2022北京铁二中初二（上）期中数 学一、选择题（共8道小题，每题2分，共16分）1. 利用直角三角板，作的高，下列作法正确的是（ ）A.
B. C. D. 2. 如图，，则的长是（ ）A. B. C. D. 3. 计算的结果是（ ）A. B. C. D. 4. 下列
运算正确的是（ ）A. B. C. D. 5. 若正多边形的一个外角是36°，则该正多边形的内角和为（ ）A. 360°B. 72
0°C. 1440°D. 1800°6. 如图，已知与OP上的点C，点A，小临同学现进行如下操作：①以点O为圆心，长为半径画弧，交
于点D，连接；②以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M；③以点M为圆心，长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点E，连接．下列结论不能由
上述操作结果得出的是（ ）A. B. C D. 7. 如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分
面积是（ ）A. B. C. D. 8. 如图1，中，点E和点F分别为AD，AC上的动点，把纸片沿EF折叠，使得点A落在的外部处，
如图2所示．设，则下列等式成立的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分）9. 计算＝_____
__．10. 在中，，，则____________．11. 如图，已知AC与BD交于点E，且AB=CD，请你再添加一个边或角的条件
使△ABC≌△DCB，添加的条件是：________．（添加一个即可）12. 如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若
点P到AC的距离为5，则点P到AB的距离为________．13. 如图，CD是△ABC的中线，EB是△BCD的中线，如果△ABC
的面积是8cm2，则阴影部分面积是________cm2.14. 如图，△ABC为等边三角形，点E在AB上，点F在AC上，AE＝C
F，CE与BF相交于点P，则∠EPB＝___．15. 如图，从边长为a大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪后拼成
一个长方形，这个操作过程能验证的等式是________．16. 如图，，，，，点M为的中点，，______．三、解答题（共8道小题
，第17，22，23题，每题10分；第18，19题，每题6分；第20题8分；第21，24题，每题9分）17. （1）计算：．（2）
计算：．18. 已知4a2+2b2﹣1＝0，求代数式（2a+b）2﹣b（4a﹣b）+2的值．19. 如图，已知AC平分∠BAD，A
B＝AD．求证：∠B＝∠D．20. 证明命题“有一条直角边及斜边上的高分别对应相等的两个直角三角形全等”．要根据题意，画出图形，并
用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是根据题意画出的部分图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，和中，，，于G，____
_．求证：．请补全图形和补全已知，并写出证明过程．21. 已知：如图，请用尺规作图法在射线CD上找一点P，使射线AP平分∠BAC．
小明的作图方法如下：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N．②分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧，在∠
CAB的内部相交于点E．③画射线AE，交射线CD于点P，点P即所求．小刚说：“我有不同的作法，如图②所示，只需要以 点C为圆心，C
A为半径画弧，交射线CD于点P，画射线AP，也能够得到AP平分∠BAC．” 请回答：（1）请在图1中补全小明的作图过程（要求尺柜作
图，保留作图痕迹）．小明在作图的过程中，构造出一组全等三角形，它们是__________≌__________，全等的依据是___
____．因为全等三角形的对应角相等，所以能够得到∠CAB的角平分线AP；（2）对于小刚的作图方法证明如下：∵CA＝CP∴∠CAP
＝∠CPA（等边对等角）∵∴∠BAP＝∠___________（_______）∴∠CAP＝∠BAP∴射线AP平分∠BAC（3）点
P到直线AC和AB的距离相等，理由是____________．22. 如图，长为m，宽为的大长方形被分割成7小块，除阴影Ⅰ，Ⅱ外，
其余5块是形状?大小完全相同的小长方形，小长方形较短一边长记为y．（1）阴影Ⅰ的长为_________；阴影Ⅱ的长为_______
__（用含m，x，y的代数式表示）；（2）求阴影Ⅰ和Ⅱ的面积差S（用含m，x，y的代数式表示）；（3）当x取任何实数时，面积差S的
值都保持不变，问：m与y应满足什么条件？23. 如图（1），，，垂足分别为A、B，．点P在线段AB上以2cm/s速度由点A向点B运
动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速
度相等，当时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“，”改为“
”，点Q的运动速度为x cm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．24. 阅读材料
：把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法在代数式求值，解
方程，最值问题等都有着广泛的应用．例如：①我们可以将代数式进行变形，其过程如下：∵，∴，因此，该式有最小值1．材料二：我们定义：如
果两个多项式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅常式”，这个常数称为A关于B的“雅常值”．如多项式，，，则A是B的
“雅常式”，A关于B的“雅常值”为9．（1）已知多项式，，判断C是否为D的“雅常式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于
D的“雅常值”；（2）已知多项式，（a，b为常数），M是N的“雅常式”，且当x为实数时，N的最小值为，求M关于N的“雅常值”．四、
附加题25. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）A. B. C. D. 26. 如图，四边形ABCD中，，，E是边AD
上的一点，且，若线段BE上存在点P，使．则的度数为______．27. 已知中，，分别平分和，、交于点. （1）直接写出与的数量关
系；（2）若，利用（1）的关系，求出的度数；（3）利用（2）的结果，试判断、、的数量关系，并证明. 参考答案一、选择题（共8道小题
，每题2分，共16分）1. 【答案】D【解析】【分析】由题意直接根据高线的定义进行分析判断即可得出结论．【详解】解：A、B、C均不
高线．故选：D．【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟练掌握三角形高线的定义即过一个顶点作垂直于它对边所在直线的线段,叫三角形的高
线是解答此题的关键．2. 【答案】D【解析】【分析】根据全等三角形的性质推出AD=BC即可．详解】解：∵△ABC≌△CDA，∴AD
=BC=8cm．故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质定理，关键是找出全等时的对应的线段．3. 【答案】C【解析】【分析】根据
同底数幂的运算法则即可求解．【详解】=故选C．【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的除法法则．4. 【答案】B【
解析】【分析】分别对各选项计算后利用排除法求解．【详解】解：A、，故该选项错误；B、，故该选项正确；C、，故该选项错误；D、，故该
选项错误．故选B．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键．5. 【答案】C【解
析】【分析】根据正多边形的外角和为360°及一个外角是36°，可求得这个正多边形的边数，再根据多边形的内角和公式即可求得结果．【详
解】正多边形的边数为：360°÷36°=10，所以该正多边形的内角和为：(10-2)×180°=1440°故选：C．【点睛】本题考
查了多边形的外角和与内角和，求得正多边形的边数是解决本题的关键．6. 【答案】C【解析】【分析】证明，根据全等三角形的性质以及平行
线的判定定理即可得出结论．【详解】解：在和中，，∴，∴．∴，．故A、B、D都可得到． 不一定得出．故选：C．【点睛】本题考查了平行
线的判定，尺规作图，根据图形的作法得到相等的线段，证明是关键．7. 【答案】B【解析】【分析】根据长方形的面积公式分别计算出大长方
形、小长方形的面积，再进行相减即可得出答案．【详解】解：，故剩余部分面积是，故选B．【点睛】本题考查了多项式乘多项式、整式的混合运
算，解题的关键是掌握长方形的面积公式．8. 【答案】C【解析】【分析】根据三角形外角和折叠的性质可得，，进而即可得到，结合即可求解
．【详解】解：根据折叠的性质得，，∵，，，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，故选C．【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形外角的性质和三
角形内角和定理，解决本题的关键是掌握折叠的性质．二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分）9. 【答案】##【解析】【分析】根据
积的乘方运算法则和幂的乘方进行计算即可．【详解】故答案为：【点睛】本题考查了积的乘方运算法则和幂的乘方，掌握积的乘方运算法则和幂的
乘方是解题的关键．10. 【答案】60°【解析】【分析】根据直角三角形两个锐角互余得出，解方程组即可．【详解】解：在中，，∴，解方
程组得，故答案为：60°．【点睛】本题考查了三角形内角和和解方程组，解题关键是熟练掌握三角形内角和定理，列出方程组．11. 【答案
】AC=DB【解析】【分析】本题已知条件是一条公共边BC=BC和AB=CD，所填条件必须和已知条件构成或经推理可以得出SSS、SA
S，所以添加的条件可以是一条边对应相等或一个夹角对应相等．【详解】添加AC=DB或∠ABC=∠DCB或△AOB≌△DOC后可分别根
据SAS、SSS、SSS判定△ABC≌△DCB．故答案为：AC=DB或∠ABC=∠DCB或△AOB≌△DOC．（添加一个即可）【点
睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA
不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．12. 【答案】5【解析
】【分析】过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PF=PG=PH，
从而得解．【详解】解：如图，过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分
线CE相交于点P，∴PF=PG=5，PG=PH，∴PF=PG=PH=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分
线上的点到角的两边的距离相等的性质是解题的关键．13. 【答案】2【解析】【分析】根据三角形的一边上的中线将三角形面积平分解答即可
．【详解】解：∵CD是△ABC的中线，△ABC的面积是8cm2，∴=4 cm2，∵EB是△BCD的中线，∴=2 cm2，故答案为：
2．【点睛】本题考查三角形的中线性质，熟知三角形的一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键．14. 【答案】60°【解析】【分析】
由等边三角形的性质得出AC＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，证得△ACE≌△CBF，得出∠CBF＝∠ACE，由外角和定理求得∠EPB
＝∠CBF+∠BCE＝∠ACE +∠BCE即可得出答案．【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴AC＝BC，∠A＝∠ACB＝60°，
又∵AE＝CF，∴△ACE≌△CBF（SAS），∴∠CBF＝∠ACE，∵∠EPB＝∠CBF+∠BCE，∴∠EPB＝∠CBF+∠BC
E＝∠ACE +∠BCE＝∠ACB＝60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查了等边三角形性质和全等三角形的性质和判定，判定全等三
角形的方法有“ASA”、“SAS”、“AAS”、“SSS”、“HL”．15. 【答案】a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）【解析】【分
析】首先分别求出甲乙两图阴影部分的面积，然后根据面积相等可直接求得等式．【详解】解：∵S甲＝（a2﹣b2），S乙＝（a＋b）（a﹣
b）又∵S甲＝S乙∴a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）故答案为：a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b）【点睛】本题考查了平方差公式与图形面
积，根据题意表示出阴影部分面积是解题的关键．16. 【答案】6【解析】【分析】延长至N，使，连接，证明，推出，，求出，再证明即可．
【详解】证明：延长AM至N，使，连接，∵点M为的中点，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴．故答案为：6
．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，主要考查学生的推理能力，延长至N，使，再证即可，这就是“倍长中线”，实质是“补短法”．
三、解答题（共8道小题，第17，22，23题，每题10分；第18，19题，每题6分；第20题8分；第21，24题，每题9分）17.
【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据有理数的乘法求解即可；（2）根据整式的混合运算求解即可．【详解】解：（1）；（2
）．【点睛】本题考查了有理数的乘法运算和整式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键．18. 【答案】3【解析】【分析】先化简代数式
，再根据化简结果整体代入可得答案．【详解】解：原式．由可得，．【点睛】本题考查整式的混合运算，应用整体代入是解题关键．19. 【答
案】见解析【解析】【分析】首先根据角平分线的定义，可证得∠BAC＝∠DAC，再根据SAS即可证得△ABC≌△ADC，据此即可证得结
论【详解】首先根据角平分线的定义得到∠BAC＝∠DAC，再利用SAS定理便可证明其全等，进而可得结论． 证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，在△ABC和△ADC中， ，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴∠B＝∠D．【点睛】本题考查了角平分线的定义及
全等三角形的判定和性质，熟练掌握和运用全等三角形的判定方法是解决本题的关键．20. 【答案】补全图形见解析，补充条件为：于H，，证
明见解析．【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】补全条件为：于H，，证明：∵于G，于H，∴，在与中，
，∴ ，∴∠A＝∠D，在与中，，∴，故答案为：于H，．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，利用HL证明是解题的关键．21.
【答案】（1）△AME，△ANE，SSS； （2）CPA，两直线平行，内错角相等； （3）角平分线上的点到角的两边的距离相等【解
析】【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作出对应的角平分线，根据作图过程和全等三角形的判定即可解答；（2）根据等腰三角形的等边
对等角性质和平行线的性质证得∠CAP＝∠BAP即可；（3）根据角平分线的性质定理解答即可．【小问1详解】解：如图1，AP为所作：根
据作图的过程，得AM=AN，EM=EN，又AE=AE，故可构造出一组全等三角形，它们是△AME≌△ANE，全等的依据是SSS．因为
全等三角形的对应角相等，所以能够得到∠CAB的角平分线AP，故答案为：△AME，△ANE，SSS；【小问2详解】解：对于小刚的作图
方法证明如下：∵CA＝CP，∴∠CAP＝∠CPA（等边对等角），∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠CPA（两直线平行，内错角相等），∴∠
CAP＝∠BAP，∴射线AP平分∠BAC．故答案为：CPA，两直线平行，内错角相等；【小问3详解】解：点P到直线AC和AB的距离相
等，理由是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，故答案为：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．【点睛】本题考查尺规作图-作角
平分线、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和性质定理；熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键
．22. 【答案】（1）m-3y，3y；（2）S=-3y2+my+mx-6xy；（3）m=6y【解析】【分析】（1）观察图形，用m
，x，y表示即可；（2）分别表示出阴影的面积，作差即可；（3）根据S的值与x无关确定m与y的关系式即可．【详解】解：（1）观察图形
得：AB=m-3y，DE=3y，故答案为：m-3y，3y．（2）S=（m-3y）（x-2y）-3y[x-（m-3y）]=mx-2m
y-3xy+6y2-3xy+3my-9y2=-3y2+my+mx-6xy；（3）S=-3y2+my+mx-6xy=-3y2+my+
（m-6y）x，∵S的值与x无关，∴m-6y=0，∴m=6y．【点睛】本题考查了整式的混合运算，考核学生的应用意识和计算能力，熟练
掌握运算法则是解题的关键．23. 【答案】（1）PC⊥PQ，理由见解析；（2）2或【解析】【分析】（1）根据SAS证明△ACP和△
BPQ全等，进而解答即可；（2）根据全等三角形的性质得出方程解答即可．【详解】解：（1）△ACP≌△BPO，PC⊥PQ．理由：∵A
C⊥AB，BD⊥AB，∴∠A=∠B=90°，∵AP=BQ=2，∴BP=7，∴BP=AC，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△B
PQ（SAS），∴∠C=∠BPQ，∵∠C+∠APC=90°，∴∠APC+∠BPQ=90°，∴∠CPQ=90°，∴PC⊥PQ；（2）
①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，可得：7=9-2t，2t=xt，解得：x=2，t=1；②若△ACP≌△BQP，则
AC=BQ，AP=BP，可得：7=xt，2t=9-2t解得：x＝，t=，综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或．【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△ACP和△BPQ全等解答，解决此题的是注意分类讨论．24. 【答案】（1）是
，证明见解析 （2）M关于N的“雅常值”为2【解析】【分析】（1）先计算，再根据“雅常式”的定义即可判断C是D的“雅常式”，并求出
C关于D的“雅常值”；（2）先求出，由M是N的“雅常式”，得出，得出，由x为实数时，N的最小值为，得出，求出，进而求出．【小问1详
解】∵，∴C是D的“雅常式”，“雅常值”为1；【小问2详解】∵M是N的“雅常式”，∴，∴，∴，∵，且x为实数时，N的最小值为，∴，
∴，∴，∴M关于N的“雅常值”为2．【点睛】本题考查了配方法的应用、整式的加减运算、新定义和因式分解，理解A是B的“雅常式”的定义
是解决本题的关键．四、附加题25. 【答案】A【解析】【分析】根据幂的乘方的逆运算可直接进行排除选项．【详解】解：∵，，，∴，，，
∴；故选A．【点睛】本题主要考查幂的乘方的逆用，熟练掌握幂的乘方的逆用是解题的关键．26. 【答案】##度【解析】【分析】如图，连
接，过点作，证明得到，，证明得出，则，证明，得出，即可求解．【详解】解：如图，连接，过点作，∵线段BE上存在点P，使，在与中，∴，∴，，在与中，，∴，∴，∴，在与中∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质是解题的关键．27. 【答案】（1）；（2）；（3），见解析.【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义、三角形的内角和定理即可求出．（2）直接代入即可求解；（3）在CB上取点G使得CG=CD，可证△BOE≌△BOG，得BE═BG，可证△CDO≌△CGO，得CD=CG，可以求得BE+CD=BC．【详解】（1）关系是：理由如下：∵∠ABC、∠ACB平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC、∠0CB＝∠ACB，∴∠OBC＋∠0CB＝∠ABC＋∠ACB＝（180°?∠A）＝90°?∠A，∴∠BOC＝180°?（∠OBC＋∠0CB）＝180°?（90°?∠A）＝90°＋∠A．即（2）（3）答：数量关系是：证明：在上取点，使得，由（2）知：，∴，∵平分，∴在和中，∴，∴，∴又平分∴∴在和中，∴，∴∵∴.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质，三角形内角和的性质.第1页/共1页zxxk.com学科网（北京）股份有限公司 |
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