2012-2021北京初三（上）期中数学汇编二次函数2一、单选题1．（2021·北京·和平街第一中学九年级期中）一个二次函数的图象的顶点坐标
是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（ ）A．y=﹣2（x+2）2+4B．y=﹣2（x﹣2）2+4C．
y=2（x+2）2﹣4D．y=2（x﹣2）2﹣42．（2021·北京市第五十六中学九年级期中）已知一次函数和二次函数部分自变量和对
应的函数值如表：x…-10245…y1…01356…y2…0-1059…当y2＞y1时，自变量x的取值范围是A．-1＜x＜2B．4
＜x＜5C．x＜-1或x＞5D．x＜-1或x＞43．（2021·北京十五中九年级期中）抛物线的对称轴是A．B．C．D．4．（201
9·北京市第十二中学九年级期中）若将抛物线y=- x2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是
(??? )A．B．C．D．5．（2020·北京中学明德分校九年级期中）已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列5个
结论，其中正确的结论有（ ）①abc＜0②3a+c＞0③4a+2b+c＜0④2a+b=0⑤b2＞4acA．2B．3C．4D．56
．（2019·北京八中九年级期中）将二次函数y＝x2﹣4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）A．y＝（x﹣4）2+1B
．y＝（x﹣4）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2﹣37．（2021·北京市月坛中学九年级期中）二次函数y＝ax2
+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b
＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＞08．（2021·北京市第一五六中学九年级期中）如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一
点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP= x，则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是（）A．B．C
．D．9．（2019·北京市第七中学九年级期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（ ）A
．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0D．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根10．（2013·北京四中九年级期中）
小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞
0；④a﹣2b+4c＞0；⑤．你认为其中正确信息的个数有A．2个B．3个C．4个D．5个11．（2020·北京·北师大实验中学九年
级期中）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列关系式中正确的是（ ）A．ac＞0B．b+2a＜0C．b2﹣4
ac＞0D．a﹣b+c＜012．（2019·北京四中九年级期中）对于抛物线，下列说法正确的是（ ）A．开口向下，顶点坐标B．开口向
上，顶点坐标C．开口向下，顶点坐标D．开口向上，顶点坐标13．（2021·北京市第三十九中学九年级期中）抛物线的顶点坐标为(???
)A．B．C．D．14．（2019·北京市第三十九中学九年级期中）如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取
值范围是（ ）A．m≤4B．m＜4C．m≥﹣4D．m＞﹣415．（2021·北京·宣武外国语实验学校九年级期中）已知二次函数y＝
kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）A．k＞﹣1B．k＞﹣1且k≠0C．k≥﹣1D．k≥﹣1且k
≠0二、填空题16．（2021·北京市第四十三中学九年级期中）如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(
米)的函数表达式为y＝－x2＋x＋，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为________米．17．（2021·北京市文汇中学九年
级期中）中国“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2017年年人均收入300美元，预计2019年年人均
收入将达到y美元．设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，那么y与x的函数关系式是_____．18．（2019
·北京拔萃双语学校九年级期中）已知抛物线的对称轴是x＝n，若该抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则n的值为_____．1
9．（2021·北京市第十三中学分校九年级期中）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式
是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行_m才能停下来．20．（2020·北京市西城外国语学校九年级期中）如图，抛物线与直线
相交于点，，则关于的方程的解为_______________ .21．（2021·北京八十中九年级期中）请写出一个开口向下，且经过
点的二次函数解析式_____.三、解答题22．（2019·北京铁路二中九年级期中）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）把函数配成
y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）求函数与x轴交点坐标；（3）用五点法画函数图象x……y……（4）当y＞0时，则x的取值范围为_
____．（5）当﹣3＜x＜0时，则y的取值范围为_____．23．（2019·北京市第三中学九年级期中）可以用如下方法估计方程的
解：当x=2时，=-2<0，当x=-5时，=5>0，所以方程有一个根在-5和2之间．（1）参考上面的方法，找到方程的另一个根在哪两
个连续整数之间；（2）若方程有一个根在0和1之间，求c的取值范围．24．（2019·北京·宣武外国语实验学校九年级期中）如图是抛物
线型拱桥，当拱顶离水面8m时，水面宽AB为12m．当水面上升6m时达到警戒水位，此时拱桥内的水面宽度是多少m？下面给出了解决这个问
题的两种方法，请补充完整：方法一：如图1，以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，此时点B的坐标为（ ， ），
抛物线的顶点坐标为（ ， ），可求这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 ．当y＝6时，求出此时自变量x的取值，即可解决这个问题．方
法二：如图2，以抛物线顶点为原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系xOy，这时这条抛物线所表示的二次函数的解析式为 ．当y＝ 时，
求出此时自变量x的取值为 ，即可解决这个问题．25．（2021·北京教育学院附属中学九年级期中）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于
地面的水管OA喷出，OA长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到
O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系（1）求y与x之间的函数关系式；（
2）求水流喷出的最大高度．26．（2019·北京四中九年级期中）在平面直角坐标系中，点，将点A向右平移6个单位长度，得到点B.(1
)直接写出点B的坐标；(2)若抛物线y=-x2+bx+c经过点A,B，求抛物线的表达式；(3)若抛物线y=-x2+bx+c的顶点在
直线y=x+2上移动，当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标的取值范围．27．（2019·北京市第十二中学九年
级期中）在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为，线段AB的两个端点分别为A（1，2），B（3，2）（1）若抛物线经过原点，求出的值；
（2）求抛物线顶点C的坐标（用含有m的代数式表示）；（3）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求出m的取值范围.28．
（2019·北京师大附中九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝﹣x2+2x．（1）补全表格：抛物线顶点坐标与x轴交
点坐标与y轴交点坐标y＝﹣x2+2x（1，1） （0，0）（2）将抛物线C1向上平移3个单位得到抛物线C2，请画出抛物线C1，C
2，并直接回答：抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的多少倍．29．（2021·北京一七一中九年级
期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+b的顶点在x轴上，P（x1，m），Q（x2，m）（x1＜x2）是此抛物
线上的两点．（1）若a＝1．①当m＝b时，求x1，x2的值；②将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一
变化过程；（2）若存在实数c，使得x1≤c﹣1，且x2≥c+7成立，则m的取值范围是_______．30．（2019·北京·宣武外
国语实验学校九年级期中）已知抛物线G：y＝x2﹣2ax+a﹣1（a为常数）．（1）当a＝3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；（2）
若记抛物线G的顶点坐标为P（p，q）．①分别用含a的代数式表示p，q；②请在①的基础上继续用含p的代数式表示q；③由①②可得，顶点
P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在 的图象上．A．一次函数?????????????????B．反比例函数??????
???????C．二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：y＝x2﹣2ax+N（
a为常数），其中N为含a的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路
，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式： （用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝kx+b（k，b为
常数，k≠0）中，k＝ ，b＝ ．参考答案1．B【分析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a(x-2)2+4，然后把(0，-4)代
入求出a的值即可得到抛物线解析式．【详解】解：设抛物线解析式为y=a(x-2)2+4，把(0，-4)代入得a?(-2)2+4=-4
，解得a=-2，所以抛物线解析式为y=-2(x-2)2+4.故选B．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数
法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式
，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可
选择设其解析式为交点式来求解．2．D【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y
2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．【详解】∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；∴直线与抛物线的
交点为（-1，0）和（4，5），而-1＜x＜4时，y1＞y2，∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．故选D．【点
睛】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角
坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．3．C【分析】根据题目中抛物
线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，本题得以解决．【详解】抛物线y=（x+2）2-1的对称轴是直线x=-2，故选C．【点睛】本题考
查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．A【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即
可得出所求函数的解析式.【详解】∵ 将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，∴y=-（x+3）2-2.故答案为A.【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移，其规律是是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k?（a，b，c为常数，a≠0），确定其
顶点坐标(h，k)，在原有函数的基础上“h值正右移，负左移； k值正上移，负下移”．5．B【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出
答案．【详解】①由抛物线的对称轴可知：0，∴ab＜0．∵抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵1，∴b=﹣2
a，∴由图可知x=﹣1，y＜0，∴y=a﹣b+c=a+2a+c=3a+c＜0，故②错误；③由（﹣1，0）关于直线x=1对称点为（3
，0），（0，0）关于直线x=1对称点为（2，0），∴x=2，y＞0，∴y=4a+2b+c＞0，故③错误；④由②可知：2a+b=0
，故④正确；⑤由图象可知：△＞0，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故⑤正确．故选B．【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题的关
键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．6．C【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把
一般式转化为顶点式．【详解】y＝x2﹣4x+1＝（x2﹣4x+4）+1﹣4＝（x﹣2）2﹣3．所以把二次函数y＝x2﹣4x+1化成
y＝a（x﹣h）2+k的形式为：y＝（x﹣2）2﹣3．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的三种形式．二次函数的解析式有三种形式：（
1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a
（x﹣x1）（x﹣x2）．7．B【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可
确定c的符号．【详解】∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴x＝﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴
上方，∴c＞0，故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛
物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a
与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线
与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线
与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．8．D【详解】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函
数值．利用AB与⊙O相切，△BAP是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用x表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的
图象： ∵AB与⊙O相切，∴∠BAP=90°，∵OP=x，AP=2－x，∠BPA=60°，∴AB=，∴△APB的面积，（0≤x≤2
）．∴△PAB的面积y关于x的函数图像是经过（2，0）的抛物线在0≤x≤2的部分．故选D．9．D【详解】由开口方向可知a，故A选项
错误；观察图像可知当x＞1时y随x的增大而减小，故B选项错误；观察图像可知，故C选项错误；抛物线与x轴的另一个交点是（3,0）故3
是方程ax2＋bx＋c=0的一个根．故选：D10．D【详解】试题分析：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜0．∵对称轴x，∴＜0．
∴ab＞0．故①正确．②如图，当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0．故②正确．③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，∴2a﹣2
b+2c＞0，即3b﹣2b+2c＞0．∴b+2c＞0．故③正确．④如图，当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，∵抛物线与y轴交于
正半轴，∴c＞0．∵b＜0，∴c﹣b＞0．∴（a﹣b+c）+（c﹣b）+2c＞0，即a﹣2b+4c＞0．故④正确．⑤如图，对称轴，
则．故⑤正确．综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D．11．C【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴
的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：A、由函数图象可知二次函
数y=ax2+bx+c的开口向上，即a＞0，交于y轴的负半轴c＜0，ac＜0，故本选项错误；B、由函数图象可知对称轴x=﹣＜1，所
以﹣b＜2a，即2a+b＞0，故本选项错误；C、由函数图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0．故
本选项正确；D、由函数图象可知当x=﹣1时，y＞0，a﹣b+c＞0，故本选项错误．故选C．12．A【详解】∵抛物线∴a＜0，∴开口
向下，∴顶点坐标（5，3）．故选A．13．A【分析】根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标．【详解】因为y=（x-1）2+3是抛物线的
顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，3）．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的性质：顶点式y=a（x-h）2+k，顶
点坐标是（h，k），对称轴是x=h，此题考查了学生的应用能力．14．C【分析】根据已知得出方程x2+4x﹣m＝0有两个的实数解，即
△≥0，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，∴方程x2+4x﹣m＝0有两个实数解，即△
＝42﹣4×1×（﹣m）≥0，解得：m≥﹣4，故选C．【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出
关于m''的不等式是解此题的关键．15．B【分析】由抛物线与x轴有两个不同的交点可得出一元二次方程kx2-6x-9=0有两个不相等的
解，由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【详解】令y=0，则kx2-6x-9=
0．∵二次函数y=kx2-6x-9的图象与x轴有两个不同的交点，∴一元二次方程kx2-6x-9=0有两个不相等的解，∴，解得：k＞
-1且k≠0．故选B．【点睛】本题拷出来抛物线与x轴的交点，牢记“△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键．1
6．2【分析】直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离.【详解】解:∵函数解析式为: y＝－x2＋x＋，∴y最值==
=2.故答案为:2.【点睛】此题主要考查了二次函数的应用,属于简单题,正确记忆最值公式是解题关键.17．y＝300（x+1）2【分
析】关于增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增长率为x，
那么根据题意可用x表示2019年年人均收入，然后根据已知可以得出关系式．【详解】设2017年到2019年该地区居民年人均收入平均增
长率为x，那么根据题意得：2019年年人均收入为：300（x+1）2，∴y与x的函数关系式为：y=300（x+1）2．故答案为y=
300（x+1）2．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，对于平均增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间
的有关数量，b为终止时间的有关数量．18．2【分析】利用抛物线与x轴的交点确定对称轴，从而得到抛物线的对称轴方程．【详解】∵抛物线
与x轴交于（1，0），（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=2．即n的值为2．故答案为2．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点
：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也
考查了二次函数的性质．19．600．【详解】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值．∵﹣1.5＜0，∴函
数有最大值．∴，即飞机着陆后滑行600米才能停止．20．x1＝﹣3，x2＝1【分析】关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为抛物线
y=ax2+bx与直线y=mx+n交点的横坐标，由此即可得到答案．【详解】∵抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A（﹣
3，﹣6），B （1，﹣2），∴关于x的方程ax2+bx=mx+n的解为x1=﹣3，x2=1．故答案为x1=﹣3，x2=1．【点睛
】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元
二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．21．（答案不唯一）【分析】根据二次函数开口向下，所写出的二次函数a＜0即可．
【详解】二次函数y=-x2+2开口向下，且经过（0,2）．故答案为y=-x2+2（答案不唯一）．【点睛】本题考查的知识点是二次函数
的性质，解题关键是利用二次函数图象开口方向和二次函数图象上点的坐标特征．22．（1）y＝（x+1）2﹣4．(2) （﹣3，0）和（
1，0）(3) (4) x＜﹣3或x＞1．(5) ﹣4≤y＜0．【分析】(1)直接化简函数解析式即可得到所求（2）令y=0就出x的
值即可得到结果（3）先作表格，找出对应点的坐标，再根据坐标画出描点连线画出函数图像（4）根据已知条件，结合函数图像即可解答（5）在
给定的范围内取值，带入函数中求解即可得到答案.【详解】解：（1）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4．（2）当y＝0时，有x2+2
x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴函数y＝x2+2x﹣3的图象与x轴交点坐标为（﹣3，0）和（1，0）．（3）当x＝﹣3时
，y＝0；当x＝﹣2时，y＝﹣3；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣3；当x＝1时，y＝0．用五点法画函数图象．（4）结合
函数图象可知：当x＜﹣3 或 x＞1时，y＞0．故答案为x＜﹣3或x＞1．（5）当x＝﹣1时，y取最小值﹣4；当x＝﹣3时，y＝0
；当x＝0时，y＝﹣3．∴当﹣3＜x＜0时，y的取值范围为﹣4≤y＜0．【点睛】此题重点考察学生对二次函数的实际应用能力，熟练函数
解析式的图象和性质是解题的关键.23．（1）方程另一个根在2和3之间；（2）-3 x2+2x-10的值即可得出答案；（2）根据方程x2+2x+c=0有一个根在0和1之间知或，解之可得．【详解】（1）∵当x=2时，
= -2 <0，当x=3时，= 5 >0， ∴方程另一个根在2和3之间． （2）∵方程有一个根在0和1之间，∴或?解得．【点睛】本
题主要考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是理解题意，并熟练掌握近似解的估算办法．24．12，0，6，8，y＝﹣x2+x，y＝
﹣x2；﹣2，±3．【分析】方法一根据抛物线性质可得出B、O坐标，然后设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）2＋8再将B点坐标代入即
可得到a的值.方法二，设二次函数的解析式为y＝ax2将B点代入即可得到a的值，当y＝﹣2时，代入解析式即可求出答案.【详解】解：方
法一：B（12，0），O（6，8），设二次函数的解析式为y＝a（x﹣6）2＋8，把B点的坐标代入得，a＝﹣，∴二次函数的解析式为y
＝﹣x2＋x；方法二：设二次函数的解析式为y＝ax2，把B（6，﹣8）代入得，a＝﹣，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2；y＝﹣2时，
求出此时自变量x的取值为±3，故答案为12，0，6，8，y＝﹣x2＋x，y＝﹣x2；﹣2，±3．【点睛】本题主要考查的是抛物线的顶
点式和一般式的性质，熟练掌握性质是本题的解题关键.25．（1）（2）水流喷出的最大高度为2米【分析】（1）建立平面直角坐标系,待定
系数法解题,（2）求出顶点坐标即可.【详解】解：（1）由题意可得，抛物线经过（0，1.5）和（3，0），解得：a=-0.5,c=1
.5,即函数表达式为y=.（2）解：∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2.答：水流喷出的最大高度为2米．【点睛】本题考查了二次函
数的解析式的求法,顶点坐标的应用,中等难度,建立平面直角坐标系是解题关键.26．(1)；(2)抛物线表达式为；(3)或． 【分析】
（1）根据点的平移规律可得点B坐标；（2）根据A、B两点坐标，利用待定系数法可求得解析式；（3）由顶点在直线l上可设顶点坐标为（t
，t+2），继而可得抛物线解析式为y＝﹣（x﹣t）2+t+2，根据抛物线与线段AB有一个公共点，考虑抛物线过点A或点B临界情况可得
t的范围．【详解】(1)根据平移的性质，可得：；(2) ∵抛物线过点，∴，解得：，∴抛物线表达式为；(3)∵抛物线顶点在直线上 ，
∴抛物线顶点坐标为 ，∴抛物线表达式可化为．把代入表达式可得：解得：．∴．把代入表达式可得．解得：∴．综上可知：的取值范围时或．【
点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象与性质，待定系数求解析式是解题的根本，将抛物线与线段AB有一个公共点转化
为方程问题是解题的关键．27．（1）（2）顶点C的坐标为；（3）m的取值范围为，【分析】（1）（0,0）代入即可解题,（2）将二次
函数化为顶点式即可解题,（3）分类讨论确定m的取值范围,见详解.【详解】解：（1）∵抛物线经过原点,?（2） 所以，顶点C的坐标为
（3）由顶点C的坐标可知，抛物线的顶点C在直线y=2x上移动．当抛物线过点A时，m=2或1；当抛物线过点B时，m=2或5．所以m=
2时，抛物线与线段AB有两个公共点，不符合题意．结合函数的图象可知，m的取值范围为且【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质,中等难
度,熟悉二次函数的性质是解题关键.28．（1）（0，0）和（2，0）；（2）抛物线C2与x轴的两交点之间的距离是抛物线C1与x轴的
两交点之间距离的2倍【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用描点法即可解决问题；【详解】解：（1）y＝﹣x2+2x与x
轴的交点为（0，0）和（2，0）故答案为（0，0）和（2，0）；（2）抛物线C1，C2如图所示，抛物线C2与x轴的两交点之间的距离
是抛物线C1与x轴的两交点之间距离的2倍【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质、平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基
本知识，属于中考常考题型．29．（1）①x1＝0，x2＝2；②将原抛物线向下平移4个单位；（2）m≥16．【分析】由抛物线顶点在x
轴上，即可得出b＝a2．（1）当a＝1时，b＝1，由此可得出抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1．①由m＝b＝1，可得出关于x的一元
二次方程，解之即可得出x1、x2的值；②设平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2+k，由平移后的抛物线与x轴的两个交点的距离为4，可得出
（3，0）是平移后的抛物线与x轴的一个交点，将其代入y＝（x﹣1）2+k即可求出结论；（2）解x2﹣2ax+a2＝m可得出PQ＝2
，由x1、x2的范围可得出关于m的不等式，解之即可得出m的取值范围．【详解】∵抛物线y＝x2﹣2ax+b的顶点在x轴上，∴，∴b＝
a2．（1）∵a＝1，∴b＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1．①∵m＝b＝1，∴x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝
2．②设平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2+k．∵抛物线的对称轴是x＝1，平移后与x轴的两个交点之间的距离是4，∴（3，0）是平移后
的抛物线与x轴的一个交点，∴（3﹣1）2+k＝0，即k＝﹣4，∴变化过程是：将原抛物线向下平移4个单位．（2）∵x2﹣2ax+a2＝m，解得：x1＝a，x2＝a，∴PQ＝2．又∵x1≤c﹣1，x2≥c+7，∴2（c+7）﹣（c﹣1），∴m≥16．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与几何变换，解题的关键是：（1）①通过解一元二次方程求出x1、x2的值；②利用二次函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）通过解方程求出PQ＝2．30．（1）（3，﹣7）；（2）①p＝a，q＝﹣a2+a﹣1；②q＝﹣p2+p﹣1；③C;（3）y＝x2﹣2ax+a2+a，1，0．【分析】（1）将a＝1代入函数解析式，然后化为顶点式即可解答本题；（2）①将题目中的函数解析式化为顶点式即可用含a的代数式表示p、q；②根据①中的结果可以解答本题；③根据①②可以解答本题；（3）答案不唯一，只要符合要就即可．【详解】解：（1）当a＝3时，y＝x2﹣6x+3﹣1＝x2﹣6x+2＝（x﹣3）2﹣7，∴此时抛物线的顶点坐标为（3，﹣7）；（2）①y＝x2﹣2ax+a﹣1＝（x﹣a）2﹣a2+a﹣1，∵抛物线G的顶点坐标为P（p，q），∴p＝a，q＝﹣a2+a﹣1；②由①可得，q＝﹣p2+p﹣1；③由①②可得，顶点P的位置会随着a的取值变化而变化，但点P总落在二次函数图象上，故答案为C；（3）符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：y＝x2﹣2ax+a2+a，∵y＝x2﹣2ax+a2+a＝（x﹣a）2+a，∴顶点坐标为（a，a），∴它的顶点所在的一次函数图象的表达式y＝x，∴k＝1，b＝0，故答案为y＝x2﹣2ax+a2+a，1，0．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与一次函数在图象上的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答． 1 / 1 |
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