2013-2022北京中考真题数学汇编二次函数一、单选题1．（2021·北京·中考真题）如图，用绳子围成周长为的矩形，记矩形的一边长为，它的
邻边长为，矩形的面积为。当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（???????）A．一次函数关系，二
次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系2．（2018·北京·中
考真题）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距
离（单位：）近似满足函数关系（）。下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高
点时，水平距离为A．B．C．D．二、填空题3．（2013·北京·中考真题）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的
解析式_______。三、解答题4．（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，
运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与
水平距离（单位：m）近似满足函数关系。某运动员进行了两次训练。(1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平
距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据，直接写出该运动员
竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着
陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）。5．（2022·北京·中考真题）在
平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为(1)当时，求抛物线与y轴交点的坐标及的值；(2)点在抛物线上，若求的取值范围及
的取值范围。6．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上。（1）若，求该抛物线的对称轴；（2）已知点在该抛
物线上．若，比较的大小，并说明理由。7．（2020·北京·中考真题）小云在学习过程中遇到一个函数。下面是小云对其探究的过程，请补充
完整：（1）当时，对于函数，即，当时，随的增大而 ，且；对于函数，当时，随的增大而 ，且；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数，
当时，随的增大而 。（2）当时，对于函数，当时，与的几组对应值如下表：012301综合上表，进一步探究发现，当时，随的增大而增大．
在平面直角坐标系中，画出当时的函数的图象。（3）过点(0，m)（）作平行于轴的直线，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线与函数
的图象有两个交点，则的最大值是 。8．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，为抛物线上任意两点，其中。（1）若抛物线的
对称轴为，当为何值时，（2）设抛物线的对称轴为，若对于，都有，求的取值范围。9．（2019·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛
物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上。（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；（2）求抛物线的对称
轴；（3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围。10．（2018·北京·中考真题）在平面直角坐标
系中，直线与轴、轴分别交于点，，抛物线经过点，将点向右平移5个单位长度，得到点。（1）求点的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若
抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围。11．（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-4x
+3与x轴交于点A 、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点 ，
与直线BC交于点，若x1 标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B。（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的
点叫做整点。①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，
结合函数的图象，求m的取值范围。13．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直
线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B。（1）求点A，B的坐标；（2）求
抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围。1
4．（2014·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点（0，），（3，4）。（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点关
于原点的对称点为，点是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点）。若直线与图象有公共点，结合函数图像，求点纵
坐标的取值范围。15．（2013·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)）与轴交于点A，
其对称轴与x轴交于点B。（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物
线在-2 及矩形的面积及周长公式可直接列出函数关系式，然后由函数关系式可直接进行排除选项。【详解】解：由题意得：，整理得：，，∴y与x成一次
函数的关系，S与x成二次函数的关系；故选A。【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的应用是解题的
关键。2．B【详解】分析： 根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围。详解：设对称轴为，由（，）和（，）可知，，由（，）和（，）可
知，，∴，故选B。点睛：考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键.3．y＝x2＋1。【详解】此题答案不唯一，只要二
次项系数大于0，经过点（0,1）即可，如y＝x2＋1，y＝x2＋2x＋1等。4．(1)23.20m；(2)【分析】（1）先根据表格
中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得
出函数解析式；（2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可。（1
）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，∴，，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，根据表格中的数据可知，当时，，代
入得：，解得：，∴函数关系关系式为：。（2）设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，，解得：或，∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水
平距离，第二次训练时，，解得：或，∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离，∵，∴，∴。故答案为：。【点睛】本题主要考查了二次
函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用t表示出和，是解题的关键。5．(1)（0，2）；2(2)的取值范围为，的
取值范围为【分析】（1）当x=0时，y=2，可得抛物线与y轴交点的坐标；再根据题意可得点关于对称轴为对称，可得t的值，即可求解；（
2）抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），根据抛物线的图象和性质可得当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而
增大，然后分两种情况讨论：当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时；当点在对称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，即可求
解。（1）解：当时，，∴当x=0时，y=2，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）；∵，∴点关于对称轴为对称，∴；（2）解：当x=0
时，y=c，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），∴抛物线与y轴交点关于对称轴的对称点坐标为（2t，c），∵，∴当时，y随x的增大而
减小，当时，y随x的增大而增大，当点，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时， ，∵1＜3，∴2t＞3，即（不合题意，舍去），当点在对
称轴的左侧，点，（2t，c）均在对称轴的右侧时，点在对称轴的右侧，，此时点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，∴，解得：，∵1＜3
，∴2t＞3，即，∴，∵，，对称轴为，∴， ∴，解得：，∴的取值范围为，的取值范围为。【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，
熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键。6．（1）；（2），理由见解析【分析】（1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求
解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可。【详解】解：（1）当时，则
有点和点，代入二次函数得：，解得：，∴抛物线解析式为，∴抛物线的对称轴为；（2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得：①当时，由抛
物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾；②当时，∵抛物线始终过定点，∴此时抛物线的对称轴的范围为，∵点在该抛物线上，∴
它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为，∵，开口向上，∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，∴。【点睛】本题主要考查二次函数的综合，
熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键。7．（1）减小，减小，减小；（2）见解析；（3）【分析】（1）根据一次函数的性质，二次函
数的性质分别进行判断，即可得到答案；（2）根据表格的数据，进行描点，连线，即可画出函数的图像；（3）根据函数图像和性质，当时，函数
有最大值，代入计算即可得到答案。【详解】解：（1）根据题意，在函数中，∵,∴函数在中，随的增大而减小；∵，∴对称轴为：，∴在中，随
的增大而减小；综合上述，在中，随的增大而减小；故答案为：减小，减小，减小；（2）根据表格描点，连成平滑的曲线，如图：（3）由（2）
可知，当时，随的增大而增大，无最大值；由（1）可知在中，随的增大而减小；∴在中，有当时，，∴m的最大值为；故答案为：。【点睛】本题
考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出函数图像，并求函数的最大值。8．（1
）；（2）【分析】（1）根据抛物线解析式得抛物线必过（0，c），因为，抛物线的对称轴为，可得点M，N关于对称，从而得到的值；（2）
根据题意知，抛物线开口向上，对称轴为，分3种情况讨论，情况1：当都位于对称轴右侧时，情况2：当都位于对称轴左侧时，情况3：当位于对
称轴两侧时，分别求出对应的t值，再进行总结即可。【详解】解：（1）当x=0时，y=c，即抛物线必过（0，c），∵，抛物线的对称轴为
，∴点M，N关于对称，又∵，∴，；（2）由题意知，a＞0，∴抛物线开口向上∵抛物线的对称轴为，∴情况1：当都位于对称轴右侧时，即当
时，恒成立情况2：当都位于对称轴左侧时，即＜时，恒不成立情况3：当位于对称轴两侧时，即当时，要使，必有，即解得，∴3≥2t，∴综上
所述，。【点睛】本题考查了二次函数图象的性质．解题的关键是学会分类讨论的思想及数形结合思想。9．（1）点B的坐标为；（2）对称轴为
直线;（3）当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点。【分析】（1）向右平移2个单位长度，得到点；（2）A与B关于对称轴x=1对称；（
3））①a＞0时，当x=2时，，当时，x=0或x=2，所以函数与AB无交点；②a＜0时，当y=2时，，或当时，；【详解】解：（1）
∵抛物线与轴交于点A，∴令，得，∴点A的坐标为，∵点A向右平移两个单位长度，得到点B，∴点B的坐标为；（2）∵抛物线过点和点，由对
称性可得，抛物线对称轴为直线，故对称轴为直线（3）∵对称轴x=1，∴b-2a，，①a＞0时，当x=2时，，当x=0或x=2，∴函数
与AB无交点；②a＜0时，当y=2时，，或当时，；∴当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；（3）①当时，则，分析图象可得：根据抛物
线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点。②当时，则。分析图象可
得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时即综
上所述，当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点。【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交
点是解题的关键。10．（1）（5，4）；（2）x=1；（3）或或。【详解】分析：（1）根据直线与轴、轴交于、．即可求出（，0），（
0，4），根据点的平移即可求出点的坐标；（2）根据抛物线过（，），代入即可求得，根据抛物线的对称轴方程即可求出抛物线的对称轴；（3
）分①当抛物线过点时．②当抛物线过点时．③当抛物线顶点在上时．三种情况进行讨论即可。详解：（1）解：∵直线与轴、轴交于、。∴（，0
），（0，4）∴（5，4）（2）解：抛物线过（，）∴．∴∴对称轴为。（3）解：①当抛物线过点时。，解得。②当抛物线过点时。，解得。
③当抛物线顶点在上时。此时顶点为（1，4）∴，解得。∴综上所述或或。点睛：属于二次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，点的
平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题，注意分类讨论思想在解题中的应用。11．（1）y=-x+3;(2)7< x1+x2+x3<
8。【详解】试题分析：（1）先求A、B、C的坐标，用待定系数法即可求解；(2)由于垂直于y轴的直线l与抛物线要保证，则P、Q两点必
位于x轴下方，作出二次函数与一次函数图象，找出两条临界直线，为x轴和过顶点的直线，继而求解。试题解析：（1）由抛物线 与x轴交于点
A，B(点A在点B的左侧)，令y=0，解得x=1或x=3， ∴点A，B的坐标分别为（1，0），（3，0），∵抛物线与y轴交于点C，
令x=0，解得y=3， ∴点C的坐标为（0，3）.设直线BC的表达式为y=kx+b， ∴ ，解得 ，∴直线BC的表达式为：y=-x
+3(2).由，∴抛物线的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线x=2，∵ ，∴+=4.令y=-1，y=-x+3，x=4∵ ，∴3<
<4， 即7<<8，∴的取值范围为：7<<8【点睛】本题考查二次函数与x轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性等，
结合图形正确地求解是关键。12．（1）顶点坐标（1，－1）．（2）3个；（3）＜m≤? 【详解】试题分析：（1）将抛物线表达式变为
顶点式，即可得到顶点坐标；（2）①m=1时，抛物线表达式为，即可得到A、B的坐标，可得到线段AB上的整点个数；②抛物线顶点为（1，
-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整
点；令y=0，则，解方程可得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，即可得到
结论。试题解析：（1）将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标为（1，-1）；（2）①m=1时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标
分别为（0，0）和（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个；②抛物线顶点为（1，-1），则由线段A
B之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达
式，令y=0，则，得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到，∴。考点：二次函
数的图象及其性质。13．（1）A（3，2），B（－1，2）．（2），（1,-2）．（3）【分析】（1）把y=2代入直线解析式即可求
出A（3,2），根据对称的性质得出B（-1,2）；（2）把A，B两点的坐标代入C1：y＝x2＋bx＋c即可求出二次函数的解析式和顶
点坐标；（3）把A，B的坐标分别代入C2：y＝ax2求出a的值即可得出结论。【详解】（1）当y＝2，则2＝x－1，x＝3，∴A（3
，2），∵AB关于x＝1对称，∴B（－1，2）。（2）把（3，2）（－1，2）代入得：，解得，所以函数解析式为,其顶点坐标为（1,
-2）。（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，代入A（3，2）则9a＝2，，代入B（－1，2）则a＝2∴。14．(1)抛物线的表
达式为对称轴(2)t的取值范围是【详解】试题分析：（1）将所给的点的坐标代入就可求得解析式，利用对称轴公式就可以（2）先确定点C的
坐标，当D点为抛物线的顶点时，此时t最小，当D为BC与对称轴的交点时，此时的t最大试题解析：(1)∵经过点A（0，-2），B（3，
4）。代入得：∴抛物线的表达式为对称轴(2)由题意可知C（-3，-4）二次函数的最小值为-4由图象可以看出D点纵坐标最小值即为-4
，最大值即BC与对称轴交点直线BC的解析式为当X=1时，所以t的取值范围是考点：1、二次函数；2、中心对称；3、数形结合15．（1
）A（0，-2），B（1，0）；（2）y=-2x+2；（3）y=2x2-4x-2【详解】试题分析：（1）令x=0求出y的值，即可得
到点A的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点B的坐标；（2）求出点A关于对称轴的对称点（2，-2），然后设直线l的解析式为y=kx+
b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（3）根据二次函数的对称性判断在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线解析式。试题解析：（1）当x=0时，y=-2，∴A（0，-2），抛物线的对称轴为直线x=-=1，∴B（1，0）；（2）易得A点关于对称轴直线x=1的对称点A′（2，-2），则直线l经过A′、B，设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线l的解析式为y=-2x+2；（3）∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线在2＜x＜3这一段与在-1＜x＜0这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在-2＜x＜-1这一段位于直线l的上方，在-1＜x＜0这一段位于直线l的下方，∴抛物线与直线l的交点的横坐标为-1，当x=-1时，y=-2×（-1）+2=4，所以，抛物线过点（-1，4），当x=-1时，m+2m-2=4，解得m=2，∴抛物线的解析式为y=2x2-4x-2。考点：1.二次函数的性质；2.一次函数图象与几何变换；3.二次函数图象上点的坐标特征。 1 / 1 |
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