2021北京重点校初二（下）期中数学汇编勾股定理一、单选题1．（2021·北京·北大附中八年级期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定
理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）A．B．C．D．
2．（2021·北京·北大附中八年级期中）一只小猫在距墙面4米，距地面2米的架子上，紧紧盯住了斜靠墙的梯子中点处的一只老鼠，聪明的
小猫准备在梯了下滑时，在与老鼠距离最小时捕食．如图所示，把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，猫所处位置为点D，梯子
视为线段MN，老鼠抽象为点E，已知梯子长为4米，在梯子滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（ ）A．B．﹣2C．2D．43．
（2021·北京师大附中八年级期中）下列各组数据中的三个数，可以作为直角三角形三边长的是（ ）A．1，2，3B．2，4，7C
．6，8，10D．4．（2021·北京师大附中八年级期中）小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图2（
1）所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为图2（2）所示的正方形，并测得对角线AC＝40 cm，则图2（1）中对角线AC
的长为（ ）A．20cmB．30cmC．40cmD．cm5．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，正方形网格中，每个小正
方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（ ）A．0B．1C．2D．3二、填空题6．（2021·北京师
大附中八年级期中）如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD=____________?. 三、解答题7
．（2021·北京·北大附中八年级期中）对于平面内的图形G1和图形G2，A为图形G1上一点，B为图形G2上一点，如果线段AB的长度
有最小值，称图形G1和图形G2存在“最短距离”，此时线段AB的长度记为m（G1，G2）；如果线段AB的长度有最大值，称图形G1和图
形G2存在“最长距离”，此时线段AB的长度记为M（G1，G2）．例如：线段EF两端点坐标为E（1，3），F（3，1），线段KH两端
点坐标为K（3，3），H（3，5），根据“最短距离”和“最长距离”的公式可得m（G1，G2）＝，M（G1，G2）＝4．在平面直角坐
标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，1），C（4，2），D（2，2）．（1）线段AD和线段BC是否存在“最短距离”和“最长距
离”？如果存在，请直接写出m（AD，BC）和M（AD，BC）；如果不存在，请说明理由．（2）已知点P（0，t），若过点P且平行于A
D的直线l与四边形ABCD没有公共点，且m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中的最小值不超过最大值的，求t的取值
范围．（3）已知四边形QRST，其中Q（4，5），R（5，4），S（6，5），T（5，6）．现将四边形ABCD绕点O旋转，旋转后的
图形记为A′B''C′D′，记m表示m（A''B′C′D′，QRST）的最小值，M表示M（A′B''C′D′，QRST）的最大值，直
接写出M+m的值．8．（2021·北京师大附中八年级期中）已知：如图，正方形ABCD边长为4，点E为边BC上的一动点（点E可以
与点B、点C重合），将线段AE绕点E顺时针旋转∠B的度数，得到线段EF，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G，连接CF．（1）如
图1，依题意补全图形；（2）证明：△FCG是等腰直角三角形；（3）分别取AE和EF的中点M，N，连接MN，直接写出线段MN的最大值
和最小值；（4）如图2，将题目中的正方形换成边长为4的菱形，其中∠B＝120°，在（3）的条件下，直接写出线段MN的最大值和最小值
．9．（2021·北京师大附中八年级期中）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可
以重合）使得PM＝QN，那么称点P与点Q是图形W的一对相好点．（1）如图1，已知点A（1，3），B（4，3）．①设点O与线段AB上
一点的距离为d，则d的最小值为___________，最大值为___________．②在P1（2.5，0），P2（2，4），P3
（－2，0）这三个点中，与点O是线段AB的一对相好点的是_____________．（2）直线平行AB所在的直线，且线段AB上任意
一点到直线的距离都是1，若点C（x，y）是直线上的一动点，且点C与点O是线段AB的一对相好点，求x的取值范围．10．（2021·北
京·北大附中八年级期中）已知在菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP．（1）在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B，①如图1，当AP⊥
CD于点P时，线段AP与AQ之间的数量关系是 ．②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若
不成立，则需说明理由．（2）在CD的延长线取点N，使得∠PAN＝∠B，①根据描述在图3中补全图形．②若AB＝4，∠B＝60°，∠A
NC＝45°，求此时线段DN的长．参考答案1．D【分析】利用两个以a和b为直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=
上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为c的小正方形面积
和=以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以
c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和=大正方形面积推导完全平方公式可判断D．【详解】解：A、∵两个以a和b为
直角边三角形面积+一个直角边为c的等腰直角三角形面积和=上底为a,下第为b,高为（a+b）的梯形面积，∴ab+c2+ab＝（a+b
）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为
c的小正方形面积和=以a+b的和为边正方形面积，∴4×ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本
选项不符合题意；C、∵以a与b为两直角边四个全等三角形面积+边长为（b-a）的小正方形面积和=以c为边正方形面积，∴4×ab+（b
﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、∵四个小图形面积和=大正方形面积，∴ab+
b2+ a2+ ab=（a+b）2，∴a2+ 2ab +b2=（a+b）2，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符
合题意；故选：D．【点睛】本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公式是解题关键．2．B【分
析】如图，连接BE，BD．先利用勾股定理求出BD，根据点E为MN中点，可得BE＝2（米），梯子在下滑过程中，点E在以B为圆心，2米
为半径的弧上运动，当点E落在线段BD上时，DE的值最小．【详解】如图，连接BE，BD．由题意BD＝（米），∵∠MBN＝90°，MN
＝4米，点E为MN中点，∴BE为直角三角形斜边中线，∴BE＝MN＝2（米），∴梯子在下滑过程中，点E在以B为圆心，2米为半径的弧上
运动， ∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，∴DE的最小值为（﹣2）米．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理，线段中点运动轨迹，
直角三角形斜边中线性质，关键是利用圆与BD相交点位置确定最小值是解题关键．3．C【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平
方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．【详解】解：A、12+22=5≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、22+42=20≠72，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、62+82=100=102，能构成直角三角形，故符合题意； D
、，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给
边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．4．D【分析】如图1，2中，连接AC．
在图2中，理由勾股定理求出BC，在图1中，只要证明△ABC是等边三角形即可解决问题．【详解】解：如图1，2中，连接AC．在图2中，
∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=90°，∵AC=40cm，∴AB=BC=（cm），在图1中，∵∠B=60°，BA=B
C，∴△ABC是等边三角形，∴AC=BC=（cm），故选：D．【点睛】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键
是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．D【分析】根据图中所示，利用勾股定理求出每个边长．【详解】解：观察图形，应用勾股
定理，得，，，∴三个边长都是无理数；故选：D．【点睛】本题考查了无理数与勾股定理，解题的关键是理解无理数及使用勾股定理．6．13【
详解】分析：先根据勾股定理求出AB的长，再根据勾股定理求出AD的长.详解：在直角三角形ABC中,AC=4,BC=3,根据勾股定理,
得AB==5.在Rt△ABD中,BD=12,根据勾股定理,得AD==13.故答案为13.点睛：本题考查了勾股定理的应用，能运用勾股
定理进行计算是解本题的关键.7．（1）存在，m（AD，BC）＝，M（AD，BC）＝；（2）0＜t≤2或﹣4≤t＜﹣2；（3）M+
m＝+．．【分析】（1）连结AB并延长AB到G，过D，C作DE⊥AG，CF⊥AG，分别交于E、F，先证AB∥x轴，再证△ADE为
等腰直角三角形，可得∠DAE=45°，再证△CBF为等腰直角三角形，可得∠CBG=45°，可得AD∥BC，利用勾股定理逆定理可证B
D⊥AD，可求m（AD，BC）＝，M（AD，BC）＝；（2）由过P的直线l平行于AD，且与?ABCD无交点，可证l∥BC，当l在A
D左侧时：m（l，BC）＝m（l，AD）+m（AD，BC），由m（l，ABCD）＝m（l，AD），可得m（AD，BC）＝，由m（l
，BC）＝2m（l，AD），可得m（l，AD）＝，求出AD解析式为，可求过P与AD平行的直线为+,可证△OAP为等腰直角三角形，利
用勾股定理OP=t=，可得0＜t≤2， 当l在BC右侧时，用相同方法求BC解析式为，证明△OKN为等腰直角三角形再证△KLP为等腰
直角三角形，利用勾股定理PK，可求t＝﹣4，可得﹣4≤t＜﹣2；（3）先求M（O，ABCD）＝，M（O，QRST），取QR的中点W
（），再求m（O，QRST）＝|OW|=，可求M＝+，m＝﹣即可．【详解】解：（1）连结AB并延长AB到G，过D，C作DE⊥A
G，CF⊥AG，分别交于E、F，∵A（1，1），B（3，1），两点纵坐标相同，∴AB∥x轴，∵点A（1，1），B（3，1），C（4
，2），D（2，2）．∴E（2，1），F（4，1），∴AE=2-1=1，DE=2-1=1，AE=DE，DE⊥AE，∴△ADE为等腰
直角三角形，∴∠DAE=45°，∵BF=4-3=1，CF=2-1=1，CF=BF，CF⊥BF，∴△CBF为等腰直角三角形，∴∠CB
G=45°，∴∠DAE=∠CBG=45°，∴AD∥BC，又∵EB=3-2=1=AE=DE，∴AD2+BD2=，∴BD⊥AD∴AD、
BC间最短距离为BD，即m（AD，BC）＝，∴AD、BC间最长为AC，即M（AD，BC）＝；（2）∵过P的直线l平行于AD，且与?
ABCD无交点，∴l∥BC，∴当l在AD左侧时：m（l，BC）＝m（l，AD）+m（AD，BC），m（l，ABCD）＝m（l，AD
），由（1）知，m（AD，BC）＝，若m（l，BC）＝2m（l，AD），则m（l，AD）＝，设AD解析式为解得AD解析式为过P与A
D平行的直线为+,∵OA== m（l，AD），过A作PA⊥AD，交y轴于P，∴△OAP为等腰直角三角形，∴OP=t=，∵直线l在O
、P之间运动∴0＜t≤2，∴当0＜t≤2时，m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中的最小值不超过最大值的，当l在
BC右侧时，m（l，AD）＝m（l，BC）+m（AD，BC），m（l，ABCD）＝m（l，BC），由（1）知，m（AD，BC）＝，
若m（l，AD）＝2m（l，BC），则m（l，BC）＝，设BC的解析式为为解得BC解析式为直线BC与y轴交点为K（0，-2），与x
轴交点N（2，0）∴OK=ON=2，∴△OKN为等腰直角三角形∴∠OKN=45°，过K作KL⊥l于L，则KL=，∵∠PKL=180
°-∠OKN-∠NKL=45°∴△KLP为等腰直角三角形，∴PL=KL=，在Rt△KLP中PK=，∴-2-t=2∴t＝﹣4，∵直线
l在BC下方到t=-4之间运动，∴﹣4≤t＜﹣2，当﹣4≤t＜﹣2时，m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中的最
小值不超过最大值的，∴不超过最大值时：0＜t≤2或﹣4≤t＜﹣2；（3）由题意知，M（O，ABCD）＝|OC|＝，M（O，QRST
）=|OS|＝，取QR的中点W（），m（O，QRST）＝|OW|=，∴M＝+，m＝﹣，∴M+m＝+．【点睛】本题考查新定义
距离问题，等腰直角三角形的判定与性质，直线平行判定，勾股定理定理与逆定理，两点间距离，直线解析式，截距范围，利用辅助线画出准确图形
是解题关键．8．（1）见详解；（2）见详解；（3）MN的最小值是；MN的最大值是；（4）MN的最小值是；MN的最大值是．【分析】（
1）根据题意，补全图形即可；（2）由旋转的性质，得AE=FE，然后证明△ABE≌△EGF，则AB=EG=BC，BE=GF，然后证明
BE=CG=GF，即可得到结论成立；（3）根据题意，①当点E与点B重合，点F恰好与点C重合，此时线段MN的长度有最小值；②当点E与
点C重合时，MN有最大值；分别求出AF的长度，再求出MN的长度即可；（4）与（3）同理，①当点E与点B重合，此时线段MN的长度有最
小值；②当点E与点C重合时，MN有最大值，作AG⊥CB，交CB延长线于点G；分别求出AF的长度，即可得到MN的长度．【详解】解：（
1）线段AE绕点E顺时针旋转90°，得到线段EF，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G，连接CF．如图：（2）由旋转的性质，得A
E=FE，∵∠B=∠G=∠AEF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEG=90°，∴∠BAE=∠FEG，∴△AB
E≌△EGF（AAS）；∴AB=EG=BC，BE=GF，∵BE=BCCE，CG=EGCE，∴BE=CG=GF，∵∠G=90°，∴△
FCG是等腰直角三角形；（3）根据题意，①当点E与点B重合，点F恰好与点C重合，此时线段MN的长度有最小值，如图：∵AB=BC=4
，∠B=90°，∴∵点M，N分别是AE和EF的中点，∴；∴MN的最小值是；②当点E与点C重合时，MN有最大值，如图：由①可知，，∵
∠AEF=90°，∴，∵点M，N分别是AE和EF的中点，∴；∴MN的最大值是；（4）根据题意，①当点E与点B重合，此时线段MN的长
度有最小值，如图：∵AE=EF=4，∠AEF=90°，∴，点M，N分别是AE和EF的中点，∴；∴MN的最小值是；②当点E与点C重合
时，MN有最大值，如图：作AG⊥CB，交CB延长线于点G，∵AB=BC=4，∠ABC=120°，∴∠ABG=60°，在直角△ABG
中，有，，∴，在直角△ACG中，由勾股定理，得，由旋转的性质，则，∠AEF=90°，∴，∵点M，N分别是AE和EF的中点，∴；∴M
N的最大值是．【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角
形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，从而利用数形结合的思想进行解题．9．（1）①；5；②；（2
）或．【分析】（1）根据平面直角坐标系内两点间的距离公式，即可求解；（2）根据相好点的定义，即可求解；（3）根据相好点的定义，得到
，，设 ，求出x的取值范围，即可求解．【详解】解：（1）①由题意可得：， ，∴d的最小值为 ，最大值为5； ②如图①，∵P1（2.
5，0），P2（2，4），P3（－2，0），点P1（2.5，0）到线段AB的最小距离为3，最大距离为 ，∴在线段AB上存在点到P1
的距离等于O到AB的距离，即点P1与点O是线段AB的一对相好点，P2（2，4）到AB的最大距离为 ，∴在线段AB上存在点到P1的距
离等于O到AB的距离，即点P2与点O不是线段AB的一对相好点，P3（－2，0）到线段AB的最小距离为 ，∴在线段AB上存在点到P3
的距离等于O到AB的距离，即点P3与点O是线段AB的一对相好点，∴与点O是线段AB的一对相好点的是；（3）∵直线平行AB所在的直线
，且线段AB上任意一点到直线的距离都是1，∴直线l为y=4或y=2，∵点C与点O是线段AB的一对相好点，， ，当，，即，，设 ，当
点C在y=4上时， 则 ，解得：，当，即，,则，解得：，同理 ，当点C在y=2上时，或，综上所述，x的取值范围或．【点睛】本题主要
考查了平面直角坐标系内两点间的距离，解不等式组，理解新定义是解题的关键．10．（1）①AP＝AQ；②①中的结论仍然成立，证明见解析
；（2）①补全图形见解析；②DN＝2﹣2．【分析】（1）①AP＝AQ．根据四边形ABCD是菱形，可得BC＝CD，AB∥CD，由∠P
AQ＝∠B，可得∠PAQ+∠QCD＝180°，可证AQ⊥BC，利用面积桥可证AP＝AQ；②①中的结论仍然成立．过点A作AM⊥BC于
M，AN⊥CD于N．由四边形ABCD是菱形，AM⊥BC，AN⊥CD，可证AM＝AN，∠AMQ＝∠ANP＝90°，AB∥CD，证明△
AMQ≌△ANP（AAS）；（2）①补全图形如下：②如图3，过点A作AH⊥CD于点H，可证AH＝HN，由四边形ABCD是菱形，∠B
＝60°，可求∠DAH=30°，由30度直角三角形性质DH＝AD＝2，利用勾股定理AH＝2．【详解】（1）①AP＝AQ．∵四边形A
BCD是菱形，∴BC＝CD，AB∥CD，∴∠B+∠QCD＝180°，∵∠PAQ＝∠B，∴∠PAQ+∠QCD＝180°，∴∠APC+
∠AQC＝180°，∵AP⊥CD，∴∠APC＝90°，∴∠AQC＝90°，∴AQ⊥BC，∵S菱形ABCD＝BC?AQ＝CD?AP，
∴AP＝AQ；故答案为：AP＝AQ；②①中的结论仍然成立．证明：如图2中，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N．∵四边形ABCD是菱形，AM⊥BC，AN⊥CD，∴S菱形ABCD＝BC?AM＝CD?AN，∵BC＝CD，∴AM＝AN，∠AMQ＝∠ANP＝90°，AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠PAQ＝∠B，∴∠PAQ+∠C＝180°，∴∠AQC+∠APC＝180°，∵∠AQM+∠AQC＝180°，∴∠AQM＝∠APN，在△AMQ和△ANP中，∴△AMQ≌△ANP（AAS），∴AP＝AQ．（2）①，作∠PAN=∠B，角的另一边交CD延长于N，补全图形如下：②如图3，过点A作AH⊥CD于点H，∵∠ANC＝45°，∴∠NAH＝45°，∴AH＝HN，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴∠ADC＝60°，AB＝AD＝4，∴∠DAH=90°-∠ADH=90°-60°=30°，∴DH＝AD＝2，∴AH＝=DH＝2，∴HN＝2，∴DN＝HN﹣DH＝2﹣2．【点睛】本题考查菱形性质，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形，30°直角三角形性质，勾股定理，掌握菱形性质，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形，30°直角三角形性质，勾股定理是解题关键． 1 / 1 |
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