2021北京清华附中初二（上）期中数 学一、选择题（每题3分，共24分）1．现实生活中，对称现象无处不在，中国的汉字中有些也具有对称性，下
列字是轴对称图形的是（ ）A．诚B．信C．友D．善2．已知一个正方形?边长为a+1，则该正方形的面积为（ ）A．a2+2a+1
B．a2﹣2a+1C．a2+1D．2a+13．已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）A．10B．15C
．17D．194．下列各式运算结果为a9的是（ ）A．a6+a3B．a3?a3C．（a3）3D．a18÷a25．如图△ABC中，
AB＝AC，AD，CE分别是中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（ ）A．20°B．35°C．40°D．70°
6．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A．﹣a2﹣b2B．x2+（﹣y）2C．（﹣x）2+（﹣y）2D．﹣m2+17．
如图，网格中的每个小正方形边长均为，△ABC的顶点均落在格点上，若点A的坐标为（﹣2，﹣1）．则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐
标为（ ）A．（0，1）B．（1，0）C．（0，0）D．（1，﹣1）8．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，A
D⊥DC于D，点O是线段AD上一点，点P是BA延长线上一点，若OP＝OC，则下列结论①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠D
CO；③△POC是等边三角形；④AB＝OA+AP．其中正确的是（ ）A．①③④B．①②③C．②③④D．①②③④二、填空题（每题3
分，共24分）9．若（2x﹣1）0＝1，则x≠ ．10．若点A（m，n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是
．11．若（x+m）（x﹣2）的乘积中不含x的一次项，则m＝ ．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠B
AD＝∠CAE，若BC＝16，DE＝6，则CE的长为 ．13．若关于x代数式x2+4mx+4是完全平方式，则常数m＝ ．
14．已知a2﹣2a＝5，则代数式（a﹣2）2+2（a+1）的值为 ．15．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于
点D，若BD＝5，AD＝3，P是直线MN上的任意点，则PA+PC的最小值是 ．16．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、
②两种方式摆放，则图②的大正方形中，未被小正方形覆盖部分的面积是 .（用含a，b的代数式表示）三、解答题（共52分）17．计
算：（1）2x3y?（﹣3xy2）（2）[（x+1）（x+2）﹣2]÷x（3）（a+b+2c）（a+b﹣2c）18．因式分解：（1
）2a3+6ab（2）5x2﹣5y2（3）﹣3x2+6xy﹣3y219．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，DE⊥
AB于E，DF⊥AC于F．求证：DE＝DF．20．运用所学乘法公式等进行简便运算：（1）（﹣0.125）11×811（2）9.92
（3）21．已知，求代数式（x﹣1）2+x（x﹣4）+（x+2）（x﹣2）的值．22．如图，在2×2的正方形格纸中，△ABC是以格
点为顶点的三角形，也称为格点三角形，请你在该正方形格纸中画出与△ABC成轴对称的所有的格点三角形（用阴影表示）．23．如图，△AB
C是等边三角形，D点是AC上一点，BD＝2CD，DE⊥AB于点E，CE交AD于点P．求∠APE的度数．24．阅读下列文字：我们知道
，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庆先生曾经说“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法
计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．（1）模拟练习：如图，写出一个我们熟悉的数学公式： ；（2）解决问题：如果a+b＝10
，ab＝12，求a2+b2的值；（3）类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝
20，求这个长方形的面积．25．我们规定：若实数a与b的平方差等于80，则称实数对（a，b）在平面直角坐标系中对应的点为“双曲点”
：若实数a与b的平方差等于0，则若实数对（a，b）在平画直角坐标系中对应的点为“十字点”．（1）若P（a，b）为“双曲点“，则a，
b应满足的等量关系为 ；（2）在点A（8，4），B（﹣12，8），C（21，19），D（40，4）中，是“双曲点”的有
；（3）若点B（9，k）是“双曲点”，求k的值；（4）若点A（x，y）为“十字点“，点B（x+5y，5y﹣x）足“双曲点”，求x
，y的值．26．如图，点C是线段AB上一点，△ACF与△BCE都是等边三角形，连接AE，BF．（1）求证：AE＝BF；（2）若点M
，N分别是的中点AE，BF，连接CM，MN，NC．①依题意补全图形；②判断△CMN的形状，并证明你的结论．四、附加题：（共20分，
每题4分）27．已知a＝817，b＝279，c＝913，则a，b，c的大小关系是（ ）A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．a＜b＜c
D．b＞c＞a28．若实数x满足x2﹣2x﹣1＝0，则2x3﹣2x2﹣6x+2020＝ ．29．等腰三角形一腰上的高与另一腰的
夹角为54°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．30．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，?在射线ON⊥，点B1，
B2，B3，?在射线OM上，ΔA1B1A2，ΔA2B2A3，ΔA3B3A4，?均为等边三角形，若OA1＝a，则ΔA2B2A3，的边
长为 ，ΔAnBnAn+1的边长为 ．31．如图，在等边△ABC中，点D是边BC上一点，∠BAD＝a（0′＜a＜30°
），连接AD．作点C关于直线AD的对称点为E°连接EB并延长交直线AD于点F．（1）依题意补全图形，直接写出∠AFE的度数；（2）
直接写出线段AF，BF，EF之间的等量关系．2021北京清华附中初二（上）期中数学参考答案一、选择题（每题3分，共24分）1．【分
析】直接利用轴对称图形的定义得出答案．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：
“诚”、“信”，“友”都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；“善”能找到
这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：．【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念
．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．【分析】根据正方形的面积公式可求该正方形的面积，再根据完全平方公式计算
即可求解．【解答】解：该正方形的面积为．故选：．【点评】本题主要考查列代数式，解题的关键是熟练掌握正方形的面积公式．3．【分析】等
腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【解答】解：①当腰是3，底边是7时，，不满足
三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3，腰长是7时，，能构成三角形，则其周长．故选：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形
的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．4．【分析】根
据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法法则解决此题．【解答】解：．根据合并同类项法则，，那么不符合题意．．根据
同底数幂的乘法，，那么不符合题意．．根据幂的乘方，，那么符合题意．．根据同底数幂的除法，，那么不符合题意．故选：．【点评】本题主要
考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法法则是解
决本题的关键．5．【分析】根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义计算即可．【解答】解：，是的中线
，，，，是的角平分线，，故选：．【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的中线和角平分线以及三角形内角和定理，掌握等腰三角形的
三线合一是解题的关键．6．【分析】根据平方差公式的结构特征解决此题．【解答】解：．根据平方差公式的结构特征，不能用平方差公式进行因
式分解，那么不符合题意．．根据平方差公式的结构特征，不能用平方差公式进行因式分解，那么不符合题意．．根据平方差公式的结构特征，不能
用平方差公式进行因式分解，那么不符合题意．．根据平方差公式的结构特征，，能用平方差公式进行因式分解，那么符合题意．故选：．【点评】
本题主要考查运用公式法进行因式分解，熟练掌握公式法是解决本题的关键．7．【分析】到三个顶点距离相等的点是与的垂直平分线的交点，进而
得出其坐标．【解答】解：平面直角坐标系如图所示，与的垂直平分线的交点为点，到三个顶点距离相等的点的坐标为，故选：．【点评】本题主要
考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．8．【分析】①利用等边对等角得：，，则，据此即可求解
；②因为点是线段上一点，所以不一定是的角平分线，可作判断；③证明且，即可证得是等边三角形；④证明，则，得．【解答】解：①如图1，连
接，，，，，，，，，，，故①正确；②由①知：，，点是线段上一点，与不一定相等，则与不一定相等，故②不正确；③，，，，，，是等边三角
形，故③正确；④如图2，在上截取，连接，，是等边三角形，，，，，，，在和中，，，，，，故④正确；正确的结论有：①③④，故选：．【点
评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．二
、填空题（每题3分，共24分）9．【分析】直接利用零指数幂的定义得出答案．【解答】解：，，解得：．故答案为：．【点评】此题主要考查
了零指数幂，正确掌握相关定义是解题关键．10．【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此求出、的值，
代入计算可得．【解答】解：点与点关于轴对称，、，所以，故答案为：5．【点评】本题主要考查关于、轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握两
点关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．11．【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则解决此题．【解答】解：．的乘积中不含的一次项
，．．故答案为：2．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．12．【分析】利用等腰三
角形的性质和题目的已知条件证得后即可求得的长．【解答】解：，，在和中，，，，，，，．故答案为：5．【点评】本题考查了等腰三角形的性
质，解题的关键是利用已知和隐含条件证得三角形全等．13．【分析】根据求出的值．【解答】解：，是完全平方式，，．故答案为：．【点评】
本题考查了完全平方式，掌握的熟练应用，两种情况是求值得关键．14．【分析】先利用完全平方公式、单项式乘多项式法则化简代数式，再代入
求值．【解答】解：．，原式．故答案为：11．【点评】本题考查了代数式的化简求值，掌握完全平方公式、单项式乘多项式法则是解决本题的关
键．15．【分析】如图，连接．利用线段的垂直平分线的性质，可知，推出，即可解决问题．【解答】解：如图，连接．垂直平分线段，，，，，
的最小值为8．故答案为：8．【点评】本题考查轴对称最短问题，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用两点之间线段最短解决
最短问题，属于中考常考题型．16．【分析】利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可求解．【解答】解：设大正方形的边长为，小正方
形的边长为，由图①和②列出方程组得，解得，②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积．故答案为：．【点评】本题考查了平方差公式的几何
背景，正确求出大小正方形的边长列代数式，以及整式的化简，正确对整式进行化简是关键．三、解答题（共52分）17．【分析】（1）根据单
项式乘单项式的运算法则进行计算；（2）先利用多项式乘多项式的运算法则计算乘法，然后算括号里面的，最后再算括号外面的；（3）将原式进
行整理后利用乘法公式进行计算．【解答】解：原式；（2）原式；（3）原式．【点评】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式和平方差公
式的结构是解题关键．18．【分析】（1）直接提公因式即可；（2）先提公因式，再利用平方差公式即可；（3）先提公因式，再利用完全平方
公式即可．【解答】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式
的结构特征是正确应用的前提．19．【分析】连接，是的中点，那么就是等腰三角形底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道也是
的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离相等，那么．【解答】证明：如图，连接．，点是边上的中点，平分，、分别垂直、于点和．．【点
评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．20．【分析】（1）根据积的乘方、有理数的乘方解决
此题．（2）根据完全平方公式解决此题．（3）根据平方差公式解决此题．【解答】解：（1）．（2）．（3）．【点评】本题主要考查积的乘
方、有理数的乘方、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握积的乘方、有理数的乘方、完全平方公式、平方差公式是解决本题的关键．21．【分析
】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【解答】解：，当时，原式．【点评】本
题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．22．【分析】根据轴对称图形的概念，结合网
格作图即可．【解答】解：如图所示．【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的概念．23．【分析】如图，根据
等边三角形的性质就可以得出，，再由直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得到，由，等量代换得到，利用得到三角形与三角形全等
，利用全等三角形对应角相等得到，利用内角和定理及外角性质即可确定出所求角的度数．【解答】解：如图所示，为等边三角形，，，，，在中，
，，，，在和中，，，，，为的外角，，则．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．2
4．【分析】（1）根据图形的面积的两种不同计算方法得到完全平方公式；（2）根据完全平方公式变形即可求解；（3）根据矩形的周长和面积
公式以及完全平方公式即可得到结论．【解答】解：（1）如图，写出一个我们熟悉的数学公式：．故答案为：；（2），，；（3）设，，长方形
的两邻边分别是，，，，，这个长方形的面积．【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．25．
【分析】（1）根据题意解决此题．（2）根据定义判定．（3）根据“双曲点”定义，列出等式，从而解决此题．（4）根据“双曲点”、“十字
点”定义，列出等式，，从而求得与．【解答】解：（1）由题意得：．故答案为：．（2），，，，，是“双曲点”．故答案为：，．（3）点是
“双曲点”，．．．（4）点为“十字点”，点是“双曲点”，，．，．．【点评】本题主要考查有理数的乘方、完全平方公式，熟练掌握有理数的
乘方、完全平方公式是解决本题的关键．26．【分析】（1）证明可得证；（2）①根据题干要求作图；②由（1）可得，，进而证明可得证．【
解答】（1）证明：和是等边三角形，，，，，，，，；（2）①如图，②是等边三角形，理由如下：由（1）得，，，，、分别是和的中点，，，
，，，，，，，是等边三角形．【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是掌握基础知识及第二问的证明
用到第一问的结论．四、附加题：（共20分，每题4分）27．【分析】根据幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小关系解决此题．【解答】解
：，，，，，．又，．故选：．【点评】本题主要考查幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握幂的乘方、有理数的乘方、有理数的
大小关系是解决本题的关键．28．【分析】先将，，再代入计算可求解．【解答】解：，，，原式．【点评】本题主要考查因式分解的应用，整体
代入是解题的关键．29．【分析】在等腰中，，为腰上的高，，讨论：当在内部时，如图1，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和
可计算出；当在外部时，如图2，先计算出，再根据等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算出．【解答】解：在等腰中，，为腰上的高，，当在
内部时，如图1，为高，，，，；当在外部时，如图2，为高，，，，，而，，综上所述，这个等腰三角形底角的度数为或．故答案为：或．【点评
】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．30．【分析】利用等边三角形的性质得到，，利用同样的方法得到，，利用此规律即可得到．【解答】解：△为等边三角形，，，，同理：，，．以此类推可得△的边长为．故答案为：；．【点评】本题考查规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，解题关键是掌握三角形边长的变化规律．31．【分析】（1）根据要求作出图形，利用轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理求解即可．（2）结论：．如图2中，连接，在上取一点，使得，连接，证明，可得结论．【解答】解：（1）图形如图1所示：连接．是等边三角形，，，，，，关于对称，，，，，．（2）结论：．理由：如图2中，连接，在上取一点，使得，连接，关于对称，，，，是等边三角形，，，是等边三角形，，，，，在和中，，，，．【点评】考查了作图轴对称变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 1 / 1 |
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