2013-2022北京中考真题数学汇编锐角三角函数一、单选题1．（2014·北京·中考真题）如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
A．B．4C．D．8二、填空题2．（2018·北京·中考真题）下图所示的网格是正方形网格，________。（填“”，“”或“”）
三、解答题3．（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于点和线段，给出如下定义：若将线段绕点旋转可以得到的弦
（分别是的对应点），则称线段是的以点为中心的“关联线段”。（1）如图，点的横?纵坐标都是整数．在线段中，的以点为中心的“关联线段”
是______________；（2）是边长为1的等边三角形，点，其中．若是的以点为中心的“关联线段”，求的值；（3）在中，．若是
的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长。4．（2021·北京·中考真题）如图，在四边形中，，点在上，，
垂足为。（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若平分，求和的长。5．（2021·北京·中考真题）计算：。6．（2020·北京·中考
真题）计算：7．（2020·北京·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，C为BA延长线上一点，CD是⊙O的切线，D为切点，OF⊥AD于
点E，交CD于点F。（1）求证：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=，BD=8，求EF的长。8．（2020·北京·中考真题）在平
面直角坐标系中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦（分别为点A，B的对应点），
线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”。（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和，则这两条弦的位置关系是 ；在点中
，连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，求的最
小值；（3）若点A的坐标为，记线段AB到⊙O的“平移距离”为，直接写出的取值范围。9．（2019·北京·中考真题）计算：。10．（
2019·北京·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF。（1）求证：AC
⊥EF；（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长。11．（2018·北京·中考
真题）如图，是的直径，过外一点作的两条切线，，切点分别为，，连接，。（1）求证：；（2）连接，，若，，，求的长。12．（2018·
北京·中考真题）计算：。13．（2017·北京·中考真题）计算：。14．（2016·北京·中考真题）计算：。15．（2015·北京
·中考真题）计算：。16．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙
C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的
反称点P′的示意图。特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0。（1）当⊙O的半径为1时。①分别判断点M（2，1），N（，0）
，T（1，）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x
轴上，求点P的横坐标的取值范围；（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在
点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围。17．（2015·北京·中考真题）在正方形ABCD中，
BD是一条对角线.点P在射线CD上（与点C，D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD
于点H，连接AH、PH.（1）若点P在线CD上，如图1，①依题意补全图1；②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；（2）若
点P在线CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路。（可以不写出计算结果）18．（201
4·北京·中考真题）阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在中，点在线段上，，，，，求的长。小腾发现，过点作，交的延长线于点
，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）。请回答：的度数为 ，的长为 。参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在
四边形中，，，，与交于点，，，求的长。19．（2014·北京·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，平分，交于点，平分，交于点，
与交于点，连接，。（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，，求的值。20．（2014·北京·中考真题）计算：。21．（2013·北京
·中考真题）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的
关联点．已知点D（，），E（0，－2），F（，0）（1）当⊙O的半径为1时，①在点D，E，F中，⊙O的关联点是 ；②过点F作直线交
y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆
的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。22．（2013·北京·中考真题）计算：。23．（2013·北京·中考真题）请阅读下列材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a(a＞2)的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=
∠CHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积。小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点
R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形(如图2) 。请回答：(1)若将上述四个等腰直
角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠)，则这个新正方形的边长为_________；(2)求正方形MNPQ的面积；(3)参考小明
思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到
等边△RPQ．若S△RPQ=，求AD的长。参考答案1．C【详解】∵直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE=CD，∵∠A=22.5°，∴
∠BOC=45°，∴OE=CE，设OE=CE=x(x>0)，∵OC=4，∴x2+x2=16，解得：x=2，即：CE=2，∴CD=4
，故选：C．2．>【分析】构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可进行比较大小.【详解】解：如下图所示，是等腰直角三角形，
∴，∴．故答案为 另：此题也可直接测量得到结果。【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，构造等腰直角三角形是解题的关键.3．（1）；
（2）；（3）当时，此时；当时，此时。【分析】（1）以点A为圆心，分别以为半径画圆，进而观察是否与有交点即可；（2）由旋转的性质可
得是等边三角形，且是的弦，进而画出图象，则根据等边三角形的性质可进行求解；（3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，
然后由题意可根据图象来进行求解即可。【详解】解：（1）由题意得：通过观察图象可得：线段能绕点A旋转90°得到的“关联线段”，都不能
绕点A进行旋转得到；故答案为；（2）由题意可得：当是的以点为中心的“关联线段”时，则有是等边三角形，且边长也为1，当点A在y轴的正
半轴上时，如图所示：设与y轴的交点为D，连接，易得轴，∴，∴，，∴，∴；当点A在y轴的正半轴上时，如图所示：同理可得此时的，∴；（
3）由是的以点为中心的“关联线段”，则可知都在上，且，则有当以为圆心，1为半径作圆，然后以点A为圆心，2为半径作圆，即可得到点A的
运动轨迹，如图所示：由运动轨迹可得当点A也在上时为最小，最小值为1，此时为的直径，∴，∴，∴；由以上情况可知当点三点共线时，OA的
值为最大，最大值为2，如图所示：连接，过点作于点P，∴，设，则有，∴由勾股定理可得：，即，解得：，∴，∴，在中，，∴；综上所述：当
时，此时；当时，此时。【点睛】本题主要考查旋转的综合、圆的基本性质、三角函数及等边三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、圆的基本性质、
三角函数及等边三角形的性质是解题的关键。4．（1）见详解；（2），【分析】（1）由题意易得AD∥CE，然后问题可求证；（2）由（1
）及题意易得EF=CE=AD，然后由可进行求解问题。【详解】（1）证明：∵，∴AD∥CE，∵，∴四边形是平行四边形；（2）解：由（
1）可得四边形是平行四边形，∴，∵，平分，，∴，∴EF=CE=AD，∵，∴，∴，∴。【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定、勾
股定理、角平分线的性质定理及三角函数，熟练掌握平行四边形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理及三角函数是解题的关键。5．【分
析】根据特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算可直接进行求解。【详解】解：原式=。【点睛】本题主要考查特殊三角函数值、零次幂及二次
根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂及二次根式的运算是解题的关键。6．5【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐
角三角函数，再合并即可得到答案。【详解】解：原式=【点睛】本题考查的是负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同类
二次根式，掌握以上的知识是解题的关键。7．（1）见解析；（2）2。【分析】（1）连接OD，根据CD是⊙O的切线，可推出∠ADC+∠
ODA=90°，根据OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根据OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可证明；（2）设半径为r，根
据在Rt△OCD中，，可得，AC=2r，由AB为⊙O的直径，得出∠ADB=90°，再根据推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行线分
线段成比例定理可得，求出OE，，求出OF，即可求出EF。【详解】（1）证明：连接OD，∵CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，∴∠ADC
+∠ODA=90°，∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵OD=OA，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF；（2）设
半径为r，在Rt△OCD中，，∴，∴，∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵OF⊥AD
，∴OF∥BD，∴，∴OE=4，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，锐角三角函数，切线的性质，直径所对的圆周角是
90°，灵活运用知识点是解题关键。8．（1）平行，P3；（2）；（3）【分析】（1）根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可；（2
）过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD于点F，分别求出OE、OF的长，由得到的最小值；（3）线段AB的位置变换，可以看作是以点A为圆
心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可．平移距离的最大值即点A，B点的位置，由此得出的取值范围。【详解】解
：（1）平行；P3；（2）如图，线段AB在直线上，平移之后与圆相交，得到的弦为CD，CD∥AB，过点O作OE⊥AB于点E，交弦CD
于点F，OF⊥CD，令，直线与x轴交点为（-2，0），直线与x轴夹角为60°，∴。由垂径定理得：，∴；（3）线段AB的位置变换，可
以看作是以点A为圆心，半径为1的圆，只需在⊙O内找到与之平行，且长度为1的弦即可；点A到O的距离为。如图，平移距离的最小值即点A到
⊙O的最小值：；平移距离的最大值线段是下图AB的情况，即当A1,A2关于OA对称，且A1B2⊥A1A2且A1B2=1时.∠B2A2
A1=60°，则∠OA2A1=30°,∵OA2=1,∴OM=, A2M=,∴MA=3,AA2= ,∴的取值范围为：。【点睛】本题考
查圆的基本性质及与一次函数的综合运用，熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键。9．【分析】根据绝对
值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负指数幂法则计算即可【详解】原式=【点睛】本题考查零指数幂、特殊角的三角函数值，负指数幂，熟练掌
握相关的知识是解题的关键。10．（1）证明见解析；（2）AO=1。【分析】（1）由菱形的性质得出AB=AD，AC平分∠BAD，再根
据等腰三角形的三线合一即可；（2）根据菱形的性质和已知条件得出四边形EBDG为平行四边形，得出∠G=∠ABD，再根据tanG=即可
求出AO的长。【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形???∴AB=AD，AC平分∠BAD∵BE=DF， ∴?， ∴AE=AF∴
△AEF是等腰三角形， ∵AC平分∠BAD， ∴AC⊥EF（2）解：如图2所示：∵四边形ABCD为菱形，∴CG∥AB，BO=BD=
2，∵EF∥BD∴四边形EBDG为平行四边形，∴∠G=∠ABD，∴tan∠ABD=tan∠G=∴tan∠ABD=，∴AO=1【点睛
】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键。11．（1）证明
见解析；（2）【分析】（1）根据切线的性质定理得到，平分．根据等腰三角形的性质即可得到于，即。（2）连接、．根据等腰三角形的性质和
平角的性质得到．进而得到。在中，解直角三角形即可.【详解】（1）证明：∵、与相切于、∴，平分。在等腰中，，平分∴于，即（2）解：连
接、。∵∴∴同理：∴。在等腰中，．∴。∵与相切于。∴。∴。在中，，∴。【点睛】本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形
等，题目比较典型，综合性比较强，难度适中。12． 【分析】按照实数的运算顺序进行运算即可.【详解】原式。【点睛】本题考查实数的运算
，主要考查零次幂，绝对值，特殊角的三角函数值以及二次根式，熟练掌握各个知识点是解题的关键13．3【详解】试题分析：利用特殊三角函数
值，零指数幂，算术平方根，绝对值计算即可.试题解析：原式=4× +1-2+2=2+1-2+2=3 .14．。【分析】根据实数的运算
顺序，首先计算乘方、开方和乘法，然后从左向右依次计算即可。【详解】解：原式==。15．【分析】先根据一个数的负指数幂等于正指数幂的
倒数，一个不等于零的数的零指数幂为１，一个数的绝对值是非负数，特殊角三角函数值sin60°=，求出各项的值即可。【详解】解：原式【
点睛】本题考查实数的混合运算；特殊角三角函数值。16．（1）①见解析；②0＜x＜2；（2）圆心C的横坐标的取值范围是2≤x≤8。【
分析】（1） ①根据反称点的定义画图得出结论；②∵CP≤2r＝2，CP2≤4， P（x，－x＋2）， CP2＝x2＋（－x＋2）2
＝2x2－4x＋4≤，2x2－4x≤0， x（x－2）≤0，∴0≤x≤2，把x＝2和x=0代入验证即可得出，P（2，0），P′（2
，0）不符合题意P（0，2），P′（0，0）不符合题意，∴0＜x＜2（2）求出A，B的坐标，得出OA与OB的比值，从而求出∠OAB
=30°，设C（x，0）①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，则CH≤CP≤2r＝2，∴AC≤4，得出 C点横坐标x≥2． （当x＝
2时，C点坐标（2，0），H点的反称点H′（2，0）在圆的内部）；②当C在A点右侧时，C到线段AB的距离为AC长，AC最大值为2，
∴C点横坐标x≤8，得出结论.【详解】解： （1）解：①M（2，1）关于⊙O的反称点不存在，存在，关于⊙O的反称点存在，反称点存在
，关于⊙O的反称点存在，反称点T′（0，0）．②∵OP≤2r＝2，OP2≤4， P（x，－x＋2）， OP2＝x2＋（－x＋2）2
＝2x2－4x＋4≤42x2－4x≤0， x（x－2）≤0，∴0≤x≤2，当x＝2时，P（2，0），P′（2，0）不符合题意当x＝
0时，P（0，2），P′（0，0）不符合题意，∴0＜x＜2（2）解：由题意得：A（6，0），，∴，∴∠OAB＝30°，设C（x，0
）①当C在OA上时，作CH⊥AB于H，则CH≤CP≤2r＝2，∴AC≤4， C点横坐标x≥2。（当x＝2时，C点坐标（2，0），H
点的反称点H′（2，0）在圆的内部）②当C在A点右侧时，C到线段AB的距离为AC长，AC最大值为2，∴C点横坐标x≤8综上所述：圆
心C的横坐标的取值范围2≤x≤8。考点：定义新运算；一次函数的图象和性质；二次函数的图象和性质；圆的有关性质，解直角三角形；17．
（1）①如图；②AH＝PH，AH⊥PH．证明见解析（2）或【详解】试题分析：（1）①如图（1）；②（1）法一：轴对称作法，判断：A
H＝PH，AH⊥PH．连接CH，根据正方形的每条对角线平分一组对角得：△DHQ等腰Rt△，根据平移的性质得DP＝CQ，证得△HDP
≌△△HQC，全等三角形的对应边相等得PH＝CH，等边对等角得∠HPC＝∠HCP，再结合BD是正方形的对称轴得出∠AHP＝180°
－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH．四点共圆作法，同上得：∠HPC＝∠DAH，∴A、D、P、H共向，∴∠AHP＝90°，
∠APH＝∠ADH＝45°，∴△APH等腰Rt△。（2）轴对称作法同（1）作HR⊥PC于R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62
°，∴∠DAH＝17°∴∠DCH＝17°．设DP＝x，则.由代入HR，CR解方程即可得出x的值. 四点共圆作法，A、H、D、P共向
，∴∠APD＝∠AHB＝62°，∴。试题解析： （1）①法一：轴对称作法，判断：AH＝PH，AH⊥PH证：连接CH，得：△DHQ等
腰Rt△，又∵DP＝CQ，∴△HDP≌△△HQC，∴PH＝CH，∠HPC＝∠HCPBD为正方形ABCD对称轴，∴AH＝CH，∠DA
H＝∠HCP，∴AH＝PH，∠DAH＝∠HPC，∴∠AHP＝180°－∠ADP＝90°，∴AH＝PH且AH⊥PH。法二：四点共圆作
法，同上得：∠HPC＝∠DAH，∴A、D、P、H共向，∴∠AHP＝90°，∠APH＝∠ADH＝45°，∴△APH等腰Rt△。（2）
法一：轴对称作法考虑△DHQ等腰Rt△，PD＝CQ，作HR⊥PC于R，∵∠AHQ＝152°，∴∠AHB＝62°，∴∠DAH＝17°
∴∠DCH＝17°．设DP＝x，则.由得：，∴．即PD=法二：四点共向作法，A、H、D、P共向，∴∠APD＝∠AHB＝62°，∴。
考点：全等三角形的判定；解直角三角形；正方形的性质；死电脑共圆18．∠ACE的度数为75°，AC的长为3. 【详解】试题分析：由C
E//AB可知∠ACE=∠BAD=75°，又∠CAD=30°，可知△ACE是等腰三角形，又CE//AB可知△ABD∽△CED，由相
似的性质可知DE=1，所以AD=AC=AE+CE=3图3中，由已知的条件可知△ACD是等腰三角形，因为∠BAC=90°，因此可过点
D作DF⊥AC，然后利用相似、三角函数、勾股定理加以解决试题解析：图（2）：∠ACE的度数为75°，AC的长为3.图（3）：过点D
作DF⊥AC于F∵∠BAC=90°∴AB//DF∴△ABE∽△FDE∴EF=1∵在△ACD中，∠CAD=30°，∠ADC=75°∴
∠ACD=75°∴AC=AD∵DF⊥AC∴∠AFD=90°在△AFD中，AF＝２+１＝３，∠FAD＝３０°∴DF＝AFtan30°
＝，AD=2DF=2∴AC=2，AB=2DF==2考点：1、等腰三角形的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数的应用19．
（1）证明见解析；（2）。【分析】（1）根据AE平分∠BAD、BF平分∠ABC及平行四边形的性质可得AF=AB=BE，从而可知AB
EF为平行四边形，又邻边相等，可知为菱形；（2）由菱形的性质可知AP的长及∠PAF=60°，过点P作PH⊥AD于H，即可得到PH、
DH的长，从而可求tan∠ADP【详解】解：(1)∵AE平分∠BAD，BF平分∠ABC∴∠BAE=∠EAF ，∠ABF=∠EBF∵
AD//BC∴∠EAF=∠AEB，∠AFB=∠EBF∴∠BAE=∠AEB，∠AFB=∠ABF∴AB=BE，AB=AF∴AF=AB=
BE∵AD//BC∴四边形ABEF为平行四边形又AB=BE∴ABEF为菱形；（2）作PH⊥AD于H由∠ABC=60°而（1）可知∠
PAF=60°，PA=2，则有PH=，AH=1，∴DH=AD-AH=5∴tan∠ADP=。【点睛】本题考查平行四边形；菱形；直角三
角形；三角函数。20．-4【详解】特殊角的三角函数值，按顺序计算即可试题解析：原式==-4考点：1、零指数幂；2特殊角的三角函数值
；3、绝对值；4、负指数幂21．（1）①D，E②0≤m≤（2）r≥1【详解】解：（1）①根据关联点的定义，得出E点是⊙O的关联点，
进而得出F、D，与⊙O的关系：如图1所示，过点E作⊙O的切线设切点为R，∵⊙O的半径为1，∴RO=1。∵EO=2，∴∠OER=30
°。根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°。∴E点是⊙O的关联点。∵D（，），E（0，－2），F（2，0
），∴OF＞EO，DO＜EO。∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点使得组成的角度等于60°．故在点D、E、F中，⊙O
的关联点是D，E。②由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点，需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°。由图2可知∠AP
B=60°，则∠CPB=30°，连接BC，则，∴若P点为⊙C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r。由（1），考虑临界点
位置的P点，如图3，点P到原点的距离OP=2×1=2，过点O作x轴的垂线OH，垂足为H，则。∴∠OGF=60°。∴OH=OGsin
60°=，。∴∠OPH=60°．可得点P1与点G重合。过点P2作P2M⊥x轴于点M，可得∠P2OM=30°，∴OM=OP2cos3
0°=。∴若点P为⊙O的关联点，则P点必在线段P1P2上。∴0≤m≤。（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半
径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点。考虑临界情况，如图4，即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2，此时，r=
1。∴若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥1。22．5【分析】针对零指数幂，绝对值，特殊角的三角
函数值，负整数指数幂4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。【详解】解：原式＝。23．(1)a(2)S正方形MN
PQ =2(3)AD的长为【分析】（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形面积为a2，边长为a；（2）如题图2所示，正
方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；（3）参照小明的解题思路，对问题做同样的等
积变换．如答图1所示，三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积，故阴影三角形△PQR的面积等
于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出AD的长度。(1)解：四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为a，每个等腰直角
三角形的面积为：a×a=a2，则拼成的新正方形面积为：4×a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等，故这个新正方形的边长为：a。(2)解：∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2，答：正方形MNPQ的面积为2。(3)解：如图1所示，分别延长RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W。由题意易得：△RSF，△QET，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=SF=a，在Rt△RMF中，RM=MF?tan30°=a×=a，∴S△RSF=a×a=a2。过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，则AN=AD?sin30°=x，SD=2ND=2ADcos30°=x，∴S△ADS=SD?AN=×x×x=x2．∵三个等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面积和=3S△RSF=3×a2=a2，等于△ABC的面积，∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，∴=3×x2，得x2=，解得x=或x=-（不合题意，舍去）∴x=，答：AD的长为。【点睛】本题考查了几何图形的等积变换，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、等边三角形、解直角三角形多个知识点，通过本题我们可以体会到运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力。 1 / 1 |
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