2021北京初二（上）期末数学汇编等边三角形一、单选题1．（2021·北京昌平·八年级期末）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点重合）
，连接，点分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（?）A．不变B．一直变小C．先变大后变小D．先变小
后变大2．（2021·北京大兴·八年级期末）如图，点P在∠AOB的平分线上， PC⊥OA于点C, ∠AOB=30°，点D在边OB上
，且OD=DP=2．则线段PC的长度为（ ）A．3B．2C．1D．3．（2021·北京东城·八年级期末）如图，，点P在边上，，点
M、N在边上，，若，则是（?）A．3B．4C．5D．6二、填空题4．（2021·北京西城·八年级期末）如图，是等边三角形，于点D，
于点E．若，则___；与的面积关系是：____．5．（2021·北京顺义·八年级期末）如图，是等边三角形，，与交于点F，则的度数是
__________．6．（2021·北京丰台·八年级期末）如图，在中， ，．于点．如果，那么_____7．（2021·北京东城·
八年级期末）如图，，点，…在射线上，点，…在射线上，且，…均为等边三角形，以此类推，若，则的边长为_______．8．（2021·
北京朝阳·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2，0），若点A在第一象限内，且AB=OB，∠A=60°，则点
A到y轴的距离为______．9．（2021·北京顺义·八年级期末）如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥O
B，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于_____．三、解答题10．（2021·北京昌平·八年级期末）如图
，在ABC中，AB＝AC，BC＝2，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE和CE．（1）补全
图形；（2）若点F是AC的中点，请在BC上找一点P使AP+FP的值最小，并求出最小值．11．（2021·北京石景山·八年级期末）如
图，ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的点，且AD=BE．求证：AE = CD．12．（2021·北京丰台·八年级
期末）已知：如图，，点在射线上，点在射线上(点在点的右侧），且．点关于直线的对称点为，连接．(1）依题意补全图形；(2）猜想线段的
数量关系，并证明．13．（2021·北京丰台·八年级期末）下面是小明设计的“作一个含角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：如图，直
线及直线上一点．求作：， 使得，．作法：如图，①在直线上取点；②分别以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③作直线，交直线于点；④连接
．就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明
：连接，，．，是等边三角形．． ，点在线段的垂直平分线上(①）(填推理的依据）．． ．(②）(填推理的依据）．．14．（2021·
北京东城·八年级期末）已知是等边三角形，点D是的中点，点P在射线上，点Q在线段上，．（1）如图1，若点Q与点B重合，求证：；（2）
如图2，若点P在线段上，，求的值．15．（2021·北京通州·八年级期末）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP=（0°
<<60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE．（1）依题意补全图形；（2）求∠DBC的大小（用含
的代数式表示）；（3）直接写出∠AEB的度数；（4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明．16．（2021·北京大
兴·八年级期末）已知：如图，在△中，∠，△是等边三角形．是线段上任意一点（不与点重合）, ，且．连接DQ，CQ，PQ．（1）求∠A
DQ的度数；（2）若∠CQD=90°，判断线段CQ与AD的数量关系与位置关系并加以证明．17．（2021·北京门头沟·八年级期末）
已知：线段AB及过点A的直线l，如果线段AC与线段AB关于直线l对称，连接BC交直线l于点D，以AC为边作等边△ACE，使得点E在
AC的下方，作射线BE交直线l于点F，连接CF．（1）根据题意将图1补全；（2）如图1，如果∠BAD＝α（30°＜α＜60°）．①
∠BAE=_______，∠ABE=_______（用含有α代数式表示）；②用等式表示线段FA，FE与FC的数量关系，并证明．（3
）如图2，如果60°＜α＜90°，直接写出线段FA，FE与FC的数量关系，不证明．18．（2021·北京延庆·八年级期末）如图，已
知等边三角形ABC，延长BA至点D，延长AC至点E，使AD=CE，连接CD，BE．求证：△ACD≌△CBE．参考答案1．D【分析】
先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得周长为
，最后根据点到直线的距离即可得出答案．【详解】是等边三角形，，，，，又，，，，，在和中，，，，则周长为，在点D从B运动到C的过程中
，BC长不变，AD长先变小后变大，其中当点D运动到BC的中点位置时，AD最小，在点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是先变小后
变大，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是
解题关键．2．C【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PE=PC，再根据直角三角形30°所对的边
等于斜边的一半可得．【详解】解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵∠AOB=30°,点P在∠AOB的平分线上，∴∠AOP=∠POB=
15°，∵OD=DP=2，∴∠OPD=∠POB=15°，∴∠PDE=30°，∴PE=PD=1，∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE
⊥OB，∴PC=PE=1，故选：C．【点睛】此题考查的是角平分线的性质和直角三角形30°所对的边等于斜边的一半的应用、等腰三角形的
性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等和直角三角形30°所对的边是斜边的一半是解题关键．3．B【分析】作PH⊥MN于H，如图，
根据等腰三角形的性质得，，在Rt△POH中由∠POH=60°得到∠OPH=30°，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜
边的一半可得，然后计算OH-MH即可．【详解】解：作PH⊥MN于H，如图，∵，∴在Rt△POH中，∵，∴ ∠OPH=30°，∴，∴
．故选：B．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．此结论是由等边三角
形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．也考查了等腰三角形的性质．4． ；
．【分析】根据等边三角形三线合一性质，可知，再利用30°角所对的直角边等于斜边的一半解得；由解得，继而解得、，再根据三角形面积公式
解得，，整理即可解得的值．【详解】是等边三角形，是的平分线在中，；故答案为：；．【点睛】本题考查等边三角形的性质、含30°角的直角
三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．5．60°【分析】先证明△ABD≌△CAE，可得∠BAD=∠ACE，然
后由三角形外角的性质，∠DFC=∠ACE+∠DAC，等量代换即可求解．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AB=CA，∠B=∠CAB
=60°，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE，∴∠BAD=∠ACE，∵∠BAD+∠DAC=∠BAC=60°，∴∠ACE
+∠DAC=60°，∵∠DFC=∠ACE+∠DAC，∴∠DFC=60°．【点睛】考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，
解题关键是找出∠ACE=∠BAD和利用全等三角形的性质找出相等的边角关系．6．【分析】根据余角的性质，可得到∠BCD=30°，从而
得到BC=2BD，进而由∠A=30°，得到AB=2BC，即可求出结果．【详解】∵，，∴，则在中，，∴在中，，∴，故答案为：．【点睛
】本题考查含角的直角三角形中三边关系，熟记基本定理是解题关键．7．．【分析】根据，，是等边三角形，得，进而得，，可得，以此类推即可
求解．【详解】解：∵，，是等边三角形，∴∴∴∴同理：，，…均为等边三角形，，…则的边长为．故答案是：．【点睛】本题考查了规律型-图
形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．8．1【分析】过A作AC⊥OB，首先证明△AOB是等边三角形，再求出OC的长即
可．【详解】解，过A作AC⊥OB于点C，∵AB=OB，∠A=60°∴∠AOB=60°且△AOB是等边三角形，∵点B的坐标为（2，0
）∴OB=2∵AC⊥OB∴ 故答案为：1．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质，掌握等边三角形的性质是解答此题的关键．9．2【分
析】作PE⊥OA于E，根据三角形的外角的性质得到∠ACP=30°，根据直角三角形的性质得到PE=PC=2，根据角平分线的性质解答即
可.【详解】作PE⊥OA于E，∵CP∥OB，∴∠OPC=∠POD，∵P是∠AOB平分线上一点，∴∠POA=∠POD=15°，∴∠A
CP=∠OPC+∠POA=30°，∴PE=PC=2，∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PD=PE=2，故答案为
：2．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．10．（1）补全图见解析；（2）A
P+FP的值最小值为 【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）连接EF交BC于点P，此时AP+FP的值最小，求出EF的值即可．【
详解】解：（1）补全图形如下：（2）连接EF交BC于点P，∵AB＝AC，BC＝2，AD⊥BC于点D，∠BAC＝120°，∴， ∵D
E=AD，AD⊥BC，∴BC为AE的垂直平分线，∴CA=CE，AP=EP，∴AP+FP=EP+PF，最小为EF，△ACE为等边三角
形，∵点F是AC的中点，∴EF⊥AC，∴，AP+FP的值最小值为 ．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，三线合一，线段垂直平分
线的性质和判定等，解题的关键是在（1）中能根据题意正确画出图形是解题关键；（2）中能结合线段垂直平分线的性质得出最小值为EF和理解
等边三角形三高相等．11．证明见解析【分析】通过证明≌即可得证．【详解】解：∵ABC是等边三角形，D，E分别是BA，CB延长线上的
点，∴，，在和中，，∴≌，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．12．（1）见解析；（2）
，见解析【分析】(1)根据要求画出图形即可．(2)首先根据对称得，可得再根据已知条件得，再根据三角形的内角和与外角可得，，可得出是
等边三角形，根据等量代换可得；【详解】解：图即为所做； 猜想：．证明：连接．点关于直线的对称点为，点在射线上，．，．即．在中，，是
等边三角形．．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称，三角的内角和，外角定理，等边三角形的判定和性质，属于常考题型．13．（
1）见解析；（2），①与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②直角三角形的两个锐角互余【分析】（1）根据要求作出图形
即可．（2）先证明△ABD是等边三角形，再证明BE是线段AD的垂直平分线，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可解决问题．【详解】（
1）解：如图，△ABC即为所求．?（2）证明：连接，，．，是等边三角形，．ED，点在线段的垂直平分线上 (与线段两个端点距离相等的
点在这条线段的垂直平分线上），． ， (直角三角形的两个锐角互余），．故答案为：ED；①与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直
平分线上；②直角三角形的两个锐角互余．【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的判定和性质等知识，线段垂直平分线的判定与性质，直
角三角形两锐角互余，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．14．（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由等边三角形的性质证明
再利用三角形的内角和定理求解 从而可得结论；（2）过点D作交于点E，先证明为等边三角形，再证明，可得 从而可得答案．【详解】证明：
（1）∵为等边三角形，∴∵D为的中点，∴平分，∴．∵，∴，∴，∴．（2）过点D作交于点E．∵为等边三角形，，点D是的中点，∴．∵，
∴．，∴为等边三角形，，∴，∴．∵， ∴．∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的性质与判定，三角形的全
等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．15．（1）见解析；（2）；（3）60°；（4）；证明见解析【分析】（1）根据对称性即可
补全图形；（2）连接CD，根据对称性得到，从而得到，再根据即可求解；（3）根据对称性可得=，再根据角度的八字模型即可得到∠AEB=
，故可求解；（4）在EB上截取，连接AF，得到△AEF是等边三角形，根据△ABC是等边三角形得到，，进而证明△BAF≌△CAE，得
到BF=CE，再根据对称性得到AE=DE，故可得到．【详解】（1）依题意补全图形；（2）解： 连接CD.∵线段AC和DC关于射线C
P的对称，∴，. ∵△ABC是等边三角形，∴，. ∴，.∴.（3）根据对称性可得=∵∴∠AEB==60°（4）结论：. 在EB上截
取，连接AF.∵，∴△AEF是等边三角形，∴，. ∵△ABC是等边三角形，?∴，. ∴. ∴ .在△BAF 和△CAE中∵ ∴ △
BAF≌△CAE（SAS）?∴ BF=CE（全等三角形的对应边相等）?∵点A和点D关于射线CP的对称，∴ AE=DE.?∴．【点睛
】此题主要考查轴对称与几何综合，解题的关键是熟知等边三角形的性质、旋转的性质及对称性的应用．16．（1）；（2）线段CQ与AD的数
量关系是：， 位置关系是：∥，证明见解析 ．【分析】（1）证明△≌△，即可得到=；（2）根据，，证得∥，由△ACD是等边三角形，求
出，推出，即可得到结论．【详解】（1）∵∠，AP=AQ， ∴ △APQ是等边三角形，?又∵△是等边三角形，? ∴，， ∴， 在△和
△中，?∴△≌△，∴，?∵，∴； （2）线段CQ与AD的数量关系是：，位置关系是：∥，∵，，∴，∴∥，∵△ACD是等边三角形，∴，
，∴， ∴，∴．【点睛】此题考查等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，平
行线的判定定理，熟记全等三角形的判定定理证得△≌△是解题的关键．17．（1）作图见解析；（2）①，；②FA=FC +FE，证明见解
析；（3）AF=FC-EF．【分析】（1）先根据轴对称的性质作出线段AC，再分别以A、C为圆心，AC长为半径画弧，两弧交于点E，可
得等边△ACE，最后根据题意画出图形即可；（2）①根据轴对称的性质可得∠BAC=2∠BAD=2，根据等边三角形的性质可知∠EAC=
60°，根据角的和差关系即可表示出∠BAE；根据轴对称的性质和等边三角形的性质可得AB=AE，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定
理即可表示出∠ABE；②在FA上截取FG=EF，连接EG，利用三角形内角和定理可得∠AFB=60°，即可证明△EFG是等边三角形，
根据角的和差故选可得∠AEG=∠CEF，利用SAS可证明△AEG≌△CEF，即可得出AG=CF，根据线段的和差关系即可得结论；（3
）由60°＜α＜90°可知点E在直线l右侧，根据题意画出图形，在FA上截取FG=EF，根据轴对称的性质可得AF⊥BC，BF=CF，
根据（2）中结论可得∠FBC=∠FCB=30°，利用三角形外角性质可得∠GFE=60°，可证明三角形EFG是等边三角形，利用SAS
可证明△AEF≌△CEG，可得FA=CG，根据线段的和差关系即可得答案．【详解】（1）补全图形如下：（2）①，①∵AB、AC关于直
线l对称，∴∠BAD=∠CAD，AB=AC，∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC=60°，AE=AC=EC，∵∠BAD=，∴∠BAC
=BAD+∠CAD=2∠BAD=2，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=2-60°．∵AB=AC，AC=AE，∴AB=AE，∴∠ABE
=（180°-∠BAE）=120°-．故答案为：2-60°，120°-②数量关系是FA =FC +FE，证明如下：在FA上截取FG
=EF，连接EG，由①得，∠ABE=120°-α，∠BAD=α，∴∠AFB=180°-∠ABE-∠BAD=60°，∴△EFG为等边
三角形，∴EG=FE=FG，∠GEF=60°，∵△AEC是等边三角形，∴∠AEC=60°，AE=CE，∴∠AEC=∠GEF=60°
，∴∠AEC-∠GEC=∠GEF-∠GEC，即∠AEG=∠CEF，在△AEG和△CEF中，，∴△AEG≌△CEF，∴AG=FC∴F
A=AG+FG=FC+FE，（3）AF=FC-EF．∵60°＜α＜90°，∴如图所示，点E在直线l右侧，在FA上截取FG=EF，连
接EG，∵AB、AC关于直线l对称，点F在直线l上，∴AF⊥BC，BF=CF，∴∠ABC=∠ACB=90°-α，由（2）可知∠ABE=120°-α，∴∠FBC=∠FCB=120°-α-（90°-α）=30°，∴∠EFG=∠FBC+∠FCB=60°，∴△EFG是等边三角形，∴∠FEG=60°，∵∠AEC=60°，∴∠AEF+∠AEG=∠CEG+∠AEG=60°，∴∠AEF=∠CEG，在△AEF和△CEG中，，∴△AEF≌△CEG，∴AF=CG，∴AF=FC-EF．【点睛】本题考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，根据轴对称的性质正确得出对应边并熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．18．见解析【分析】根据等边三角形的性质求得AC=BC，∠DAC=∠BCE，再根据SAS证明△ACD≌△CBE．【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠CAB=∠ACB=60°，∴∠DAC=∠BCE=120°，在△ACD和△CBE中，∵AD=CE，∴△ACD≌△CBE（SAS）．【点睛】考查了全等三角形的判定定理、等边三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 1 / 1 |
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