2021北京重点校初二（上）期中数学汇编因式分解章节综合一、单选题1．（2021·北京八中八年级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（
）A．B．C．D．2．（2021·北京·清华附中八年级期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）A．﹣a2﹣b2B．x
2+（﹣y）2C．（﹣x）2+（﹣y）2D．﹣m2+13．（2021·北京八十中八年级期中）下列分解因式正确的是( )
A．m3-m=m(m-1)(m+1)B．x2-x-6=x(x-1)-6C．2a2+ab+a=a(2a+b)D．x2-y2=(x-y
)24．（2021·北京·101中学八年级期中）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A．B．C．D．二、填空题5．（2
021·北京八中八年级期中）若关于x的二次三项式因式分解为，则的值为__．6．（2021·北京·清华附中八年级期中）若实数x满足，
则______．7．（2021·北京·101中学八年级期中）分解因式：_______.8．（2021·北京八十中八年级期中）因式分
解： _______________________．9．（2021·北京·人大附中八年级期中）若x+y＝5，xy＝6，则x2y﹣
xy2的值为 ___．三、解答题10．（2021·北京·101中学八年级期中）在平面直角坐标系中，我们称横、纵坐标都是整数的点为整
点，若坐标系内两个整点，满足关于的多项式能够因式分解为，则称点是点的分解点．例如，满足，所以是点的分解点．（1）在点，，中，找出不
存在分解点的是______；（2）点存在分解点，求代数式的值；（3）点，在纵轴上（在的上方），点在横轴上，且，，都存在分解点，若面
积为9，请直接写出满足条件的点的坐标：______．11．（2021·北京八中八年级期中）分解因式：（1）；（2）；（3）．12．
（2021·北京·101中学八年级期中）计算：（1） （2）13．（2021·北京·清华附中八年级期中）因式分解：(1)(2)(3
)参考答案1．C【详解】试题解析：A. 右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B. 右边不是整式积的形式，不是因式分解
，故本选项错误；C. 是因式分解，故本选项正确；D. 右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；故选C.点睛：把一个多项式
化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.2．D【分析】根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选
项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分解，不符合题意；B、，有两个平方项
，但是符号相同，不能用平方差公式进行分解，不符合题意；C、，有两个平方项，但是符号相同，不能用平方差公式进行分解，不符合题意；D、
，可以利用平方差公式进行分解，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查利用平方差公式因式分解，掌握利用平方差公式因式分解时，多项式需满
足的结构特征是解题关键．3．A【详解】m3－m=m（m2－1）=m（m+1）（m－1），所以A选项正确；x2－x－6=（x－3）（
x+2）所以B选项错误；2a2+ab+a=a（2a+b+1），所以C选项错误；x2－y2=（x+y）（x－y），所以D选项错误.故
选A.点睛：因式分解的时候优先提取公因式，提取公因式以后若括号里面还能因式分解，则要继续因式分解，直到不能因式分解为止.4．A【分
析】因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用多项式的因式分解的定义逐一判断即可得到答案．【详解】解：，故是因式分解；，结
果不是整式的积的形式，故不是因式分解；，结果不是整式的积的形式，故不是因式分解；，是整式的乘法运算，故不是因式分解；故选：．【点睛
】本题考查的是多项式的因式分解，掌握多项式的因式分解的定义是解题的关键．5．-1【详解】∵，∴，∴.故答案为.6．2022【分析】
将x2＝2x+1，x2﹣2x＝1代入计算可求解．【详解】解：∵x2﹣2x﹣1＝0，∴x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，∴原式＝2x?
x2﹣2x2﹣6x+2020＝2x（2x+1）﹣2x2﹣6x+2020＝4x2+2x﹣2x2﹣6x+2020＝2x2﹣4x+202
0＝2（x2﹣2x）+2020＝2×1+2020＝2022．故答案为：2022【点睛】本题主要考查因式分解的应用，适当的进行因式分
解，整体代入是解题的关键．7．．【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后
再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．8．【分析
】根据提取公因式和平方差公式进行分解即可；【详解】原式；故答案是：．【点睛】本题主要考查了利用提取公因式和平方差公式因式分解，准确
求解是解题的关键．9．6或-6【分析】先利用完全平方公式并根据已知条件求出x-y的值，再利用提公因式法和平方差公式分解因式，然后整
体代入数据计算．【详解】解：∵x+y=5，xy=6，∴（x-y）2=（x+y）2-4xy=1，∴x-y=±1，∴x2y-xy2=x
y（x-y）=6（x-y），当x-y=1时，原式=6×1=6；当x-y=-1时，原式=6×（-1）=-6．故答案为：6或-6．【点
睛】本题主要考查了提公因式法分解因式，根据完全平方式的两个公式之间的关系求出（x-y）的值是解本题的关键，也是难点．10．（1）A
3（0，2）；（2）0；（3）点R坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）或（﹣18，0）或（2，0）或（6，0）或（18，0）．【分析】
（1）由分解点的定义可求解；（2）由分解点的定义可得a＝±2，由分式有意义可得a＝﹣2，先化简再代入可求解；（3）由分解点的定义可
得点P，点Q都在纵轴的负半轴，分点R在横轴正半轴和负半轴讨论，由三角形的面积公式可得×（﹣n）×|PQ|＝9，分情况讨论可求解．【
详解】解：（1）∵点A1（﹣3，0），∴x2﹣3x＝x（x﹣3），∴点B1（﹣3，0）是点A1（﹣3，0）的分解点，∵A2（5，6
），∴x2+5x+6＝（x+3）（x+2），∴点B2（2，3）是A2（5，6）的分解点，∵A3（0，2），∵x2+2不能因式分解，
∴A3（0，2）不存在分解点，故答案为：A3（0，2）；（2）∵点P（a，1）存在分解点，∴x2+ax+1可以因式分解，∴a＝﹣2
或2，∵a﹣2≠0，∴a≠2，，=，=，=∴原式＝；（3）∵点P，Q在纵轴上（P在Q的上方），P，Q都存在分解点，∴点P，点Q都在
纵轴的负半轴，则设点P（0，﹣a2），点Q（0，﹣b2）（a，b为有理数，a＜b），∵点R在横轴上，R存在分解点，∴当点R在负半轴
上，设点R（n，0），∵△PQR面积为9，∴×（﹣n）×|PQ|＝9，∴（﹣n）×（b2﹣a2）＝18，∴当n＝﹣1时，b2﹣a2
＝18，（不合题意舍去），当n＝﹣2时，b2﹣a2＝9，则点Q（0，﹣9），点P（0，0），当n＝﹣3时，b2﹣a2＝6，（不合题
意舍去），当n＝﹣6时，b2﹣a2＝3，则点Q（0，﹣4），点P（0，﹣1），当n＝﹣9时，b2﹣a2＝2，（不合题意舍去），当n
＝﹣18时，b2﹣a2＝1，则点Q（0，﹣1），点P（0，0），当点R在正半轴时，同理可得点R坐标为（2，0）或（6，0）或（18
，0），综上所述：点R坐标为（﹣2，0）或（﹣6，0）或（﹣18，0）或（2，0）或（6，0）或（18，0），故答案为（﹣2，0）
或（﹣6，0）或（﹣18，0）或（2，0）或（6，0）或（18，0）．【点睛】考查了三角形的面积公式，因式分解和新定义，理解新定义
并能运用新定义进行推理计算是本题的关键．11．（1）；（2）；（3）【分析】（1）直接提公因式2m即可；（2）利用十字相乘法分解因
式即可；（3）首先提公因式x﹣y，再利用平方差公式进行二次分解即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式．【点睛】本题考
查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能
分解为止．12．（1）；（2）【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的性质进行求解即可得到答案；（2）利用因式分解的方法
和分式的基本性质进行求解即可.【详解】解：（1）；（2）.【点睛】本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂和绝对值的性质，分式的化简，
乘法公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.13．(1)2a（a2+3b）；(2)5（x+y）（x﹣y）；(3)﹣3（x
﹣y）2．【分析】（1）直接提公因式2a即可；（2）先提公因式，再利用平方差公式即可；（3）先提公因式，再利用完全平方公式即可．(1)解：＝2a（a2+3b）；(2)解：（2）原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y）；(3)解：（3）原式＝﹣3（x2﹣2xy+y2）＝﹣3（x﹣y）2．【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是正确应用的前提． 1 / 1 |
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