2022北京一零一中初二（下）期中数 学（本卷满分100分，考试时间90分钟）命题：初二备课组 审核：初中数学组一、选择题：（本大题共8小
题，每小题3分，共24分）1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A. B. C. D. 2. 在□ABCD中，∠A∶∠B
∶∠C∶∠D的值可以是（ ）A 1∶2∶3∶4B. 1∶2∶2∶1C. 1∶1∶2∶2D. 2∶3∶2∶33. 关于的叙述正
确的是（ ）A. 在数轴上不存在表示的点B. C. 与最接近的整数是D. 4. 如图，已知点的坐标为，则线段的长为( )A.
B. C. D. 35. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）A. B. C. D. 6. 如图，《九章算术》中的“
折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢
恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ）A. x2＋62＝
102B. （10－x）2＋62＝x2C. x2＋（10－x）2＝62D. x2＋62＝（10－x）27. 如图，在中，AD＝4，
＝120°，AC平分∠DAB，P是对角线上的一个动点，点Q是边上的一个动点，则 PB＋PQ的最小值是（ ）A. 4B. C.
D. 8. 已知、是两个连续自然数，且，设，则下列对表述中正确的是（ ）A. 总是偶数B. 总是奇数C. 总是无理数D.
有时是有理数，有时是无理数二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围
是 ________．10. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________．11. 在△
ABC中，D、E分别为AB和AC中点，若BC＝12，则DE的长为__________． 12. 如图，对角线AC和BD相交于点O，
过点O的直线分别交CD和AB于点E、F，且AB＝7，BC＝4，∠DAB＝60°，那么图中阴影部分的面积为__________．13
. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．1
4. 已知，则＝________．15. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是__________．16. 图①是我国古代著
名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍
，得到图②所示的“数学风车”，设AB＝2，则图中阴影部分面积为__________．三、解答题：（本大题共10小题，第17题8分，
第18，19，20，23题，每小题5分，第21，22，24，25题，每小题6分，第26题8分，共60分）17. 计算：（1）；（2
）．18. 已知：△ABC．求作：平行四边形ABCD．小聪同学的做法如下：①以点C为圆心，AB长为半径作弧；②以点A为圆心，BC长
为半径作弧；③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD．四边形ABCD即为所求平行四边形． （1）请你根据小聪的做法，使用直尺和圆规
完成作图（保留作图痕迹）；（2）作图依据是：________________________________________．19
. 如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点画△ABC，使，，．标出顶点位置，并判断△ABC形状为 三
角形．20. 如图，在□ABCD中，M，N是AD，BC上的两点且DM＝BN，连接CM，AN．求证：CM＝AN．21. 如图，Rt△
ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，已知CD＝6，AD＝10．（1）求线段AE的长；（2
）求△ABC的面积．22. 如图，在□ABCD中，F是CD的中点，延长AB到点E，使BE＝AB，连结BF，CE．（1）求证：四边形
BECF平行四边形；（2）若AB＝6，AD＝4，∠A＝60°，求CE的长．23. 已知，，试求代数式的值．24. 已知，当分别取，
，，…，时，求所对应值的总和．25. 小明在解方程 时采用了下面方法：，．将这两式相加可得 解得．经检验是原方程的解．请你学习小明
的方法，解下列方程：（1）；（2）26. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是线段AC上一点（AD＞CD），连接
BD，过点A作BD的垂线，交BD于点E，交BC于点F．（1）依题意补全图形；（2）若∠CAE＝，求∠CBD的大小（用含的式子表示）
；（3）若点P在线段AF上，AP＝BD，连接DP，BP， 用等式表示线段AB，BP，DP之间的数量关系，并证明你的结论．参考答案一
、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A. B. C. D. 【答案】
A【解析】【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断即可；【详解】解：A．是不能开方的整数，因此是最简二次根式，本选项符合题意； B．
是分数，因此不最简二次根式，本选项不符合题意；C．，，因此不最简二次根式，本选项不符合题意；D．，因此不最简二次根式，本选项不符合
题意；故选：A．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，注意：被开方数不能含开的尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式；解
题关键熟记最简二次根式的定义．2. 在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（ ）A. 1∶2∶3∶4B. 1∶2∶
2∶1C. 1∶1∶2∶2D. 2∶3∶2∶3【答案】D【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到∠A=∠C，∠B=∠D，∠B+∠C
=180°，∠A+∠D=180°，根据以上结论即可选出答案．详解】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D
，∴ 的值可以是.故选D．【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质的理解和掌握，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键，题目比
较典型，难度适中．3. 关于的叙述正确的是（ ）A. 在数轴上不存在表示的点B. C. 与最接近的整数是D. 【答案】C【解
析】【分析】根据数轴上的点与实数是一一对应的关系，实数的运算法则，二次根式的性质化简计算即可.【详解】解：A、数轴上的点既可以表示
有理数，也可以表示无理数，所以在数轴上存在表示的点，故选项错误；B、＝2,，故选项错误；C、与最接近的整数是3，故选项正确；D、＝
2，故选项错误．故选C．【点睛】本题涉及了数轴上的点与实数是一一对应的关系，实数的运算法则，二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握每
一个知识点是正确解题的关键.4. 如图，已知点的坐标为，则线段的长为( )A. B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】根据
勾股定理计算即可．【详解】解：OA= ，故选：B．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为
c，那么a2+b2=c2．5. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】
根据平行四边形的判断方法一一判断即可解决问题．【详解】解：A、∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选
项错误；B、∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；C、根据AB=CD，AD∥BC可能得出四边
形是等腰梯形，不一定推出四边形ABCD是平行四边形，错误，故本选项正确；D、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形
，正确，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定的应用，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对角分别相等的四边
形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平
行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．6. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺
，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面
的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ）A. x2＋62＝102B. （10－x）2＋62＝x2C. x2
＋（10－x）2＝62D. x2＋62＝（10－x）2【答案】D【解析】【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面
x尺，则斜边为（10-x）尺，利用勾股定理解题即可．【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺，根据勾股定理得：x
2+62=（10-x）2．故选D【点睛】此题考查了勾股定理应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．7.
如图，在中，AD＝4，＝120°，AC平分∠DAB，P是对角线上的一个动点，点Q是边上的一个动点，则 PB＋PQ的最小值是（
）A. 4B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据题意证出四边形ABCD是菱形，根据菱形的对称性可得，线段AB与AD
关于AC对称，设点Q’是点Q的对称点，则PB＋PQ =PB＋PQ’， 当点Q’运动到点Q’’时，即BQ’’⊥AD时，PB＋PQ’最
小，解直角三角形即可．【详解】解：在中，AD＝4，AC平分∠DAB，∴是菱形，AB＝AD＝4，∵＝120°，∴＝60°，∵是菱形，
∴线段AB与AD关于AC对称，点Q关于AC对称的点在AD上，设点Q’是点Q的对称点，则PB＋PQ =PB＋PQ’，当点Q’运动到点
Q’’时，即BQ’’⊥AD时，PB＋PQ’最小，此时，BQ’’=ABsin∠DAB=，∴PB＋PQ的最小值是，故答案选：B．【点睛
】本题主要考查了轴对称?最短路线问题，菱形的性质与判定，根据垂线段最短作出辅助线，确定点Q’’的位置是解答此题的关键．8. 已知、
是两个连续自然数，且，设，则下列对的表述中正确的是（ ）A. 总是偶数B. 总是奇数C. 总是无理数D. 有时是有理数，有时
是无理数【答案】B【解析】【分析】由题意可知，，，代入，根据非负数的算术平方根求解即可．【详解】由题意可知，，，而,则，由于是自然
数，所以是奇数，故选B【点睛】本题考查了一个非负数的算术平方根，根据题意将，代入是解题的关键．二、填空题：（本大题共8小题，每小题
2分，共16分）9. 要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ________．【答案】x≥2【解析】【分析】根据二次根
式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴2x-4≥0，解得x≥2．故答
案为：x≥2．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．10. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是
_____________________．【答案】如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.【解析】【详解】解
：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一
个命题叫做原命题的逆命题. 因此，“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是“如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四
边形”.故答案为：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形.11. 在△ABC中，D、E分别为AB和AC中点，若
BC＝12，则DE的长为__________． 【答案】6【解析】【分析】直接利用三角形中位线定理可求DE．【详解】解：∵△ABC
中，D、E分别是AB、AC的中点，∴DE为三角形ABC的中位线，∴DE=BC=故答案为：6．【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，
即三角形的中位线平行于第三边并等于第三边的一半．12. 如图，的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交CD和AB于点E、F
，且AB＝7，BC＝4，∠DAB＝60°，那么图中阴影部分的面积为__________．【答案】【解析】【分析】根据四边形是平行四
边形，，，，，证明，即和的面积相等，同理可证：和的面积相等，和的面积相等，即阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半即可求解．【详
解】解：四边形是平行四边形，，，，，在和中，即和的面积相等，同理可证：和的面积相等，和的面积相等，即阴影部分的面积等于平行四边形的
面积的一半，过点作的垂线交于点，，，，，平行四边形的面积为：，阴影部分的面积是，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全
等三角形的性质和判定的应用、勾股定理，解题的关键是求出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半．13. 在Rt△ABC中，∠ACB
＝90°，AC＝4，AB＝5．点P在直线AC上，且BP＝6，则线段AP的长为__________．【答案】或【解析】【分析】根据题
意，作出图形，分类讨论，根据勾股定理求解即可．【详解】解：如图，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5在中，或故答案为：或【点睛】本
题考查了勾股定理，根据题意作出图形，分类讨论是解题的关键．14. 已知，则＝________．【答案】##【解析】【分析】根据非负
性先分别求出，，再将a，b的值代入化简二次根式即可得出答案【详解】解：，，故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值非负性，二次根式的混
合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．15. 实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是__________．【答案】2【解析】【
分析】先根据数轴点的位置关系判断绝对值里面的数与0的关系，再根据二次根式的性质即可求出答案．【详解】解：由数轴上的位置即可得出：，
，故答案为：2．【点睛】本题考查了实数与数轴、二次根式的性质与化简，掌握二次根式性质与化简的应用，根据数轴点的位置关系判断绝对值里
面的数与0的关系是解题关键．16. 图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若直角三角形的一个
锐角为30°，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，设AB＝2，则图中阴影部分面积为________
__．【答案】##【解析】【详解】解：如图，设AC＝x，则BC＝AD＝2+x，∵∠ADC＝30°，∴ADAC，∴2+xx，∴x，∴
AC，将各三角形较短的直角边分别向外延长一倍，∴图中阴影部分面积＝4AC2＝4＝故答案为．【点睛】本题考查旋转角的定义以及直角三角
形的性质，本题关键在于用AB表示出AC的长度三、解答题：（本大题共10小题，第17题8分，第18，19，20，23题，每小题5分，
第21，22，24，25题，每小题6分，第26题8分，共60分）17. 计算：（1）；（2）．【答案】（1） （2）【解析】【分析
】（1）根据二次根式的性质化简，然后进行二次函数加减运算即可；（2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可【小问1详解】解：原式【
小问2详解】解：原式【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．18. 已知：△ABC．求作：平行四
边形ABCD．小聪同学做法如下：①以点C为圆心，AB长为半径作弧；②以点A为圆心，BC长为半径作弧；③两弧在BC上方交于点D，连接
AD，CD．四边形ABCD即为所求平行四边形． （1）请你根据小聪的做法，使用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；（2）作图依据是
：________________________________________．【答案】（1）见解析 （2）两组对边分别相等的
四边形是平行四边形【解析】【分析】（1）根据作图步骤即可作出图形；（2）根据平行四边形的判定解决问题即可．【小问1详解】解：根据步
骤即可得出平行四边形的图形【小问2详解】解：以点C为圆心，AB长为半径作弧；得出AB=CD以点A为圆心，BC长为半径作弧；得出AD
=BC根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得出四边形ABCD即为所求平行四边形作图依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四
边形．【点睛】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．19. 如图，在4
×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点画△ABC，使，，．标出顶点位置，并判断△ABC形状为 三角形．【答案】
直角【解析】【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理逆定理即可得出答案．【详解】解：如图：，，△ABC形状为直角三角形故答案为：直
角．【点睛】本题考查了在网格中判断直角三角形，熟练掌握勾股定理是解题的关键．20. 如图，在□ABCD中，M，N是AD，BC上的两
点且DM＝BN，连接CM，AN．求证：CM＝AN．【答案】证明详见解析．【解析】【分析】求证△CDM和△ABN全等即可得到CM=A
N．【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，∠D=∠B．在△CDM和△ABN中，∴△CDM≌△ABN(SAS)∴
CM=AN．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质，熟练掌握证全等的方法是解题的关键．21. 如图，Rt△AB
C中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB交AB于点E，已知CD＝6，AD＝10．（1）求线段AE的长；（2）求
△ABC的面积．【答案】（1）8 （2）96【解析】【分析】（1）利用AAS证明，即可得出CD=DE，再根据勾股定理即可求出AE的
长；（2）根据全等三角形的性质及勾股定求出，，再根据三角形的面积公式即可得出答案．【小问1详解】解：BD平分∠ABC，∠C＝90°
，DE⊥AB在和中在中，AD＝10【小问2详解】由（1）知设，则在Rt△ABC中，根据即解得：【点睛】本题考查了全等三角形的性质、
勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．22. 如图，在□ABCD中，F是CD的中点，延长AB到点E，使BE＝AB，连结BF，CE
．（1）求证：四边形BECF是平行四边形；（2）若AB＝6，AD＝4，∠A＝60°，求CE的长．【答案】（1）见解析 （2）【解析
】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，且AB＝DC．由F是CD的中点，得到CF＝CD．根据平行四边形的判定定理即可得
到结论；（2）如图，过点C作CH⊥BE于点H．解直角三角形得到BH＝CB，CH，根据勾股定理即可得到结论．【小问1详解】证明：在?
ABCD中，AB∥CD，且AB＝DC．∵F是CD的中点，∴CF＝CD．又∵BE＝AB，∴CF＝BE，且CF∥BE，∴四边形BECF
是平行四边形；【小问2详解】解：如图，过点C作CH⊥BE于点H．在?ABCD中，∵∠A＝60°，∴∠CBE＝60°．∵AB＝6，A
D＝4，，∴CB＝AD＝4，∴BH＝CB＝2，CH＝2．在?BECF中，BE＝CF＝CD＝3，则EH＝1．∴在Rt△CHE中，根据
勾股定理知CE＝．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系
与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．23. 已知，，试求代数式的值．【答案】25【解析】【分析】先将代数式变形为，再将x与
y的值代入计算即可．详解】解：，将，代入可得：原式===28-3×1=25【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和代数式求值，解题的
关键是将原代数式整理成方便代入计算的形式．24. 已知，当分别取，，，…，时，求所对应值的总和．【答案】2042【解析】【分析】从
第5个数开始代数式的值为1，一共有2018个1，再加上9、7、5、3就是对应值的总和．【详解】解：原式=|x-5|-x+6，当x=
1时，原式=9，当x=2时，原式=7，当x=3时，原式=5，当x=4时，原式=3，当x=5时，原式=1当x=6时，原式=1....
...，x=5以后每个代数式都1，∴有2018个1，∴2018+9+7+5+3=2042，∴所求对应y值的总和为：2042．【点睛
】本题主要考查了二次根式的性质与化简、规律型数字的变化类，熟练掌握二次根式的性质与化简及发现数字变化规律是解题关键．25. 小明在
解方程 时采用了下面的方法：，．将这两式相加可得 解得．经检验是原方程的解．请你学习小明的方法，解下列方程：（1）；（2）【答案】
（1） （2）【解析】【分析】（1）先求出=4，即可得出，将这两式相加减即可得出答案，最后检验即可；（2）先求出，即可得出，将这两
式相加减即可得出答案，最后检验即可．【小问1详解】解：将这两式相加减可得解得：经检验是原方程的解．【小问2详解】将这两式相加减可得解得：经检验是原方程的解．【点睛】本题考查了解无理方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解无理方程要检验．26. 如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是线段AC上一点（AD＞CD），连接BD，过点A作BD的垂线，交BD于点E，交BC于点F．（1）依题意补全图形；（2）若∠CAE＝，求∠CBD的大小（用含的式子表示）；（3）若点P在线段AF上，AP＝BD，连接DP，BP， 用等式表示线段AB，BP，DP之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）见解析 （2） （3），证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；（2）根据等腰三角形的性质可得∠BAC＝∠BCA＝45°，三角形的外角性质可得，直角三角形的两个锐角互余即可求解；（3）延长交于点，延长，交于点，证明，可得是等腰直角三角形，根据勾股定理可得，根据可得出结论．【小问1详解】补全图形，如图所示：【小问2详解】∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵∠CAE＝α，∠CBD【小问3详解】如图，延长交于点，延长，交于点，又，， 是等腰直角三角形，即【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 1 / 1 |
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