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中考必做的 36 道压轴题及变式训练第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”例 1(北京，23,7 分)在平面直角坐标系 x O y 中，抛物线222 ??? mxmxy （ 0?m ）与 y 轴交于点 A，其对称轴与 x 轴交于点 B．（1）求点 A，B 的坐标；（2）设直线l与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；
（3）若该抛物线在 12 ???? x 这一段位于直线l 的上方，并且在 32 ?? x 这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．解：（1）当x ＝ 0 时，y ＝－2 .∴A（0，－2）．抛物线对称轴为x＝ 2 12 mm?? ? ，∴B（1，0）．（2）易得A 点关于对称轴的对称点为A（2，－2）
则直线l 经过A 、B .没直线的解析式为y＝kx＋b则 2 2,0.k bk b? ???? ? ?? 解得 2,2.kb ???? ??∴直线的解析式为y＝－2x ＋2．（3）∵抛物线对称轴为x ＝1抛物体在2
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∴抛物线与直线l 的交点横坐标为－1 ；当x＝－1 时，y＝－2x(－1)＋2 ＝4则抛物线过点（－1，4）当x＝－1 时，m＋2m －2＝4 ，m＝2∴抛物线解析为y＝2x2 －4x－2 .连接（江苏南京，26，9 分）已知二次函数 y＝a（x－m）
2－a（x－m）（a、m 为常数，且a≠0）.（1）求证：不论 a 与 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为 C.与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 D.①当△ABC 的面积等于 1 时，求 a 的值；②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求 m 的值.【答案】（1）证明：y＝a（x－m）
2－a（x－m）＝ax2－（2am＋a）x＋am2＋am.因为当 a≠0 时，［－（2am＋a）］2－4a（am2＋am）＝a2＞0.所以，方程 ax2－（2am＋a）x＋am2＋am＝0 有两个不相等的实数根.所以，不论 a 与 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点. ………3 分（2）解：①y＝a（x－m）2－a（x－m）＝a（x－ 2 12 ?m ）2－ 4a ，所以，点 C 的坐标为（ 2 12 ?m ，－ 4a ）.当 y＝0 时，a（x－m）
2－a（x－m）＝0.解得 x1＝m，x2＝m＋1.所以 AB＝1.当△ABC 的面积等于 1 时， 21 ×1× 4a? ＝1.所以 21 ×1×（－ 4a ）＝1，或 21 ×1× 4a ＝1.所以 a＝－8，或 a＝8.②当 x＝0 时，y＝am
2＋am.所以点 D 的坐标为（0，am2＋am）.当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，
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21 ×1× 4a? ＝ 21 ×1× amam ?221 ×1×（－ 4a ）= 21 ×1×（am2＋am），或 21 ×1× 4a = 21 ×1×（am2＋am）.所以 m＝－ 21 ，或 m＝ 2 21?? ，或 m＝ 2 21?? .………9 分变式: （北京，23，7 分）已知二次函数 2 3( 1) 2( 2) 2y t x t x? ? ? ? ? 在 0x? 和 2x? 时的函数值相等。（1） 求二次函数的解析式；（2） 若一次函数 6y kx? ? 的图象与二次函数的图象都经过点 ( 3 )A m? ， ，求 m 和 k 的值；（3） 设二次函数的图象与 x 轴交于点 B C， （点 B 在点C 的左侧），将二次函数的图象在点 B C， 间的部分（含点 B 和点C ）向左平移 ( 0)n n ? 个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）
中得到的直线 6y kx? ? 向上平移n 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，n 的取值范围。【答案】（1）①方法一：∵二次函数 2 3( 1) 2( 2) 2y t x t x? ? ? ? ? 在 0x? 和 2x? 时的函数值相等∴ 3 34( 1) 4( 2)2 2t t? ? ? ? ? .∴ 32t ?? .∴这个二次函数的解析式是
21 32 2y x x?? ? ?②方法二：由题意可知：二次函数图象的对称轴为 1x ?则 2( 2) 12( 1)tt?? ??∴ 32t ?? .∴这个二次函数的解析式是 21 32 2y x x?? ? ? .（2）∵二次函数的图象过 ( 3, )A m? 点.∴ 21 3( 3) ( 3) 62 2m?? ? ? ? ? ?? .又∵一次函数 6y kx? ? 的图象经过点 A
∴ 3 6 6k? ? ??∴ 4k ?（3）令 21 3 02 2y x x?? ? ? ?解得： 1 1x ?? 2 3x ?由题意知，点 B、C 间的部分图象的解析式为 1( 3)( 1)2y x x?? ? ? ，（ 1 3x? ? ? ）.则向左平移后得到图象 G 的解析式为： 1( 3 )( 1 )2y x n x n?? ? ? ? ? ，（ 1 3n x n? ? ? ? ? ）.
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此时平移后的一次函数的解析式为 4 6y x n? ? ? .若平移后的直线 4 6y x n? ? ? 与平移后的抛物线 1( 3 )( 1 )2y x n x n?? ? ? ? ? 相切.则 14 6 ( 3 )( 1 )2x n x n x n? ? ?? ? ? ? ? 有两个相等的实数根。即一元二次方程 2 21 1 9( 3) 02 2 2x n x n? ? ? ? ? ? 有两个相等的实数的根。∴判别式=? ?2 21 1 9( 3) 4 ( )( ) 02 2 2n n? ? ? ? ? ? ? ?解得： 0n? 与 0n? 矛盾.∴平移后的直线 4 6y x n? ? ? 与平移后的抛物线 1( 3 )( 1 )2y x n x n?? ? ? ? ? 不相切.∴结合图象可知，如果平移后的直线与图象 G 有公共点，则两个临界交点为( 1,0)n? ? 和(3 ,0)n? .
则4( 1) 6 0n n? ? ? ? ? ，解得： 23n?4(3 ) 6 0n n? ? ? ? ，解得： 6n?∴ 2 63 n? ?第 2 题“弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破（例题）（湖南湘潭，26，10 分） 如图，抛物线 )0(2232 ???? axaxy 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于C 点，已知 B 点坐标为? ?0,4 .（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究 ABC? 的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M 是线段 BC 下方的抛物线上一点，求 MBC? 的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标.【答案】解：（1）将 B（4，0）代入 )0(223
2 ???? axaxy 中，得： 21?a∴抛物线的解析式为： )0(22321 2 ???? axxy（2）∵当 022321 2 ??? xx 时，解得 41 ?x ， 12 ??x∴A 点坐标为（－1，0），则 OA=1∵当 x=0 时， 222321 2 ????? xxy
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∴C 点坐标为（0,－2），则 OC=2在 Rt⊿AOC 与 Rt⊿COB 中， 21?? OBOCOCOA∴Rt⊿AOC∽Rt⊿COB∴∠ACO=∠CBO∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠CBO+∠OCB=90°那么⊿ABC 为直角三角形所以⊿ABC 的外接圆的圆心为 AB 中点，其坐标为（1.5，0）（3）连接 OM.设 M 点坐标为（x， 22321 2 ?? xx ）
则 OBCOBMMBC S ⊿⊿⊿⊿ SSS OCM ???= 4221221)22321(421 2 ??????????? xxx= 4)2( 2??? x∴当 x=2 时，⊿MBC 的面积有最大值为 4，M 的坐标为（2，－3）变式（安徽芜湖 24）面直角坐标系中，? ABOC 如图放置，点 A、C 的坐标分别为（0，3）、（-1，0），将此平行四边形绕点 O 顺时针旋转 90°，得到? A''B''OC''．（1）若抛物线过点 C，A，A''，求此抛物线的解析式；
（2）? ABOC 和? A''B''OC''重叠部分△OC''D 的周长；（3）点 M 是第一象限内抛物线上的一动点，问：点 M 在何处时△AMA''的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 M 的坐标．第三题“模式识别”记心头，看似“并列”“递进”
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（例题）23．（河南，23，11 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 1 12y x? ? 与抛物线2 3y ax bx? ? ? 交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为 3．点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点（ 不与 A、B 重合），过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 与点 C，作 PD⊥AB 于点D． （1）求 a、b 及sin ACP? 的值；（2）设点 P 的横坐标为 m．①用含m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值；②连接 PB，线段 PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为 9:10?
若存在，直接写出m 值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）由 1 1 02 x? ? ，得 2,x ?? ∴ ( 2,0)A ?由 1 1 32 x? ? ，得 4,x ? ∴ (4,3)B∵ 2 3y ax bx? ? ? 经过 ,A B 两点，∴ 22(-2) -2 -3=04 +4 -3=3a ba b? ??? ??? ∴ 1 1,2 2a b? ??设直线 AB 与 y 轴交于点 E ，则 (0,1)E∵ PC ∥ y 轴，∴ ACP AEO? ?? .∴ 2 2 5sin sin 55OAACP AEO AE? ? ? ? ? ?（2）由⑴可知抛物线的解析式为 21 1 32 2y x x? ? ?∴
21 1 1( , 3), ( , 1)2 2 2P m m m C m m? ? ?2 21 1 1 11 ( 3) 42 2 2 2PC m m m m m? ? ? ? ? ?? ? ?在 Rt PCD? 中， sinPD PC ACP? ??
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21 2 5( 4)2 5m m? ? ? ? ?25 9 5( 1) .5 5m?? ? ?∵ 5 05? ? ∴当 1m? 时， PD 有最大值9 55②存在满足条件的m 值， 5 322 9m? 或【提示】分别过点 D、B 作 DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为 F、G．在 tR PDF? 中， 21 1( 2 8).55DF PD m m? ?? ? ?又 4 ,BG m? ?
∴ 21( 2 8) 25 4 5PCDPBC m mS DF mS BG m? ? ? ?? ? ???? ．当 2 95 10PCDPBCS mS ?? ??? 时，解得 52m? ；当 2 105 9PCDPBCS mS ?? ??? 时，解得 329m? ．变式一 27．（江苏泰州，27，12 分）已知：二次函数 y=x2＋bx－3 的图像经过点 P（－2,5）．（1）求 b 的值，并写出当 1＜x≤3 时 y 的取值范围；（2）设点 P
1（m,y1）、P2（m+1,y2）、P3(m+2,y3)在这个二次函数的图像上．①当 m=4 时，y1、y2、y3 能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；②当 m 取不小于 5 的任意实数时，y1、y2、y3 一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．【答案】解：（1）把点 P 代入二次函数解析式得 5= （－2）2－2b－3，解得 b=－2.当 1＜x≤3 时 y 的取值范围为－4＜y≤0.（2）①m=4 时，y
1、y2、y3 的值分别为 5、12、21，由于 5+12＜21，不能成为三角形的三边长．②当 m 取不小于 5 的任意实数时，y1、y2、y3 的值分别为 m2－2m－3、m2－4、m2＋2m－3，由于， m2－2m－3＋m2－4＞m2＋2m－3，（m－2）2－8＞0，当 m 不小于 5 时成立，即 y1＋y2＞y3 成立．所以当 m 取不小于 5 的任意实数时，y
1、y2、y3 一定能作为同一个三角形三边的长，
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变式二（重庆 B 卷，25，10 分）如图，已知抛物线 cbxxy ??? 2 的图像与 x 轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为 A，且与 y 轴交于点 C(0，5).（1）求直线 BC 与抛物线的解析式；（2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图像上的一动点，过点 M 作 MN//y 轴交直线 BC 于点 N，求 MN 的最大值；（3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点 P 是抛物线在 x 轴下方图像上任意一点，以BC 为边作平行四边形 CBPQ，设平行四边形 CBPQ 的面积为 1S ，△ABN 的面积为 2S ，且
21 6SS ? ，求点 P 的坐标.【答案】解：（1）设直线 BC 的解析式为 nmxy ?? ，将 B（5，0），C（0，5）代入有：??? ? ??5 05n nm
解得：??? ? ??5 1nm 所以直线 BC 的解析式为 5??? xy再将 B（5，0），C（0，5）代入抛物线 cbxxy ??? 2 有：??? ? ???5 0525c cb 解得：??? ? ??56cb 所以抛物线的解析式为： 562 ??? xxy（2）设 M 的坐标为（x， 562 ?? xx ），则 N 的坐标为（x， 5?? x ），MN= )56()5( 2 ????? xxx= xx 52 ??
当 25?x 时，MN 有最大值为 425
y xOC A B
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（3）当 0562 ???? xxy 时，解得 11 ?x ， 52 ?x故 A（1,0），B（5,0），所以 AB=4由（2）可知，N 的坐标为（ 25 ， 25 ）∴ 5254212 ????S则 306 21 ?? SS ，那么 15?CBPS△在 y 上取点 Q (-1，0)，可得 15?CBQS△故 QP∥BC
则直线 QP 的解析式为 1??? xy当 1562 ????? xxx 时，解得 21 ?x ， 32 ?x所以 P 点坐标为（2， 3? ），（3， 4? ），第四题“准线”“焦点”频现身，“居高临下”明“结构”（例题）（四川资阳，25，9 分）抛物线 214y x x m? ? ? 的顶点在直线 3y x? ? 上，过点 F( 2,2)?的直线交该抛物线于点 M、N 两点（点 M 在点 N 的左边），MA⊥ x 轴于点 A，NB⊥ x 轴于
点 B．（1）(3 分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m 的代数式表示），再求m 的值；（2）(3 分)设点 N 的横坐标为a ，试用含a 的代数式表示点 N 的纵坐标，并说明 NF＝NB；（3）(3 分)若射线 NM 交 x 轴于点 P，且 PA×PB＝1009 ，求点 M 的坐标．
1P 2Py xOC A BNMQ
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答案：解（1） 2 21 1( 2) ( 1)4 4y x x m x m? ? ? ? ? ? ?∴顶点坐标为(－2 , 1m? )∵顶点在直线 3y x? ? 上，∴－2+3= 1m? ，得m =2（2）∵点 N 在抛物线上，∴点 N 的纵坐标为 21 24a a? ?即点 N(a , 21 24a a? ? )过点 F 作 FC⊥NB 于点 C，在 Rt△FCN 中，FC=a +2，NC=NB-CB= 214a a? ,∴ 2NF ＝ 2 2NC FC? ＝
2 2 21( ) ( 2)4a a a? ? ? = 2 2 21( ) ( 4 ) 44a a a a? ? ? ?而 2NB = 2 21( 2)4a a? ? ＝ 2 2 21( ) ( 4 ) 44a a a a? ? ? ?∴ 2NF ＝ 2NB ，NF=NB（3）连结 AF、BF
由 NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的结论知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA,∵MA⊥ x轴，NB⊥ x 轴，∴MA∥NB,∴∠AMF+∠BNF=180°∵△MAF 和△NFB 的内角总和为 360°,∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°,∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°又∵∠FAB+∠MAF=90°∴∠FBA=∠MAF=∠MFA又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF，∴ PF PBPA PF? ， 2PF PA PB? ? =1009过点 F 作 FG⊥ x 轴于点 G,在 Rt△PFG 中，PG= 2 2PF FG? =83 ，∴PO=PG+GO=143 ，∴P(－143 , 0)
（ 第 25题 图 ）
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设直线 PF：y kx b? ? ，把点 F（－2 , 2）、点 P(－143 , 0)代入 y kx b? ? 解得k = 34 ，b = 72 ，∴直线 PF： 3 74 2y x? ?解方程 21 3 724 4 2x x x? ? ? ? ，得 x =－3 或 x =2（不合题意，舍去）当 x =－3 时， y = 54 ，∴M（－3 , 54 ）变式一25．已知抛物线 y=ax
2+bx+c（a≠0）顶点为 C（1，1）且过原点 O．过抛物线上一点 P（x，y）向直线 y= 54 作垂线，垂足为 M，连 FM（如图）．（1）求字母 a，b，c 的值；（2）在直线 x=1 上有一点 F(1， 34 )，求以 PM 为底边的等腰三角形 PFM 的 P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点 P，是否总存在一点 N（1，t），使 PM=PN恒成立？若存在请求出 t 值，若不存在请说明理由．
解：（1）抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）顶点为 C（1，1）且过原点 O，可得- 2ba =1， 24 4ac ba? =1，c=0，∴a=-1，b=2，c=0．（2）由（1）知抛物线的解析式为 y=-x
2+2x，故设 P 点的坐标为（m，-m2+2m），则 M 点的坐标（m， 54 ），∵△PFM 是以 PM 为底边的等腰三角形∴PF=MF，即（m-1）2+（-m2+2m- 34 ）2=（m-1）2+（ 34 - 54 ）2∴-m2+2m- 34 = 12 或-m2+2m- 34 =- 12 ，①当-m
2+2m- 34 = 12
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时，即-4m2+8m-5=0∵△=64-80=-16＜0∴此式无解②当-m2+2m- 34 =- 12 时，即 m2-2m=- 14∴m=1+ 32 或 m=1- 32Ⅰ、当 m=1+ 32 时，P 点的坐标为（1+ 32 ， 14 ），M 点的坐标为（1+ 32 ， 54 ）
Ⅱ、当 m=1- 32 时，P 点的坐标为（1- 32 ， 14 ），M 点的坐标为（1- 32 ， 54 ），经过计算可知 PF=PM，∴△MPF 为正三角形，∴P 点坐标为：（1+ 32 ， 14 ）或（1- 32 ， 14 ）．（3）当 t= 34 时，即 N 与 F 重合时 PM=PN 恒成立．
证明：过 P 作 PH 与直线 x=1 的垂线，垂足为 H，在 Rt△PNH 中，PN
2=（x-1）2+（t-y）2=x2-2x+1+t2-2ty+y2，PM2=（ 54 -y）2=y2- 52 y+ 2516 ，P 是抛物线上的点，∴y=-x2+2x；∴PN2=1-y+t2-2ty+y2=y2- 52 y+ 2516 ，
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∴1-y+t2-2ty+y2=y2- 52 y+ 2516 ，移项，合并同类项得：- 32 y+2ty+ 916 -t2=0，∴y（2t- 32 ）+（ 916 -t2）=0 对任意 y 恒成立．∴2t- 32 =0 且 916 -t2=0，∴t= 34 ，故 t= 34 时，PM=PN 恒成立．∴存在这样的点．变式二
（山东潍坊，24，11 分）如图 12，已知抛物线与坐标轴分别交于 A（ 2? ，0）、B（2，0）、C（0， 1? ）三点，过坐标原点 O 的直线 y kx? 与抛物线交于 M、N 两点．分别过点 C、D（0， 2? ）作平行于 x 轴的直线 l1、l2．（1）求抛物线对应二次函数的解析式；（2）求证以 ON 为直径的圆与直线 l1 相切；（3）求线段 MN 的长（用 k 表示），并证明 M、N 两点到直线 l
2 的距离之和等于线段MN 的长．【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为
2y ax bx c? ? ? ，由 0 4 20 4 21 a b ca b cc? ? ??? ? ? ???? ?? ，解得 1401abc? ??? ??? ???? ．所以 21 14y x? ? ．（2）设 M（x
1，y1），N（x2，y2），因为点 M、N 在抛物线上，所以 21 11 14y x? ? ， 22 21 14y x? ? ，所以 22 24( 1)x y? ? ；
图 12A BCDOM N l1l2
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又 2ON = 2 22 2x y? = 22 24( 1)y y? ? = 22( 2)y ? ，所以 ON= 2 2y ? ，又因为 y2≥ 1? ，所以 ON= 2 2y ? ．设 ON 的中点为 E，分别过点 N、E 向直线 l1 作垂线，垂足为 P、F，则 EF= 2OC NP? = 22 2y? ，所以 ON=2EF，即 ON 的中点到直线 l
1 的距离等于 ON 长度的一半，所以以 ON 为直径的圆与直线 l1 相切．（3）过点 M 作 MH⊥NP 交 NP 于点 H，则2 2 2MN MH NH? ? = 22 1( )x x? + 22 1( )y y? ，又 y1=kx1，y2=kx2，所以 22 1( )y y? = 2 22 1( )k x x? ，所以 2 2 22 1(1 )( )MN k x x? ? ? ；又因为点 M、N 既在 y=kx 的图象上又在抛物线上，
所以 21 14kx x? ? ，即 2 4 4 0x kx? ? ? ，所以 x = 24 16 162k k? ? =2k± 22 1 k? ，所以 22 1( )x x? = 216(1 )k? ，所以 2 2 216(1 )MN k? ? ，所以 MN= 24(1 )k? ．延长 NP 交 l
2 于点 Q，过点 M 作 MS⊥l2 于点 S，则 MS + NQ = 1 22y y? ? = 2 21 21 11 1 44 4x x? ? ? ? = 2 21 21( ) 24 x x? ? ，又 2 21 2x x? = 2 2 22[4 4(1 )] 16 8k k k? ? ? ? ，所以 MS + NQ = 24 2 2k ? ? = 24(1 )k? =MN．即 M、N 两点到直线 l2 的距离之和等于线段 MN 的长．
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第五题末尾“浮云”遮望眼，“洞幽察微”深指向例题（浙江宁波，26，12 分）如图，二次函数 2y ax bx c? ? ? 的图象交 x 轴于 A（－1，0），B(2，0)，交 y 轴于 C（0，－2），过 A，C 画直线．(1)求二次函数的解析式；(2)点 P 在 x 轴正半轴上，且 PA =PC，求 OP 的长；(3)点 M 在二次函数图象上，以 M 为圆心的圆与直线 AC 相切，切点为 H①若 M 在 y 轴右侧，且△CHM ∽△AOC（点 C 与点 A 对应），求点 M 的坐标；
②若 M 的半径为 4 55 ，求点 M 的坐标．【答案】解：(1)设该二次函数的解析式为： ( 1)( 2)y a x x? ? ?
将 x=0，y=－2 代入，得－2= a(0+1)(0－2)解得 a=1．∴抛物线的解析式为 ( 1)( 2)y x x? ? ? ，即 2 2y x x? ? ? ．(2)设 OP =x，则 PC=PA =x +1．在 Rt△POC 中，由勾股定理，得 2 2 22 ( 1)x x? ? ?
第 24题A BCDOM N l1l2E PQFS H
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解得 32x ? ，即 32OP ? ．(3)① ∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO．情形 1：如图，当 H 在点 C 下方时，∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x 轴，∴ 2My ?? ，∴ 2 2 2x x? ? ?? ，解得 x=0（舍去），或 x=1， M(1，－2)．情形 2：如图，当 H 在点 C 上方时∵∠M’CH=∠CAO，由(2)：得，M’为直线 CP 与抛物线的另一交点，
设直线 CM’的解析式为 y=kx－2．把 P（ 32 ，0）的坐标代入，得 3 2 02k ? ? ，解得 43k ? ，∴ 4 23y x? ? ．由 24 2 23 x x x? ? ? ? ，解得 x=0（舍去），或 x＝ 73 ，此时 109y ? ，∴ 7 10''( , )3 9M ．
②在 x 轴上取一点 D，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，使 DE＝ 4 55 ．∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，∴△ADE∽△AOC，∴ AD DEAC OC? ，∴ 4 5525AD ? ，解得 AD=2．∴D(1，0)或 D（－3，0）．
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过点 D 作 DM∥AC，交抛物线于 M．则直线 DM 的解析式为： 2 2y x?? ? 或 2 6y x?? ? ．当－ 2x －6= x2 －x－2 时，方程无实数解．当－ 2x+2＝x2 －x－2 时，解得 1 21 17 1 17,2 2x x? ? ? ?? ? ．∴点 M 的坐标为 M 1 17( ,3 7)2? ? ? 或 M 1 17( ,3 7)2? ? ?
变式一25．如图，抛物线 y= 14? x2+x+3 与 x 轴相交于点 A、B，与 y 轴相交于点 C，顶点为点 D，对称轴 l 与直线 BC 相交于点 E，与 x 轴相交于点 F．（1）求直线 BC 的解析式；（2）设点 P 为该抛物线上的一个动点，以点 P 为圆心，r为半径作⊙P
①当点 P 运动到点 D 时，若⊙P 与直线 BC 相交，求 r 的取值范围；②若 r= 4 55 ，是否存在点 P 使⊙P 与直线 BC 相切？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．提示：抛物线 y=ax2+bx+x（a≠0）的顶点坐标（ 2ba? ， 24 4ac ba?
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），对称轴 x= 2ba? ．变式二22．（广东省，20，9 分）如图，抛物线 21 3= - -92 2y x x 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点C，连接 BC、AC.(1)求 AB 和 OC 的长；(2)点 E 从点 A 出发，沿 x 轴向点 B 运动(点 E 与点 A、B 不重合)，过点 E 作直线 l 平行于 BC，
交 AC 于点 D.设 AE 的长为 m，△ADE 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，连接 CE，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点 E 为圆心，与 BC 相切的圆的面积(结果保留? ).
【答案】(1)当 y=0 时， 21 3- -9=02 2x x ，解得 x1=－3，x2=6.∴AB=|x1－x2|=|－3－6|=9.当 x=0 时，y=－9.∴OC=9.(2)由(1)得 A(－3,0)，B(6,0)，C(0,－9)，∴直线 BC 的解析式为 y= 32 x－9，直线 AC 的解析式为 y=－3x－9.∵AE 的长为 m，∴E(m－3,0).又∵直线 l 平行于直线 BC，∴直线 l 的解析式为 y= 32 x－ 3( -3)2 m .由 3 93 3- ( -3)2 2y xy x m?? ???? ??? 得 9= 3-mxy m????? ?? ，∴点 D( 93m? ,－m).
∴△ADE 的面积为：S= 12 ·AE·|D 纵|= 12 ·(m－3)·|－m|= 21 3-2 2m m .(0＜m＜9)(3)△CDE 面积为：S△ACE－S△ADE= 1 92 m? ? －( 21 3-2 2m m )= 21 +32m m? = 21 9- ( -3) +2 2m ，
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∴当 m=3 时，△CDE 面积的最大值为 92 .此时，点 E(0,0).如图，作 OF⊥BC 于 F，∵OB=6，OC=9，∴OF= OB OCBC? = 2 26 96 9?? =18 1313 .∴以点 E 为圆心，与 BC 相切的圆的面积为： 218 324( 13) =13 13? ? .
第 6 题 分类讨论“程序化”，“分离抗扰”探本质例题（贵州遵义，27，14 分）已知抛物线 )0(32 ???? abxaxy 经过 A(3，0), B(4，1)两点，且与y 轴交于点 C。（1）求抛物线 )0(32 ???? abxaxy 的函数关系式及点 C 的坐标；（2）如图（1）,连接 AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点 P，使△PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（2）,连接 AC，E 为线段 AC 上任意一点（不与 A、C 重合）经过 A、E、O 三点的圆交直线 AB 于点 F，当△OEF 的面积取得最小值时，求点 E 的坐标。
【答案】（1）
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2(3,0) (4,1) y=ax +bx+30=9a+3b 31 16 4 31a=2b= 12(0,3)A Ba bC ??? ? ? ?? ??????? ２、 代 入 中解 得 ５－ ２ ５∴ 解 析 式 为 ｙ ＝ ｘ － ｘ ＋ ３２令 ｘ ＝ ０ 时 ， ｙ ＝ ３∴ 点 坐 标 为（2）若∠PAB=90°，分别过 P、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 E、F。
图（1）易得△APE∽△BAF,且△BAF 为等腰直角三角形，∴△APE 为等腰直角三角形。设 PE=a，则 P 点的坐标为（a，a－3）代入解析式3-a= 21 5a 32 2a? ? 解得 a=0，或 a=3（与 A 重合舍去）∴P（0,3）若∠PBA=90°，如下图，直线与 x 轴交与点 D, 分别过 P、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 E、F。
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由图可得△PED、△BAD 为等腰直角三角形，设 PE=a，则 DE=a，AB= 2 ,所以 AD=2，则 P 点坐标为（5－a，a）代入解析式，21 5(5 ) (5 ) 32 2a a a? ? ? ? ? 解得，a=1，或 a=6 （与 B 重合）是所以 P 点坐标（－1,6）综上所述 P（0,3）或 P（－1,6）（3）由题意得，∠CAO=∠OAF=45°利用同弧所对的圆周角相等，∠OEF=∠OAF=45°
∠EFO=∠EAO=45°∴△EOF 为等腰直角三角形，S△EOF= 212OE 。∴当 OE 最小时，面积最小。即 E 为 AC 中点（ 3 3, )2 2变式一（山东枣庄，25，10 分）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，把抛物线 2y x? 向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位，得到抛物线 2( )y x h k? ? ? .所得抛物线与 x 轴交于 A B、 两点（点 A在点 B的左边），与 y 轴交于点C ，顶点为 D .
（1）写出h k、 的值；（2）判断 ACD△ 的形状，并说明理由；（3）在线段 AC 上是否存在点M ，使 AOM△ ∽ ABC△ ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.
解：（1） 2( )y x h k? ? ? 的顶点坐标为Ｄ（－１，－４），Ａ Ｄ Ｃ ＢＯ xy
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∴ 1h k?? ， =-4 .（2）由（1）得 2( 1) 4y x? ? ? .当 0y ? 时， 2( 1) 4 0x? ? ? ． 解之，得 1 23 1x x?? ?， ．∴ ( 30) 10A B? ， ， (， ).又当 0x? 时， 2 2( 1) 4 (0 1) 4 3y x? ? ? ? ? ? ?? ，∴C 点坐标为? ?0 3， - .……………………………………………………………………4 分又抛物线顶点坐标 ? ?1 4D ? ?， ，作抛物线的对称轴 1x?? 交 x 轴于点 E， DF y? 轴于点F
．易知在Rt AED△ 中， 2 2 22 4 20AD ? ? ? ；在Rt AOC△ 中， 2 2 23 3 18AC ? ? ? ；在Rt CFD△ 中， 2 2 21 1 2CD ? ? ? ；∴ 2 2 2AC CD AD? ? ．∴ △ACD 是直角三角形．（3）存在．作 OM∥BC 交 AC 于 M，Ｍ点即为所求点．
由（2）知， AOC△ 为等腰直角三角形， 45BAC? ? ?， 18 3 2AC ? ? ．由 AOM ABC△ ∽ △ ，得 AO AMAB AC? ．即 3 3 3 2 9 24 4 43 2AM AM ?? ? ?， .过M 点作MG AB? 于点G ，则29 24 81 92 16 4AG MG ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ， 9 33 4 4OG AO AG? ? ? ? ? .又点 M 在第三象限，所以 3 9- -4 4M（ ， ） .
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变式二（南充市，21，8 分）如图，等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M 是 BC的中点。（1）求证：⊿MDC 是等边三角形；（2）将⊿MDC 绕点 M 旋转，当 MD(即 MD′)与 AB 交于一点 E,MC 即 MC′)同时与 AD 交于一点 F 时，点 E,F 和点 A 构成⊿AEF.试探究⊿AEF 的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF 周长的最小值.
D
''
C''
M
F
E
D
CB
A【答案】（1）证明：过点 D 作 DP⊥BC,于点 P，过点 A 作 AQ⊥BC 于点 Q,∵∠C=∠B=60
0∴CP=BQ= 21 AB,CP+BQ=AB又∵ADPQ 是矩形，AD=PQ,故 BC=2AD,由已知，点 M 是 BC 的中点，BM=CM=AD=AB=CD,即⊿MDC 中，CM=CD, ∠C=60
0,故⊿MDC 是等边三角形.
Ａ Ｄ Ｃ ＢＯ xyM FE G
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（2）解：⊿AEF 的周长存在最小值，理由如下：连接 AM,由（1）平行四边形 ABMD 是菱形，⊿MAB, ⊿MAD 和⊿MC′D′是等边三角形，∠BMA=∠BME+∠AME=600, ∠EMF=∠AMF+∠AME=600∴∠BME=∠AMF）在⊿BME 与⊿AMF 中，BM=AM, ∠EBM=∠FAM=600∴⊿BME≌⊿AMF(ASA)∴BE=AF, ME=MF,AE+AF=AE+BE=AB
∵∠EMF=∠DMC=600 ,故⊿EMF 是等边三角形，EF=MF.∵MF 的最小值为点 M 到 AD 的距离 3 ，即 EF 的最小值是 3 .⊿AEF 的周长=AE+AF+EF=AB+EF,⊿AEF 的周长的最小值为 2+ 3 .
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