2011-2020北京10年中考真题数学汇编：四边形一．选择题（共6小题）1．（2020?北京）正五边形的外角和为（ ）A．180°B．3
60°C．540°D．720°2．（2019?北京）正十边形的外角和为（ ）A．180°B．360°C．720°D．1440°3
．（2018?北京）若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的内角和为（ ）A．360°B．540°C．720°D．900°4
．（2017?北京）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（ ）A．6B．12C．16D．185．（2016?北京
）内角和为540°的多边形是（ ）A．B．C．D．6．（2012?北京）正十边形的每个外角等于（ ）A．18°B．36°C．4
5°D．60°二．填空题（共4小题）7．（2019?北京）在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不
与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存
在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是 ．8．（2019?北京）把图1中的菱
形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 ．9．（2015
?北京）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝ ．10．（2013?北京）如
图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 ．三．解答题（共15
小题）11．（2020?北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥
EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．12．（2019?北京）如图，在菱形ABC
D中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE＝DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，
连接BD交AC于点O．若BD＝4，tanG＝，求AO的长．13．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合）
，连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．
（1）求证：GF＝GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．14．（2018?北京）如图，在四边形ABCD中，AB∥
DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．（1）求证：四边形
ABCD是菱形；（2）若AB＝，BD＝2，求OE的长．15．（2017?北京）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方
形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理
复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）请根据该图完成这个
推论的证明过程．证明：S矩形NFGD＝S△ADC﹣（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF＝S△ABC﹣（ + ）．易知
，S△ADC＝S△ABC， ＝ ， ＝ ．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF．16．（2017?北京）如图，在四边
形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为
菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．17．（2016?北京）如图，四边形ABCD是平行四边形，AE平分
∠BAD，交DC的延长线于点E．求证：DA＝DE．18．（2015?北京）在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（
与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．（1）若点P在
线段CD上，如图1．①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ
＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）19．（2015?北京）在?ABCD中，过点D作
DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF
＝5，求证：AF平分∠DAB．20．（2014?北京）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE
，其中DE交直线AP于点F．（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；（3）如图2，若45°＜∠PAB＜9
0°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．21．（2014?北京）如图，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC
于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝4，A
D＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．22．（2013?北京）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a
＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE＝BF＝CG＝DH＝1，当∠AFQ＝∠BGM＝∠CHN＝∠DEP＝45°时，求正方形MNP
Q的面积．小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△T
NH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这
个新正方形的边长为 ；（2）求正方形MNPQ的面积．（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC各边上分别截
取AD＝BE＝CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ＝，则AD的长为 ．23．（2
013?北京）如图，在?ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行
四边形；（2）若AB＝4，AD＝6，∠B＝60°，求DE的长．24．（2011?北京）在?ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于
点E，交直线DC于点F．（1）在图1中证明CE＝CF；（2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数；
（3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG的度数．25．（2011?北京）如图，
在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长．2011-2
020北京10年中考真题数学汇编：四边形参考答案一．选择题（共6小题）1．【分析】根据多边形的外角和等于360°，即可求解．【解答
】解：任意多边形的外角和都是360°，故正五边形的外角和的度数为360°．故选：B．【点评】本题主要考查多边形的外角和定理，解答本
题的关键是掌握任意多边形的外角和都是360°．2．【分析】根据多边的外角和定理进行选择．【解答】解：因为任意多边形的外角和都等于3
60°，所以正十边形的外角和等于360°．故选：B．【点评】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．3
．【分析】根据多边形的边数与多边形的外角的个数相等，可求出该正多边形的边数，再由多边形的内角和公式求出其内角和；根据一个外角得60
°，可知对应内角为120°，很明显内角和是外角和的2倍即720．【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，该正多边形的
内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和与内角和公式是解答
本题的关键．4．【分析】根据多边形的内角和，可得答案．【解答】解：设多边形为n边形，由题意，得（n﹣2）?180°＝150°?n，
解得n＝12，故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用内角和公式是解题关键．5．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2
）?180°列式进行计算即可求解．【解答】解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）?180°＝540°，解得n＝5．故选：C．【点评】
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．6．【分析】根据正多边形的每一个外角等于多边形的外角和除以边数，计算即可得
解．【解答】解：360°÷10＝36°，所以，正十边形的每个外角等于36°．故选：B．【点评】本题考查了正多边形的外角和、边数、外
角度数之间的关系，熟记正多边形三者之间的关系是解题的关键．二．填空题（共4小题）7．【分析】根据矩形的判定和性质，菱形的判定，正方
形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论．【解答】解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，过点O直线MP和QN
，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，则四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；②如
图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNP
Q是菱形；故正确；④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，则△AMQ≌△DQP，∴AM＝QD，AQ＝PD，∵PD＝BM，∴AB＝
AD，∴四边形ABCD是正方形，当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故错误；故答案为：①②③．【点评】本题考查了矩
形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．8．【分析】设OA＝x，OB＝y，根据图2
和图3可知：分成的直角三角形两直角边的和为5，差为1，列方程组，解出x和y的值，根据菱形的面积公式：两对角线积的一半可得结论．【解
答】解：如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，设OA＝x，OB＝y，由题意得：，解得：，∴AC
＝2OA＝6，BD＝2OB＝4，∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×6×4＝12；故答案为：12．【点评】本题考查了菱形的性质、正
方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题意列出方程组是解题的关键．9．【分析】首先根据图示，可得∠1＝1
80°﹣∠BAE，∠2＝180°﹣∠ABC，∠3＝180°﹣∠BCD，∠4＝180°﹣∠CDE，∠5＝180°﹣∠DEA，然后根据
三角形的内角和定理，求出五边形ABCDE的内角和是多少，再用180°×5减去五边形ABCDE的内角和，求出∠1+∠2+∠3+∠4+
∠5等于多少即可．【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）
+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠DEA）＝180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA）＝900°﹣（
5﹣2）×180°＝900°﹣540°＝360°．故答案为：360°．【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题
的关键是要明确：（1）n边形的内角和＝（n﹣2）?180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n
边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．10．【分析】根据题意可知OM是△ADC的中位线，所以OM的长可求；根据勾股
定理可求出AC的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO的长，进而求出四边形ABOM的周长．【解答】解：∵O是矩形A
BCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴OM＝CD＝AB＝2.5，∵AB＝5，AD＝12，∴AC＝＝13，∵O是矩形ABCD的
对角线AC的中点，∴BO＝AC＝6.5，∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，故答案为：2
0．【点评】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大
．三．解答题（共15小题）11．【分析】（1）根据菱形的性质得出OB＝OD，再由点E是AD的中点，所以，AE＝DE，进而判断出OE
是三角形ABD的中位线，得到AE＝OE＝AD，推出OE∥FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2
）根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AE＝AD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，求得FG＝OE＝5，
根据勾股定理得到AF＝＝3，于是得到结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，∵E是AD的中点，∴OE是△AB
D的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形
；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝AD＝5；由（
1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．【
点评】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12．【分析】（1）由菱形的
性质得出AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，得出AB：BE＝AD：DF，证出EF∥BD即可得出结论；（2）由平行线的性
质得出∠G＝∠CDO，由三角函数得出tanG＝tan∠CDO＝＝，得出OC＝OD，由BD＝4，得出OD＝2，得出OC＝1，即可得出
结果．【解答】（1）证明：连接BD，交AC于O，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝O
C，∵BE＝DF，∴AB：BE＝AD：DF，∴EF∥BD，∴AC⊥EF；（2）解：如图2所示：∵由（1）得：EF∥BD，∴∠G＝∠
CDO，∴tanG＝tan∠CDO＝＝，∴OC＝OD，∵BD＝4，∴OD＝2，∴OC＝1，∴OA＝OC＝1．【点评】本题考查了菱形
的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．13．【分析】（1）如图1，连接DF，根据对称得：
△ADE≌△FDE，再由HL证明Rt△DFG≌Rt△DCG，可得结论；（2）证法一：如图2，作辅助线，构建AM＝AE，先证明∠ED
G＝45°，得DE＝EH，证明△DME≌△EBH，则EM＝BH，根据等腰直角△AEM得：EM＝AE，得结论；证法二：如图3，作辅助
线，构建全等三角形，证明△DAE≌△ENH，得AE＝HN，AD＝EN，再说明△BNH是等腰直角三角形，可得结论．【解答】证明：（1
）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FD
E，∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，∴∠DFG＝90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵，∴Rt△DFG≌Rt△DC
G（HL），∴GF＝GC；（2）BH＝AE，理由是：证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，∵AD＝AB，∴DM＝BE
，由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠ADC＝90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，∴2∠2+2∠3＝90°，∴∠2+∠3
＝45°，即∠EDG＝45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝9
0°，DE＝EH，∴∠1＝∠BEH，在△DME和△EBH中，∵，∴△DME≌△EBH（SAS），∴EM＝BH，Rt△AEM中，∠A
＝90°，AM＝AE，∴EM＝AE，∴BH＝AE；证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH＝90°，由方法一可知：DE＝
EH，∠1＝∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENH（AAS），∴AE＝HN，AD＝EN，∵AD＝AB，∴AB＝
EN＝AE+BE＝BE+BN，∴AE＝BN＝HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH＝HN＝AE．【点评】本题考查了正方形的性质，
全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证
明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．14．【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DAC＝∠DCA，得出CD
＝AD＝AB，即可得出结论；（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．【解答】解：（1）
∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵A
B∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴?ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝2，∴OB＝BD＝1，在Rt△AOB中，AB＝，OB＝1，∴OA＝＝2，∴OE＝OA＝2
．【点评】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD＝AD＝AB是解本题的关键．
15．【分析】根据矩形的性质：矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分，由此即可证明结论．【解答】证明：S矩形NFGD＝S△ADC﹣
（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF＝S△ABC﹣（ S△AEF+S△FCM）．易知，S△ADC＝S△ABC，S△ANF＝S
△AEF，S△FGC＝S△FMC，可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF．故答案分别为 S△AEF，S△FCM，S△ANF，S△AEF
，S△FGC，S△FMC．【点评】本题考查矩形的性质，解题的关键是灵活运用矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分这个性质，属于中考
常考题型．16．【分析】（1）由DE＝BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE＝DE即可解决问题；（2）在Rt
△ACD中只要证明∠ADC＝60°，AD＝2即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，∴DE＝BC，∵AD
∥BC，∴四边形BCDE是平行四边形，∵∠ABD＝90°，AE＝DE，∴BE＝DE，∴四边形BCDE是菱形．（2）解：连接AC．∵
AD∥BC，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，∴AB＝BC＝1，∵AD＝2BC＝2，∴sin∠ADB＝，∴∠ADB
＝30°，∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，在Rt△ACD中，∵AD＝2，∴CD＝1，AC＝．【点评】本题考查菱形的判定和性质
、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．17．【分析】由平行四边形的
性质得出AB∥CD，得出内错角相等∠E＝∠BAE，再由角平分线证出∠E＝∠DAE，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平
行四边形，∴AB∥CD，∴∠E＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠E＝∠DAE，∴DA＝DE．【点评】本题考
查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出∠E＝∠DAE是解决问题的关键．18．【分析】
（1）①根据题意画出图形即可；②连接CH，先根据正方形的性质得出△DHQ是等腰直角三角形，再由SAS定理得出△HDP≌△HQC，故
PH＝CH，∠HPC＝∠HCP，由正方形的性质即可得出结论；（2）根据四边形ABCD是正方形，QH⊥BD可知△DHQ是等腰直角三角
形，再由平移的性质得出PD＝CQ．作HR⊥PC于点R，由∠AHQ＝152°，可得出∠AHB及∠DAH的度数，设DP＝x，则DR＝H
R＝RQ，由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：（1）①如图1；②解法一：如图1，连接CH，∵四边形ABCD是正方形，QH
⊥BD，∴∠HDQ＝45°，∴△DHQ是等腰直角三角形．∵DP＝CQ，在△HDP与△HQC中．∵，∴△HDP≌△HQC（SAS），
∴PH＝CH，∠HPC＝∠HCP．∵BD是正方形ABCD的对称轴，∴AH＝CH，∠DAH＝∠HCP，∵∠HPC+∠DPH＝180°
，∴∠DAH+∠DPH＝180°，∴∠ADP+∠AHP＝180°，∴∠AHP＝180°﹣∠ADP＝90°，∴AH＝PH，AH⊥PH
．解法二：如图1，连接CH，∵QH⊥BD，∴∠QHB＝∠BCQ＝90°，∴B、H、C、Q四点共圆，∴∠DHC＝∠BQC，由正方形的
性质可知∠DHC＝∠AHD，由平移性质可知∠BQC＝∠APD，∴∠AHD＝∠APD，∴A、H、P、D四点共圆，∴∠PAH＝∠PDH
＝45°，∠AHP＝∠ADP＝90°，∴△HAP是等腰直角三角形，∴AH＝PH，AH⊥PH．（2）解法一：如图2，∵四边形ABCD
是正方形，QH⊥BD，∴∠HDQ＝45°，∴△DHQ是等腰直角三角形．∵△BCQ由△ADP平移而成，∴PD＝CQ．作HR⊥PC于点
R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°．设DP＝x，则DR＝HR＝RQ＝．∵tan17°＝，即tan17
°＝，∴x＝．解法二：由（1）②可知∠AHP＝90°，∴∠AHP＝∠ADP＝90°，∴A、H、D、P四点共圆，又∠AHQ＝152°
，∠BHQ＝90°，∴∠AHB＝152°﹣90°＝62°，由圆的性质可知∠APD＝∠AHB＝62°，在Rt△APD中，∠PAD＝9
0°﹣62°＝28°，∴PD＝AD?tan28°＝tan28°．【点评】本题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、图形平移的性
质、全等三角形的判定与性质等知识，难度适中．19．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，
可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA＝∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，
可得∠DAF＝∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF
，BE＝DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是
平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA＝∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC＝＝＝5，∴AD＝BC＝DF＝5，∴∠DAF＝
∠DFA，∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB．【点评】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三
角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF＝∠DFA是解题关键．20．【分析】（1）根据题意直接画出图形得出即可；（
2）利用对称的性质以及等角对等边进而得出答案；（3）由轴对称的性质可得：EF＝BF，AE＝AB＝AD，∠ABF＝∠AEF＝∠ADF
，进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：（1）如图1所示：（2）如图2，连接AE，则∠PAB＝∠PAE＝20°，AE＝AB＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAP＝∠BAP＝20°，∴∠EAD＝130°，∴∠ADF＝＝25°；（3）如图
3，连接AE、BF、BD，由轴对称的性质可得：EF＝BF，AE＝AB＝AD，∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，∴∠BFD＝∠BAD＝9
0°，∴BF2+FD2＝BD2，∴EF2+FD2＝2AB2．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识
，利用轴对称的性质得出对应边相等是解题关键．21．【分析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB＝BE，AB＝AF，AF＝B
E，从而证明四边形ABEF是菱形；（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，得到AB＝AF＝4
，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，从而得到PH＝，AH＝1，根据线段的和差关系可得DH＝5，然后利用锐角三角函数的定义求解
即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAE＝∠AEB．∵AE是角平分线，∴∠DAE＝∠BAE
．∴∠BAE＝∠AEB．∴AB＝BE．同理AB＝AF．∴AF＝BE．∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB＝BE，∴四边形ABEF是
菱形．（2）解：作PH⊥AD于H，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°
，AP⊥BF，∴AP＝AB＝2，∴PH＝，AH＝1，∴DH＝5，∴tan∠ADP＝＝．【点评】本题考查了菱形的判定及平行四边形的性
质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大．22．【分析】（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形面积为a2，边
长为a；（2）如题图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；（3）参照小
明的解题思路，对问题做同样的等积变换．如答图1所示，三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积
，故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出AD的长度．【解答】解：（1）四个等腰直角三角形的斜边
长为a，则斜边上的高为a，每个等腰直角三角形的面积为：a?a＝a2，则拼成的新正方形面积为：4×a2＝a2，即与原正方形ABCD面
积相等，∴这个新正方形的边长为a；（2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，∴S正方形MNPQ＝S△A
RE+S△DWH+S△GCT+S△SBF＝4S△ARE＝4××12＝2；（3）如答图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC
，DB的延长线于点S，T，W．由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．
不妨设等边三角形边长为a，则SF＝AC＝a．如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF＝SF＝a，在Rt△RMF中，RM＝MF
?tan30°＝a×＝a，∴S△RSF＝a?a＝a2．过点A作AN⊥SD于点N，设AD＝AS＝x，则AN＝AD?sin30°＝x，
SD＝2ND＝2ADcos30°＝x，∴S△ADS＝SD?AN＝?x?x＝x2．∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积
和＝3S△RSF＝3×a2＝a2，∴S△RPQ＝S△ADS+S△CFT+S△BEW＝3S△ADS，∴＝3×x2，得x2＝，解得x＝
或x＝（不合题意，舍去）∴x＝，即AD的长为．故答案为：a；．【点评】本题考查了几何图形的等积变换，涉及正方形、等腰直角三角形、等
腰三角形、正三角形、解直角三角形等多个知识点，是一道好题．通过本题我们可以体会到，运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且
形象直观，易于理解，体现了数学的魅力．23．【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD＝BC；然后
根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF＝CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形；（2）如
图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段
ED的长度．【解答】证明：（1）在?ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC．∵F是AD的中点，∴DF＝．又∵CE＝BC，∴DF＝CE
，∵DF∥CE，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）解：如图，过点D作DH⊥BE于点H．在?ABCD中，∵∠B＝60°，AB∥DC
，∴∠B＝∠DCE，∴∠DCE＝60°．∵AB＝4，∴CD＝AB＝4，∴CH＝CD＝2，DH＝2．在?CEDF中，CE＝DF＝AD
＝3，则EH＝1．∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE＝＝．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理．平行四边形的判定
方法共有4种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．24．【分析】（1）根据AF平分∠BAD，
可得∠BAF＝∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF＝∠F即可．（2）根据∠ABC＝90°，G是EF的中点可直接求
得．（3）分别连接GB、GC，求证四边形AHFD是菱形，证明△BEG≌△DCG可得结论．【解答】（1）证明：如图1，∵AF平分∠B
AD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠F，∴∠CE
F＝∠F．∴CE＝CF．（2）解：连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平
分∠BAD，∴∠DAF＝∠BAF＝45°，∵∠DCB＝90°，DF∥AB，∴∠DFA＝45°，∠ECF＝90°∴△ECF为等腰直角
三角形，∵G为EF中点，∴EG＝CG＝FG，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，AB＝DC，∴BE＝DC，∵∠CEF＝∠GCF
＝45°，∴∠BEG＝∠DCG＝135°在△BEG与△DCG中，∵，∴△BEG≌△DCG，∴BG＝DG，∵CG⊥EF，∴∠DGC+
∠DGA＝90°，又∵∠DGC＝∠BGA，∴∠BGA+∠DGA＝90°，∴△DGB为等腰直角三角形，∴∠BDG＝45°．（3）解：延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形∵∠ABC＝120°，AF平分∠BAD∴∠DAF＝30°，∠ADC＝120°，∠DFA＝30°∴△DAF为等腰三角形∴AD＝DF，∴CE＝CF，∴平行四边形AHFD为菱形∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形∴DH＝DF，∠BHD＝∠GFD＝60°∵FG＝CE，CE＝CF，CF＝BH，∴BH＝GF在△BHD与△GFD中，∵，∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH＝∠GDF∴∠BDG＝∠BDH+∠HDG＝∠GDF+∠HDG＝60°【点评】此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．同学们在解决此类问题时，可以通过以下的步骤进行思考和分析：（1）通过测量或特殊情况的提示进行猜想；（2）根据猜想的结果进行联想（如60度角可以联想到等边三角形，45度角可以联想到等腰直角三角形等）；（3）在联想的基础上根据已知条件利用几何变换（如旋转、平移、轴对称等）构造全等解决问题．25．【分析】先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE＝AC＝2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．【解答】解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，∴AC∥DE．又∵CE∥AD，∴四边形ACED是平行四边形．∴DE＝AC＝2．在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝＝2．∵D是BC的中点，∴BC＝2CD＝4．在△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得AB＝＝2．∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴EB＝EC＝4．∴四边形ACEB的周长＝AC+CE+EB+BA＝10+2．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求AB和EB的长的方法和途径． 1 / 1 |
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