2021北京平谷初二（下）期末数 学一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 《国家宝藏》
节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下
面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点M（2，3）在（
）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）A. 对角线互相平分B
. 对角线相等C. 对角线互相垂直D. 四边相等4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）A. B. C. D.
5. 一次函数y＝﹣2x+3的图象不经过的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 足球的照片
（如图），则照片中心的一块黑色皮块的内角和是（ ）A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°7. 在一幅长80c
m，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽
为xcm，那么x满足的方程是（ ）A. x2+130x﹣1400＝0B. x2+65x﹣350＝0C. x2﹣130x﹣1400
＝0D. x2﹣65x﹣350＝08. 如图，四边形 ABCD 是菱形，其中 A，B 两点的坐标为A（0，3），B（4，0），则点
D 的坐标为（ ）A. （0，1）B. （0，-1）C. （0，2）D. （0，－2）二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9. 反比例函数图象经过点P（﹣1，2），则此反比例函数的解析式为________．10. 已知点 A（x，-2）与 B（6，y）
关于原点对称，则 x+y＝ ________．11. 如图，中两个邻角的度数比为1：3，则其中较小的内角的度数为 _______．
12. 函数和的图象交于点 P (3，-2 )，则根据图象可得，关于 的二元一次方程组的解是 ________．13. 如图，矩
形ABCD中，E，F分别是AB， AD的中点，若EF=3，则AC的长是_______． 14. 要从小华、小明两名射击运动员中选择
一名运动员参加射击比赛，在赛前对他们进行了一次选拔赛，下图为小华、小明两人在选拔赛中各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线．
你认为应该选择______（填“小华”或“小明”）参加射击比赛；理由是__________．15. 若一元二次方程有一个根为，则=
_____．16. 图中菱形的两条对角线长分别为和，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如图所示的图形，则图中
菱形的面积等于__________；图中间的小四边形的面积等于__________．三、解答题（本题共68分，第17题10分，第1
8-23题，每题5分，第24、25题每小题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解方程：（1）；（2）．18. 在
平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与x轴交于A点 （2，0）与轴交于点B（0，1）．（1）求直线AB的解析式；（2）点M（1，y
1），N（3，y2）在直线AB上，比较y1与y2的大小.（3）若x轴上有一点C，且S△ABC=2，求点C坐标19. 如图，在直角△
中，点，，分别是边，， 的中点．（1）求证：四边形矩形；（2）若，，求出矩形的周长．20. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根
．（1）求的取值范围；（2）请选择一个符合条件的整数k，并求方程的根．21. “五一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二
天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用
为元，分别求出，关于x的函数表达式；（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．22. 下面是小红设计的“在矩形内作正方形”的尺
规作图过程．已知：四边形ABCD为矩形．求作：正方形ABEF（E在BC上，点F在AD上）．作法：①以A为圆心，AB为半径作弧， 交
AD于点F；②以B为圆心，AB为半径作弧， 交 BC于点E；③连接EF．所以四边形ABEF为所求的正方形．（1）根据小红设计的尺
规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明．证明：∵AF=AB，BE=AB∴ =_____在矩形A
BCD中，AD∥BC，即AF∥BE∴四边形ABEF平行四边形∵∠A=90°∴为矩形（ ）∵AF=AB，∴四边形ABEF为正方形 （
）23. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．做好垃圾分类有减少环境污
染，节省土地资源等好处．平谷区广大党员积极参与社区桶前职守活动．其中，A社区有500名党员，为了解本社区3月—4月期间党员参加桶前
职守的情况，A社区针对桶前职守的时长随机抽取50名党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a．桶前职守时
长的频数分布表 时长x/小时频数频率0 ≤ x < 1080.1610 ≤ x < 20100.2020 ≤ x < 3016b3
0 ≤ x <401202440 ≤ x <50a0.08b．桶前职守时长的频数分布直方图c．其中，时长在20≤ x < 30这一
组的数据是：20 20 21 21 22 24 24 26 26 27 27 28 28 28 29 29．请根据所给信息，解答下
列问题：（1）a= ，b= ；（2）请补全频数分布直方图；（3）其中这50名党员桶前职守时长的中位数是 ；（4）估计3月—4月期间
A社区党员参加桶前职守的时长不低于30小时的有 人．24. 如图，在正方形ABCD中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点
A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交AQ于点F，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）
用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．25. 对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点
P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”．（1）点A关于
原点O的“垂直图形”为点B． ①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为________；②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标
为________．（2）E（-3，3），F（a，0）．点E关于点F的“垂直图形”记为，求点的坐标（用含a的式子表示）．参考答案一
、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，
通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标
志，其中是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形
能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；B．不是中心对称图形，故
本选项不合题意；C．是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了中心
对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2. 在平面直角坐标系中，点M（2，3）在（ ）A. 第一象限
B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】根据横坐标大于0，纵坐标大于0，则这点在第一象限．【详解】解：
∵2＞0，3＞0，∴（2，3）在第一象限，故选：A．【点睛】本题考查了点的坐标，四个象限内坐标的符号：第一象限：+，+；第二象限：
﹣，+；第三象限：﹣，﹣；第四象限：+，﹣；是基础知识要熟练掌握．3. 矩形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）A. 对角线互相
平分B. 对角线相等C. 对角线互相垂直D. 四边相等【答案】B【解析】【分析】平行四边形的性质矩形都满足，而矩形具有四边形不具有
的性质为：四个角都是直角，对角线相等【详解】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，平行四边形的对角线互相平分；∴矩形具有而平行四边形不
具有的性质是对角线相等； 而四边相等和对角线互相垂直则是菱形具有的性质.故选B．【点睛】主要考查几种特殊的四边形的性质，不要弄混，
较为简单.4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据配方法解
一元二次方程的方法求解即可．【详解】解：．故选：B．【点睛】此题考查了配方法解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握配方法解一元
二次方程的方法．5. 一次函数y＝﹣2x+3的图象不经过的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C【解析】【详解】试题解析：∵k=-2＜0，∴一次函数经过二四象限；∵b=3＞0，∴一次函数又经过第一象限，∴一次函数y=
-x+3的图象不经过第三象限，故选C．6. 足球的照片（如图），则照片中心的一块黑色皮块的内角和是（ ）A. 180°B. 3
60°C. 540°D. 720°【答案】C【解析】【分析】根据多边形内角和公式：，代入即可求得答案．【详解】照片中黑色皮块为五边
形，即，将其代入内角和公式为：，故选：C．【点睛】题目主要考察对多边形内角和公式的运用，对公式的记忆及熟练运用是解题关键．7. 在
一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设
金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（ ）A. x2+130x﹣1400＝0B. x2+65x﹣350＝0C. x2﹣130
x﹣1400＝0D. x2﹣65x﹣350＝0【答案】B【解析】【分析】先用表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于的方
程．【详解】解：由题意可知：挂图的长为，宽为，， 化简得：x2+65x﹣350＝0，故选：B．【点睛】本题主要是考查了一元二次方程
的实际应用，熟练根据等式列出对应的方程，是解决该类问题的关键．8. 如图，四边形 ABCD 是菱形，其中 A，B 两点的坐标为A（
0，3），B（4，0），则点 D 的坐标为（ ）A. （0，1）B. （0，-1）C. （0，2）D. （0，－2）【答案】D
【解析】【分析】菱形在坐标系中，已知两点坐标，可根据勾股定理确定AB长度，菱形四边都相等，所以可得OD长度，依据点D在坐标系中的位
置即可得坐标．【详解】解：∵A、B两点的坐标分别为（0，3），（4，0），∴在中，，，∴，∵四边形ABCD为菱形，∴，∴，又∵点D
位于y轴的负半轴，∴点D的坐标为：（0，-2），故选：D．【点睛】题目主要考察菱形的性质及勾股定理、确定点的坐标等，利用勾股定理确
定边长是解题关键，同时，应注意所求点的位置．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. 反比例函数的图象经过点P（﹣1，2），则此
反比例函数的解析式为________．【答案】y=﹣【解析】【分析】设反比例函数的解析式为 ，由已知把（-1，2）代入解析式求得k
的值，即可求出解析式.【详解】设反比例函数的解析式为 ，把（-1，2）代入则有，解得：k=-2，所以反比例函数的解析式为：y=﹣，
故答案为y=﹣.【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键.10. 已知点 A（x，-2）与
B（6，y）关于原点对称，则 x+y＝ ________．【答案】【解析】【分析】根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点对称点是
可得答案．【详解】解：与，关于原点对称，，，故答案是：．【点睛】本题考查了关于原点对称点的性质，解题的关键是：正确记忆两个坐标之间
横纵坐标之间的关系．11. 如图，中两个邻角的度数比为1：3，则其中较小的内角的度数为 _______． 【答案】45°【解析】【
分析】首先设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°，由平行四边形的邻角互补，即可得x+3x=180，继而求得答案．【详解】解：∵平
行四边形中两个内角的度数之比为1：3，∴设平行四边形中两个内角分别为x°，3x°，∴x+3x=180，解得：x=45，∴其中较小的
内角是45°．故答案为：45°．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的邻角互补是解答此题的关键．12. 函数和的图象
交于点 P (3，-2 )，则根据图象可得，关于 的二元一次方程组的解是 ________．【答案】【解析】【分析】根据函数图象交
点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得出答案．【详解】解：∵函数和的图象交于点 P (3，-2 )，∴方程组的解是，故答案为：【点
睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐
标为两函数解析式组成的方程组的解．13. 如图，矩形ABCD中，E，F分别是AB， AD的中点，若EF=3，则AC的长是_____
__． 【答案】6【解析】【分析】由三角形中位线定理可求BD=6，由矩形的对角线的相等可求解．【详解】解：如图连接AC，BD， ∵
E，F分别是AB，AD的中点，EF=3，∴BD=2EF=6，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=6，故答案为6．【点睛】本题考查
了矩形的性质，三角形中位线定理，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．14. 要从小华、小明两名射击运动员中选择一名运动员参加射击比赛
，在赛前对他们进行了一次选拔赛，下图为小华、小明两人在选拔赛中各射击10次成绩的折线图和表示平均数的水平线．你认为应该选择____
__（填“小华”或“小明”）参加射击比赛；理由是__________．【答案】 ①. 小明 ②. 小明的成绩更稳定【解析】【分析】
根据两个折线统计图可以看出二人的平均成绩相同，但小明的成绩更稳定，即可做出选择．【详解】解：由折线统计图可以看出，小华和小明的平均
成绩相同，都是7.5，但小明的成绩比较稳定．故答案为：小明；小明的成绩更稳定．【点睛】本题考查了平均数与方差等知识，平均数反映了一
组数据的集中趋势，方差反映了一组数据的离散程度，方差越小，成绩越稳定，方差可以通过计算，也可以通过统计图进行观察比较大小．15.
若一元二次方程有一个根为，则=_____．【答案】-1【解析】【分析】把x=0代入方程（k-1）x2+3x+k2-1=0，解得k的
值．【详解】解：把x=0代入一元二次方程（k-1）x2+3x+k2-1=0，得k2-1=0，解得k=-1或1；又k-1≠0，即k≠
1；所以k=-1．故答案：-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，此题应特别注意一
元二次方程的二次项系数不得为零．16. 图中菱形的两条对角线长分别为和，将其沿对角线裁分为四个三角形，将这四个三角形无重叠地拼成如
图所示的图形，则图中菱形的面积等于__________；图中间的小四边形的面积等于__________．【答案】 ①. 24
②. 1【解析】【分析】根据菱形的面积等于对角线长乘积的一半，求出图1菱形的面积，再根据菱形的对角线长可得菱形边长为5，进而可得
图2中间的小四边形的面积是边长为5的正方形的面积减去菱形的面积．【详解】∵图1中菱形的两条对角线长分别为6和8，∴菱形的面积等于×
6×8＝24，菱形的边长等于＝5，∴图2中间的小四边形的面积等于25?24＝1．故答案为：24，1．【点睛】本题考查了图形的剪拼、
菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．三、解答题（本题共68分，第17题10分，第18-23题，每题5分，第24、25题每小
题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. 解方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用
因式分解法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【详解】（1），，，（2），由于a=3，b=5，c=-2，，，．【点睛】本题主要考查
解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的
方法是解题的关键．18. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与x轴交于A点 （2，0）与轴交于点B（0，1）．（1）求直线AB
的解析式；（2）点M（1，y1），N（3，y2）在直线AB上，比较y1与y2的大小.（3）若x轴上有一点C，且S△ABC=2，求点
C的坐标【答案】（1）；（2）y1＞y2；（3）或．【解析】【分析】（1）设直线AB解析式为y＝kx+b（k≠0），将点A（2，0
），B（0，1）代入，即可求解析式；（2）由k＝﹣＜0，可知y值随x值的增大而减小，只要比较﹣1与3的大小即可；（3）设点C（x，
0），则AC＝|2﹣x|，由面积可得×|2﹣x|×1＝2，求出x＝﹣2或x＝6即可求C点坐标．【详解】（1）解：设直线AB的解析式
为∵A（2，0）B（0,1）∴解得：k=，b=12∴直线AB的解析式为（2）∵y＝﹣x+1中k＝﹣＜0，∴y值随x值的增大而减小，
∵﹣1＜3，∴y1＞y2；（3）∵x轴上有一点C，设点C（x，0），∴AC＝|2﹣x|，∵S△ABC＝2，∴×|2﹣x|×1＝2，
∴x＝﹣2或x＝6，∴C（﹣2，0）或C（6，0）．【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，（3）问中，要注意AC＝|2﹣x|，从而
确定C点有两个，切勿丢解．19. 如图，在直角△中，点，，分别是边，， 的中点．（1）求证：四边形为矩形；（2）若，，求出矩形的周
长．【答案】（1）见解析；（2）矩形ADEF的周长为．【解析】【分析】（1）连接DE．根据三角形的中位线的性质即可得到结论；（2）
根据矩形的性质得到∠BAC＝∠FEC＝90°，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接DE．∵E，F分别是边AC，BC的
中点，∴EF∥AB，EF＝AB，∵点D是边AB的中点，∴AD＝AB．∴AD＝EF．∴四边形ADFE为平行四边形；由点D，E分别是边
AB，AC的中点，∴DE＝BC．∵在直角△ABC中，点F是边BC的中点，∴BC＝2AF，∴DE＝AF，∴四边形ADFE为矩形；（2
）解：∵四边形ADFE为矩形，∴∠BAC＝∠FEC＝90°，∵AF＝2，∴BC＝4，CF＝2，∵∠C＝30°，∴AC＝2，CE＝，
EF＝1，∴AE＝，∴矩形ADFE的周长＝2+2．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，三角形的中位线的性质，解直角三角形，熟练掌握
矩形的判定和性质是解题的关键．20. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）请选择一个符合条件的整数k
，并求方程的根．【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的判别式判断即可．（2）选择一个符合条件的整数k，
求解一元二次方程即可．【详解】（1），∵一元二次方程有两个不相等的实数根，∴解得：．（2）当k=0时，原方程为，，或，解得：．【点
睛】此题考查了一元二次方程的判别式和解法，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的判别式和解法．21. “五一”期间，小明一家乘坐高铁前
往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：（1）设租车时间为x小时，租用甲公司的车所需费用为元，租
用乙公司的车所需费用为元，分别求出，关于x的函数表达式；（2）请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算．【答案】（1）y1=15x+
80（x≥0）；y2=30x（x≥0）；（2）当租车时间为小时，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时
间大于小时，选择甲公司合算．【解析】【分析】（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法求得y1，y2关于x的函数表达式即可；（
2）当y1=y2时，15x+80=30x，当y1>y2时，15x+80>30x，当y1 ．【详解】（1）设y1=k1x+80，把点（1，95）代入，可得95=k1+80，解得k1=15，∴y1=15x+80（x≥0）；
设y2=k2x，把（1，30）代入，可得30=k2，即k2=30，∴y2=30x（x≥0）；（2）当y1=y2时，15x+80=3
0x，解得x=；当y1＞y2时，15x+80＞30x，解得x＜；当y1＜y2时，15x+80＜30x，解得x＞；∴当租车时间为小时
，选择甲乙公司一样合算；当租车时间小于小时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时，选择甲公司合算．【点睛】此题考查了用待定系数法求一
次函数关系式以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系并列式．22. 下面是小红设计的“在矩形内作正方形”的尺规作图
过程．已知：四边形ABCD为矩形．求作：正方形ABEF（E在BC上，点F在AD上）．作法：①以A为圆心，AB为半径作弧， 交 AD
于点F；②以B为圆心，AB为半径作弧， 交 BC于点E；③连接EF．所以四边形ABEF为所求的正方形．（1）根据小红设计的尺规作图
过程，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面证明．证明：∵AF=AB，BE=AB∴ =_____在矩形ABCD
中，AD∥BC，即AF∥BE∴四边形ABEF为平行四边形∵∠A=90°∴为矩形（ ）∵AF=AB，∴四边形ABEF为正方形 （ ）
【答案】（1）见解析；（2）AF BE，有一个角为90°的平行四边形为矩形，有一组邻边相等的矩形为正方形．【解析】【分析】1）根据
要求作出图形即可．（2）首先证明ABEF是平行四边形，再证明是矩形，再证明是正方形即可．【详解】（1）如图所示．（2）∵AF=AB
,BE=AB∴AF=BE 在矩形ABCD中，AD∥BC,即AF∥BE∴四边形ABEF为平行四边形∵∠A=90°∴为矩形（有一个角为
90°的平行四边形为矩形）∵AF=AB，∴四边形ABEF为正方形（有一组邻边相等的矩形为正方形）【点睛】本题考查复杂作图，平行四边
形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的判定等知识，解题的关键是正确作出点E，点F．23. 垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分
类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称．做好垃圾分类有减少环境污染，节省土地资源等好处．平谷区广大党员积极参与社
区桶前职守活动．其中，A社区有500名党员，为了解本社区3月—4月期间党员参加桶前职守的情况，A社区针对桶前职守的时长随机抽取50
名党员进行调查，并对数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a．桶前职守时长的频数分布表 时长x/小时频数频率0 ≤ x
< 1080.1610 ≤ x < 20100.2020 ≤ x < 3016b30 ≤ x <40120.2440 ≤ x <5
0a0.08b．桶前职守时长的频数分布直方图c．其中，时长在20≤ x < 30这一组的数据是：20 20 21 21 22 24
24 26 26 27 27 28 28 28 29 29．请根据所给信息，解答下列问题：（1）a= ，b= ；（2）请补全频数
分布直方图；（3）其中这50名党员桶前职守时长的中位数是 ；（4）估计3月—4月期间A社区党员参加桶前职守的时长不低于30小时的有
人．【答案】（1）4， 032；（2）补全频数分布直方图见解析；（3）25；（4）160．【解析】【分析】（1）根据频率＝频数÷
总数求解可得；（2）根据（1）中a的值，即可将频数分布直方图补充完整；（3）根据中位数的概念找到第25、26个数据，再取其平均数即
可得；（4）用总人数乘以样本中参加桶前职守的时长不低于30小时的人数所占比例即可得．【详解】解：（1）a＝0.08×50＝4，b＝
16÷50＝0.32，故答案为：4，0.32；（2）补全直方图如下：（3）随机抽取的50名党员桶前职守的时长的中位数是第25、26
个数据的平均数，而第25、26个数据分别为24、26，所以随机抽取的50名党员桶前职守的时长的中位数是 ＝25；故答案为：25；（
4）估计3月—4月期间A社区党员参加桶前职守的时长不低于30小时的约有500× ＝160（人），故答案为：160．【点睛】本题主要
考查频数（率）分布直方图，解题的关键是掌握频率＝频数÷总数、中位数的概念及利用样本估计总体思想的运用．24. 如图，在正方形ABC
D中，点P在直线BC上，作射线AP，将射线AP绕点A逆时针旋转45°，得到射线AQ，交直线CD于点Q，过点B作BE⊥AP于点E，交
AQ于点F，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE，EF，DF之间的数量关系，并证明．【答案】（1）补全图形见解
析；（2）BE+DF=EF，证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可．（2）延长FE到H,使EH=EF，根据题意证明
△ABH≌△ADF，然后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）补全图形（2）BE+DF=EF．证明：延长FE到H,使EH=E
F∵BE⊥AP，∴AH=AF，∴∠HAP=∠FAP=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°∴∠BAP+∠2=45°，∵∠1+∠BAP=45°∴∠1=∠2，∴△ABH≌△ADF，∴DF=BH，∵BE+BH=EH=EF，∴BE+DF=EF．【点睛】此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．25. 对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D为点C关于点P的“垂直图形”．（1）点A关于原点O“垂直图形”为点B． ①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为________；②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为________．（2）E（-3，3），F（a，0）．点E关于点F“垂直图形”记为，求点的坐标（用含a的式子表示）．【答案】（1）①（2，0）； ②（-1，2）；（2）（a+3，a+3）．【解析】【分析】（1）①根据定义，作出点B，可得结论．②根据定义，作出点A，可得结论．（2）如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，过点E′作E′K⊥x轴于K．构造全等三角形，可得结论．【详解】（1）①如图1,故答案为：（2，0）；②如图2,故答案为：（-1，2）．（2）如图3，过点E作EH⊥x轴于H，过点E′作E′K⊥x轴于K． ∴∠E=∠E′FK，在△EHF和△FKE′中， ， ，∵E（-3，3），G（a，0），∴H（-3，0）．∴HF=∣a+3∣，EH=FK=3．∴E′K=∣a+3∣，OK=|a+3|故答案为：【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 1 / 1 |
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