2022北京陈经纶中学初二（下）期中数 学一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合
题目要求的.1．（3分）下列各式中最简二次根式为 A．B．C．D．2．（3分）下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是 A．2，3
，4B．，，C．4，6，9D．3，4，53．（3分）下列计算正确的是 A．B．C．D．4．（3分）已知四边形是平行四边形，下列结论
中不正确的是 A．当时，四边形是正方形B．当时，四边形是菱形C．当时，四边形是菱形D．当时，四边形是矩形5．（3分）我们知道：四边
形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的边在轴上，的中点是坐标原点，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴
正半轴上点处，则点的对应点的坐标为 A．，B．C．D．6．（3分）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为5米，若将它往水平方
向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为 A．1米B．米C．2米D．4米7．（3分）如图，在中，，为的
中点，点在上，且，，则的大小为 A．B．C．D．8．（3分）如图，在矩形中，是的中点，动点从点出发，沿运动到点时停止，以为边作，且
点、分别在、上．在动点运动的过程中，的面积 A．逐渐增大B．逐渐减小C．不变D．先增大，再减小二、填空题：本大题共8个小题，每小题
3分，共24分.9．（3分）如果在实数范围内有意义，那么实数的取值范围是 ．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，以
的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的坐标为，，点的纵坐标为，则点的坐标为 ．11．（3分）如图，在中，，，，为边上一动点，
于，于，为中点，则的最小值为 ．12．（3分）如图，在中，点，分别是，边上的点，且，连接，．补充一个条件，可使四边形是菱形，这个条
件是 ．13．（3分）勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以勾股定理为背景的邮票．如图，在中，，，．
分别以，，为边向外作正方形，正方形，正方形，并按如图所示作长方形，延长交于．则长方形的面积为 ．14．（3分）如图，中，，，点在
边上运动（不与点，重合），以为边作正方形，使点在正方形内，连接，则下列结论：①；②当时，；③点到直线的距离为；④面积的最大值是．其
中正确的结论是 （填写所有正确结论的序号）15．（3分）如图，点、分别是正方形的边、上的点，且，已知，则图中阴影部分的面积是 ．
16．（3分）为庆祝建党90周年，美化社区环境，某小区要修建一块艺术草坪．如图，该草坪依次由部分互相重叠的一些全等的菱形组成，且所
有菱形的较长的对角线在同一条直线上，前一个菱形对角线的交点是后一个菱形的一个顶点，如菱形、、，要求每个菱形的两条对角线长分别为和．
（1）若使这块草坪的总面积是，则需要 个这样的菱形；（2）若有个这样的菱形，且为整数），则这块草坪的总面积是 ．三、解答题
：本大题共10个小题，共52分.17．计算：．18．已知求代数式：，，求代数式的值．19．如面是小东设计的“作平行四边形一边中点”
的尺规作图过程．已知：平行四边形．求作：点，使点为边的中点．作法：如图，①作射线；②以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点；③连
接交于点．所以点就是所求作的点．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．
证明：连接，．四边形是平行四边形，． ，四边形是平行四边形 （填推理的依据）． （填推理的依据）．点为所求作的边的中点．20．如图
，在平行四边形中，对角线和相交于点，，，，求的长度及平行四边形的面积．21．如图，已知在四边形中，于，于，，，求证：四边形是平行四
边形．22．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，请按要求画出格点四边形（四个顶点都在格点上的四边形叫格点四边形）．（1）在图
1中，画出一个三角形，使其三边长分别为2，，．（2）在图2中，画出一个非正方形的特殊平行四边形，使其面积为4，对角线的交点在格点上
．23．如图，中，，分别是，的中点，，过点作，交的延长线于点．（1）求证：四边形是菱形．（2）若，，求菱形的面积．24．阅读下面材
料：小明遇到这样一个问题：如图1，在中，分别交于，交于．已知，，，求的值．小明发现，过点作，交延长线于点，构造，经过推理和计算能够
使问题得到解决（如图．请回答：的值为 ．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知和矩形，与交于点，，求的度数．25．在平
面直角坐标系中，对于两个点，和图形，如果在图形上存在点，，可以重合）使得，那么称点与点是图形的一对平衡点．（1）如图1，已知点，．
①设点与线段上一点的距离为，则的最小值是 ，最大值是 ；②在，，，这三个点中，与点是线段的一对平衡点的是 ；（2）如图2，已知正方
形的边长为2，一边平行于轴，对角线的交点为点，点的坐标为．若点在第一象限，且点与点是正方形的一对平衡点，求的取值范围；（3）已知点
，，某正方形对角线的交点为坐标原点，边长为．若线段上的任意两个点都是此正方形的一对平衡点，直接写出的取值范围．26．新知学习：若一
条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线．解决问题：（1）①三角形的中线、高线、角平分线中，
一定是三角形的二分线的是 ；②如图1，已知中，是边上的中线，点，分别在，上，连接，与交于点．若，则 （填“是”或“不是” 的一条二
分线．（2）如图2，四边形中，平行于，点是的中点，射线交射线于点，取的中点，连接．求证：是四边形的二分线．（3）如图3，在中，，，
，，分别是线段，上的点，且，是四边形的一条二分线，求的长．参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出
的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：、，被开方数中含能开得尽方的因
数，不是最简二次根式，不符合题意；、是最简二次根式，符合题意；、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；、，被开方数含分母
，不是最简二次根式，不符合题意；故选：．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或
因式的二次根式，叫做最简二次根式．2．【分析】分别计算较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方即可．【解答】解：、，不能构成直角三
角形，故本选项不符合题意；、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；、，能构成直角三
角形，故本选项符合题意．故选：．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形
是解答此题的关键．3．【分析】根据二次根式加减法运算法则判断，，，根据二次根式乘法运算法则判断．【解答】解：、与不是同类二次根式，
不能合并计算，故此选项不符合题意；、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；、原式，故此选项符合题意；、与不是同类二
次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式加减法和乘法
的运算法则是解题关键．4．【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．【解答】解：．当时，由对角线相等的平行四边形是矩形，故
该选项不符合题意；．当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形是菱形，故该选项不符合题意；．当时，由一组邻边相等的平行四边
形是菱形可得四边形是菱形，故该选项不符合题意；．当时，由有一个角为直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形，故该选项不符合题意；故选
：．【点评】本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键．5．【分析】由已知条
件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论．【解答】解：，，，，，，故选：．【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定
理，正确的识别图形是解题的关键．6．【分析】作，根据勾股定理求得的长，可得的长度．【解答】解：过点作于点，根据题意得：，，由勾股定
理可得，，，此时木马上升的高度为1米，故选：．【点评】本题主要考查勾股定理的应用，添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．7．【分析
】根据等腰直角三角形的性质得到，求得，得到，根据直角三角形的性质得到，得到是等边三角形，，于是得到结论．【解答】解：，，，，，，，
为的中点，，是等边三角形，，，．故选：．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的
识别图形是解题的关键．8．【分析】设，，，，根据，由是的中点可得，进而判断．【解答】解：设，，，，连接，四边形为平行四边形，，，，
四边形为矩形，，，，，，，同理，，是的中点，，，，方法二：连接，四边形为平行四边形，，，，四边形为矩形，，，，，，，，四边形为平行
四边形，，为矩形，同理四边形为矩形，．故选：．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．二、
填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.9．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题
意得：，解得：，故答案为：．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．10．【分析】利
用勾股定理计算即可．【解答】解：设点轴的交点为点，则，由题意可得：，，在中，，点为第三象限，点的坐标为．故答案为：．【点评】本题主
要考查勾股定理，解题关键是利用勾股定理求出长．11．【分析】先根据矩形的判定得出是矩形，再根据矩形的性质得出，互相平分，且，再根据
垂线段最短的性质就可以得出时，的值最小，即的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．【解答】解：如图，连接，，，，，于，于，四边
形是矩形，，互相平分．且，，的交点就是点．当的值最小时，的值就最小，当时，的值最小，即的值最小．，，，，，，，；故答案为：．【点评
】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出的最小值是关键．12．【分
析】证，得出，则，证出四边形是平行四边形，由，即可得出四边形是菱形．【解答】解：添加，理由如下：四边形是平行四边形，，，，，在和中
，，，，，即，又，四边形是平行四边形，，四边形是菱形．故答案为：．【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形
的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．13．【分析】如图，过点作于，先根据面积法可得的长，证明
△，可得，最后根据长方形的面积公式可计算其答案．【解答】解：如图，过点作于，，，，，，，，四边形是正方形，，，，，在△和中，，△，
，长方形的面积．故答案为：12．【点评】本题考查了勾股定理和三角形全等的性质和判定，正确作辅助线构建三角形全等是本题的关键．14．
【分析】①根据“两边对应相等，而夹角不一定相等，这样的两个三角形不一定全等”进行判断；②由勾股定理求得，进而解得，便可得的度数；③
过作于点，证明得便可；④过点作于点，证明，得，进而解直角三角形，用表示、，再根据三角形的面积公式求得面积关于的解析式，利用完全平方
式求得其最小值．【解答】解：①四边形是正方形，，，，当时，，此时，则不全等于，故①错误；②中，，，，，，，，，故②正确；③过作于点
，四边形是正方形，，，，，，，点到直线的距离为，故③正确；④过点作于点，四边形是正方形，，，，，，，，，，，面积的最大值是，故④正
确；故答案为：②③④．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形的知识，关键是证明全等三角形．15．
【分析】根据正方形的性质得到，，，，，根据全等三角形的判定定理得到，根据正方形的面积公式即可得到结论．【解答】解：四边形是正方形，
，，，，，，，，，，，图中阴影部分的面积，，图中阴影部分的面积，故答案为：9．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性
质，证得是解题的关键．16．【分析】（1）利用菱形的对角线互相垂直平分，可分别作出四个满足条件的菱形，另外菱形重合的部分也是菱形，
并且这些小菱形的对角线分别为2，3，结合菱形的面积对角线另一条对角线，即可求出图形的面积和需要的菱形个数；（2）由（1）可知若有个
这样的菱形，且为整数），则这块草坪的总面积【解答】解：（1）每个菱形的两条对角线长分别为和．小菱形的对角线分别为2，3，菱形的面积
对角线另一条对角线，占地面积为．则需要 4个这样的菱形，故答案为4；（2）当有一个这样的菱形，则草坪的面积为，当有2个这样的菱形，
则草坪的面积为，依此类推若有个这样的菱形，且为整数），则这块草坪的总面积是，故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质和菱形的面积公
式，题目设计比较新颖，考查了学生运用数学解决实际问题的能力．三、解答题：本大题共10个小题，共52分.17．【分析】先算乘除法，然
后计算加减法即可．【解答】解：．【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．18．【分析】先求出，，再将
代数式利用完全平方公式变形，代值即可求出．【解答】解：，，，，原式．【点评】本题考查代数式求值，涉及到二次根式的运算，解题关键是熟
悉完全平方公式进行巧算．19．【分析】（1）根据要求作出点即可．（2）利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：（1）点如图所
示．（2）连接，．四边形是平行四边形，．，四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）．（平行四边
形的对角线互相平分）（填推理的依据）．点为所求作的边的中点．故答案为：，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线
互相平分．【点评】本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确应用全等三角形性质解决问题
．20．【分析】直接利用勾股定理得出的长，再由平行四边形的性质即可得出答案．【解答】解：在平行四边形中，，，，，，．四边形是平行四
边形，，．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出的长是解题关键．21．【分析】由证得，得出，，证得，利用一组
对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形．【解答】证明：于，于，，在和中，，，，，四边形是平行四边形．【点评】本题
考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．22．
【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可；（2）作一个对角线长分别为4，2的菱形即可．【解答】解：（1）如图1中，即为所求；（
2）如图2中，四边形即为所求；【点评】本题考查作图应用与设计作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问
题，属于中考常考题型．23．【分析】（1）先证四边形是平行四边形．再证，即可得出结论；（2）根据等边三角形的判定和性质以及菱形的性
质解答即可．【解答】（1）证明：、分别是、的中点，是的中位线，，，，，四边形是平行四边形，，，平行四边形是菱形；（2）解：如图，过
点作于点，由（1）知，，是等边三角形，，，，在中，由勾股定理得：，．【点评】此题主要考查菱形的判定与性质、三角形中位线定理、平行四
边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．24．【分析】由，，可证得四边形是
平行四边形，即可得，，即可得，然后利用勾股定理，求得的值；首先连接，，由四边形是平行四边形，四边形是矩形，易证得四边形是平行四边形
，继而证得是等边三角形，则可求得答案．【解答】解：，，四边形是平行四边形，，，，，；故答案为：；解决问题：连接，，如图．四边形是平
行四边形，．四边形是矩形，，．．四边形是平行四边形．．，．是等边三角形．．，．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质
、等边三角形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．25．【分析】（1）①观察图象的最小值是长，最大值是长，由勾股定理即可
得出结果；②过作于，可得出，根据平衡点的定义，即可得出点与点是线段的一对平衡点；（2）如图2，可得，，由平衡点的定义可求出的范围；
（3）如图2，正方形边长为2，，上任意两点关于是一对平衡点，且，的交点是，根据平衡点的定义，可得，，即可求出的范围．【解答】解：（
1）①由题意知：，，则的最小值是3，最大值是；②如图1，过作于，，根据平衡点的定义，点与点是线段的一对平衡点；故答案为：3，，；（
2）如图2中，，，且，均在正方形上，符合平衡点的定义，；（3）如图2，正方形边长为2，，上任意两点关于是一对平衡点，且，的交点是，则，，，，．【点评】本题属于四边形综合题，考查了点与点是图形的一对平衡点、正方形性质、点与点的距离等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题，属于中考压轴题．26．【分析】（1）①由平面图形的二分线定义可求解；②由面积的和差关系可得，可得是的一条二分线；（2）根据的中点，所以，由，是的中点，证明，所以，所以，可得是四边形的二分线；（3）延长使，连接，通过全等三角形的判定可得，可得，即可得．【解答】解：（1）三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；三角形的中线是三角形的二分线，故答案为三角形的中线②是边上的中线，，，，是的一条二分线故答案为：是（2）的中点，，，，是的中点，，在和中，，，，，是四边形的二分线．（3）如图，延长使，连接，，，，，分别是线段，上的点，且，，，且，，，，，，，且，、，，，是四边形的一条二分线，，【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，平行线的性质，理解新定义是本题的关键． 1 / 1 |
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