意两点纵坐标差
的最大值称为“铅垂高” ，“水平底” 与“铅垂高” 的乘积为点，，的“矩面积”，即“矩面积” ．例如：点，，，它们的“水平底” ，
“铅垂高” ，“矩面积” ．（1）已知点，，．①若，，三点的“矩面积”为12，写出点的坐标： ；②写出，，三点的“矩面积”的最小值
： ．（2）已知点，，，①当，，三点的“矩面积”取最小值时，写出的取值范围： ；②当时，写出与的函数关系式．2021北京陈经纶中学
分校初二（下）期中数学参考答案一、选择题（每小题3分，共24分）1．【分析】根据二次根式有意义的条件可求解的取值范围，进而可求解．
【解答】解：由题意得，解得，在，0，1，2中实数不可以取的值是2，故选：．【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有
意义的条件是解题的关键．2．【分析】先分析得出为斜边，为直角边，所以用勾股定理可求．【解答】解：是直角，故为的斜边，为直角边，．故
选：．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，用勾股定理的逆定理进行计算是解题关键．3．【分析】利用正比例函数的增减性即可．【解答】解
：，，，是正比例函数在第二象限的图象上的两个点，，随的增大而减小，点在点左边，，．故选：．【点评】本题考查了正比例函数的增减性，熟
记性质是解题的关键．4．【分析】应添加的条件为，理由为：根据、、、分别为、、、的中点，利用三角形中位线定理及，等量代换得到四条边相
等，确定出四边形为菱形，得证．【解答】解：应添加的条件是，理由为：证明：、、、分别为、、、的中点，且，，，，，，则四边形为菱形，故
选：．【点评】此题考查了中点四边形，以及菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．5．【分析】根据勾股定理求出另一条直角
边的长，再根据直角三角形的面积公式求出直角三角形的面积．【解答】解：根据勾股定理可得直角三角形的另一边长为：（厘米），可得这个直角
三角形的面积为：（平方厘米）．故选：．【点评】本题考查了勾股定理和直角三角形面积的求法，理解直角三角形的面积等于其两直角边长乘积的
一半是解题的关键．6．【分析】将一次函数解析式变形为，代入可求出值，此题得解．【解答】解：，，当，即时，，一次函数为常数，且的图象
一定经过的点是．故选：．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．7．【
分析】求出、，根据勾股定理求出，即可得出，求出长即可．【解答】解：点，的坐标分别为，，，，在中，由勾股定理得：，，，点的坐标为，，
，，即点的横坐标介于1和2之间，故选：．【点评】本题考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出的长8
．【分析】先算出甲到达终点的时间，由此算出二者之间的最大距离，再算出乙到达终点的时间，由此找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法
求出函数解析式，根据函数解析式分析四个选项即可得出结论．【解答】解：当甲跑到终点时所用的时间为：（秒，此时甲乙间的距离为：（米，乙
到达终点时所用的时间为：（秒，最高点坐标为．设关于的函数解析式为，当时，有，解得：，此时；当时，有，解得：，此时；当时，有，解得：
，此时．关于的函数解析式为．整个过程中与之间的函数图象是．故选：．【点评】本题考查了函数的图象，解题的关键是根据点的坐标利用待定系
数法求出函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．二、填空题（本题
共有8小题，每小题3分，共24分）9．【分析】利用算术平方根的定义求解即可．【解答】解：，，．故答案为：6．【点评】此题考查了算术
平方根，熟记算术平方根的定义是解题的关键．10．【分析】根据点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数的解析式，再代入即可求出结论．【
解答】解：设一次函数的解析式为．将，代入，，解得：，一次函数的解析式为，当时，，．故答案为：．【点评】本题考查了待定系数法求一次函
数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．11．【分析】根据等腰三角形的
性质可求，再根据平行四边形的性质可求．【解答】解：在中，，，，四边形是平行四边形，．故答案为：．【点评】考查了平行四边形的性质，等
腰三角形的性质，关键是求出的度数．12．【分析】由，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：四边形是菱形．【解答】解：根据作图过
程判定四边形是菱形的依据是：四边相等的四边形是菱形，理由如下：根据题意得：，四边形是菱形，故答案为：四边相等的四边形是菱形．【点评
】此题考查了菱形的判定，是一道基础题，熟记菱形的各种判定方法是解题的关键．13．【分析】先根据已知条件判定，再根据矩形的对边相等，
以及全等三角形的对应边相等进行逐一判断即可．【解答】解：①由矩形，可得，，．又，在和中，，，故①正确；②不一定等于，直角三角形中，
不一定等于的一半，故②错误；③由，可得，由矩形，可得，，故③正确；④由，可得，由矩形，可得，又，，故④正确；故一定正确的是①③④．
故答案为：①③④．【点评】本题主要考查了矩形和全等三角形，解决问题的关键是掌握矩形的性质．14．【分析】表示出平移后的解析式，然后
根据待定系数法即可求得．【解答】解：设直线向下平移的单位经过点，则平移后的解析式为，把点代入得，，解得，故答案为4．【点评】本题考
查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握平移的规律是解题的关键．15．【分析】先确定出，的坐标，进而得出
，即可建立不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：点在直线上，，轴，且点在直线上，，，，，，故答案为：．【点评】此题主要考查了一
次函数图象上点的坐标特征，解不等式，表示出是解本题的关键．16．【分析】利用轴对称的性质，作出关于轴的对称点，连接交轴于点，求出的
关系式即可．【解答】解：作出关于轴的对称点，则，，、、三点共线时，最小，作轴交延长线于，在中，由勾股定理得：，的最小值为10，故答
案为：，10．【点评】本题考查了轴对称求两条线段的和最小问题，作出对称点，利用两点之间，线段最短是解题的关键．三、按要求解答（17
-24题，每小题5分，25-26题，每小题5分，共52分）17．【分析】直接利用立方根的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化
简得出答案．【解答】解：原式．【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．18．【分析】先将题目中所求式子化简，然后
再根据，，求出、的值，再代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：，，，，解得，当，时，原式．【点评】本题考查二次根式的化简求值，
解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．19．【分析】根据正比例函数定义设，则，然后把两组对应值代入得到关于、的方程组，再解方
程组求出、即可．【解答】解：设，则，根据题意得，解得．所以与的函数关系式为．【点评】本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如是常数
，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数．20．【分析】（1）利用勾股定理，判断即可．（2）利用分割法求解即可．（3）取格点，连接
，即可．【解答】解：（1）不是直角．理由：，，，，不是直角．（2）．（3）如图，四边形即为所求作．【点评】本题考查作图应用与设计作
图，勾股定理以及逆定理，四边形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．【分析】（1）应用待定系数法求函
数关系式；（2）利用（1）的结论，找出平衡点分段讨论．【解答】解：（1）设，把点代入，可得，解得，；设，把代入，可得，即，；（2）
当时，，解得；当时，，解得，当时，，解得，当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大
于5小时，选择甲公司合算．【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时注意：求正比例函数，只要一对，的值；而求一次函数，则需要两组
，的值．22．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）有两种情形，分别求解．【解答】解：（1）如图，四边形或四边形即为所求作．（
2）在四边形中，．在四边形中，．【点评】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，注意一题多解．23．
【分析】（1）由折叠的性质可得，，可证，可得，由平行线的性质可得，可得，可得结论；（2）先证四边形是矩形，可得，由折叠的性质可得，
由勾股定理可求，，的长，即可求解．【解答】证明：（1）点与点关于直线对称，，，且，，，，，，，，四边形是菱形；（2）连接，，，，且
，四边形是平行四边形，且，四边形是矩形，，，，设，则，在中，，．．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股
定理，折叠的性质等知识，灵活运用这些性质解决是本题的关键．24．【分析】（1）当、时求出对应的的值就可以求出直线与正方形的交点坐标
而得出结论；（2）分别求出直线经过、、、时的值即可求得．【解答】解：（1）、、．．把代入得，，把代入得，，直线与正方形相交，交点为
，；（2）直线经过时，，直线经过时，，直线经过时，，直线经过时，直线与正方形相交，的取值范围为．【点评】本题考查了直线与正方形的位
置关系的运用，一次函数图象上的点的特征，正方形的性质，解答时求出一次函数的解析式是关键．25．【分析】（1）作，根据正方形的性质得
到，，，得到，利用定理证明，根据全等三角形的性质得到；（2）根据全等三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，等量代换得到答案；（3）
作，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）过点作交于，四边形是正方形，，，，，，，，，，，，在
和中，，，，故答案为：；（2），理由如下：，，，四边形为矩形，，由（1）得，，，，；（3）连接，过点作于，，，正方形的边长为1，的
面积，则，即，解得，，即点到直线的距离为．【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，掌握全等三角
形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．26．【分析】（1）①由题意可得，再分别从当时，，当时，，进行分析求解即可求得答案；②根据题意得：的最小值为2，即可求得，，三点的“矩面积”的最小值；（2）分情况讨论，先建立与的函数关系式，进而确定出的范围，①根据的范围，即可得出答案；②根据讨论即可得出答案．【解答】解：（1）①，，，，当时，，当时，，，，三点的“矩面积”为12，，或，解得：或4，或；故答案为：或；②根据题意得：，的最小值为2，，，三点的“矩面积”的最小值；故答案为：8；（2），，，分情况讨论：Ⅰ、当时，，；Ⅱ、当时，，；Ⅲ、当时，；Ⅳ、当时，，；Ⅴ、当时，；①当，，三点的“矩面积”取最小值时，最小值为15，此时，；故答案为：；②根据上述分情况讨论得：．【点评】本题是三角形综合题，考查了新定义“矩面积”，解题的关键是理解“水平底”与“铅垂高”及“矩面积”，注意运用方程思想和分类讨论思想解决问题． 2 / 2 |
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