2022北京北大附中初二（上）期中数 学一、选择题1. 誉为全国第三大露天碑林“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆
文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 如图，在△ABC中
，AC边上的高线是（ ）A. 线段DAB. 线段BAC. 线段BCD. 线段BD3. 正五边形的每个内角度数是（ ）A. B.
C. D. 4. 如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA＋PB＝BC，那么符合要求的
作图痕迹是（ ）A. B. C. D. 5. 如图所示，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（ ）A 20B. 26C.
60D. 1206. 下列命题是假命题是（ ）A. 等腰三角形高线、中线和角平分线互相重合B. 全等三角形对应边相等C. 三个角
都相等的三角形是等边三角形D. 角平分线上的点到角两边的距离相等7. 点在的平分线上（不与点重合），于点，是边上任意一点，连接．若
，则下列关于线段的说法一定正确的是（ ）A. B. C. 存在无数个点使得D. 8. 剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸
片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）A. B. C. D. 9. 如图所示，已
知，点在边OA上，，点，在边上，，若，则的长为（ ）A. 3B. 3.5C. 4D. 4.510. 在平面直角坐标系中，点，，．若
是等腰直角三角形，且，当时，点的横坐标的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题11. 等腰三角形的两边长分别是4和9，
则它的周长为__________．12. 如图，△ABC，∠A=70°，点D在BC的延长线上，若∠ACD=130°，则∠B=___
________°．13. 如图是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则的度数为 __．14. 如图，在△ABC?和△DB
C，BA=BD中，请你添加一个条件使得△ABC?≌△DBC，这个条件可以是________（写出一个即可）．15. 如图，在等边三
角形ABC中，AB=2，BD是AC边上的高，延长BC至点E，使CE=CD，则BE的长为_______．16. 借助如图所示的“三等
分角仪”等三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可
在槽中滑动．若，则______°．17. 如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为
10cm，双翼的边缘cm，且与闸机侧立而夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为________cm．18. 在平面直角坐标系
中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点的坐标为(3，5)，点的坐标为(2，2)，点为网格中第一象限内的整点，不共线的三点构成
轴对称图形，则点的坐标可以是_________（写出一个即可），满足题意的点的个数为________．三、解答题19. 小明制作的
风筝形状如图（8）所示，他根据，，不用测量就知道，请你运用所学知识给予证明．20. 已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多
边形的边数．21. 如图，点、、、在同一条直线上，，，．（1）求证：．（2）若，，求的度数．22. 数学课上，王老师布置如下任务：
如图，已知∠MAN＜45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A．下面是小路设计尺规作图过程．作法
：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求．根据
小路设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹) （2）完成下面的证明：证明：连接BD，BC，∵直线l为线
段AB的垂直平分线，∴DA＝ ，( )（填推理的依据）∴∠A＝∠ABD，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．∵BC＝BD，∴∠AC
B＝∠ ，( )（填推理的依据）∴∠ACB＝2∠A．23. 如图，在中，平分，是上一点，，且．（1）如果，则的度数为 °；（2）探
究与数量关系，并说明理由．24. 如图，中，平分，，若与互补，，求的长．25. 在中，，，直线上有一点，连接，分别为A关于直线的对
称线段．（1）如图，当点在线段上时，求和的度数；（2）如图，当点在线段的延长线上时，①依题意补全图；②探究是否存在点，使得，若存在
，直接写出满足条件时的长度；若不存在，说明理由．26. 已知：线段及过点的直线．如果线段与线段关于直线对称，连接交直线于点，以为边
作等边，使得点和点在直线的同侧，作射线交直线于点，连接．（1）根据题意将图1补全；（2）如图1，如果．① ， （用含有代数式表示）
；②用等式表示线段，与的数量关系，并证明．（3）如图2，如果，直接写出线段，，与的数量关系，不证明．27. 在平面直角坐标系中，对
于任意图形及直线，，给出如下定义：将图形先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形的<，>双反图形．例如：点
的轴，轴>双反图形是点．（1）点的轴，轴>双反图形点的坐标为 ；（2）已知，，，直线经过点．①当，且直线与轴平行时，点的轴，双反图
形点的坐标为 ；②当直线经过原点时，若的轴，双反图形上只存在两个与轴的距离为1的点，直接写出的取值范围．参考答案一、选择题1. 【
答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的概念逐一进行判断即可．【详解】A、是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、是轴对称图形，故此
选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，故此选项不符合题意，故选C.【点睛】本题考查的是轴对称图形
的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2. 【答案】D【解析】【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂
线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．【详解】由图可知， △ABC 中AC边上的高线是BD．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角
形的高线，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．3. 【答案】C【解析】【分析】先
根据多边形的内角和公式求出内角和，然后除以5即可；【详解】根据多边形内角和定理可得：，，故选∶C．【点睛】本题考查了正多边形的内角
和公式，解题的关键是熟记多边形内角和公式．4. 【答案】D【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质判断即可．【详解】解：如图，连
接AP，由作图可知，所画直线垂直平分线段AC，∴PA＝PC，∴PA+PB＝PC+PB＝BC，故选：D．【点睛】本题考查作图﹣基本作
图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5. 【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性
质求出，最后用三角形的面积公式即可解答．【详解】解：过O作于点E， ∵平分，于点，，∴，∴的面积＝，故选：C．【点睛】此题考查角平
分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出解答．6. 【答案】A【解析】【分析】根据三线合一定理即可判断A；根据全等三角形的性质即可
判断B；根据等边三角形的判定条件即可判断C；根据角平分线的性质即可判断D．【详解】解：A、等腰三角形底边上的高线、中线和角平分线互
相重合，是假命题，符合题意；B、全等三角形对应边相等，是真命题，不符合题意；C、三个角都相等的三角形是等边三角形，是真命题，不符合
题意；D、角平分线上的点到角两边的距离相等，是真命题，不符合题意；故选A．【点睛】本题主要考查了判定命题真假，熟知三线合一定理，全
等三角形的性质，等边三角形的判定条件，角平分线的性质是解题的关键．7. 【答案】D【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离
相等可得点P到的距离为2，再根据垂线段最短解答．【详解】解：∵点P在的平分线上，，，∴点P到边的距离等于2，∴点P到的距离为2，∵
点D是边上的任意一点，∴．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关
键．8. 【答案】B【解析】【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将最后一个图中的纸片按顺序打开铺平即可得到答案．【详解】还原后
只有B符合题意，故选B．【点睛】此题主要考查了剪纸问题，解答此题的关键是根据折纸的方式及剪的位置进行准确分析，可以直观的得到答案．
9. 【答案】B【解析】【分析】首先过点P作于点D，利用直角三角形中所对边等于斜边的一半得出的长，再利用等腰三角形的性质求出的长．
【详解】解：过点P作于点D，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴．故选：B．【点睛】此题主要考查了直角三角形中所对边等于斜边的一半得出的长以
及等腰三角形的性质，得出的长是解题关键．10. 【答案】C【解析】【分析】过点C作轴于D，可证，可得，即可求解．【详解】解：如图，
过点C作轴于D， ∵点，∴，∵是等腰直角三角形，且，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查了全等三角
形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．二、填空题11. 【答案】22【解析】【分析】题目
给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】
解：当腰为9时，周长＝；当腰长为4时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为9，这个三
角形的周长是22．故答案为：22．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情
况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．12. 【答案】60°【解析】【分析】根
据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】由三角形的外角性质得，∠B=∠ACD-∠A=130°-70
°=60°．故答案为60．【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．13. 【答
案】或【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质解答即可．详解】解：如图所示，由三角形内角和定理得，，两个三角
形全等，，或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理和全等的性质，注意多种情况．14. 【答案】（答案不唯一）【解
析】【分析】由已知有BA=BD，BC边公共，由三角形全等的判定定理，可以添加这两边的夹角相等或第三边相等，均可使得△ABC?≌△D
BC．【详解】添加CA=CD，则由边边边的判定定理即可得△ABC?≌△DBC故答案为：CA=CD（答案不唯一）【点睛】本题考查了全
等三角形的判定，熟悉全等三角形的几个判定定理是解题的关键．15. 【答案】3【解析】【分析】由等边三角形的性质可得AC＝BC＝AB
＝2，根据BD是AC边上的高，可得AD＝CD＝1，再由题中条件CE＝CD，即可求得BE．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC
＝BC＝AB＝2，∵BD是AC边上的高，∴D为AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，∴CE＝CD＝1，∴BE＝BC+CE＝2+1＝3
．故答案为：3．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD＝CD＝AC是正确
解答本题的关键．16. 【答案】80【解析】【分析】由，可得，设，则，，求出的值，然后根据，求解的值即可．【详解】解：∵，∴，，设
，则，∵，解得，∴，∴，故答案为：80．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形内角和．明确角的数量关系是解题
的关键．17. 【答案】65【解析】【分析】过点A作于点E，过点B作于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后
求出的长度即可得出答案．【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点F，∵，，∴，由对称性可知：，∴通过闸机的物体最大宽度为cm，故答
案为：65 cm．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．18. 【答
案】 ①. （1，5）（答案不唯一） ②. 10【解析】【分析】构造以为边的等腰三角形，确定点的坐标和个数即可．【详解】解：如图所
示，以为边画等腰三角形，共11个点，其中一个点的坐标为（1，5）；故答案为：（1，5），10．【点睛】本题考查了轴对称图形，解题关
键是会画等腰三角形．三、解答题19. 【答案】见解析【解析】【分析】利用全等三角形或者等腰三角形的知识解决即可．详解】（法一）：连
结．在和中，∴（），∴；（法二）：连结EF，∵，，∴，，∴，即．20. 【答案】这个多边形的边数是6【解析】【分析】多边形的外角和
是360°，内角和是它的外角和的2倍，则内角和为2×360=720度．n边形的内角和可以表示成（n-2）?180°，设这个多边形的
边数是n，即可得到方程，从而求出边数．【详解】解：设这个多边形的边数为n，由题意得：(n－2)×180°＝2×360°，解得n＝6
，∴这个多边形的边数是6．【点睛】此题主要考查了多边形的外角和，内角和公式，做题的关键是正确把握内角和公式为：（n-2）?180°
，外角和为360°．21. 【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据，可得，再证和全等即可；（2）利用全等三角形的性
质，求出，根据即可解决问题．【小问1详解】证明：∵，∴，在和中，∴，∴．【小问2详解】解：∵，∴，∴【点睛】本题考查全等三角形的判
定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．22. 【答案】（1）见解析；（2）DB；线段垂直平分线上
的点到线段两端的距离相等；BDC； 等边对等角．【解析】【分析】（1）根据题目中的小路的尺规作图过程，直接作图即可．（2）根据垂直
平分线的性质以及等边对等角进行解答即可．【详解】解：(1) 根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示； (2)解：证明：连
接BD，BC，∵直线l为线段AB的垂直平分线，∴DA＝ DB ，(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)（填推理的依据）∴∠A
＝∠ABD，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．∵BC＝BD，∴∠ACB＝∠BDC ，(等边对等角)（填推理的依据）∴∠ACB＝2
∠A．【点睛】本题主要是考查了尺规作图能力以及垂直平分线和等边对等角的性质，熟练掌握垂直平分线和等边对等角的性质，是解决该题的关键
．23. 【答案】（1） （2），理由见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角
的性质计算，得到答案；（2）作于F，根据等腰三角形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质可得结论．【小问1详解】解：∵，平分，∴，
∵，∴，∴；故答案为：【小问2详解】证明：过点E作于点F， ∵平分，，∴，在 和中，∵∴，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查的是全等
三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．24. 【答案】10【
解析】【分析】延长交于点E，证明，得出，证出，得出即可．【详解】解：如图，延长交于点E． ∵平分，∴，在和中，，∴，∴，∵与互补，
与互补，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．25. 【答案】（1
）， （2）①见解析；②或【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，根据轴对称的性质可得∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠
MAB，∠ABP=∠ABM，结合图形求解即可；（2）①依据轴对称图形的特点补全图形即可；②根据轴对称的性质可得PB=BM，PC=C
N，设，则或，，利用和线段的和差列出方程求解即可．【小问1详解】，，，，分别为点关于直线，的对称点，，，，，．【小问2详解】图形如
图所示．存在．设，则或，，，或，或．经检验或为方程的解，或．【点睛】题目主要考查轴对称图形的特点，角度的计算，分式方程的应用等，理
解题意，熟练掌握运用轴对称图形的性质是解题关键．26. 【答案】（1）见解析 （2）①，② （3）【解析】【分析】（1）根据要求作
出图形即可．（2）①利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．②结论：．在上截取，连接．证明，推出．（3）解题思路同（2）
②．【小问1详解】解：图形如图所示：【小问2详解】①∵线段与线段关于直线对称，∴，垂直平分线段，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∴．故
答案是：；②结论：．理由：在上截取，连接．∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，即；【小问3详解】解：．理
由：在延长线上截取，连接．∵，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，即；【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等
腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．27. 【答案】（1） （2）①；②或．【解析】【分析】（1）点Q关于x轴对称的点坐标为，再关于y轴对称的点坐标为，故可得点的双反图形点坐标；（2）①时，C点坐标为，直线m为，此时点C先关于x轴对称的点坐标为，再关于m轴对称的点坐标为，进而得到点的双反图形点坐标；②由题意知直线m为直线，A，B，C三点的＜x轴，m＞的双反图形点坐标依次表示为：，，，由题意可得或解出t的取值范围即可．【小问1详解】解：由题意知沿x轴翻折得点坐标为；沿y轴翻折得点坐标为，故答案为：；【小问2详解】解：①时，C点坐标为，直线m为，沿x轴翻折得点坐标为，沿直线翻折得点坐标为，故答案为：；②直线m经过原点，∴直线为．∴A，B，C的伴随点先沿x轴翻折，点的坐标依次为，，；沿直线翻折，点坐标依次为：，，，由题意可得或，∴或．【点睛】本题考查了直角坐标系中的点对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确的将翻折后的点坐标表示出来．第1页/共1页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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