2021北京十一学校初二（下）期末数 学一、填空题（每题3分，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上）1. 如图，PA、PB分别与⊙O相切
于点A、B，∠P＝70°，C为弧AB上一点，则∠ACB的度数为___．2. 如图，数轴上A点表示的数为﹣2，B点表示的数是1．过点
B作BC⊥AB，且BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为___．3. 对于任意的有理数a，b，如果
满足，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“相随数对”，则3m+2[3m+（2n﹣1）]＝___
．二、选择题（每小题3分）4. 如图网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C三点均在格点上，结论错误的是（ ）A. AB=2B.
∠BAC=90°C. D. 点A到直线BC的距离是25. 若实数a、b、c满足a+b+c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝-cx-a
的图象可能是（ ）A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点P为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同
号点”的是（ ）A. B. C. D. 三、填空题（每小题3分）7. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y（k≠0，x＞0）
的图象上，点B在点A的右侧，点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，连接OA、AB，若D为OC
的中点，则四边形OABC的面积为___．8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个
“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”译文：“有一根竹子，原高二丈（1丈=10尺），现被风折断，竹
梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度为x尺
，则可列方程为_____________．9. 如图，在矩形ABCD中，将边BC翻折，翻折后的线段BE正好落在对角线BD所在的直线
上，折痕为BF，已知CF＝1，BC＝2，则矩形ABCD的面积为___．10. 已知x2﹣4x+1＝0，则的值为___．11. 将4
张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积之
和为S2，若S1S2，则的值为___．12. 如图，一幢居民楼OC临近坡AP，山坡AP坡度为i＝1：（tanα），小亮在距山坡坡脚
A处测得楼顶C的仰角为60°，当从A处沿坡面行走6米到达P处时，测得楼顶C的仰角刚好为45°，点O，A，B在同一直线上，则该居民楼
的高度为___（结果保留根号）．13. 已知0，则的值为___．14. 为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映
的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．若按照分段收费标准，小颖家三、四月份分别交水费29元和19.8元，则四月份
比三月份节约用水___吨．15. 如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为
a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则的值为___16. 若m，n（m＜n）是关于
x的一元二次方程（x﹣a）（x﹣b）﹣3＝0的两根，且a＜b，则m，n，a，b的大小关系是___（用“＜”连接）．17. 已知函数
y＝ax2+2bx﹣c（a＞0）的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，则不等式cx2+2bx﹣a＜0的解集为___．18
. 已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，则OG
的最大值为___．四、解答题（共46分）19. 计算：（1）；（2）解方程：1；（3）解不等式：x7；（4）已知α是锐角，且5+s
inα﹣cosα＝12sinαcosα，求tanα+cotα的值．20. 如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的
延长线上，且，点E在的延长线上，且．（1）求证：是的切线：（2）若，求的长．21. 已知关于的一元二次方程．（1）请判断这个方程根
的情况，并说明理由；（2）若这个方程一个实根大于1，另一个实根小于0，求的取值范围．22. 小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数
：y＝f（x），若x≥0时，f（x）＝x2﹣1；若x＜0时，f（x）＝﹣x+1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．（1）
下列关于该函数图象性质正确的是 ；（填序号）①y随x的增大而增大；②该函数图象关于y轴对称；③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；
④该函数图象不经过第三象限．（2）①在平面直角坐标系xOy中画出该函数图象；②若关于x的方程2x+c＝f（x）有两个互不相等的实数
根，请结合函数图象，直接写出c的取值范围是 ．（3）若点（a，b）在函数y＝x﹣3图象上，且f（a）≤2，则b的取值范围是
．23. 已知二次函数c和一次函数的图象都经过点A（-3，0），且二次函数的图象经过点B（0，3），一次函数的图象经过点C（0
，-1）．（1）分别求m、n和b、c的值；（2）点P是二次函数的图象上一动点，且点P在x轴上方，写出△ACP的面积S关于点P的横坐
标x的函数表达式，并求S的最大值．参考答案一、填空题（每题3分，请将正确答案直接填在答题卡相应的横线上）1. 如图，PA、PB分别
与⊙O相切于点A、B，∠P＝70°，C为弧AB上一点，则∠ACB的度数为___．【答案】125°【解析】【分析】由切线的性质得出∠
OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角定理可求∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补
可求∠ACB．【详解】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，∵AP、BP是⊙O切线，∴∠OAP=∠OB
P=90°，∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°，∴∠ADB=∠AOB=55°，又∵圆内接四边形的对角互补，∴∠
ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°．故答案为：125°．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形
的性质．解题的关键是连接OA、OB，求出∠AOB．2. 如图，数轴上A点表示的数为﹣2，B点表示的数是1．过点B作BC⊥AB，且B
C＝2，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，弧与数轴的交点D表示的数为___．【答案】-2【解析】【分析】由A点表示的数为-2，B点
表示的数是1，AB=3，OA=2．由勾股定理求出AC，故可得AD，进而推断出OD=AD-OA．【详解】解：如图，∵BC⊥AB，∴∠
ABC=90°．∵A点表示数为-2，B点表示的数是1，∴AB=1-（-2）=3，OA=2．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴A
C=，又∵以点A为圆心，AC的长为半径作弧，弧与数轴的交点D，∴AD=AC=，∴OD=AD-OA=-2，∴点D表示的数为-2，故答
案：-2．【点睛】本题主要考查勾股定理以及数轴上点表示的数，熟练掌握勾股定理以及数轴上点表示的数是解决本题的关键．3. 对于任意的
有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为（a，b）．若（m，n）是“相随数对”，则3m+2[3m+（2
n﹣1）]＝___．【答案】-2【解析】【分析】根据（m，n）是“相随数对”得出9m+4n=0，再将原式化成9m+4n-2，最后整
体代入求值即可．【详解】解：∵（m，n）是“相随数对”，∴，∴，整理得：9m+4n=0，∴3m+2[3m+（2n-1）]=3m+2
[3m+2n-1]=3m+6m+4n-2=9m+4n-2=0-2=-2，故答案为：-2．【点睛】本题考查代数式求值，理解“相随数对
”的意义是正确计算的关键．二、选择题（每小题3分）4. 如图的网格中，每个小正方形的边长为1，A，B，C三点均在格点上，结论错误的
是（ ）A. AB=2B. ∠BAC=90°C. D. 点A到直线BC的距离是2【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理以及其逆定理
和三角形的面积公式逐项分析即可得到问题答案．【详解】解：AB=，故选项A正确，不符合题意；∵AC＝，BC，∴，∴△ACB是直角三角
形，∴∠CAB=90°，故选项B正确，不符合题意；S△ABC，故选项C错误，符合题意；点A到直线BC的距离，故选项D正确，不符合题
意；故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果
直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 ．熟记勾股定理的内容是解题得关键．5. 若实数a、b、c满足a+b+c＝0
，且a＜b＜c，则函数y＝-cx-a的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断出a是负数，c是正
数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限即可．【详解】解：∵a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，∴a＜0，c＞0，（b的正
负情况不能确定），∴－c＜0，－a＞0，∴函数y＝－cx－a的图象经过第一、二、四象限．故选B．【点睛】本题主要考查了一次函数图象
与系数的关系，先确定出a、c的正负情况是解题的关键，也是本题的难点．6. 在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点P为“同号点”．下
列函数的图象中不存在“同号点”的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数图像点的坐标满足函数解析式及“同
号点”的定义求解即可．【详解】A.点在函数的图象上，故存在“同号点”；B.点在函数的图象上，故存在“同号点”；C.对于函数，∵xy
=-2<0， ∴x，y异号，故不存在“同号点”；D.点在函数的图象上，故存在“同号点”；故选C．【点睛】本题考查了新定义问题，以及
函数图像上点的坐标特征，正确理解“同号点”的定义是解答本题的关键．三、填空题（每小题3分）7. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B
在函数y（k≠0，x＞0）的图象上，点B在点A的右侧，点A的坐标为（2，4），过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BC⊥x轴于点C，
连接OA、AB，若D为OC的中点，则四边形OABC的面积为___．【答案】10【解析】【分析】将（2，4）代入解析式可得k=8，根
据线段中点的定义可得OC的长，从而确定点B的横坐标，根据反比例函数的解析式 可得点B的坐标，最后将四边形OABC面积分解为三角形O
AD与梯形ADCB求解即可．【详解】解：将A（2，4）代入中得：，解得k=8，∴，∵AD⊥x轴，∴点D横坐标为2，∵D为OC中点，
∴点B横坐标为2×2=4，把x=4代入中得：y=2，∴点B坐标为（4，2），∵S△AOD=OD?DA=×2×4=4，S梯形ADCB
=（BC+AD）?CD=（2+4）×（4-2）=6，∴四边形OABC的面积=S△AOD+S梯形ADCB=4+6=10．故答案为：1
0．【点睛】本题考查反比例函数与图形的综合应用，解题关键是确定反比例函数的关系式．8. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠
定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”译文：“有一根竹子
，原高二丈（1丈=10尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点分别表示竹梢
，竹根和折断处，设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为_____________．【答案】【解析】【分析】竹子折断后刚好构成一直
角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（20-x）尺，利用勾股定理解题即可．【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（20
-x）尺，根据勾股定理得：．故答案为：．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理
解题．9. 如图，在矩形ABCD中，将边BC翻折，翻折后的线段BE正好落在对角线BD所在的直线上，折痕为BF，已知CF＝1，BC＝
2，则矩形ABCD的面积为___．【答案】【解析】【分析】根据△DEF∽△DCB，可得CD=2DE，设DE=x，则CD=2x，在R
t△DEF中，根据勾股定理列出方程即可解决问题．【详解】解：∵将矩形ABCD的边BC翻折，∴CF=EF=1，∠DEF=∠C=90°
，∵∠FDE=∠BDC∴△DEF∽△DCB，∴，∴CD=2DE，设DE=x，则CD=2x，∴DF=2x-1，在Rt△DEF中，由勾
股定理得：DE2+EF2=DF2，∴x2+12=（2x-1）2，解得x=或x=0（舍），∴CD=2x=，∴S矩形ABCD=CD×B
C=×2=，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、翻折的性质、以及三角形相似的判定与性质，勾股定理等知识，用方程思想是解题
的关键．10. 已知x2﹣4x+1＝0，则的值为___．【答案】【解析】【分析】首先根据得到，两边同时除以得：，然后对分式求其倒数
，从而求得答案．详解】解：，，两边同时除以得：，，．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解及分式的变形的知识，解题的关键是
对分式进行正确的变形，难度不大．11. 将4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图
中空白部分的面积之和为S1，阴影部分的面积之和为S2，若S1S2，则的值为___．【答案】3【解析】【分析】求出．，根据得出，求出
或，再求出答案即可．【详解】解：，，，，，，或，解得：或，，舍去，当时，，故答案为：3．【点睛】本题考查了列代数式和整式的混合运算
，能求出和的值是解此题的关键．12. 如图，一幢居民楼OC临近坡AP，山坡AP的坡度为i＝1：（tanα），小亮在距山坡坡脚A处测
得楼顶C的仰角为60°，当从A处沿坡面行走6米到达P处时，测得楼顶C的仰角刚好为45°，点O，A，B在同一直线上，则该居民楼的高度
为___（结果保留根号）．【答案】米【解析】【分析】过点作于点，于点，解，求出（米，（米，再解，得出，设米，则米，米．然后在中，由
含角的直角三角形的性质得，即，求出的值，进而得到的长即可．【详解】解：如图，过点作于点，于点，山坡的坡度为，米，，，（米，（米），
，，是等腰直角三角形，，设米，则米，米．在中，，，，即，解得：，米，即该居民楼的高度为米，故答案为：米．【点睛】本题考查了仰角俯角
问题、坡度坡角问题，借助仰角和坡度构造直角三角形是解题的关键．13. 已知0，则的值为___．【答案】1【解析】【分析】由分式为0
的条件，推导出且，求得．对进行化简，得，将代入其中，得，进而求出．【详解】解：，且．且．且．且．．，．故答案为：1．【点睛】本题主
要考查分式为0的条件、三角函数的定义以及以及三角函数的关系，熟练掌握分式为0的条件、三角函数的定义以及以及三角函数的关系是解决本题
的关键．14. 为了节约水资源，自来水公司按分段收费标准收费，如图所示反映的是每月收取水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系．
若按照分段收费标准，小颖家三、四月份分别交水费29元和19.8元，则四月份比三月份节约用水___吨．【答案】3【解析】【分析】先设
函数解析式，然后看图将对应值代入其中求出常数项，即可得到函数解析式，根据函数解析式求出四月份的水量，三月份水量可直接求，那么四月份
比三月份节约用水多少可求出．【详解】解：当x＜10时，设y=mx，将点（10，22）代入可得：22=10k，解得：k=2.2，即可
得：y=2.2x，当x≥10时，设y与x的函数关系式为：y=kx+b（k≠0），当x=10时，y=22，当x=20时，y=57，将
它们分别代入y=kx+b中得：，解得：，那么y与x的函数关系式为：y=3.5x-13，综上可得：y=，当y=29时，知道x＞10，
将y=29代入得29=3.5x-13，解得x=12，当y=19.8时，知道x＜10，将y=19.8代入得19.8=2.2x，解得：
x=9，即可得四月份比三月份节约用水：12-9=3（吨），故答案：3．【点睛】本题考查了识别函数图象的能力，是一道较为简单的题，观
察图象提供的信息，再分析10吨水以内和超过10吨水价格的不同分别求出解析式．15. 如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按
照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类
推，则的值为___【答案】【解析】【分析】根据给定几个图形中黑点数量的变化可找出变化规律“an=n(n+2)（n为正整数）”，进而
可得出，将其代入中计算即可求出结果.【详解】观察图形,可知：a1=3=1×3，a2=8=2×4，a3=15=3×5，a4=24=4
×6，…，∴an=n(n+2)(n为正整数)，∴，∴====.故答案为.【点睛】本题考查规律型-图形的变化类，通过图形正确找出变化
规律是解题的关键.16. 若m，n（m＜n）是关于x的一元二次方程（x﹣a）（x﹣b）﹣3＝0的两根，且a＜b，则m，n，a，b的
大小关系是___（用“＜”连接）．【答案】a＜m＜n＜b【解析】【分析】m、n可以看做函数y=（x-a）（x-b）与直线y=3的两
个交点的横坐标，a、b可以看做函数y=（x-a）（x-b）与x轴的两个交点的横坐标，由此画出函数图象，观察图象即可求解．【详解】解
：如图：∵m，n（m＜n）是关于x的一元二次方程（x-a）（x-b）-3=0的两根，∴m、n可以看做函数y=（x-a）（x-b）与
直线y=3的两个交点的横坐标，a、b可以看做函数y=（x-a）（x-b）与x轴的两个交点的横坐标，由图像可知：a＜m＜n＜b，故答
案为a＜m＜n＜b．【点睛】本题考查函数与方程思想，能将方程转化为函数与直线、x轴的交点问题是解题的关键．17. 已知函数y＝ax
2+2bx﹣c（a＞0）的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，则不等式cx2+2bx﹣a＜0的解集为___．【答案】x＜
或x＞【解析】【分析】根据原函数经过A，B，得到对应方程的两根，根据根与系数的关系得到b=-4a，c=-12a，将不等式cx2+2
bx-a＜0化为12x2+8x+1＞0，解之即可．【详解】解：∵函数y=ax2+2bx-c（a＞0）的图象与x轴交于A（2，0）、
B（6，0）两点，∴ax2+2bx-c=0（a＞0）的两个实数根分别为x1=2，x2=6，∴，，∴b=-4a，c=-12a，∴cx
2+2bx-a＜0可化为-12ax2-8ax-a＜0，又a＞0，∴12x2+8x+1＞0，令12x2+8x+1=0，解得：x=或x
=，∵12＞0，∴不等式的12x2+8x+1＞0解集为x＜或x＞．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，
解题的关键是根据已知得到a，b，c的关系．18. 已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△
APG，AP＝PG，∠APG＝120°，则OG的最大值为___．【答案】1+【解析】【分析】如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120
°得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO=OT=1，AT=，利用相似三角形的性质求出GT，再根据三角形的三边关系解决问题即可．
【详解】解：如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO=OT=1， 过作于 ∵△AOT
，△APG都是顶角为120°的等腰三角形，∴∠OAT=∠PAG=30°，同理： ∴∠OAP=∠TAG，，∴，∴△OAP∽△TAG，
∴，∵OP=2，∴TG=，∵OG≤OT+GT，∴OG≤1+，∴OG的最大值为1+，故答案为：1+．【点睛】本题考查圆周角定理，相似
三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．四、
解答题（共46分）19. 计算：（1）；（2）解方程：1；（3）解不等式：x7；（4）已知α是锐角，且5+sinα﹣cosα＝12
sinαcosα，求tanα+cotα的值．【答案】（1）；（2）x=6；（3）-5≤x≤-1或x＞1；（4）或【解析】【分析】（
1）根据特殊角的三角函数值进行计算即可；（2）两边平方，将方程化为整式方程，解之，检验可得结果；（3）分x-1＞0和x-1＜0两种
情况，去分母求解，再合并即可；（4）将原式变形，两边平方，化简得到（4sin2α-3）（9sin2α-8）=0，求出sin2α=或
sin2α=，即sinαcosα=或，再将tanα+cotα变形为=，代入计算即可．【详解】解：（1）=====；（2），两边平方
得：，两边平方得：，化简得：，解得：x=-1或x=6，经检验：x=-1时，方程不成立，∴方程的解为x=6；（3），当x-1＞0时，
即x＞1，∴，解得：x≤-5或x≥-1，∴x＞1；当x-1＜0时，即x＜1，∴，解得：-5≤x≤-1，∴-5≤x≤-1，综上：不等
式的解集为-5≤x≤-1或x＞1；（4）∵5+sinα-cosα=12sinαcosα，∴sinα-cosα=12sinαcosα
-5，两边平方得：1-2sinαcosα=（6sin2α-5）2，∴1-sin2α=36sin22α+25-60sin2α，∴36
sin22α-59sin2α+24=0，∴（4sin2α-3）（9sin2α-8）=0，∴sin2α=或sin2α=，∴sinαc
osα=或，∵α为锐角，∴sinαcosα≤1，∴tanα+cotα===或．【点睛】本题考查了三角函数的混合运算，解不等式，无理
方程，解题的关键是掌握各自的运算方法，注意记忆相应恒等式．20. 如图，是的直径，点C是上异于A、B的点，连接、，点D在的延长线上
，且，点E在的延长线上，且．（1）求证：是的切线：（2）若，求的长．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OC，根
据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等量代换得到∠DCO=90°，即可证明DC是圆O的切线；（2）根据已知得到OA=2DA，证明
△DCO∽△DEB，得到，可得DA=EB，即可求出DA的长．【详解】解：（1）如图，连接OC，由题意可知：∠ACB是直径AB所对的
圆周角，∴∠ACB=90°，∵OC，OB是圆O的半径，∴OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，又∵∠DCA=∠ABC，∴∠DCA=∠O
CB，∴∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO=∠ACB=90°，∴OC⊥DC，又∵OC是圆O的半径，∴DC是圆O的切线
；（2）∵，∴，化简得OA=2DA，由（1）知，∠DCO=90°，∵BE⊥DC，即∠DEB=90°，∴∠DCO=∠DEB，∴OC∥
BE，∴△DCO∽△DEB，∴，即，∴DA=EB，∵BE=3，∴DA=EB=，经检验：DA=是分式方程的解，∴DA=．【点睛】本题
考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键．21. 已知关于的一
元二次方程．（1）请判断这个方程的根的情况，并说明理由；（2）若这个方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，求的取值范围．【答案】
（1）有两个实数根，见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用根的判别式即可判断；（2）利用公式法求得（或表示）两根，再根据根的情况
分析即可．【详解】解：（1）依题意得：，∴方程有两个实数根．（2）依题意得：∴，即，．∵方程的一个实根大于1，另一个实根小于0，∴
，∴．【点睛】本题考查根的判别式和利用公式法求一元二次方程．掌握公式法和根的判别式是解题关键．22. 小明在学习函数的过程中遇到这
样一个函数：y＝f（x），若x≥0时，f（x）＝x2﹣1；若x＜0时，f（x）＝﹣x+1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探
究．（1）下列关于该函数图象的性质正确的是 ；（填序号）①y随x的增大而增大；②该函数图象关于y轴对称；③当x＝0时，函数有最
小值为﹣1；④该函数图象不经过第三象限．（2）①在平面直角坐标系xOy中画出该函数图象；②若关于x的方程2x+c＝f（x）有两个互
不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c的取值范围是 ．（3）若点（a，b）在函数y＝x﹣3图象上，且f（a）≤2，则b的
取值范围是 ．【答案】（1）③④；（2）见解析；（3）或【解析】【分析】（1）画出图象，根据函数的性质即可判断．（2）①根据题
意列表、描点、连线即可．②将看成是一次函数，此函数与轴的交点是，因此要与图像有两个交点，则需要分情况讨论．当时，满足两个交点的要求
；当时，与图像没有两个交点；当时，可以有两个交点，此种情况要代入，根据根的判别式求出的范围即可．（3）因为，所以根据分段函数的图像
，求解取值在到2之间的自变量的范围，分情况讨论即可．再根据点在函数图象上，则，即，代入到的取值范围中求解即可．【详解】解：（1）画
出图象，根据图象可知，①当时，随的增大而增大，故错误；②该函数图象关于轴不对称，故错误；③当时，函数有最小值为，正确；④该函数图象
不经过第三象限，正确；故答案为：③④．（2）①在平面直角坐标系中画出该函数图象，②关于的方程有两个互不相等的实数根，可以看成是和有
两个交点．是一次函数，与轴的交点为，当时，满足两个交点的条件．若将向下平移与图像有两个交点，则．方程为，即．△，，．故答案：或．（
3），当时，，，解出．当时，，，解出．或．点在函数图象上，，，或．故答案为：或．【点睛】此题考查的是分段函数，用数形结合的思想是解
此题的关键．23. 已知二次函数c和一次函数的图象都经过点A（-3，0），且二次函数的图象经过点B（0，3），一次函数的图象经过点
C（0，-1）．（1）分别求m、n和b、c的值；（2）点P是二次函数的图象上一动点，且点P在x轴上方，写出△ACP的面积S关于点P
的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．【答案】（1），，，；（2）．【解析】【分析】（1）将将A（-3，0），B（0，3），代入二次函数，将A（-3，0）， C（0，-1）代入一次函数，分别求解即可；（2）分两种情况：当时，过点P作轴交轴于点，根据点P在x轴上方，设点P的坐标是（，）得到△ACP的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式是；当时，过点C作轴，过点P作交于点，过点A作交于点，根据点P在x轴上方，设点P的坐标是（，）得到△ACP的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式是；则可知△ACP的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式，在利用配方法得到，可以得出面积的最大值．【详解】解：（1）∵二次函数和一次函数的图象都经过点 A（-3，0），且二次函数的图象经过点B（0，3），一次函数的图象经过点 C（0，-1）．∴将A（-3，0），B（0，3），代入二次函数得：，解之得： ，将A（-3，0），C（0，-1）代入一次函数得：，解之得： ，（2）由（1）可知，二次函数的关系式是，当时，有，则有： ，∴二次函数与x轴的交点坐标是：（-3，0），（1，0），∴当时，图像如下图所示，过点P作轴交 轴于点，∵点P在x轴上方，设点P的坐标是（，）则由图像可知，，， ，∴∵点P是二次函数的图象上，∴∴当时，图像如下图所示，过点C作轴，过点P作交于点，过点A作交于点，∵点P在x轴上方，设点P的坐标是（，）则由图像可知，，， ，∴∵点P是二次函数的图象上，∴综上所述，△ACP的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式是，∵∴△ACP的面积最大值是．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积，最值等知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 1 / 1 |
|
