2021北京重点校初二（上）期中数学汇编等腰三角形1一、单选题1．（2021·北京·101中学八年级期中）如图1，中，，D为BC中点，把纸片
沿AD对折得到，如图2，点E和点F分别为AD，AC上的动点，把纸片沿EF折叠，使得点A落在的外部，如图3所示．设，则下列等式成立的
是（ ）A．B．C．D．2．（2021·北京四中八年级期中）如图，等边的边长为3，点M为边上的一个动点，作于点D，延长
使得，连接交与点E，则的长为（ ）A．B．1C．D．23．（2021·北京八中八年级期中）如图，在长方形ABCD的对称
轴l上找点P，使得△PAB、△PBC、△PDC、△PAD均为等腰三角形，则满足条件的点P有（ ）A．5个B．4个C．3个D．1个
4．（2021·北京·清华附中八年级期中）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为（ ）A．10B．
15C．17D．19二、填空题5．（2021·北京八中八年级期中）如图，点D是△ABC三条角平分线的交点，∠ABC＝68°，若AB
+BD＝AC，则∠ACB的度数为 ___．6．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，CD⊥
AB于点D，∠B=30°，且AD=1，那么BD=__________．7．（2021·北京八中八年级期中）如图，点P、M、N分别在
等边三角形ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，若AB＝15cm，则CM的长为 ___．8．（2
021·北京师大附中八年级期中）已知等边△ABC的边长为6，点M是射线AB上的动点，点N是边BC延长线上的动点，在运动的过程中始终
满足AM＝CN，作MD垂直于射线AC于D，连接MN交射线AC于E．（1）如图1，当点M为AB的三等分点（靠近点A）时，DE的长为_
______．（2）点M、N分别从点A、C同时出发、分别在射线AB、边BC的延长线上以相同的速度开始运动，动点M、N在运动过程中，
DE的长会________（变小、变大、不变）．9．（2021·北京·清华附中八年级期中）如图，已知，点，，，在射线ON上，点，，
，在射线OM上，，，，均为等边三角形，若，则的边长为______．的边长为______．10．（2021·北京·首都师范大学附属中
学八年级期中）如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF//OB，EC⊥OB，若EC＝2，则EF＝___．11．（2021·北京·首都
师范大学附属中学八年级期中）如图，△ABC为等边三角形，点E在AB上，点F在AC上，AE＝CF，CE与BF相交于点P，则∠EPB＝
___．12．（2021·北京八中八年级期中）等腰三角形的一个外角是140°，则它的顶角的度数为 ___．13．（2021·北京·
清华附中八年级期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为54°，则该等腰三角形的底角的度数为_______．14．（2021·北京
·人大附中八年级期中）如图，△ABC为等边三角形，点D与点C关于直线AB对称，E，F分别是边BC和AC上的点，BE＝CF，AE与B
F交于点G，DG交AB于点H．下列四个结论中：①△ABE≌△CBF；②AG+BG＝DG；③HG+GE＝GF；④△AHF为等边三角形
．所有正确结论的序号是 ___．15．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，BD平分∠ABC，DE∥BC交BA于点E，若DE＝
1，则EB＝_______．三、解答题16．（2021·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）如图1，共顶点的两个三角形△ABC，
△AB′C′，若AB＝AB′，AC＝AC′，且∠BAC+∠B′AC′＝180°，我们称△ABC与△AB′C′互为“顶补三角形”．（
1）已知△ABC与△ADE互为“顶补三角形”，AF是△ABC的中线．①如图2，若△ADE为等边三角形时，直接写出DE与AF的数量关
系 ；②如图3，若△ADE为任意三角形时，上述结论是否仍然成立？请说明理由．③如图3，若△ADE为任意三角形，且S△ADE＝5，
则S△ABC＝ ．（2）如图4，四边形ABCD中，∠B+∠C＝90°，在平面内是否存在点P，使△PAD与△PBC互为“顶补三角形”
，若存在，请画出图形，并证明；若不存在，请说明理由．17．（2021·北京八中八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（t﹣1，
1）与点B关于过点（t，0）且垂直于x轴的直线对称．（1）以AB为底边作等腰三角形ABC，①当t＝2时，点B的坐标为 ；②当t＝
0.5且△ABC为等腰直角三角形时，点C的坐标为 ；③若△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，则t的取值范围是 ．（2）以A
B为斜边作等腰直角三角形ABD，直线m过点（0，b）且与x轴平行，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK＝1，直接写出b
的取值范围．18．（2021·北京八中八年级期中）在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．点D在直线AM上，以CD为一边在CD
的下方作等边△CDE，连接BE．（1）当点D在线段AM上时，①请在图1中补全图形；②∠CAM的度数为 ；③求证：△ADC≌△BE
C；（2）当点D在直线AM上时，直线BE与直线AM的交点为O（点D与点M不重合，点E与点O不重合），直接写出线段OE，OM，DM与
BE的数量关系．19．（2021·北京·清华附中八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC
，E，F为垂足．求证：DE＝DF．20．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC（1）请用
尺规作图的方法在边AC上确定点D，使得点D到边BC的距离等于DA的长；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，求证：BC
=AB+AD 21．（2021·北京·101中学八年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B在第一象限，
为等边三角形．（1）直接写出点B的纵坐标 ；（2）如图2，于点C，点C关于x轴的对称点为点D，则点D的纵坐标为 ；连接AD交OB于
E，则OE的长为 ．（3）若点P为x轴上的一个动点，连接PA，以PA为边作等边，当OQ最短时，求Q点的纵坐标．22．（2021·北
京八十中八年级期中）如图，等边三角形△AOB，点C为射线OA上一动点，连接BC，以线段BC为边在射线OA同侧作等边三角形△CBD，
连接DA．（1）求证：△OBC≌△ABD （2）在点C的运动过程中，∠CAD的度数是否会变化？如果不变，请求出∠CAD的度数；如果
变化，请说明理由．23．（2021·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）在学习实数时，我们知道了正方形对角线的长度是边长的倍，所
以等腰直角三角形的底边长是腰长的倍．例如，图1中的四边形ABCD是正方形，ABC是等腰直角三角形，则AC＝AB．小玲遇到这样一个问
题：如图2，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BC＝2，AD⊥BC于点D，求AD的长．小玲发现：如图3，分别以A
B，AC为对称轴，分别作出ABD，ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，F，延长EB，FC交于点G，可以得到正方形AEGF，根
据轴对称图形的性质和正方形四条边都相等就能求出AD的长，请直接写出：BD的长为 ，BG的长为 ，AD的长为 ；参考小玲思考问
题的方法，解决问题：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），B（0，4），AB＝5，点P是OAB外角的角平分线AP和BP
的交点，直接写出点P的坐标为 .24．（2021·北京八中八年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D是AC的中
点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，连接AE．若AE＝3，求BC的长．解：∵AB＝AC，∠B＝30°∴∠C＝∠B＝30° ∴∠B
AC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°∵点D是AC的中点，且DE⊥AC∴EC＝EA＝3 ∴∠EAC＝∠C＝30°∴∠BAE＝∠BA
C﹣∠EAC＝ °∵在Rt△ABE中，∠B＝30°∴BE＝2 ＝ ∴BC＝BE+EC＝ ．25．（2021·北京·清华附中八年级
期中）如图，是等边三角形，D点是BC上一点，，于点E，CE交AD于点P．求的度数．26．（2021·北京·清华附中八年级期中）如图
，点C是线段AB上一点，与都是等边三角形，连接AE，BF．(1)求证：；(2)若点M，N分别是AE，BF的中点，连接CM，MN，N
C．①依题意补全图形；②判断的形状，并证明你的结论．27．（2021·北京八十中八年级期中）若一个等腰三角形的周长为36cm，一边
长为8cm，求其他两边的长．28．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，在△ABC中，AB⊥BC，DE是边AC的垂直平分线，连
接AE，（1）若∠C＝20°，求∠BAE的度数；（2）若∠C＝30°，BE＝4，求AE的长．29．（2021·北京师大附中八年级期
中）正方形是我们非常熟悉的几何图形，它是四条边都相等，四个角都是直角的正多边形，它是轴对称图形，有四条对称轴，正方形的一条对角线可
以把它分成两个全等的等腰直角三角形（如图1），两条对角线可以把它分成四个全等的等腰直角三角形（如图2）． （1）图3中有三个正方形
，正方形ABCD，正方形BEFG，正方形MNPQ，那么图中有_________对全等的三角形．（2）若正方形BEFG的面积为S1，
正方形MNPQ的面积为S2，不通过计算，推测S1和S2的大小关系是________．A． B． C．（3）若正方形ABCD的边长为
18，则正方形BEFG的面积S1＝_______；正方形MNPQ的面积为S2＝______．（4）若正方形MNPQ的面积S2＝a，
则正方形ABCD的面积S＝_______．30．（2021·北京·清华附中八年级期中）如图，在等边中，点D是边BC上一点，，连接A
D．作点C关于直线AD的对称点为E．连接EB并延长交直线AD于点F．(1)依题意补全图形，直接写出的度数；(2)直接写出线段AF，
BF，EF之间的等量关系．参考答案1．A【分析】由翻折可知，，再根据三角形内角和可得，即可得出答案【详解】解：由翻折可知，，，∴，
，∵，∴，即，，∵，D为BC中点，∴,故选：A．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和轴对称的性质，解题关键是熟练运用相关性质得出角
之间的关系，准确进行推导计算．2．C【分析】在DE上取一点H使得DH=DA，先证明△MDH≌△MDA得到MH=MA，∠MHD=∠A
，再证明△FEB≌△MEH得到BE=EH，由此即可得到ED=EH+HD=．【详解】解：如图所示，在DE上取一点H使得DH=DA，∵
MD⊥AB，∴∠MDH=∠MDA=90°，∵MD=MD，DH=DA，∴△MDH≌△MDA（SAS），∴MH=MA，∠MHD=∠A，
∵△ABC是等边三角形，AM=BF，∴∠MHD=∠A=∠CBA=60°，MH=BF，∴∠FBE=∠MHE=120°，又∵∠FEB=
∠MEH，∴△FEB≌△MEH（AAS），∴BE=EH，∴ED=EH+HD=，故选C．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等
三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形．3．A【分析】利用分类讨论的思想，结合线段垂直平分线，等腰三角
形的性质，对称的性质，画出图形，即可找出符合题意的P点．【详解】①如图，作AB或CD的垂直平分线交l于点P，P点即满足条件；②在l
上作点P，使PA=AB，如图1，同理在l上作点P使PB=AB，如图2，P点即满足条件；图1图2③在l上作点P，使PA=AB，如图3
，同理在l上作点P使PB=AB，如图4，P点即满足条件；图3图4综上，可知满足条件的P点有5点．故选：A．【点睛】本题考查线段垂直
平分线的性质，等腰三角形的性质，对称的性质．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．4．C【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条
是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：①当腰是3，底边是7时，3+3＜7，不满足三角形的三边关系，因此舍
去．②当底边是3，腰长是7时，3+7＞7，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和
三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．5．【分
析】在AC上截取AE=AB，连接DE．由题意可证明．又根据“”易证，即得出，．即证明，得出．最后由三角形外角性质即可求出，从而求出
结果．【详解】如图，在AC上截取AE=AB，连接DE．∵，∴．根据题意角平分线的性质可知：，∴在和中，，∴，∴，∴，∴．∵，，∴．
故答案为．【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，综合性强，较难．正确的作
出辅助线是解答本题的关键．6．3【分析】利用含30°角的直角三角形的性质分别求解AC，AB的长，再利用BD=AB-AD计算可求解．
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°∵CD⊥AB∴∠ACD=30°∵AD=1∴AC=2∴AB=4∴BD=A
B-AD=4-1=3．故答案为3．【点睛】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，求解AC，AB的长是解题的关键．7．5cm【分
析】根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝∠C，进而得出∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，再根据平角的意义即可得出∠NPM＝∠P
MN＝∠MNP，即可证得△PMN是等边三角形；根据全等三角形的性质得到PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，从而求得BM＋PB＝AB
＝15cm，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB＝BM，即可求得PB的长，进而得出MC的长．【详解】解：∵△
ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，∴∠PMB＝∠
MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，∴△PMN是等边三角形，∴PN＝PM＝MN，∴△PBM≌△MCN≌△NAP（AA
S），∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，∴BM＋PB＝AB＝15cm，∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴2P
B＝BM，∴2PB＋PB＝15cm，∴PB＝5cm，∴MC＝5cm故答案为：5cm．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角
的意义，三角形全等的性质等，得出∠NPM＝∠PMN＝∠MNP是本题的关键．8． 3 不变【分析】（1）过点作交射线
于点，证明，根据含30度角的直角三角形的性质求得的长，进而即可求得的长；（2）过点作交射线于点，过点作于点，证明是等边三角形，进而
证明，即可证明，从而得到结论．【详解】如图，过点作交射线于点，是等边三角形是等边三角形在与中故答案为：3（2）不变，理由如下，如图
，过点作交射线于点，过点作于点，是等边三角形是等边三角形在与中是等边三角形,即故答案为：不变【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判
定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．9． 2a 2n﹣1a【分析】利用等边三角形
的性质得到∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，利用同样的方法得到A2O＝A2B2＝2a＝21a，A
3B3＝A3O＝2A2O＝4＝22a，利用此规律即可得到AnBn＝2n﹣1a．【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∠MON＝
30°，∴∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，同理：A2O＝A2B2＝2＝21a，A3B3＝A3O
＝2A2O＝4a＝22a，……．以此类推可得△AnBnAn+1的边长为AnBn＝2n﹣1a．故答案为：2a；2n﹣1a．【点睛】本
题考查规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，解题关键是掌握三角形边长的变化规律．10．4【分析】作EG⊥OA于G，根据角平分线的
性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF＝∠COE＝15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG＝30°，利用3
0°角所对的直角边是斜边的一半解题．【详解】解：作EG⊥OA于G，如图所示：∵EF//OB，∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB
，∴∠OEF＝∠COE＝15°，EG＝CE＝2，∵∠AOE＝15°，∴∠EFG＝15°＋15°＝30°，∴EF＝2EG＝4．故答案
为：4．【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质，证出∠EFG＝30°
是解决问题的关键．11．60°【分析】由等边三角形的性质得出AC＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，证得△ACE≌△CBF，得出∠CB
F＝∠ACE，由外角和定理求得∠EPB＝∠CBF+∠BCE＝∠ACE +∠BCE即可得出答案．【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，又∵AE＝CF，∴△ACE≌△CBF（SAS），∴∠CBF＝∠ACE，∵∠EPB＝∠CBF+
∠BCE，∴∠EPB＝∠CBF+∠BCE＝∠ACE +∠BCE＝∠ACB＝60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查了等边三角形的
性质和全等三角形的性质和判定，判定全等三角形的方法有“ASA”、“SAS”、“AAS”、“SSS”、“HL”．12．40°或100
°【分析】由该等腰三角形的外角是140°，可求出相邻的内角为40°．分情况讨论，①当40°角为顶角时，40°即为所求；②当40°角
为底角时，结合三角形内角和定理即可求出顶角大小．【详解】解：根据题意可知该等腰三角形的一个内角为：，①当40°角为顶角时，即该等腰
三角形顶角度数为40°；②当40°角为底角时， 该等腰三角形顶角度数 故答案为：40°或100°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性
质及三角形内角和定理．注意分类讨论是解答本题的关键．13．72°或18°【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是
钝角三角形，然后根据三角形的内角和定理即可求解．【详解】解：（1）如图当△ABC是锐角三角形时，BD⊥AC于D，则∠ADB=90°
，∵∠ABD=54°，∴∠A=90°-∠ABD=36°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=×（180°-∠A）=72°（2）如图 当
△EFG是钝角三角形时，FH⊥EG于H，则∠FHE=90°，∵∠HFE=54°，∴∠HEF=90°-∠HFE=36°，∴∠FEG=
180°-∠HFE=144°，∵EF=EG，∴∠EFG=∠G=×（180°-∠FEG）=18°．故答案为：72°或18°【点睛】本
题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理，学会分类思想的应用是解题的关键．14．①②
④【分析】根据SAS证明△ABE≌△CBF故可判定①正确；延长GE至H’，使GH’=GB，得到△BGH’ 、△ABD也是等边三角形
是等边三角形，再证明△DBG≌△ABH’，即可判定②正确；连接HE，根据在△HGE中HG+GE＞HE与HE=GF即可判定③错误；连
接HF，证明△ADH≌△CAE得到AH=CE，再根据AH=AF、∠HAF=60°故可判定④正确．【详解】∵△ABC为等边三角形，∴
AB=BC，∠ABE=∠BCF=60°又BE＝CF∴△ABE≌△CBF（SAS），①正确；延长GE至H’，使GH’=GB由①得△A
BE≌△CBF∴∠BAE=∠FBC∴∠BGE=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°又GH’=GB∴△BGH’是
等边三角形∴BG=BH’=GH’，∠GBH’=60°∵点D与点C关于直线AB对称∴AD=AC，BD=BC∴AD=BD=AB∴△AB
D也是等边三角形∴AB=BD，∠ABD=60°∵∠ABH’=∠BGH’+∠ABG，∠DBG=∠ABD+∠ABG，∴∠ABH’=∠D
BG又DB=AB，BG=BH’∴△DBG≌△ABH’（SAS）∴DG=AH’而AH’=AG+GH’∴DG=AG+BG，②正确；连接
HE，在△HGE中HG+GE＞HE∵HE=GF∴HG+GE＞GF，故③错误连接HF，∵△DBG≌△ABH’∴∠BDG=∠BAE∴∠
ADB=∠BDG=∠BAC=∠BAE即∠ADH=∠GAF又AD=AC，∠ACE=∠DAH∴△ADH≌△CAE∴AH=CE又CE=B
C-BE=AC-FC=AF∴AH=AF∵∠HAF=60°∴△AHF是等边三角形，④正确故答案为：①②④．【点睛】此题主要考查等边三
角形与全等三角形综合，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理与作辅助线的方法．15．1【分析】利用角平分线的定义以及平行线的性质证明
∠EDB=∠EBD，即可求解．【详解】解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠EBD，∵DE∥BC，∴∠DBC=∠EDB，∴∠EDB
=∠EBD，∴ED=EB，∵DE=1，∴EB=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了角平分线的定义以及平行线的性质，等腰三角形的判定
和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．16．（1）①DE＝2AF；②结论仍然成立，理由见解析；③5（2）存在，理由见解析
【分析】（1）①由等边三角形的性质可得AD＝AE＝DE，∠DAE＝60°，由互为“顶补三角形”定义可得AB＝AD＝AE＝AC＝DE
，∠BAC＝120°，由等腰三角形和直角三角形的性质可求AB＝DE＝2AF；②延长AF到G，使AF＝FG，连接BG，由题意可证△A
FC≌△GFB，可得BG＝AC，∠C＝∠1，∠ABG＝180°－∠BAC，由互为“顶补三角形”定义可得AB＝AD，AC＝AE，∠B
AC＋∠DAE＝180°，可证△ABG≌△DAE，即DE＝AG＝2AF；③由②证得△AFC≌△GFB，△ABG≌△DAE，即可得到
S△ABC＝S△ABF+S△AFC＝S△ABF +S△GFB＝S△ABG＝S△ADE；（2）延长CD交BA延长线于点Q，作CD的垂
直平分线EP交AB的垂直平分线于点P，连接CP，DP，AP，BP，由线段垂直平分线的性质可得PC＝PD，PA＝PB，PE⊥CD，P
F⊥AB，由等腰三角形的性质可得∠DPE＝∠CPE，∠APF＝∠BPF，可证∠APD＋∠BPC＝180°，即可证△PAD与△PBC
互为“顶补三角形”．【详解】证明：（1）①∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠DAE＝60°，∵△ABC与△ADE互为“
顶补三角形”，∴AB＝AD＝AE＝AC＝DE，∠BAC＝120°，∵AB＝AC，AF是中线，∠BAC＝120°∴AF⊥BC，∠B＝
30°∴AB＝2AF∴DE＝2AF故答案为：DE＝2AF②结论仍然成立，理由如下：如图，延长AF到G，使AF＝FG，连接BG，∵A
F是△ABC的中线，∴BF＝FC，∴BG＝AC，AC//BG，又∵∠AFC＋∠BFG∴△AFC≌△GFB，∴BG＝AC，∠C＝∠1
，∠ABG＝∠2+∠1＝∠C+∠2＝180°－∠BAC，∵△ABC与△ADE互为“顶补三角形”，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC
＋∠DAE＝180°，∴AE＝AC＝BG，∠DAE＝∠ABG，且AB＝AD∴△ABG≌△DAE（SAS）∴DE＝AG＝2AF③如图
，延长AF到G，使AF＝FG，连接BG，由②证得△AFC≌△GFB，∴S△AFC＝S△GFB，∴S△ABC＝S△ABF+S△AFC
＝S△ABF +S△GFB＝S△ABG，又由②证得：△ABG≌△DAE，∴S△ADE＝S△ABG＝5，∴S△ABC＝5，故答案为：
5（2）存在，理由如下：如图，延长CD交BA延长线于点Q，作CD的垂直平分线EP交AB的垂直平分线于点P，连接CP，DP，AP，B
P，∵PE垂直平分CD，PF垂直平分AB，∴PC＝PD，PA＝PB，PE⊥CD，PF⊥AB，∴∠DPE＝∠CPE，∠APF＝∠BP
F，∵∠B＋∠C＝90°，∴∠Q＝90°，且PE⊥CD，PF⊥AB，∴∠EPF＝90°，∴∠APD＋∠DPE＋∠APF＝90°∵∠
APD＋∠BPC＝∠APD＋∠EPF＋∠CPE＋∠BPF＝∠APD＋∠DPE＋∠APF＋90°∴∠APD＋∠BPC＝180°，且P
C＝PD，PA＝PB，∴△PAD与△PBC互为“顶补三角形”，【点睛】考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和
性质，垂直平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．17．（1）①（3，1）②（0.5，2），（0.5，0），（-0.5
，-1），（-0.5，3），（1.5，3），（1.5，-1）③t≥2或t≤?2（2）0≤b≤3或?1≤b≤2【分析】（1）①根据A
，B关于直线x＝2对称解决问题即可．②求出直线OA与直线x＝0.5的交点C的坐标即可判断．③由题意A（t?1，0），B（t＋1，0
），根据△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，构建不等式即可解决问题．（2）由题意AB＝t?（t?1）＝2，由△ABD是以AB为
斜边的等腰直角三角形，推出点D到AB的距离为1，分两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）①如图1中，由题意A（1，1），
A，B关于直线x＝2对称，∴B（3，1）．故答案为（3，1）．②如图2中，由题意A（?0.5，1），直线l：x＝0.5，∴B（1.
5，1）∵△ABC为等腰直角三角形∴当AC=BC时，设直线l与AB交于D点，此时D点是AB中点故CD=AD=DB=∴C1（0.5，
2），C2（0.5，0），当AB=AC=2时此时C3（-0.5，-1），C5（-0.5，3），当AB=BC=2时此时C6（1.5，
3），C4（1.5，-1），故答案为（0.5，1），（0.5，0），（-0.5，-1），（-0.5，3），（1.5，3），（1.5
，-1）．③由题意A（t?1，0），B（t＋1，0），∵△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，∴t?1≥1或t＋1≤?1，解得t
≥2或t≤?2．故答案为t≥2或t≤?2．（2）如图3中，∵A（t?1，0），B（t＋1，0），∴AB＝t＋1?（t?1）＝2，∵
△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，∴点D到AB的距离为1，∴当点D在AB上方时，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足
PK＝1，则0≤b≤3．当点D在AB下方时，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK＝1，则?1≤b≤2．综上所述，0≤b
≤3或?1≤b≤2．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，轴对称，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学
会利用参数根据不等式解决问题，属于中考压轴题．18．（1）①见解析；②30；③见解析；（2）或或【分析】（1）①根据题意补全图形即
可；②根据等边三角形的性质可以直接得出结论；③根据等边三角形的性质就可以得出AC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由
等式的性质就可以得出∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；（2）分①当点D在BC的上方；②点D在BC的下方B
E的上方；③当D在BE的下方三种情况进行讨论即可．【详解】（1）①如图所示：②∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段A
M为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC，∴∠CAM＝30°．③∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB
＝∠DCE＝60°∴∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE∴∠ACD＝∠BCE．在△ADC和△BEC中， ，∴△ACD≌△BCE（
SAS）；（2）①当点D在BC的上方时，如图1，由（1）知，△ACD≌△BCE，∴ ，∵ ，∴ ，∴在中， ，∵ ， ，∴ ，∵
，∴②当点D在BC的下方BE的上方时，如图2，同理可证：△ACD≌△BCE，∴ ∵AO⊥BC∴ ∵ ∴；③当D在BE的下方时，如图
3，同理可证：△ACD≌△BCE，∴ ∵AO⊥BC∴ ∵ ∴；【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，全等三角形的判定和
性质，直角三角形30°角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．19．见解析．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=
∠C，运用AAS证明△DEB≌△DFC即可．【详解】∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠B=∠C，DB=DC，∵DE⊥AB，DF⊥A
C，∴∠BED=∠CFD=90°，∴△DEB≌△DFC（AAS），∴DE=DF．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等判
定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键．20．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作∠ABC的平分线即可解决
问题．（2）证明Rt△ABD≌Rt△PDB（HL），PD=PC即可解决问题．【详解】解：（1）如图，点D即为所求．（2）过点D作D
P⊥BC于点P，由（1）知DA=DP．又∵∠A=90°，DP⊥BC，BD=BD，∴Rt△ABD≌Rt△PBD（HL），∴AB=PB
，∵∠A=90°，AB=AC，∴∠C=45°．∴∠1=90°-45°=45°，∴∠1=∠C，∴DP=CP，∴PC=AD，∴BC=B
P+PC=AB+AD．【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题
的关键是熟练掌握基本知识．21．（1）4；（2）-6，2；（3）2．【分析】（1）过点B作BH⊥AO于点H，根据等边三角形的性质，
可得： ，即可求解；（2）过点C作CN⊥y轴于点N，连接CD，交OB于点M，根据等边三角形和直角三角形的性质，可得，ON=OA-A
N=6，即可求解；（3）连接OQ，BP，过点Q作QK⊥x轴于点K，根据△APQ，△AOB为等边三角形，可得到△QAO≌△PAB，从
而得到OQ=BP，当BP⊥x轴时，BP最短，此时OQ最短，即可求解．【详解】解：（1）如图，过点B作BH⊥AO于点H， ∵点A的坐
标为（0，8），点B在第一象限，为等边三角形．∴OA=OB=AB=8， ，∴点B的纵坐标为4；（2）如图，过点C作CN⊥y轴于点N
，连接CD，交OB于点M，∵为等边三角形，∴ ，∠OAC=60°，∵CN⊥y，∴∠CAN=30°，∴ ，∴ON=OA-AN=6，∴
点C的纵坐标为6，∵点C关于x轴的对称点为点D，∴点D的纵坐标为-6；∴CD⊥x轴，CD=6+6=12，∴CD∥y轴，∴∠BCM=
∠BAO=60°，∠BMC=∠AOB=60°，∴∠BCM=∠BMC=∠B，∴△BCM为等边三角形，∴BM=BC=CM=4，∴DM=
CD-CM=8，OM=OB-BM=4，∴DM=OA，∵CD∥y轴，∴∠OAE=∠MDE，∠AOE=∠DME，∴△DME≌△AOE，
∴OE=EM，∴ ；（3）如图，连接OQ，BP，过点Q作QK⊥x轴于点K，∵△APQ，△AOB为等边三角形，∴AQ=AP，AO=A
B，∠QAP=∠OAB=60°，∴∠QAO=∠BAP，∴△QAO≌△PAB，∴OQ=BP，∠AOQ=∠ABP，∴当BP最短时，OQ
最短，当BP⊥x轴时，BP最短，此时OQ最短，∵点B的纵坐标为4，∴BP=4，即OQ=4，∵ ，∴∠AOQ=∠ABP=120°，∴
∠QOK=30°，∴ ，即当OQ最短时， Q点的纵坐标为2．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，点的坐标，全等三角形的判
定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．22．（1）见解析；（2）变化， 或或0°【分析】（1）根据等边三角形可得，，，可推得，
可证；（2）变化，由，∠OCB=∠ADB，由对顶角性质得∠AEC=∠BED，利用三角形内角和可求∠CAD=180°-∠ACB-∠A
EC=180°-∠EDB-∠BED=∠EBD=60°或∠CAD=∠OAB+∠BAD=60°+60°=120°，即可 ．【详解】证明
：（1）是等边三角形，，，∵△CBD是等边三角形，∴，，∴∠OBA+∠ABC=∠ABC+∠CBD，即可，在和中,， ；（2）变化，
当点C在线段OA的延长线上设AD与BC交于E点，，∴∠OCB=∠ADB，∵∠AEC=∠BED，∴∠CAD=180°-∠ACB-∠A
EC=180°-∠EDB-∠BED=∠EBD=60° ， ．当点C在线段OA上时，∴∠BOC=∠BAD=60°，∵△OAB为等边三
角形，∴∠OAB=60°，∴∠CAD=∠OAB+∠BAD=60°+60°=120°，当点C与点A重合时，∠CAD=0°，∴∠CAD
=60°或120°或0°，∴∠CAD大小发生变化．【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，对顶角性质，三角形内角和
，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，对顶角性质，三角形内角和是解题关键．23．小玲发现：；2；＋2；解决问题：（6，6）
【分析】小玲发现：根据等腰三角形的三线合一可得BD＝CD＝BC＝，再根据轴对称的性质可得BE＝CF＝，再根据题意可得四边形AEGF
为正方形，由此可得EG＝FG＝AE，∠G＝90°，进而可得为等腰直角三角形，由此可求得BG＝2，再根据轴对称的性质即可求得AD的长
；解决问题：过点P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥y轴于点N，作PH⊥AB于点H，仿照小玲的解法求解即可．【详解】解：小玲发现：∵AB
＝AC，AD⊥BC，BC＝2，∴BD＝CD＝BC＝，∵翻折，∴，，∴BD＝BE＝，CD＝CF＝，AD＝AE，∴BE＝CF＝，又∵由
题意可得：四边形AEGF为正方形，∴EG＝FG＝AE，∠G＝90°，∴EG－BE＝FG－CF，即BG＝CG，∴为等腰直角三角形，∴
BC＝BG，又∵BC＝2，∴BG＝2，∴AE＝EG＝BE＋BG＝＋2，∴AD＝AE＝＋2，故答案为：；2；＋2；解决问题：如图，过
点P作PM⊥x轴于点M，作PN⊥y轴于点N，作PH⊥AB于点H，∵AP，BP分别平分∠BAM，∠ABN，PM⊥x轴，PN⊥y轴，P
H⊥AB，∴PM＝PH＝PN，∠PNB＝∠PHB＝∠PHA＝∠PMA＝90°，∴在与中，，∴，∴，，同理可得：，，∵AB＝5，∴，
∵点A（3，0），B（0，4），∴，，∴，∵，∴，∴，∵AP，BP分别平分∠BAM，∠ABN，∴，∴，∴，又∵，，∴，又∵∠PNB
＝∠PMA＝∠AOB＝90°，PM＝PN，∴四边形为正方形，∴，∴点P的坐标为（6，6），故答案为：（6，6）．【点睛】本题考查了
轴对称图形的性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义与性质以及坐标与图形，熟练掌握相关图形的性质并能作出正确的辅助线是解决本题的
关键．24．等腰三角形的两个底角相等；线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；90；AE；6；9【分析】根据等腰三角形的性
质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质综合计算即可．【详解】∵AB＝AC，∠B＝30°∴∠C＝∠B＝30° 等腰三角形的两个
底角相等 ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝120°∵点D是AC的中点，且DE⊥AC∴EC＝EA＝3 线段垂直平分线上的点到线段
的两个端点的距离相等 ∴∠EAC＝∠C＝30°∴∠BAE＝∠BAC﹣∠EAC＝ 90 °∵在Rt△ABE中，∠B＝30°∴BE＝
2 AE ＝ 6 ∴BC＝BE+EC＝ 9 ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的定义及其性质，含30°角
直角三角形的性质，熟练掌握性质并灵活运用性质是解题的关键．25．【分析】由题意易得，，则有，然后可得，进而可证，则有，最后问题可求
解．【详解】解：∵是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴（SAS），∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含3
0度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关
键．26．(1)证明见解析；(2)①补全图形见解析；②是等边三角形，证明见解析．【分析】（1）由等边三角形的性质可知，，．结合题意
易得出．即可利用“SAS”证明，即得出；（2）①根据题意补全图形即可；②由全等三角形的性质可知，．再由题意点M，N分别是AE，BF
的中点，即得出．即可利用“SAS”证明，得出结论，．最后根据，即得出，即可判定是等边三角形．(1)∵与都是等边三角形，∴，，，∴，
即，在和中，∴，∴，∴．(2)①画图如下：②是等边三角形．理由如下：∵，∴，．∵点M，N分别是AE，BF的中点，∴，在和中，∵，∴
，∴，，∴，即，∴是等边三角形．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段的中点．利用数形结合的思想是解
答本题的关键．27．14cm，14cm．【分析】题目给出等腰三角形有一条边长为，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应
用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解:当腰为时，底边长， +＜20，不能构成三角形 ；当底边为时，三角形的腰， ，14
，14能构成三角形，其他两边长为，．答：另外两边的长度是，．【点睛】此题主要考查等腰三角形的边长，解题的关键是熟知三角形的三边关系
及等腰三角形的性质．28．（1）50°：（2）8【分析】(1)根据直角三角形的性质求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得出AE=
CE，求出∠EAC=∠C=20°，再求出答案即可；(2)根据直角三角形的性质求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，
求出∠EAC=∠C=30°,可求出∠BAE=30°, BE＝4，即可求出AE的长．【详解】解：(1)∵AB⊥BC，∠B=90°，∠
C＝20°，∴∠BAC=90°?20°=70°，∵DE是边AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C=20°，∴∠BAE=7
0°?20°=50°. (2) ∵AB⊥BC，∠B=90°，∠C＝30°，∴∠BAC=90°?30°=60°，∵DE是边AC的垂直
平分线，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C=30°，∴∠BAE=60°?30°=30°，∵在Rt△ABE中，BE＝4，∴AE=2BE=
8.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，能熟记线段垂直平分线的性质和含30°角
的直角三角形的性质，是解此题的关键．29．（1）3；（2）A；（3）81，72；（4）4.5a．【分析】（1）根据全等三角形的定义
将图中全等的三角形一一列举出来，进而即可求解；（2）由（1）可知，根据正方形BEFG的面积的2倍等于，正方形MNPQ的面积的2倍等
于四边形的面积，小于，即可推测S1和S2的大小关系；（3）勾股定理求得，进而设，则，进而求得正方形MNPQ的面积（4）根据（3）的结论，则可知，进而求得的长，即可求得正方形ABCD的面积．【详解】解：（1）有3对，分别是，，根据题意正方形的一条对角线可以把它分成两个全等的等腰直角三角形，可得是等腰直角三角形又图3中有三个正方形，正方形ABCD，正方形BEFG，正方形MNPQ，,与是等腰直角三角形，同理可得故答案为：3（2）由（1）可知，则=连接，根据对称性可知：正方形BEFG的面积的为2倍等于，正方形MNPQ的面积的2倍等于四边形的面积，小于，故选A（3）正方形ABCD的边长为18，四边形BEFG是正方形正方形BEFG的面积S1＝，四边形MNPQ是正方形正方形MNPQ的面积为S2＝故答案为：81，72；（4）正方形MNPQ的面积S2＝a，正方形ABCD的面积S＝故答案为：【点睛】本题考查了轴对称的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质性质，三角形全等的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．30．(1)图形见解析，60°(2)AF=BF+EF，理由见解析【分析】（1）根据题意画出图形，连接AE，根据等边三角形的性质，可得∠BAC=60°，AB=AC，从而得到 ，再由E、C关于AD对称，可得 ，AE=AC=AB，从而得到 ，进而得到 ，再由三角形的外角性质，即可求解；（2）连接CF，在FA上取一点J，使得FJ=FC，连接CJ，根据E、C关于AD对称，可得∠AFC=∠AFE=60°，EF=CF，从而得到△CFJ是等边三角形，进而得到∠BCF=∠ACJ，可证得△BCF≌△ACJ，即可求解．(1)解：图形如图所示：连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC，∵，∴ ，∵E、C关于AD对称，∴ ，AE=AC=AB，∴ ，∴ ，∵∠ABE=∠AFE+∠BAD，∴∠AFE=60°；(2)结论：AF=BF+EF，理由如下：如图2中，连接CF，在FA上取一点J，使得FJ=FC，连接CJ，∵E、C关于AD对称，∴∠AFC=∠AFE=60°，EF=CF，∵FJ=FC，∴△CFJ是等边三角形，∴CF=CJ，∠FCJ=60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，CB=CA，∴∠ACB=∠FCJ，∴∠BCF=∠ACJ，在△BCF和△ACJ中，∵CB=CA，∠BCF=∠ACJ，CF=CJ，∴△BCF≌△ACJ (SAS)，∴BF=AJ，∴AF=FJ+AJ=EF+BF．【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质等知识，熟练掌握等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称图形的性质是解题的关键． 1 / 1 |
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