2021北京十四中初二（上）期中数 学一、选择题（每小题2分，共20分）1．（2分）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日
年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图
案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是 A．B．C．D．2．（2分）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是 A．B．C．D
．3．（2分）下列计算正确的是 A．B．C．D．4．（2分）下列条件中，不能判定三角形全等的是 A．三条边分别相等B．两边和其中一
角分别相等C．两边和夹角分别相等D．两角和它们的夹边分别相等5．（2分）如图所示，三角形纸片被正方形纸板遮住了一部分，小明根据所学
知识画出了一个与该三角形完全重合的三角形，那么这两个三角形完全重合的依据是 A．B．C．D．6．（2分）若把一个正方形纸片按下图所
示方法三次对折后再沿虚线剪开，则剩余部分展开后得到的图形是 )A．B．C．D．7．（2分）下列命题中，不正确的是 A．有一个外角是
的等腰三角形是等边三角形B．一条线段可以看成是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形C．等腰三角形的对称轴是底边上的中线D．等边三角
形有3条对称轴8．（2分）如图，将三角形纸片沿直线折叠后，使得点与点重合，折痕分别交，于点，．如果，的周长为，那么的长为 A．B．
C．D．9．（2分）如图，，若和分别垂直平分和，则等于 A．B．C．D．10．（2分）如图，将过点折叠，使直角顶点落在斜边上的点处
，折痕为，现有以下结论：①；②；③平分；④是等边三角形；⑤垂直平分；其中正确的有 A．①②③B．②③C．①②③④D．①②③⑤二、填
空题（第11-18题每题3分，第19题4分，共28分）11．（3分）计算： ， ， ．12．（3分）等腰三角形的两边长分别为2和6
，则三角形周长为 ．13．（3分）等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数是 ．14．（3分）在中，，，，则的周长是 ．15．
（3分）若，则 ，若，则的值为 ．16．（3分）如图，，点在边上，与相交于点．若，，则 ．17．（3分）如图，中，点在上，将点分
别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，则的度数为 ．18．（3分）如图，，平分，于，交于．若，则 ， ．19
．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点，，，点在第二象限，且．在坐标系中画草图分析可得：（1）点的坐标为 ；（2）点在轴上，且是等
腰三角形，则的大小为 ．三、解答题（本大题共8道小题，共52分）20．（12分）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．21．（5分
）先化简，再求值．，其中．22．（5分）已知，，．求证：．23．（4分）如图，在的正方形方格中，阴影部分是涂黑5个小正方形所形成的
图案．将方格内空白的两个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形，请在如图的图中至少画出四个方案，并画出对称轴．24．（6分
）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．（1）画出关于轴对称的△，并写出点的坐标： ， ．（2）的面积为 ．（3）在轴
上有一点，使得的值最小，请直接写出点的坐标： ， ．25．（6分）尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．（1）如图1，已知，现将绕点逆
时针旋转，使点落在射线上，求作△．作法：在射线上截，以点为圆心、长为半径作弧，以点为圆心，长为半径作弧，两弧在射线的右侧交于点，则
△即为所求．上述操作的作图原理是： ．（2）如图2，在直线上求作一点，使点到射线，的距离相等．结论： ．26．（7分）如图，中，，
，点是的中点，过点作交于点，连接．若，求的长．解：． ．，． ．点是的中点，且， ．． ．在中，， ． ．27．（7分）如图，是
等边的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接，，，其中，分别交射线于点，．（1）依题意补全图形；（2）若，直接写出的大小 （
用含的式子表示）；（3）用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明．（第（2）问中的结论可以直接使用）四、附加题（本大题共2道小题，
共10分）28．（4分）如果，那么我们规定．例如：因为，所以．根据上述规定， ，若，，，且满足，则 ．29．（6分）（1）已知中，
，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理
由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的
关系．2021北京十四中初二（上）期中数学参考答案一、选择题（每小题2分，共20分）1．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直
线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：、是轴对称图形，故此选项错误；、是轴
对称图形，故此选项错误；、是轴对称图形，故此选项错误；、不是轴对称图形，故此选项正确；故选：．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计
图案，关键是掌握轴对称图形的概念．2．【分析】利用关于轴的对称点的坐标特点可得答案．【解答】解：点关于轴的对称点的坐标是，故选：．
【点评】此题主要考查了关于轴的对称点的坐标，关键是掌握关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．3．【分析】根据积的
乘方与幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂的乘法解决此题．【解答】解：．根据积的乘方，，故不正确，那么不符合题意．．根据合并同类项法
则，，故正确，那么符合题意．．根据同底数幂的乘法，，故不正确，那么不符合题意．．根据积的乘方与幂的乘方，，故不正确，那么不符合题意
．故选：．【点评】本题主要考查积的乘方与幂的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，熟练掌握积的乘方与幂的乘方、合并同类项法则、同底数幂
的乘法是解决本题的关键．4．【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：．三边对应相等，符合全等三角形的判定定理，能
推出两三角形全等，故本选项不符合题意；．两边相等，假如是一个三角形是这两边的夹角，二另一个三角形是其中一边的对角相等，那么这时的两
个三角形不全等，故本选项符合题意；．两边和夹角分别相等，符合全等三角形的判定定理，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；．两角和
它们的夹边分别相等，符合全等三角形的判定定理，能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了全等三角形的判定定
理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．5．【分析】图中三角形没
被污染的部分有两角及夹边，根据全等三角形的判定方法解答即可．【解答】解：由图可知，三角形两角及夹边还存在，根据可以根据三角形两角及
夹边作出图形，所以，依据是．故选：．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．6．【分析】拿正
方形纸片先沿对角线向上翻折，再向右翻折，右下翻折，剪去上面一个等腰直角三角形，展开即可得到正确答案．【解答】解：动手操作后可得第一
个图案．故选：．【点评】本题主要考查了剪纸问题；主要是让学生学会动手操作能力．7．【分析】根据等边三角形的判定定理、轴对称图形的概
念判断即可．【解答】解：、一个三角形的外角是，则内角为，这个三角形是等边三角形，本选项说法正确，不符合题意；、一条线段可以看成是以
它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形，本选项说法正确，不符合题意；、等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线，本选项说法错误，符合
题意；、等边三角形有3条对称轴，本选项说法正确，不符合题意；故选：．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的
命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8．【分析】利用翻折变换的性质得出，进而利用得出即可．【解答】解：将沿
直线折叠后，使得点与点重合，，，的周长为，．故选：．【点评】此题主要考查了翻折变换的性质，根据题意得出是解题关键．9．【分析】由和
分别垂直平分和，根据线段垂直平分线的性质，可得，，继而可得，则可求得答案．【解答】解：和分别垂直平分和，，，，，，，．故选：．【点
评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意转化思想的应用是关键．10．【分析】由折叠的性质可得，，，，可得，平分
，由线段垂直平分线的判定可得垂直平分，由不一定等于，可得不一定是等边三角形，即可求解．【解答】解：将过点折叠，使直角顶点落在斜边上
的点处，，，，，，，平分，故①②③正确，，，垂直平分，故⑤正确，不一定等于，不一定是等边三角形，故④错误，故选：．【点评】本题考查
了翻折变换，全等三角形的性质，等边三角形的判定等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．二、填空题（第11-18题每题3分，第
19题4分，共28分）11．【分析】单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所
得的幂相乘；单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；【解答】解：；；．故答案为：；；．【点评】本题考
查了单项式与单项式相乘、积的乘方、单项式与多项式相乘，掌握这三个法则的熟练应用，正确运用是解题关键．12．【分析】根据2和6可分别
作等腰三角形的腰，结合三角形三边关系定理，分别讨论求解．【解答】解：当2为腰时，三边为2，2，6，由三角形三边关系定理可知，不能构
成三角形；当6为腰时，三边为6，6，2，符合三角形三边关系定理，周长为：．故答案为：14．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角
形三边关系定理．关键是根据2，6分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．13．【分析】根据外角与相邻的内角的和为求这个内角的度数，再
分这个角是顶角与底角两种情况讨论求解．【解答】解：一个外角是，与这个外角相邻的内角是，①当角是顶角时，它的顶角度数是，②当角是底角
时，它的顶角度数是，综上所述，它的顶角度数是或．故答案为：或．【点评】本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，要注意分两种情况讨论
求解．14．【分析】根据等边三角形的判定和性质即可解决问题．【解答】解：，，是等边三角形，，的周长为15，故答案为15．【点评】本
题考查等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．15．【分析】先利用幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则
计算、，再根据底数与指数分别相等时幂也相等得方程，求解即可．【解答】解：，．．．，．．．故答案为：4；2．【点评】本题考查了幂的乘
方、同底数幂的乘法法则，根据底数、指数分别相等时其幂也相等得到关于和的方程是解决本题的关键．16．【分析】根据全等三角形的性质可得
，再根据等边对等角可得，再由三角形外角的性质可得的度数．【解答】解：，，，，，故答案为：74．【点评】此题主要考查了全等三角形的性
质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．17．【分析】连接，利用轴对称的性质解答即可．【解答】解：连接，点分别以、为对称轴，画出对称
点、，，，，，，，故答案为．【点评】此题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，关键是利用轴对称的性质解答．18．【分析】求出，
即可得出，根据角平分线的性质得出，求出，即可求出．【解答】解：平分，，，，，，，，过作于点，，平分，，，在中，，，故答案为：10，
5．【点评】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边距离相等．19．【分析】（1）根据可得
，再根据，可得点坐标；（2）由点，，得到，求得，当时，当时，当点与点重合时，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）正
确画出，，，，，；（2）点，，，，当时，；当时，，或；当点与点重合时，，，综上所述，的大小为或或或故答案为：（1）；（2）或或或．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．三、解答题（本大题共8道小题，
共52分）20．【分析】（1）根据单项式乘单项式乘法法则解决此题．（2）根据单项式乘单项式乘法法则解决此题．（3）根据单项式乘多项
式乘法法则解决此题．（4）根据单项式乘多项式乘法法则解决此题．【解答】解：（1）．（2）．（3）．（4）．【点评】本题主要考查单项
式乘单项式、单项式乘多项式，熟练掌握单项式乘单项式乘法法则、单项式乘多项式乘法法则是解决本题的关键．21．【分析】先利用整式的乘法
计算，合并化简，最后代入求得数值即可．【解答】解：原式，当时，原式．【点评】此题考查整式的混合运算与化简求值，掌握计算方法与合并同
类项的方法是解决问题的关键．22．【分析】根据题意可以证得，从而可以解答本题．【解答】证明：，，，在和中，，，，．【点评】本题考查
全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用全等三角形的性质解答．23．【分析】根据轴对称图形的
性质画出图形即可．【解答】解：方案如图所示，对称轴如图所示．【点评】本题考查利用轴对称设计图案，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题，属于中考常考题型．24．【分析】（1）分别作出三个顶点关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可；（2）用矩形的面积减去四周三个三角形
的面积；（3）连接，与轴的交点即为所求．【解答】解：（1）如图所示，△即为所求，；故答案为：、；（2）的面积为，故答案为：．（3）
如图所示，点即为所求，其坐标为，故答案为：、0．【点评】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．25
．【分析】（1）根据题中作法画出对应的几何图形，再利用三角形全等的判定方法可判断△，于是得到△满足条件；（2）利用角平分线的性质画
图．【解答】解：（1）如图，△即为所求．由作法得，，，根据“”可判断△，，，绕点逆时针旋转得到△．故答案为：；（2）如图，点为所作
，根据角平分线的性质可判断点到射线，的距离相等．故答案为：点为的平分线与的交点．【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知
，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后
的图形．也考查了角平分线的性质．26．【分析】由等腰三角形的性质得出，；根据线段垂直平分线的性质得．．从而可得，中，根据角所对直角
边等于斜边的一半，可求得；由此可求得的长．【解答】解：．（等边对等角）．，．．点是的中点，且，（线段垂直平分线上的点到线段两端点的
距离相等）．．．在中，，．．故答案为：等边对等角，，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，90，，6，9．【点评】本题考查等
腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．27．【分析】（1
）按要求画图即可；（2）由轴对称可得，再由等腰三角形和等边三角形性质可得结论；（3）在上截取，如图所示，连接，先证明为等边三角形，
再证明，则，由此可解决问题．【解答】解：（1）补全图形如图所示．（2）点、关于对称，为中垂线，，．，又为等边三角形，，．，．．故答
案为：．（3）．证明：在上截取，如图所示，连接．，，，，，，，，，为等边三角形，，在和中，，．．．即．【点评】本题属于三角形综合题
，考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构造等边三角形转移线段解题
是关键．四、附加题（本大题共2道小题，共10分）28．【分析】根据有理数的乘方、同底数幂的乘法解决此题．【解答】解：，．，，，，，
．．，．．．故答案为：3，80．【点评】本题主要考查有理数的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握有理数的乘方、同底数幂的乘法是解决本题的
关键．29．【分析】（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的
角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三
角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．【解答】解：（1）如图（共有2种不同的分割法）．（2）设，，过点的直线交边于．在中，①若是顶角，如图1，则，．而，此时只能有，即即，即；②若是底角，第一种情况：如图2，当时，则，中，，．由，得，此时有，即．由，得，此时，即．由，得，此时，即，为小于等于的任意锐角．第二种情况，如图3，当时，，，此时只能有，从而，这与题设是最小角矛盾．当是底角时，不成立．综上，与之间的关系是：或或或，是小于的任意角【点评】本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题． 2 / 2 |
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