2012-2021北京重点区初三二模数学汇编图形的相似一、单选题1．（2021·北京海淀·二模）如图，一架梯子AB靠墙而立，梯子顶端B到地面
的距离BC为，梯子中点处有一个标记，在梯子顶端B竖直下滑的过程中，该标记到地面的距离y与顶端下滑的距离x满足的函数关系是（ ）A．
正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系2．（2014·北京西城·二模）如图，为估算学校的旗杆的高度，身高
米的小红同学沿着旗杆在地面的影子由向走去，当她走到点处时，她的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合，此时测得，，则旗杆的高度是（
）A．6.4mB．7mC．8mD．9m3．（2020·北京东城·二模）把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分
的面积为（ ）A．B．C．D．4．（2021·北京西城·二模）若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（ ）A．1：16B．16：
1C．1：4D．1：2二、填空题5．（2017·北京海淀·二模）下图是测量玻璃管内径的示意图，点D正对“10mm”刻度线，点A正对
“30mm”刻度线，DE∥AB．若量得AB的长为6mm，则内径DE的长为__________mm．6．（2018·北京海淀·二模）
如图，四边形与四边形是以为位似中心的位似图形，满足，，，分别是，，的中点，则__________．7．（2020·北京东城·二模）
在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为．以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，得到，则点的对应点的坐标是_________
_．8．（2020·北京西城·二模）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，若△ADE的面积为1，则△ABC的面积等于__
____．三、解答题9．（2017·北京海淀·二模）在锐角△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，E为AC中点．（1）如图1，
过点C作CF⊥AB于F点，连接EF．若∠BAD=20°，求∠AFE的度数；（2）若M为线段BD上的动点（点M与点D不重合），过点C
作CN⊥AM于N点，射线EN，AB交于P点．①依题意将图2补全；②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M运动的过程中，始终有∠APE
=2∠MAD．小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：连接DE，要证∠APE=2∠MAD，只需证∠PE
D=2∠MAD．想法2：设∠MAD=α，∠DAC=β，只需用α，β表示出∠PEC，通过角度计算得∠APE=2α．想法3：在NE上取
点Q，使∠NAQ=2∠MAD，要证∠APE=2∠MAD，只需证△NAQ∽△APQ．……请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE =
2∠MAD．（一种方法即可）10．（2015·北京西城·二模）如图，是⊙的直径，是⊙上一点，是的中点，过点D作⊙O的切线，与AB，
AC的延长线分别交于点E，F，连结AD．（1）求证：AF⊥EF； （2）若，AB=5，求线段BE的长．11．（2020·北京朝阳·
二模）如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线相交于点D，在CB上截取CE＝CD，连接AE并延长
，交⊙O于点F，连接CF．（1）求证：AC＝CF；（2）若AB＝4，sinB，求EF的长．12．（2015·北京东城·二模）如图，
已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作DF⊥AC，交AC的延长线于点
F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DF=3，DE=2．①求值；②求的度数．13．（2018·北京海淀·二模）如图，在四边形
中，， 交于，是的中点，连接并延长，交于点，恰好是的中点.（1）求的值；（2）若，求证：四边形是矩形. 14．（2018·北京东城
·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ADE～△ABC；（2）当
AC＝8，BC＝6时，求DE的长．15．（2020·北京海淀·二模）如图1，在四边形中，对角线平分．为了研究图中线段之间的数量关系
，设．（1）由题意可得，（在括号内填入图1中相应的线段）y关于x的函数表达式为________；（2）如图2，在平面直角坐标系中，
根据（1）中y关于x的函数表达式描出了其图象上的一部分点，请依据描出的点画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：①写出该函
数的一条性质：__________________________；②估计的最小值为__________．（结果精确到0.1）16
．（2021·北京东城·二模）如图，在菱形ABCD中，点E是CD的中点，连接AE，交BD于点F．（1）求BF：DF的值；（2）若A
B=2，AE=，求BD的长．参考答案1．B【分析】过梯子中点O作地面于点D．由题意易证，即得出．由O为中点，，，即可推出，即．即可
选择．【详解】如图，过梯子中点O作地面于点D．∴，又∵，∴，∴，根据题意O为中点，，．∴，整理得：．故y与x的函数关系为一次函数关
系．故选B．【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质以及一次函数的实际应用．作出辅助线构成相似三角形是解答本题的关键．2．C【详解】
解：设旗杆的高度为米，由同一时刻物高与影长成比例可得：由题意得，解得：经检验：符合题意，故选C．3．A【分析】对图上各边标上字母，
由题意可证得△ADH∽△GCH，利用相似三角形对应线段成比例可知，可求得阴影部分面积的高DH，进而求得阴影部分面积.【详解】∵∠C
HG=∠DHA，∠HCG=∠ADH∴△ADH∽△GCH∴即解得DH=∴阴影部分面积=1××=【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判
定，求阴影部分的面积，解本题的关键是求得阴影部分的高进而即可解题.4．A【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答．【
详解】两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16，故正确的答案为：A【点睛】本题考查对相似三角形
性质的理解，相似三角形面积的比等于相似比的平方．5．2【详解】∵，∴.∴.∵，∴.【点睛】错因分析 较易题.失分原因：①没有掌握相
似三角形的性质；②误以为.6．【详解】分析:根据位似图形的性质进行回答即可.详解：四边形与四边形是以为位似中心的位似图形，，，分别
是，，的中点， 故答案为点睛：考查位似图形的性质，位似图形的对应边之比等于位似比.7．或【分析】根据位似图形的中心和位似比例即可得
到点A的对应点C.【详解】解：以原点为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，点的坐标为，∴点的坐标为或，即或，故答案为或．【点睛】本
题主要考查位似图形的对应点，关键在于原点的位似图形，要注意方向.8．4【分析】根据三角形中位线的性质可得DE∥BC，DE=BC，从
而证出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．【详解】解：∵D，E分别是△ABC的边
AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC∴△ADE∽△ABC∴∵△ADE的面积为1∴△ABC的面积为4故答案为：4．【点睛】此题
考查的是三角形中位线的性质和相似三角形的判定及性质，掌握三角形中位线的性质和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．9．（1）证明
见解析;（2）① 补图见解析;②证明见解析.【解析】【详解】（1）证明：∵AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAD=20°，∴∠B
AC=2∠BAD=40°．∵CF⊥AB， ∴∠AFC=90°．∵E为AC中点，∴EF=EA=．∴∠AFE=∠BAC=40°．（2）
① 当点P在边AB上是，补全图形如图当点P在AB的延长线上是，补全图形如图②Ⅰ、当点P在边AB上时，证明：想法1:如图3，连接DE
.∵AB=AC，AD为BC边上的高，∴D为BC中点．∵E为AC中点，∴ED∥AB，∴∠PED=∠APE.∵∠ADC=90°，E为A
C中点，∴同理可证∴AE=NE=CE=DE.∴A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上， ∴∠PED=2∠MAD.∴∠APE
=2∠MAD.想法2:设∠MAD=α，∠DAC=β，∵CN⊥AM，∴∠ANC=90°.∵E为AC中点，∴AE=NE=AC.∴∠AN
E=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β.∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β.∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAC=2∠D
AC=2β.∴∠APE=∠PEC?∠BAC=2α.∴∠APE=2∠MAD.Ⅱ、当点P在AB的延长线上时证明：想法1:连接DE．∵A
B=AC，AD为BC边上的高，∴D为BC中点．∵E为AC中点，∴ED∥AB，∴∠1=∠APE． ∵∠ADC=90°，E为AC中点，
∴．同理可证．∴AE=NE=CE=DE．∴A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上． ∴∠1=2∠MAD． ∴∠APE=2∠
MAD．想法2:设∠MAD=α，∠DAC=β，∵CN⊥AM，∴∠ANC=90°.∵E为AC中点，∴AE=NE=AC.∴∠ANE=∠
NAC=∠MAD+∠DAC=α+β.∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β.∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAC=2∠DAC=
2β.∴∠APE=∠PEC?∠BAC=2α.∴∠APE=2∠MAD.想法3：在NE上取点Q，使∠NAQ=2∠MAD，即∠3=∠4.
即∵E为AC的中点，10．（1）见解析；（2）【详解】试题分析：（1）连接OD根据切线得出OD⊥EF，根据OA=OD得出∠1=∠3
，根据弧的中点得出∠1=∠2，则∠2=∠3，说明OD∥AF，得到切线；（2）连接BD，根据tan∠CAD的值得出tan∠1的值，根
据Rt△ADB得出BD和AD的长度，根据平行得出△EDO与△EFA相似，设BE=x，根据相似比得出x的值.试题解析：（1）证明：连
结OD．∵直线EF与⊙O相切于点D， ∴OD⊥EF．∵OA = OD，∴∠1=∠3．∵点为的中点， ∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴
OD∥AF，∴AF⊥EF．（2）解：连结BD．∵， ∴在Rt△ADB中，AB=5，∴BD=，AD=，在Rt△AFD中，可得DF=2
，AF=4，∵OD∥AF，∴△EDO∽△EFA，∴，又∵OD=2.5，设BE=x，∴，∴，即BE=．考点：圆的基本性质、三角形相似
.11．（1）见解析；（2）EF【分析】（1）先根据圆的切线性质和圆周角定理得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后由圆周角
定理可得，等量代换得，最后根据等角对等边即可得证；（2）由相似三角形的判定定理可得，再由相似三角形的性质得，由题（1）可知，因此只
需求出BE的长即可；在中，解直角三角形可得BD和AD的长，然后在中，解直角三角形可得CD的长，从而可得DE的长，最后根据线段的和差
可得BE的长.【详解】（1）∵AD是⊙O的切线∵AB是⊙O的直径是等腰三角形，且（等腰三角形的三线合一性质）又（圆周角定理）；（2
）由（1）可知，在中，设，则在中，，即，即又故EF的长为.【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、解直角
三角形，正确的识别图形是解题的关键.12．（1）证明见解析；（2）①；②60°．【分析】（1）连接OD，根据AD平分∠BAC得到∠
DAF＝∠DAO，根据OA=OD得到∠OAD＝∠ODA，从而得到∠DAF=∠ODA，说明AF∥OD，根据垂直得到切线；（2）①连接
BD，根据AB为直径得到∠ADB=90°，从而得到BE为切线，从而说明△BDE∽△AFD，然后得出比值；②连接OC，设BE=2x，
则AD=3x，根据△BDE∽△ABE得出方程然后求出x的值，从而得到∠BAE的角度，然后得到∠FAB的度数．【详解】解：（1）连结
OD， ∵AD平分∠BAC∴∠DAF＝∠DAO∵OA=OD∴∠OAD＝∠ODA∴∠DAF＝∠ODA ∴AF∥OD．∵DF⊥AC∴O
D⊥DF∴DF是⊙O的切线（2）①连接BD ∵直径AB， ∴∠ADB=90°∵圆O与BE相切 ∴∠ABE=90°∵∠DAB+∠D
BA=∠DBA+∠DBE=90°∴∠DAB=∠DBE∴∠DBE=∠FAD∵∠BDE=∠AFD=90°∴△BDE∽△AFD ∴②连接
OC，交AD于G由①，设BE=2x，则AD=3x∵△BDE∽△ABE∴∴解得：x1=2，x2＝（不合题意，舍去）∴AD=3x=6，
BE=2x=4，AE=AD+DE=8 ∴sin∠EAB=∴∠EAB=30° ∴∠FAB=60°．13．（1） （2）证明见解析【详
解】分析: （1）根据AB∥CD，得到∠ABE=∠EDC.证明△ABE∽△FDE.得到.进一步说明AB=DF.再证明△ABG∽△C
DG，. 根据AB∥CF，AB=CF，证明四边形ABCF是平行四边形. 证明∠CFA=90°.根据有一个角是直角的平行四边形是矩形
即可证明..详解：（1）∵ AB∥CD，∴ ∠ABE=∠EDC.∵ ∠BEA=∠DEF，∴ △ABE∽△FDE.∴ .∵ E是BD
的中点，∴ BE=DE.∴ AB=DF.∵ F是CD的中点，∴ CF=FD.∴ CD=2AB.∵ ∠ABE=∠EDC，∠AGB=∠
CGD，∴ △ABG∽△CDG.∴ . （2）证明：∵ AB∥CF，AB=CF，∴ 四边形ABCF是平行四边形.∵ CE=BE，B
E=DE，∴ CE=ED.∵ CF=FD，∴ EF垂直平分CD.∴ ∠CFA=90°.∴ 四边形是矩形.点睛：属于综合题，考查相似
三角形的判定与性质，矩形的判定等，综合性比较强，难度适中．14．（1）见解析;（2）．【分析】（1）根据两角对应相等，两三角形相似
即可判定；（2）利用相似三角形的性质即可解决问题．【详解】（1）∵DE⊥AB，∴∠AED=∠C=90°．∵∠A=∠A，∴△AED∽
△ACB．（2）在Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，∴AB10．∵DE垂直平分AB，∴AE=EB=5．∵△AED∽△ACB，∴
，∴，∴DE．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决
问题，属于中考常考题型．15．（1），．（2）图见解析（3）①当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）． ②4.8．【分析】（1）通
过证明△ABC∽△ACD，得到，再把相关数据代入求解即可；（2）用平滑的曲线将平面直角坐标系上的点连接起来即可；（3）观察图象，写
出其性质即可；（4）观察图象，找出y的最小值对应的x，即可求出AB+AD的最小值.【详解】（1）∵平分，∴又∵，∴△ABC∽△AC
D∴,∵∴∴∴ 故答案为：，．（2）如图所示：（3）①当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）． 故答案为：当时，y随x的增大而增大
（答案不唯一）．②AB+AD=x+观察图象可得，y有最小值时，x约为0.7， 故AB+AD的最小值约为：x+=0.7+故答案为：4
.8．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、坐标与函数图象问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思
想思考问题．16．（1）2：1；（2）【分析】（1）根据菱形的性质结合相似三角形的判定和性质求解；（2）根据菱形的性质及勾股定理的逆定理判定∠AED=90°，然后利用特殊角三角函数值计算求解【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB=CD．∴△ABF∽△DEF．∴ ．∵点E是CD的中点，∴AB=CD=2DE．∴BF：DF=2：1． （2） 连接AC∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD． ∵AB=2，∴AD=2，DE=1．∵AE=，∴=+。∴∠AED=90°． ∵ sin∠ADE=，∴∠ADE=60°． 在菱形ABCD中，BD为对角线，∴∠ADB=∠ADE=30°． 连接AC，交BD于点O ．∵四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，OB=OD．∴ AO=AD=1． 在Rt△AOD中，由勾股定理，得OD=．∴BD=2OD=2．【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质和判定，菱形的性质，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 1 / 1 |
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