2012-2021北京中考真题数学汇编锐角三角函数的章节综合一、解答题1．（2013·北京·中考真题）请阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：
如图1，在边长为a(a＞2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=4
5°时，求正方形MNPQ的面积．小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△
RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2) ．请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正
方形(无缝隙不重叠)，则这个新正方形的边长为 ；（2）求正方形MNPQ的面积；（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等
边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，求AD的
长． 2．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB
，得到⊙O的弦（分别为点A，B的对应点），线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为
1的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线上
，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最小值；（3）若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围．3．（
2014·北京·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，与交于点，连接，．（1）求证：四边形是菱形；（
2）若，，，求的值．4．（2013·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B
，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点．已知点D（，），E（0，－2），F（，0）（1）当⊙O的半径为1时，①在点D，E，
F中，⊙O的关联点是 ；②过点F作直线交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范
围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．5．（2019·北京·中考真题）如图，在菱形ABCD
中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．（1）求证：AC⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连
接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长．6．（2018·北京·中考真题）如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切
点分别为，，连接，．（1）求证：；（2）连接，，若，，，求的长．7．（2018·北京·中考真题）计算：8．（2017·北京·中考真
题）计算：9．（2015·北京·中考真题）计算：10．（2014·北京·中考真题）计算：11．（2021·北京·中考真题）计算：1
2．（2020·北京·中考真题）计算：13．（2016·北京·中考真题）计算：14．（2013·北京·中考真题）计算：15．（20
12·北京·中考真题）计算：参考答案1．（1） a；（2） S正方形MNPQ =2；（3）AD的长为．【详解】试题分析：（1）四个
等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形面积为a2，边长为a；（2）如题图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角
形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；（3）参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换．如答图1所示，三个等腰三角形△RSF
，△QET，△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积，故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求
出AD的长度．试题解析：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为a，每个等腰直角三角形的面积为：a×a=a2，则拼成的
新正方形面积为：4×a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等，∴这个新正方形的边长为a；（2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，
正方形ABCD的面积为a2，∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2；（3
）如图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角
是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．如答图2所示，过点R作RM⊥SF于
点M，则MF=SF=a，在Rt△RMF中，RM=MF?tan30°=a×=a，∴S△RSF=a×a=a2．过点A作AN⊥SD于点N
，设AD=AS=x，则AN=AD?sin30°=x，SD=2ND=2ADcos30°=x，∴S△ADS=SD?AN=×x×x=x2
．∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和=3S△RSF=3×a2=a2，∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△B
EW=3S△ADS，∴=3×x2，得x2=，解得x=或x=-（不合题意，舍去）∴x=，即AD的长为．考点：四边形综合题．2．（1）
平行，P3；（2）；（3）【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；（2）过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，
分别求出OE、OF的长，由得到的最小值；（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，
且长度为1的弦即可．平移距离的最大值即点A，B点的位置，由此得出的取值范围．【详解】解：（1）平行；P3；（2）如图，线段AB在直
线上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，CD∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，OF⊥CD，令，直线与x轴交点为（-
2，0），直线与x轴夹角为60°，∴．由垂径定理得：，∴；（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙
O内找到与之平行，且长度为1的弦即可；点A到O的距离为．如图，平移距离的最小值即点A到⊙O的最小值：；平移距离的最大值线段是下图A
B的情况，即当A1,A2关于OA对称，且A1B2⊥A1A2且A1B2=1时.∠B2A2A1=60°，则∠OA2A1=30°,∵OA
2=1,∴OM=, A2M=,∴MA=3,AA2= ,∴的取值范围为：．【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌
握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键．3．（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】（1）根据AE平分
∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知ABEF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形；（2）由菱
形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、DH的长，从而可求tan∠ADP【详解】解：(1)∵
AE平分∠BAD，BF平分∠ABC∴∠BAE=∠EAF ，∠ABF=∠EBF∵AD//BC∴∠EAF=∠AEB，∠AFB=∠EBF
∴∠BAE=∠AEB，∠AFB=∠ABF∴AB=BE，AB=AF∴AF=AB=BE∵AD//BC∴四边形ABEF为平行四边形又AB
=BE∴ABEF为菱形；（2）作PH⊥AD于H由∠ABC=60°而（1）可知∠PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴D
H=AD-AH=5∴tan∠ADP=．【点睛】本题考查平行四边形；菱形；直角三角形；三角函数．4．（1）①D，E②0≤m≤（2）r
≥1【详解】解：（1）①根据关联点的定义，得出E点是⊙O的关联点，进而得出F、D，与⊙O的关系：如图1所示，过点E作⊙O的切线设切
点为R，∵⊙O的半径为1，∴RO=1．∵EO=2，∴∠OER=30°．根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于3
0°．∴E点是⊙O的关联点．∵D（，），E（0，－2），F（2，0），∴OF＞EO，DO＜EO．∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O
上不可能找到两点使得组成的角度等于60°．故在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E．②由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点，需要点
P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°．由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°，连接BC，则，∴若P点为⊙C的关
联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r．由（1），考虑临界点位置的P点，如图3，点P到原点的距离OP=2×1=2，过点O作x
轴的垂线OH，垂足为H，则．∴∠OGF=60°．∴OH=OGsin60°=，．∴∠OPH=60°．可得点P1与点G重合．过点P2作
P2M⊥x轴于点M，可得∠P2OM=30°，∴OM=OP2cos30°=．∴若点P为⊙O的关联点，则P点必在线段P1P2上．∴0≤
m≤．（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点．考虑临界情况，如图4，
即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2，此时，r=1．∴若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取
值范围为r≥1．5．（1）证明见解析；（2）AO=1．【分析】（1）由菱形的性质得出AB=AD，AC平分∠BAD，再根据等腰三角形
的三线合一即可；（2）根据菱形的性质和已知条件得出四边形EBDG为平行四边形，得出∠G=∠ABD，再根据tanG=即可求出AO的长
．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形 ∴AB=AD，AC平分∠BAD∵BE=DF， ∴ ， ∴AE=AF∴△AEF是等
腰三角形， ∵AC平分∠BAD， ∴AC⊥EF（2）解：如图2所示：∵四边形ABCD为菱形，∴CG∥AB，BO=BD=2，∵EF∥
BD∴四边形EBDG为平行四边形，∴∠G=∠ABD，∴tan∠ABD=tan∠G=∴tan∠ABD=，∴AO=1【点睛】本题考查了
菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．6．（1）证明见解析；（2）
.【分析】（1）根据切线的性质定理得到，平分．根据等腰三角形的性质即可得到于，即．（2）连接、．根据等腰三角形的性质和平角的性质得
到．进而得到．在中，解直角三角形即可.【详解】（1）证明：∵、与相切于、．∴，平分．在等腰中，，平分．∴于，即．（2）解：连接、．
∵∴∴同理：∴．在等腰中，．∴．∵与相切于．∴．∴．在中，，∴．【点睛】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形等，题
目比较典型，综合性比较强，难度适中．7． 【分析】按照实数的运算顺序进行运算即可.【详解】原式．【点睛】本题考查实数的运算，主要考
查零次幂，绝对值，特殊角的三角函数值以及二次根式，熟练掌握各个知识点是解题的关键.8．3．【详解】试题分析：利用特殊三角函数值，零
指数幂，算术平方根，绝对值计算即可.试题解析：原式=4× +1-2+2=2+1-2+2=3 .9．【分析】先根据一个数的负指数幂等
于正指数幂的倒数，一个不等于零的数的零指数幂为１，一个数的绝对值是非负数，特殊角三角函数值sin60°=，求出各项的值即可．【详解
】解：原式【点睛】本题考查实数的混合运算；特殊角三角函数值．10．-4【详解】特殊角的三角函数值，按顺序计算即可试题解析：原式==
-4考点：1、零指数幂；2特殊角的三角函数值；3、绝对值；4、负指数幂11．【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直
接进行求解．【详解】解：原式=．【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及二次根
式的运算是解题的关键．12．5【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案．【详解】解：原式
=【点睛】本题考查的是负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同类二次根式，掌握以上的知识是解题的关键．13．．【详解】试题分析：根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算即可．试题解析：原式==．考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．14．5【分析】针对零指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【详解】解：原式＝．15．解：原式=【详解】试题分析：先根据0指数次幂、二次根式的性质、特殊角的锐角三角函数值、负整数指数幂化简，再合并同类二次根式即可.原式=.考点：实数的运算点评：实数的运算是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分. 1 / 1 |
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