2022北京北大附中初二（下）期中数 学一、选择题（每小题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．）1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的
是（ ）A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A. 1，1，1B. 2，3，4C. 1，2，3
D. 5，12，133. 下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）A. B. C. D. 4. 下列各式中，运算正确的是（ ）A.
＝－2B. C. D. 5. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长为( )A.
4B. 8C. 16D. 206. 如图，是平行四边形边上一点，且，连接，并延长与的延长线交于点，如果，那么的度数是（ ）A. B
. C. D. 7. 如图，正方形面积为8，菱形的面积为4，则的长是（ ）A. 4B. C. 2D. 18. 如图，点E为矩形AB
CD的边BC长上的一点，作DF⊥AE于点F，且满足DF=AB．下面结论：①△DEF≌△DEC；②S△ABE = S△ADF；③AF
=AB；④BE=AF．其中正确的结论是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题9. 函数中，自变量的取值范围是__
___．10. 已知中，，则的度数是________．11. 如图，数轴上点A所表示的数为a．则a的值是______．12. 已知
直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．13. 如图，三角形花园的边界AB，BC互相垂直，若测得，BC的长度
为40m，则边界AC的中点D与点B的距离是______m．14. 如图，矩形中，，，是边上一点，将沿翻折，点恰好落在对角线上的点处
，则的长为________．15. 如图，平行四边形周长为20cm，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝2cm，AF＝3cm，平
行四边形ABCD的面积为_____cm2．16. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M
是四边形ABCD内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为_____．三、解答题17. 计算：（1）（2
）18. 如图，在中，E，F是对角线AC上的两点，且．求证：．19. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图，四边
形ABCD是平行四边形．求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC，AD上．小军作法如下：（1）连接AC；（2）作AC的垂直平分线E
F分别交BC，AD于E，F；（3）连接AE，CF，所以四边形AECF是菱形． 老师说：“小军的作法正确．”以下是一种证明思路，请结
合作图过程补全填空由作图和已知可以得到：∴∵四边形ABCD是平行四边形∴∴四边形AECF是平行四边形（依据：___________
_____________________________________）∵EF垂直平分AC∴________________∴
四边形AECF是菱形（依据：________________________________________________）四、
解答题20. 如图，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用
拉在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB．21. 如图
，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按下列要求作图．（1）在图①中，画一
个格点三角形ABC，使得，，；（2）在（1）的条件下，直接写出AC边上的高；（3）在图②中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是
无理数．五、解答题22. 如图，已知，延长到使．连接，，交于点．若．（1）求证：四边形是矩形；（2）连接，若，，求的长．23. 阅
读下面材料：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时：∵∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题
：（1）请直接写出答案：当时，的最小值为______．当时，的最大值为______；（2）若，求y的最小值；（3）如图，四边形AB
CD的对角线AC、BD相交于点O，、的面积分别为4和10，求四边形ABCD面积的最小值．24. 如图，在正方形ABCD中，E是边A
B上一动点，点F在边BC的延长线上，且，连接DE，DF．（1）求证：；（2）连接EF，取EF中点G，连接DG并延长交BC于H，连接
BG．①依题意，补全图形；②求证：；③若，用等式表示线段BG，HG与AE之间的数量关系，请直接写出结论．25. 在平面直角坐标系中
，对于点P，如果点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，且正方形的边分别与x轴，y轴平行，那么称点Q为点P的“和谐点”，如图所示
．已知点，，．（1）已知点A的坐标是．①在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是______；②已知点B的坐标为，如果点B为点A的“
和谐点”，求b的值；（2）已知点，如果线段DE上存在一个点M，使得点M是点C的“和谐点”，直接写出m的取值范围．参考答案一、选择题
（每小题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．）1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】
A【解析】【分析】根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断即可．【详解】解：A、，被开方数
不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，故此选项符合题意；B、 ，故该选项不合题意；C、，故该选项不合题意；D、，故该选项不合题意
；故选：A．【点睛】本题主要考查了最简二次根式的概念，熟悉掌握最简二次根式的概念是解题的关键．2. 下列四组线段中，可以构成直角三
角形的是（ ）A. 1，1，1B. 2，3，4C. 1，2，3D. 5，12，13【答案】D【解析】【分析】由勾股定理的逆定理，只
要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、12＋12≠12，不能构成直角三角形，不符合题意；B、22＋32≠42，
不能构成直角三角形，不符合题意；C、1＋2＝3，不能构成三角形，不符合题意；D、52＋122＝132，能构成直角三角形，符合题意．
故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．3.
下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y
都有唯一的值与它对应，即可判断．【详解】A、B、C对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，不
符合题意；C、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，故D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了函
数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键．4. 下列各式中，运算正确的是（ ）A. ＝－2B. C. D. 【答案】D【解析】【
分析】根据二次根式的性质以及化简运算法则求解即可．【详解】解：∵＝2，∴选项A不符合题意；∵3－＝2，∴选项B不符合题意；∵2＋≠
2，∴选项C不符合题意；∵＝2，∴选项D符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了二次根式的性质以及二次根式的化简和加减运算，解题的关
键是熟练掌握二次根式的性质以及二次根式的化简和加减运算法则．5. 如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2
，则菱形ABCD的周长为( )A. 4B. 8C. 16D. 20【答案】C【解析】【分析】根据三角形的中位线定理求出BC，再根据
菱形的四条边都相等解答．【详解】∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF是△ABC的中位线，∴BC＝2EF＝2×2＝4，∴菱形ABC
D的周长＝4×4＝16．故选：C．【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟记各性质是
解题的关键．6. 如图，是平行四边形边上一点，且，连接，并延长与的延长线交于点，如果，那么的度数是（ ）A B. C. D. 【答
案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质即可得出，再根据等边对等角，得出，最后根据三角形内角和即可得出答案．【详解】解：四边形A
BCD为平行四边形故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和，熟练掌握性质定理是解题的关键．7.
如图，正方形的面积为8，菱形的面积为4，则的长是（ ）A. 4B. C. 2D. 1【答案】C【解析】【分析】连接AC，由正方形
ABCD的面积求出AC的长，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半求出EF的长即可.【详解】解：连接AC，如下图所示：∵正方形ABCD
的面积为8，∴AD=，∴在Rt△ACD中，由勾股定理知：，∵菱形AECF的面积为4，∴×EF×AC=4，∴EF=2.故答案选：C．
【点睛】此题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形和菱形的面积计算公式是解决此题的关键．8. 如图，点E为矩形ABCD的边BC长上的一
点，作DF⊥AE于点F，且满足DF=AB．下面结论：①△DEF≌△DEC；②S△ABE = S△ADF；③AF=AB；④BE=AF
．其中正确的结论是（ ）A 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】证明Rt△DEF≌Rt△DEC得出①正确；
在证明△ABE≌△DFA得出S△ABE＝S△ADF；②正确；得出BE＝AF，④正确，③不正确；即可得出结论．【详解】解：∵四边形A
BCD是矩形，∴∠C＝∠ABE＝90°，AD∥BC，AB＝CD，∵DF＝AB，∴DF＝CD，∵DF⊥AE，∴∠DFA＝∠DFE＝9
0°，在Rt△DEF和Rt△DEC中，，∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），①正确；∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，在△AB
E和△DFA中，，∴△ABE≌△DFA（AAS），∴S△ABE＝S△ADF；②正确；∴BE＝AF，④正确，③不正确；正确的结论有3
个，故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．二、填空题
9. 函数中，自变量的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可.【详解】解：依题意，得，解得
：，故答案为．【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可
取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关
系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．10. 已知中，，则的度数是________．【答案】75°【解
析】【分析】根据平行四边形对角相等求出∠A=105°，再根据邻角互补即可求出答案.【详解】中，∠A=∠C，∠A+∠B=180°,∵
,∴∠A=105°，∴∠B=180°-∠A=75°，故答案为：75°.【点睛】此题考查平行四边形的性质：对角相等，邻角互补.11.
如图，数轴上点A所表示的数为a．则a的值是______．【答案】【解析】【分析】根据图示，可得：点A是以原点为圆心，以为半径的圆
与数轴的交点，再根据两点间的距离的求法，求出a的值为多少即可．【详解】∴点A是以原点为圆心，以为半径的圆与数轴的交点，∴a=．故答
案为：．【点睛】此题主要考查了实数与数轴，正确应用勾股定理是解题关键．12. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为__
______．【答案】5或【解析】【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．【详解】解：①长
为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，第三边的长为：；②长为3、4的边都是直角边时，第三边的长为：；∴第三边的长为：或5，故答案为
：或5．13. 如图，三角形花园的边界AB，BC互相垂直，若测得，BC的长度为40m，则边界AC的中点D与点B的距离是______
m．【答案】40【解析】【分析】由含30°角的直角三角形的性质可得AC＝80m，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得结论．【详
解】解：在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝40m，∴AC＝2BC＝80m，∵D是AC中点，∴BD＝AC＝40m，故答案为：40
．【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键．14. 如图，矩形中，，，
是边上一点，将沿翻折，点恰好落在对角线上的点处，则的长为________．【答案】3【解析】【分析】利用矩形的性质得到BC=AD=
8，∠ABC=90°，再根据勾股定理计算出AC=10，接着利用折叠的性质得∠AFE=∠ABE=90°，AF=AB=6，BE=FE，
所以CF=4，设BE=x，则EF=x，CE=8-x，利用勾股定理得到x2+42=（8-x）2，解得x=3，即可得出结论．【详解】∵
四边形ABCD为矩形，∴BC=AD=8，∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AC=，∵△ABE沿AE翻折，点B恰好落在对角线AC上
的点F处，∴∠AFE=∠ABE=90°，AF=AB=6，BE=FE，∴CF=10-6=4，设BE=x，则EF=x，CE=8-x，在
Rt△CEF中，x2+42=（8-x）2，解得x=3，∴BE=3，故答案为3．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它
属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质．15. 如图，平行四边形的周长为20c
m，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝2cm，AF＝3cm，平行四边形ABCD的面积为_____cm2．【答案】12【解析】【
分析】根据平行四边形的性质可得BC+CD＝10，根据面积公式可得2BC＝3CD，然后联立组成方程组可得CD和BC的长，进而可得面积
．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，∵周长为20cm，∴BC+CD＝10①，∵AE⊥BC于E，A
F⊥CD于F，AE＝2cm，AF＝3cm，∴2BC＝3CD②，联立①②得，解得：，∴平行四边形ABCD的面积为：AE×CB＝2BC
＝2×6＝12，故答案为：12．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，平行四边形的面积等于
它的底和这个底上的高的积．16. 如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，点M是四边形ABCD
内的一个动点，满足∠AMD＝90°，则点M到直线BC的距离的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】取AD的中点O，连接OM，
过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解决问题．【详解】
解：取AD的中点O，连接OM，过点M作ME⊥BC交BC的延长线于E，点点O作OF⊥BC于F，交CD于G，则OM+ME≥OF．∵∠A
MD＝90°，AD＝4，OA＝OD，∴OM＝AD＝2，∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGE＝30°，∵AD
＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴C
G＝2，∴OG＝2，GF＝，OF＝3，∴ME≥OF﹣OM＝3﹣2，∴当O，M，E共线时，ME的值最小，最小值为3﹣2．【点睛】本题
考查解直角三角形，垂线段最短，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．三、解答题1
7. 计算：（1）（2）【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先化简二次根式并计算二次根式的除法，然后进行二次根式的加法运算
即可；（2）先计算二次根式的乘法并化简二次根式，然后进行二次根式的加减运算即可．【小问1详解】解：原式＝；【小问2详解】解：原式＝
．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．18. 如图，在中，E，F是对角线AC上的两点，且．求证：．【
答案】见解析【解析】【分析】连接BD，交AC于点O，利用平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，进而得出四边形EBFD是平行四
边形即可．【详解】证明：连接BD，交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AF＝CE，∴OF＝OE
，∴四边形EBFD是平行四边形，∴DE∥BF．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，正确得出四边形EBFD是平行四边形是解
题关键．19. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形AECF，使点E，F
分别在BC，AD上．小军的作法如下：（1）连接AC；（2）作AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于E，F；（3）连接AE，CF，所
以四边形AECF是菱形． 老师说：“小军的作法正确．”以下是一种证明思路，请结合作图过程补全填空由作图和已知可以得到：∴∵四边形A
BCD是平行四边形∴∴四边形AECF是平行四边形（依据：_____________________________________
___________）∵EF垂直平分AC∴________________∴四边形AECF是菱形（依据：____________
____________________________________）【答案】有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；AF＝
FC；有一组邻边相等的平行四边形是菱形．【解析】【分析】首先证明四边形AECF是平行四边形，然后根据线段垂直平分线的性质和菱形的判
定定理填空即可．【详解】解：由作图和已知可以得到：△AOF≌△COE，∴AF＝CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥CE，∴
四边形AECF是平行四边形，（依据：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∵EF垂直平分AC，∴AF＝FC，∴四边形AECF
是菱形（依据：有一组邻边相等的平行四边形是菱形）故答案为：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；AF＝FC；有一组邻边相等的平
行四边形是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质和菱形的判定，解决本题的关键是综合运用以上知识．四、
解答题20. 如图，在树上距地面10mD处有两只猴子，它们同时发现地面上C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，然后利用拉
在A处的滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D处先滑到地面B，再由B跑到C，已知两猴子所经过的路程都是15m，求树高AB．【答案】12米
【解析】【分析】Rt△ABC中，∠B＝90°，则满足AB2＋BC2＝AC2，BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m），根据两
只猴子经过的路程一样可得10＋a＝x＋b＝15解方程组可以求x的值，即可计算树高＝10＋x．【详解】解：Rt△ABC中，∠B＝90
°，设BC＝a（m），AC＝b（m），AD＝x（m）则10＋a＝x＋b＝15（m）．∴a＝5（m），b＝15﹣x（m）又在Rt△A
BC中，由勾股定理得：AB2＋BC2＝AC2，即（10＋x）2＋a2＝b2，∴（10＋x）2＋52＝（15﹣x）2，解得，x＝2，
即AD＝2（米）∴AB＝AD＋DB＝2＋10＝12（米）答：树高AB为12米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于
能够熟练掌握勾股定理．21. 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，边长为1，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，分别按
下列要求作图．（1）在图①中，画一个格点三角形ABC，使得，，；（2）在（1）的条件下，直接写出AC边上的高；（3）在图②中，画一
个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数．【答案】（1）见解析 （2）2（3）见解析【解析】【分析】（1）根据网格特点结合勾股定理
作图即可；（2）由勾股定理的逆定理可得△ABC是以AC为斜边的直角三角形，然后利用面积法求解即可；（3）可以作一个两条直角边是，斜
边是的等腰直角三角形．【小问1详解】解：如图①，△ABC即为所求．【小问2详解】∵，∴图①中△ABC是以AC为斜边的直角三角形，∴
AC边上的高＝；【小问3详解】如图②，△DEF即为所求作．【点睛】本题考查作图?应用与设计，勾股定理，勾股定理的逆定理，面积法求高
等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．五、解答题22. 如图，已知，延长到使．连接，，交于点．若．（1）求证：四
边形是矩形；（2）连接，若，，求的长．【答案】（1）见解析； （2）【解析】【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据得到，即
可求证；（2）由得到为等边三角形，求得、，再根据勾股定理即可求解．【小问1详解】解：中，，，∴．又∵，∴，点为线段的中点，∴四边形
为平行四边形．∵，∴，即，∴平行四边形为矩形．【小问2详解】解：∵，，∴为等边三角形．∴，．在中，，∴，由（1）得，，∴．【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．23. 阅读下面材料：我们
已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时：∵∴，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写
出答案：当时，的最小值为______．当时，的最大值为______；（2）若，求y的最小值；（3）如图，四边形ABCD的对角线AC
、BD相交于点O，、的面积分别为4和10，求四边形ABCD面积的最小值．【答案】（1）2；； （2）最小值为6（3）【解析】【分析
】（1）根据公式计算即可；（2）先配方，化简，运用公式计算即可；（3）设的面积为，根据与，与为等高的三角形，且与，与为同底的三角形
，得到，求出，利用公式求面积的最小值即可．【小问1详解】当时，，，的最小值是2；当时，，，，，，的最大值为；故答案为：2；；【小问
2详解】，，，，的最小值为6；【小问3详解】设的面积为，与，与为等高的三角形，且与，与为同底的三角形，，，，四边形的面积．当且仅当
，即时，取等号．四边形面积的最小值为．【点睛】本题考查了配方法的应用，列出四边形面积的表达式解题的关键．24. 如图，在正方形AB
CD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且，连接DE，DF．（1）求证：；（2）连接EF，取EF中点G，连接DG并延
长交BC于H，连接BG．①依题意，补全图形；②求证：；③若，用等式表示线段BG，HG与AE之间的数量关系，请直接写出结论．【答案】
（1）见解析 （2）①见解析；②见解析；③BG2＋HG2＝4AE2．【解析】【分析】（1）证△ADE≌△CDF（SAS），得∠AD
E＝∠CDF，再证∠EDF＝90°，即可得出结论；（2）①依题意，补全图形即可；②由直角三角形斜边上的中线性质得DG＝EF，BG＝
EF，即可得出结论；③先证△DEF是等腰直角三角形，得∠DEG＝45°，再证DG⊥EF，DG＝EF＝EG，BG＝EF＝EG＝FG，
得∠GDF＝45°，∠EDG＝∠DEG＝45°，∠GBF＝∠GFB，然后证△CDH≌△CDF（ASA），得CH＝CF，再由勾股定理
即可求解．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠B＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∴∠DCF＝90°，
即∠A＝∠DCF，又∵AE＝CF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴∠ADE＝∠CDF，∵∠ADE＋∠CDE＝90°，∴∠CDF＋
∠CDE＝90°，即∠EDF＝90°，∴DE⊥DF；【小问2详解】①解：依题意，补全图形如图所示：②证明：由（1）可知，△DEF和
△BEF都是直角三角形，∵G是EF的中点，∴DG＝EF，BG＝EF，∴BG＝DG；③BG2＋HG2＝4AE2，证明：由（1）可知，
△ADE≌△CDF，DE⊥DF，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEG＝45°，∵G为EF的中点，∴DG⊥EF，DG
＝EF＝EG，BG＝EF＝EG＝FG，∴∠EGD＝∠HGF＝∠DGF＝90°，∠GDF＝45°，∠EDG＝∠DEG＝45°，∠GB
F＝∠GFB，∵∠EGB＝45°，∴∠GBF＝∠GFB＝22.5°，∵∠DHF＋∠HFG＝∠DHF＋∠CDH＝90°，∴∠HFG＝
∠CDH＝225°，∴∠CDF＝∠GDF?∠HDC＝22.5°＝∠CDH，又∵∠DCH＝∠DCF＝90°，CD＝CD，∴△CDH≌
△CDF（ASA），∴CH＝CF，在Rt△GHF中，由勾股定理得：GF2＋HG2＝HF2，∵HF＝2CF＝2AE，GF＝BG，∴B
G2＋HG2＝（2AE）2，∴BG2＋HG2＝4AE2．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．25. 在平面直角坐标系中，对于点P，如果点Q满足条件：以线段PQ为对角线的正方形，且正方形的边分别与x轴，y轴平行，那么称点Q为点P的“和谐点”，如图所示．已知点，，．（1）已知点A的坐标是．①在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是______；②已知点B的坐标为，如果点B为点A的“和谐点”，求b的值；（2）已知点，如果线段DE上存在一个点M，使得点M是点C的“和谐点”，直接写出m的取值范围．【答案】（1）①D，F；②b＝3或?1； （2）?3≤m≤?1或1≤m≤3．【解析】【分析】（1）①画出图形根据“和谐点”的定义判断即可；②画出图形根据“和谐点”的定义确定出点B坐标即可；（2）分别作出临界情况下的“和谐点”，确定出点C（m，0）在线段HM，NG上，进而可得m的取值范围．【小问1详解】解：①如图1中，在D，E，F中，是点A的“和谐点”的是点D，点F．故答案为：D，F；②如图2中，∵点B的坐标为（0，b），点B为点A的“和谐点”，观察图形可知B（0，3）或B′（0，?1），∴b＝3或?1；【小问2详解】∵点M在线段DE上，点M是点的“和谐点”，如图3中，由图可知点C（m，0）在线段HM，NG上，∴?3≤m≤?1或1≤m≤3．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，“和谐点”的定义等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型． 1 / 1 |
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