2021北京人大附中初二（下）期中数 学一.选择题（每小题3分，共30分）第1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．（3分）已
知直线，如图，下列哪条线段的长可以表示直线与之间的距离 A．只有B．只有C．和均可D．和均可2．（3分）如图，在平行四边形中，平分
，交边于，，，则的长为 )A．1B．2C．3D．53．（3分）下列各式中，运算正确的是 )A．B．C．D．4．（3分）以下列各组数
为边长，能构成直角三角形的是 A．1，1，2B．2，3，4C．4，5，6D．1，，25．（3分）将直线向下平移3个单位得到的直线的
表达式为 A．B．C．D．6．（3分）已知，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点是线段的中点，则线段的长为 A．B．3C
．4D．57．（3分）如图，正方形的面积为4，菱形的面积为2，则的长是 A．1B．C．2D．8．（3分）工人师傅在做门窗或矩形零件
时，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．这样做的道理是 A．两组对边分别
相等的四边形是矩形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相等的平行四边形是矩形9．（3分）下列
选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是 A．长度为的线段B．边长为2的等边三角形C．斜边为2的直角三角形D．面积为4
的菱形10．（3分）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油最多可行驶的公里数．如图描述了、两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．根
据图中信息，下面4个推断中，合理的是 A．消耗1升汽油，车最多可行驶5千米B．车以40千米小时的速度行驶1小时，最少消耗4升汽油C
．对于车而言，行驶速度越快越省油D．某城市机动车最高限速80千米小时，相同条件下，在该市驾驶车比驾驶车更省油二.填空题（每空2分，
共20分）11．（2分）若在实数范围内有意义，则的取值范围为 ．12．（2分）已知，则 ．13．（2分）函数的图象上有两点，，若
，写出一个符合题意的的值： ．14．（2分）如图，矩形中，平分，于点，若，，则的长为 ．15．（2分）如图，函数与函数的图象交于点
，那么点的坐标为 ，关于的不等式的解集是 ．16．（4分）如图，的顶点，，都在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为 ，的长
为 ．17．（4分）小明使用图形计算器探究函数的图象，他输入了一组，的值，得到了如图的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输
入的 0， 0．（填“”，“ ”或“” 18．（2分）正方形的边长为4，点，在对角线上（可与点，重合），，点，在正方形的边上．下面
四个结论中，①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是菱形；③存在无数个四边形是矩形；④至少存在一个四边形是正方形．所有
正确结论的序号是 ．三.解答题（本大题共50分，第19题6分，第20-24题，每题5分，第25-26题，每小题6分，第27题7分）
19．（6分）计算：（1）；（2）．20．（5分）已知一次函数的图象经过点，．（1）求该一次函数的解析式；（2）在坐标系中画出该一
次函数的图象，观察图象，直接写出当时，的取值范围．21．（5分）学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作
图的作法，下面是具体过程．已知：．求作：边上的中线．作法：如图，①分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点；②作直线，与交于
点，所以线段就是所求作的中线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证
明：连接，．， ，四边形是平行四边形 （填推理的依据）． （填推理的依据）．是边上的中线．22．（5分）在平面直角坐标系中，直线与
直线相交于点，直线与轴交于点．（1）求的面积；（2）过动点作垂直于轴的直线与，的交点分别为，，，，当时，直接写出的取值范围．23．
（5分）如图，在中，，、分别是边，的中点，连接并延长到点，使，连接、、、．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．24．（5
分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，小明计划给朋友快递一部分物品，经了解甲、乙两家快递公司比较合适，甲公司表示
：快递物品不超过1千克的，收费12元；超过1千克，超过的部分按单价每千克2元收费．乙公司表示：快递物品不超过1千克的，收费10元；
超过1千克，超过的部分按单价每千克4元收费．例如：小明要快递1.4千克的物品，选甲公司需付费12.8元，选乙公司需付费11.6元．
设小明快递物品千克．（1）请分别直接写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用（元与（千克）之间的函数关系式；（2）如果只考虑价格，不
考虑其它因素，小明选择哪家快递公司更省钱？25．（6分）在平面直角坐标系中，已知点，，，以点，，为顶点的平行四边形有三个，记第四个
顶点分别为，，，如图所示．（1）若，则点，，的坐标分别是 ， ， ；（2）若△是以为底的等腰三角形，①直接写出的值；②若直线与△有
公共点，求的取值范围．（3）若直线与△有公共点，求的取值范围．26．（6分）已知正方形，点，分别在射线，射线上，，与交于点．（1）
如图1，当点，分别在线段，上时，求证：，且；（2）如图2，当点在线段延长线上时，将线段沿平移至，连接．①依题意将图2补全；②用等式
表示线段，和之间的数量关系，并证明．27．（7分）在平面直角坐标系中，对于图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，
如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形和的“极大距离”，记为．已知：正方形，其中，，，．（1）已知点，①若，则（点，正
方形 ；②若（点，正方形，则 ．（2）已知点，，若（线段，正方形，求的取值范围．（3）一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求（线
段，正方形的最小值，并直接写出此时的取值范围．2021北京人大附中初二（下）期中数学参考答案一.选择题（每小题3分，共30分）第1
-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。1．【分析】由平行线之间的距离的定义判定即可得解．【解答】解：从一条平行线上的任意一
点到另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，线段和都可以示直线与之间的距离，故选：．【点评】本题考查了平行线之间的
距离，熟记平行线之间的距离的概念是解题的关键．2．【分析】先由平行四边形的性质得，，再证，即可求解．【解答】解：四边形是平行四边形
，，，，平分，，，，，故选：．【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．3
．【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【解答】解：不能合并，故选项错误；，故选项错误；，故选项正
确；，故选项错误；故选：．【点评】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．4．【分析】根据勾股
定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形．
【解答】解：、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；、，不能构成直角三角形，故此选
项不符合题意；、，能构成直角三角形，故此选项符合题意．故选：．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认
真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．5．【分析】根据平移时值不变
及上移加，下移减可得出平移后直线的解析式．【解答】解：将直线向下平移3个单位得到的直线的表达式为：．故选：．【点评】本题考查了一次
函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．6．【分析】根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论．【解
答】解：点的坐标为，点的坐标为，，，，点是线段的中点，，故选：．【点评】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直角三角形斜边边上的中
线，正确的理解题意是解题的关键．7．【分析】连接，由正方形的面积可求解的长，再根据菱形的面积即可求解的长．【解答】解：连接，正方形
的面积为4，，解得，菱形的面积为2，，即，解得，故选：．【点评】本题主要考查正方形的性质，菱形的性质，掌握菱形的面积公式是解题的关
键．8．【分析】先平行四边形的判定、矩形的判定进行解答即可．【解答】解：两组对边相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是
矩形，不仅要测量两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，故选：．【点评】本题考查了矩形
的判定以及平行四边形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定是解题的关键．9．【分析】先计算出正方形的对角线长，即可逐项
进行判定求解．【解答】解：正方形的边长为2，对角线长为，长度为的线段能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故不符合题意；边长为2的等
边三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故不符合题意；斜边为2的直角三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故不符合题意；而
面积为4的菱形对角线最长可以为8，故不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故符合题意，故选：．【点评】本题主要考查正方形的性质，等
边三角形的性质，菱形的性质等知识，掌握相关图形的特征是解题的关键．10．【分析】根据题意和函数图象可以判断各个选项中的结论是否正确
，从而可以解答本题．【解答】解：①由图象可知，当车速度超过时，燃油效率大于，所以当速度超过时，消耗1升汽油，车行驶距离大于5千米，
故此项不合理，不符合题意；②车以40千米小时的速度行驶1小时，路程为，，最少消耗4升汽油，此项合理，符合题意；③对于车而言，行驶速
度在时，越快越省油，故此项不合理，不符合题意；④某城市机动车最高限速80千米小时，相同条件下，在该市驾驶车比驾驶车燃油效率更高，所
以更省油，故此项不合理，不符合题意．故选：．【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二.填空
题（每空2分，共20分）11．【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解即可．【解答】解：由题意得：，解得：，故答案为：．【点评】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．12．【分析】根据非负数的性质即可求出与的值，代入计算
即可得出答案．【解答】解：由题意可知：，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了非负数的性质，解题的关键是求出与的值，本题属于基础题
型．13．【分析】由，，可得出随的增大而增大，再利用一次函数的性质可得出，任取其内一值即可．【解答】解：，，随的增大而增大，．故答
案为：1（答案不唯一）．【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．14．【分析】根
据矩形性质可得，，根据角平分线的性质可得，，根据勾股定理即可得的长，进而可得的长．【解答】解：在矩形中，，，，平分，，，，，．则的
长为1．故答案为：1．【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
15．【分析】函数与函数的图象的交点由图象可直接得到答案，以交点为分界，交点左边，结合图象可得答案．【解答】解：由图象可得：函数与
函数的图象交于点，关于的不等式的解集是，故答案为：；．【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从图象中得到
信息，掌握数形结合思想的应用．16．【分析】先根据勾股定理求出，再求出的面积即可．【解答】解：由勾股定理得：，，，．故答案为：．【
点评】本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用两种方法来表示三角形的面积，属于基础题．17．【分析】由图象可知，当时，，可知
；根据函数解析式自变量的取值范围可以知道，结合图象可以知道函数的取不到的值大概是在1的位置，所以大概预测可以得约为1，也即．【解答
】解：由图象可知，当时，，；，结合图象可以知道函数的取不到的值大概是在1的位置，．故答案为：，．【点评】本题考查函数的图象；能够通
过已学的反比例函数图象确定的取值是解题的关键．18．【分析】根据正方形的判定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判
定定理即可得到结论．【解答】解：如图，作线段的垂直平分线交于，交于．垂直平分线段，，，四边形是正方形，，，，垂直平分线段，，四边形
是菱形，在运动过程中，这样的菱形有无数个，当点与或重合时，四边形是正方形，①②④正确，故答案为①②④．【点评】本题考查了正方形的判
定和性质，平行四边形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理，熟练掌握各定理是解题的关键．三.解答题（本大题共50分，第19题6
分，第20-24题，每题5分，第25-26题，每小题6分，第27题7分）19．【分析】（1）直接化简二次根式，再合并得出答案；（2
）直接利用乘法公式计算得出答案．【解答】解：（1）原式；（2）原式．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则
是解题关键．20．【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）在函数解析式中，令，即可求得与轴的交点的纵坐标，从而求得
与轴的交点坐标．【解答】解：（1）设函数的解析式是，根据题意得：，解得：，则函数的解析式是；（2）画出函数图象如图所示；观察图象，
当时，．【点评】本题考查了一次函数图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．21．【分析】（1）根据要求作出图
形即可．（2）利用平行四边形的判定和性质解决问题即可．【解答】解：（1）如图，图形如图所示：（2）连接，．，，四边形是平行四边形（
两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．（平行四边形的对角线互相平分）．故答案为：，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边
形的对角线互相平分．【点评】本题考查作图基本作图平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22
．【分析】（1）利用直线，的表达式求得、的坐标，然后根据三角形面积求得即可；（2）根据图象写出结果即可．【解答】解：（1）由得，，
直线中，令，则求得，，的面积；（2）由图象得：当时，的取值范围是：或．【点评】本题考查了两直线平行和相交的问题，一次函数图象上点的
坐标特征，利用数形结合的思想求的取值是解题的关键．23．【分析】（1）根据平行线的判定定理得到四边形是平行四边形，根据直角三角形的
性质得到，于是得到四边形是菱形；（2）连接，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：是边的中点，，，四
边形是平行四边形，在中，，是边的中点，，四边形是菱形；（2）解：连接，四边形是菱形，，，，，，，，．【点评】本题考查了菱形的判定和
性质，三角形的中位数的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．24．【分析】（1）由图形可知甲、乙公司收费与物品
的质量是分段函数，用待定系数法分别求出即可；（2）根据题意和（1）中的函数解析式，分类讨论，列出相应的不等式，从而可以解答本题．【
解答】解：（1）由题意可得，甲公司：当时，，当时，，由上可得，甲快递公司快递该物品的费用（元与（千克）之间的函数关系式为，乙公司：
当时，，当时，，由上可得，甲快递公司快递该物品的费用（元与（千克）之间的函数关系式为，（2）由题意可得，①当时，；②当时，Ⅰ令，得
，即，Ⅱ令，得，即，Ⅲ，得，即，故当时，选择乙快递公司更省钱；当时，两家快递公司收费一样多；时，选择甲快递公司更省钱．【点评】本题
考查一次函数的应用、一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．25．【分析】（1）分别以、
、为对角线，利用平行四边形以及平移的性质可得点，，的坐标；（2）①根据平行公理得，、在同一直线上，、、在同一直线上，可得是等腰三角
形△的中位线，求出，即可得的值；②由①求得的的值可得，的坐标，分别求出直线过点，时的值即可求解；（3）由题意用表示出点，，的坐标，
画出图形，求出直线与△交于点，时的值即可求解．【解答】解：（1），，，轴．以为对角线时，四边形是平行四边形，，，将向左平移2个单位
长度可得，即；以为对角线时，四边形是平行四边形，，，将向右平移2个单位长度可得，即；以为对角线时，四边形是平行四边形，对角线的中点
与的中点重合，的中点为，，．故答案为：，，；（2）①如图，若△是以为底的等腰三角形，四边形，，是平行四边形，，，，、、在同一直线上
，、、在同一直线上，，是等腰三角形△的中位线，，，，，，，；②由①得，，．当直线过点时，，解得：，当直线过点时，，解得：，的取值范
围为；（3）如图，，，，，．连接、交于点，四边形是平行四边形，点、关于点对称，，直线与△有公共点，当直线与△交于点，，解得：，时，
直线与△有公共点；当直线与△交于点，，解得：，时，直线与△有公共点；综上，的取值范围为或．【点评】本题考查了平行四边形的性质，坐标
与图形性质，平移的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识．利用数形结合与分类讨论是解题的关键．26．【分析】（1）
根据正方形性质可得，，进而可证明，依据全等三角形性质即可证得结论；（2）①按题目要求补全图形即可；②连接，根据平移性质即可得出四边
形是平行四边形，根据平行四边形性质得，，再由，可得，，进而可得出，，由勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，四边形是正方
形，，，在和中，，，，，，，，，故，且；（2）①补全图如图2所示；②理由如下：如图3，连接，线段沿平移至，四边形是平行四边形，，，
在和中，，，，，，，，，，，，，．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平移的性质、勾股定理的应用，掌握全等三角
形的判定定理和性质定理、正方形的性质定理是解题的关键．27．【分析】（1）①根据图形和的“极大距离”的定义求解即可．②分两种情形，
利用勾股定理求解即可．（2）分两种情形：如图2中，当在轴的右侧时，如图3中，当在轴的左侧时，分别求出落在特殊位置的的值即可解决问题．（3）当（线段，正方形取最小值，推出（线段，正方形的最小值（点，正方形，推出（点，正方形，当（点，正方形时，或，求出两种特殊位置的值，可得结论．【解答】解：（1）①如图1中，时，，（点，正方形．故答案为：．②（点，正方形，当点在轴的右侧时，，解得或（舍弃），当点在轴的左侧时，，解得或（舍弃），综上所述，满足条件的的值为或．故答案为：或．（2）如图2中，当在轴的右侧时，若时，，解得，或（舍弃），若时，，解得，或（舍弃），观察图象可知，满足条件的的值为．如图3中，当在轴的左侧时，若，则有，，解得，或4舍弃），若时，，解得，或7（舍弃），观察图象可知，满足条件的的值为．综上所述，满足条件的的值为或．（3）如图4中，当（线段，正方形取最小值，（线段，正方形的最小值（点，正方形，（点，正方形，当（点，正方形时，或，代入，得，将代入，得，观察图形可知，满足条件的的值为：或．【点评】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，图形和的“极大距离”等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题． 2 / 2 |
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